HOCHSCHULBÜCHER FÜR MATHEMATIK H.GRELL, K.MARUHN U N D W.RINOW BAND 14 FOURIERREIHEN VON G.P. TOLSTOW MIT 51 A B B I L D U N G E N

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1 fc HOCHSCHULBÜCHER FÜR MATHEMATIK H E R A U S G E G E B E N VON H.GRELL, K.MARUHN U N D W.RINOW BAND 14 FOURIERREIHEN VON G.P. TOLSTOW MIT 51 A B B I L D U N G E N 1955 VEB DEUTSCHER VERLAG DER WISSENSCHAFTEN BERLIN

2 fc Inhaltsübersicht Vorwort V Kapitel I: Trigonometrische Fourierreihen 1. Periodische Funktionen 1 2. Harmonische Funktionen 2 3. Trigonometrische Polynome und Reihen 5 4. Präzisierung der Terminologie. Integrierbarkeit. Funktionenreihen 7 5. Das trigonometrische Fundamentalsystem. Die Orthogonalität der Sinus- und Kosinusfunktionen Die Fourierreihe einer Funktiongder Periode In Die Fourierreihe einer Funktion, die auf einem Intervall der Länge 2JI vorgegeben ist Rechts- und linksseitige Grenzwerte von Funktionen in einem Punkt. Unstetigkeitsstellen erster Art Glatte und stückweise glatte Funktionen Ein Konvergenzkriterium für Fourierreihen Gerade und ungerade Funktionen Kosinusreihen und Sinusreihen Beispiele für Fourierentwicklungen Die komplexe Form einer Fourierreihe Funktionen der Periode Kapitel II: Orthogonalsysteme 1. Definition. Normierte Systeme Fourierreihen bezüglich eines gegebenen Orthogonalsystems Beispiele einfachster Orthogonalsysteme Quadratisch integrierbare Funktionen. Die Bunjakowskische Ungleichung Das mittlere Fehlerquadrat, sein Minimum Die Besselsche Ungleichung und Folgerungen daraus Vollständige Systeme. Konvergenz im Mittel Wichtigste Eigenschaften vollständiger Systeme Ein Kriterium für die Vollständigkeit eines Systems * Die Analogie mit Vektoren '. 58

3 VIII Inhaltsübersicht Kapitel III: Die Konvergenz trigonometrischer Fourierreihen 1. Die Besselsehe Ungleichung und Folgerungen aus ihr Bestimmung von lim J f(x) cos nxdx und lim j f(x) sin nxdx 63»->oo n->oo 3. Eine Summenformel für Kosinusfunktionen. Dirichletsche Integrale Eine Integralformel für die Partialsummen einer Fourierreihe Rechtsseitige und linksseitige Ableitungen Eine hinreichende Bedingung für die Konvergenz der Fourierreihe an einer Stetigkeitsstelle einer Funktion Eine hinreichende Bedingung für die Konvergenz der Fourierreihe an einer Unstetigkeitsstelle einer Funktion._ Verallgemeinerung der in 6 und 7 aufgestellten hinreichenden Bedingungen Die Konvergenz der Fourierreihe einer (stetigen oder unstetigen) stückweise glatten Funktion = Die absolute und gleichmäßige Konvergenz der Fourierreihe einer stetigen und stückweise glatten Funktion der Periode 2 ;t Die gleichmäßige Konvergenz der Fourierreihe einer stetigen Funktion der Periode 2 n, die eine absolut integrierbare Ableitung besitzt Verallgemeinerung der Resultate von Das Lokalisationsprinzip Beispiele für die Entwicklung unbeschränkter Funktionen in Fourierreihen Bemerkung über Funktionen der Periode * Kapitel IV: Trigonometrische Reihen mit monoton abnehmenden Koeffizienten. Bestimmung der Summen einiger Reihen 1. Das Abelsche Lemma Eine Formel für eine Summe von Sinusgliedern. Ungleichungen Die Konvergenz trigonometrischer Reihen mit monoton abnehmenden Koeffizienten 91 4.* Einige Folgerungen aus den Sätzen von Anwendung von Funktionen einer-komplexen Veränderlichen zur Bestimmung der Summe einiger trigonometrischer Reihen Präzisierung der Resultate aus 5 99 Kapitel V: Die Vollständigkeit des trigonometrischen Systems. Operationen mit Fourierreihen 1. Approximation von Funktionen durch trigonometrische Polynome 107' 2. Die Vollständigkeit des trigonometrischen Systems Die Ljapunowsche Formel. Wichtige Folgerungen aus der Vollständigkeit des trigonometrischen Systems * Approximation von Funktionen durch Polynome Addition und Subtraktion von Fourierreihen. Multiplikation mit einer Zahl * Multiplikation von Fourierreihen Integration von Fourierreihen Differentiation von Fourierreihen. Stetige Funktionen der Periode 2 n * Differentiation von Fourierreihen. Funktionen, die auf [ n, ri\ vorgegeben sind 122

