7 Fourier-Transformation

Transkript

1 7 Fourier-Transformation Ausgangspunkt: Die bereits bekannte Fourier-Reihenentwicklung einer T-periodischen, stückweise stetig differenzierbaren Funktion f T : R R, f T (t) = k= γ k e ikωt mit Frequenz ω = T und mit Fourier-Koeffizienten γ k = T = T T T/2 f T (τ)e ikωτ dτ T/2 f T (τ)e ikωτ dτ für k =, ±, ±2,... Komplexe Funktionen TUHH, Sommersemester 28 Armin Iske 26

2 Interpretationen und Begriffe. f T fassen wir auf als ein zeitkontinuierliches T-periodisches Signal. Dann stellt der Fourier-Koeffizient γ k den Verstärkungsfaktor für die Grundschwingung e ikωτ zur Frequenz dar. ω k = k T für k =, ±, ±2,... Somit beschreiben die γ k die Amplituden der beteiligten Schwingungen. Die Folge {γ k } k Z wird als Spektrum von f T bezeichnet. Das Spektrum ist eine diskrete Menge von Fourier-Koeffizienten. Ist das Spektrum endlich, so sind die Frequenzen der beteiligten Schwingungen beschränkt (und umgekehrt). Komplexe Funktionen TUHH, Sommersemester 28 Armin Iske 27

3 Alternative Darstellung der Fourier-Reihe. Ausgangspunkt: Wir schreiben die Frequenz ω als ω = T = ω k+ ω k = ω Alternative Darstellung: Dann kann die Fourier-Reihe dargestellt werden als f T (t) = k= T/2 T/2 f T (τ)e iω k(t τ) dτ ω. Fragen: Besitzt ein nicht-periodisches Signal f(t) eine entsprechende Fourier-Darstellung? Etwa eine Fourier-Reihe? Oder etwas anderes? Falls ja, unter welchen Voraussetzungen? Wie sieht das Spektrum dann aus? Komplexe Funktionen TUHH, Sommersemester 28 Armin Iske 28

4 Herleitung der gewünschten Fourier-Darstellung. Grundidee: Fasse nicht-periodisches Signal f : R R als Signal mit unendlicher Periode auf, d.h. wir betrachten den Grenzübergang f(t) = lim T f T(t) mit einer (geeigneten) T-periodischen Funktion f T. Setzt man hierzu g T (ω) = so bekommt man die Darstellung T/2 T/2 f T (τ)e iωτ dτ, f T (t) = k= g T (ω k )e iω kt (ω k+ ω k ). Beachte: Dies ist eine Riemannsche Summe mit Zerlegung {ω k } k, die für große Perioden T beliebig fein werden kann. Komplexe Funktionen TUHH, Sommersemester 28 Armin Iske 29

5 So bekommen wir eine Fourier-Integraldarstellung. Setze g(ω) := lim T g T(ω) = Definition: Falls das Integral g(ω) = f(τ)e iωτ dτ. für ω R. f(τ)e iωτ dτ für alle ω R existiert, so wird die Funktion g als Fourier-Transformierte der Funktion f bezeichnet. Vermutung: Es gilt (mit T ) die Fourier-Umkehrformel bzw. f(t) = f(t) = g(ω)e iωt dω. f(τ)e iω(t ω) dτ dω. Komplexe Funktionen TUHH, Sommersemester 28 Armin Iske 22

6 Wann gilt die Fourier-Umkehrformel? Satz: Die Funktion f : R R sei auf jedem endlichen reellen Intervall stückweise stetig. Weiterhin besitze f in jedem Punkt eine linksseitige und rechtsseitige Ableitung und es existiere das Integral f L (R) := Dann gilt die Fourier-Umkehrformel f(t) = f(t) dt. f(τ)e iω(t τ) dτ dω. Falls f bei t R unstetig ist, so liefert das Doppelintegral auf der rechten Seite der Fourier-Umkehrformel für t = t den Mittelwert des links- und rechtsseitigen Grenzwertes von f für t t, d.h. es gilt 2 ( lim f(t) + lim f(t) tրt tցt ) = f(τ)e iω(t ω) dτ dω. Komplexe Funktionen TUHH, Sommersemester 28 Armin Iske 22

7 Diskrete/Kontinuierliche Fourier-Transformation. Diskrete Fourier-Transformation: Es gilt die Fourier-Reihendarstellung f T (t) = γ k e ikωt mit ω = T k= mit diskreten Fourier-Koeffizienten γ k γ k (f) = T T/2 T/2 f T (τ)e ikωτ dτ für k =, ±, ±2,... Kontinuierliche Fourier-Transformation: Es gilt die Fourier-Umkehrformel f(t) = mit der kontinuierlichen Fourier-Transformation g(ω) = g(ω)e iωt dω. f(τ)e iωτ dτ Komplexe Funktionen TUHH, Sommersemester 28 Armin Iske 222

8 Beispiel. Berechne die Fourier-Transformation ^f des Rechtecksimpulses für a t a; f(t) = für t > a. ^f(ω) = = = f(t)e iωt dt = iω e iωt 2 ω t=a t= a a a = iω sin(ωa) für z 2a für z = e iωt dt [ e iωa e iωa] = 2a sinc(ωa) mit der sinc-funktion sinc(z) = z sin(z) für z ; für z = ; Komplexe Funktionen TUHH, Sommersemester 28 Armin Iske 223

9 Graphen von Einheitsimpuls und Sinc-Funktion Der Einheitsimpuls f(t) Die sinc-funktion ^f(ω). Komplexe Funktionen TUHH, Sommersemester 28 Armin Iske 224

10 Beispiel. Berechne die entsprechende Fourier-Umkehrung von ^f(ω) = 2asinc(ωa) F [^f](t) = 2sin(ωa) e iωt dω ω = π sin(ωa) cos(ωt) ω dω = sin(ω(a + t)) + sin(ω(a t)) ω dω Übung: Verwende den Residuensatz, um Integrale der Form sin(αt) t zu berechnen. Zeige dann die Fourier-Umkehrformel F [^f](t) = f(t). dt Komplexe Funktionen TUHH, Sommersemester 28 Armin Iske 225

11 Beispiel. Berechne für a > die Fourier-Transformation ^f von f(t) = e at für t ; für t < Graph von f. F[f](ω) = f(t)e iωt dt = = a + iω e (a+iω)t t= t= e (a+iω)t dt = a + iω. Komplexe Funktionen TUHH, Sommersemester 28 Armin Iske 226

12 Beispiel. Berechne für a > die Fourier-Transformation ^f von f(t) = e a t. F[f](ω) = = e a t e iωt dt = a iω + a + iω = 2a a 2 + ω 2. e (a iω)t dt + e (a+iω)t dt Grpah von f(t) Graph von ^f. Komplexe Funktionen TUHH, Sommersemester 28 Armin Iske 227

13 Bemerkungen zur Fourier-Transformation. Zerlegt man die Fourier-Transformation der reellen Funktion f : R R in Realteil und (verschwindenden!) Imaginärteil, so folgt mit die trigonometrische Darstellung f(t) = f(τ)sin[ω(t τ)]dτ dω = f(τ)cos[ω(t τ)]dτ dω Falls f eine gerade Funktion ist, so gilt die Darstellung f(t) = 2 π f(τ) cos(ωt) cos(ωτ) dτ dω. Falls f eine ungerade Funktion ist, so gilt die Darstellung f(t) = 2 π f(τ) sin(ωt) sin(ωτ) dτ dω. Komplexe Funktionen TUHH, Sommersemester 28 Armin Iske 228

14 Rechenregeln zur Fourier-Transformation. Ausgangspunkt: Die (kontinuierliche) Fourier-Transformation F[f](ω) = ^f(ω) := f(τ)e iωτ dτ. F ist ein linearer Integraloperator bzw. Integraltransformation, d.h. F[f + g](ω) = F[f](ω) + F[g](ω) F[αf](ω) = αf[f](ω) für α R Für die Konjugation f von f gilt F[f](ω) = F[f( t)](ω). Für die Streckung f(c ), c >, von f gilt F[f(ct)](ω) = c F[f](ω/c). Komplexe Funktionen TUHH, Sommersemester 28 Armin Iske 229

15 Weitere Rechenregeln zur Fourier-Transformation. Verschiebungssätze: Für a R gilt F[f(t a)](ω) = e iωa F[f](ω) F[e iat f(t)](ω) = F[f](ω a) Faltungssätze: Für f, g L (R) ist die Faltung f g zwischen f und g definiert durch (f g)(t) = Es gelten die Faltungssätze f(t τ)g(τ)dτ. F[f g](ω) = F[f](ω) F[g](ω) F[f g](ω) = (F[f] F[g])(ω) Komplexe Funktionen TUHH, Sommersemester 28 Armin Iske 23

16 Beispiel. Für die Autokorrelation f f des Einheitsimpulses f(t) = für t ; für t > ; bekommt man die Hutfunktion g(t) = 2 t für 2 t 2; für t > 2; und somit gilt nach dem Faltungssatz F[g](ω) = F[f f](ω) = (F[f](ω)) 2 = 4sinc 2 (ω). Komplexe Funktionen TUHH, Sommersemester 28 Armin Iske 23

17 Die Hutfunktion und ihre Fourier-Transformation Hutfunktion f(t) Fourier-Transformation ^f(ω) = 4sinc 2 (ω). Komplexe Funktionen TUHH, Sommersemester 28 Armin Iske 232

18 Differentiation der Fourier-Transformation. Satz: Ist f eine stückweise C -Funktion mit endlich vielen Unstetigkeitsstellen t,..., t m, und sind f und f absolut integrierbar, d.h. f L (R) = so gilt f(t) dt < und f L (R) = F[f ](ω) = iωf[f](ω) m k= Beweis: O.E. für eine Unstetigkeitsstelle, t, gilt f (t)e iωt dt = t f (t)e iωt dt + ( f(t + k ) f(t k )) e iωt k t f (t)e iωt dt = [ f(t)e iωt] t + [ f(t)e iωt] t + iω = ( f(t ) f(t+ )) e iωt + iωf[f](ω) wobei lim t ± f(t) = verwendet wurde (wegen f L (R)). f (t) dt < f(t)e iωt dt Komplexe Funktionen TUHH, Sommersemester 28 Armin Iske 233