4 Inhaltsübersicht IX 10.* Differentiation von Fourierreihen. Der Fall einer auf dem Intervall [0, ri] vorgegebenen Funktion Verbesserung der Konvergenz Von Fourierreihen Zusammenstellung einiger trigonometrischer Entwicklungen Approximative Berechnung von Fourierkoeffizienten 139 Kapitel VI: Summierung trigonometrischer Fourierreihen 1. Die Problemstellung Das Verfahren der arithmetischen Mittel Eine Integralformel für das arithmetische Mittel der Partialsummen einer Fourierreihe Summierung von Fourierreihen nach dem Verfahren der arithmetischen Mittel Das Abelsche Potenzreihenverfahren Der Poissonsche Kern Anwendung des Abelschen Verfahrens auf die Summierung von Fourierreihen Kapitel VII: Trigonometrische Doppelreihen. Das Fouriersche Integral 1. Orthogonalsysteme im Falle zweier Veränderlicher. Fourierreihen Das trigonometrische Fundamentalsystem für den Fall zweier Veränderlicher. Trigonometrische Fourier-Doppelreihen Eine Integralformel für die Partialsummen einer trigonometrischen Fourier- Doppelreihe. Ein Konvergenzkriterium Fouriersche Doppelreihen für Funktionen mit Verschiedenen Perioden bezüglich x und y Das Fouriersche Integral als Grenzfall der Fourierreihe Über ulieigentliche Integrale, die von einem Parameter abhängen Zwei Hilfssätze Beweis der Fourierschen Integralformel, Verschiedene Formen der Fourierschen Integralformel * Die Fouriertransformation 179 Kapitel VIII: Besselsche Funktionen 1. Die Euler-Besselsche Gleichung Besselsche Funktionen erster Art mit nichtnegativem Index Über die Gammafunktion Besselsche Funktionen erster Art mit negativem Index Das allgemeine Integral der Euler-Besselschen Gleichung Besselsche Funktionen zweiter Art Beziehungen zwischen Besselschen Funktionen mit verschiedenen Indizes 190 2w Besselsche Funktionen erster Art mit einem Index der Gestalt p = - (n ganz) Asymptotische Formeln für Besselsche Funktionen Die Nullstellen der Besselschen und anderer mit ihnen zusammenhängender Funktionen Die Euler-Besselsche Gleichung mit einem Parameter Die Orthogonalität der Funktionen J v (A x) 200

5 X Inhaltsübersicht 1 a 13. Berechnung des Integrals/* J P (A x)dx 203 o 14.* Eine Absehätzung des Integrals f xjp (Xx)Ax 204 o Kapitel IX: Fourierreihen nach Besselschen Funktionen 1. Fourier-Besselsche Beihen Konvergenzkriterien für Fourier-Besselsche Reihen * Die Besselsche Ungleichung und einige Folgerungen aus ihr * Über die Ordnung der Koeffizienten, welche die gleichmäßige Konvergenz einer Fourier-Besselschen Reihe gewährleistet * Die Ordnung der Fourier-Besselschen Koeffizienten zweimal differenzierbarer Funktionen Die Ordnung der Fourier-Besselschen Koeffizienten einer mehrmals differenzierbaren Funktion * Über die gliedweise Differentiation Fourier-Besselscher Reihen Fourier-Besselsche Reihen vom zweiten Typus * Ausdehnung der Resultate von 3 bis 7 auf Fourier-Besselsche Reihen vom zweiten Typus Die Entwicklung von Funktionen, die auf einem Intervall [0, t] vorgegeben sind, in Fourier-Besselsche Reihen 226 Kapitel X: Die Methode der Eigenfunktionen bei der Lösung einiger Aufgaben der mathematischen Physik 1. Das Wesen der Methode Die übliche Form der Randwertaufgabe Über die Existenz von Eigenwerten Eigenfunktionen und ihre Orthogonalität Über das Vorzeichen der Eigenwerte Fourierreihen nach Eigenfunktionen Führt die Methode der Eigenfunktionen immer auf eine Lösung der Aufgabe? Die verallgemeinerte Lösung ' Die inhomogene Aufgabe Schlußbemerkung 248 Kapitel XI: Anwendungen 1. Die Gleichung der schwingenden Saite Freie Schwingungen einer Saite Erzwungene Schwingungen einer Saite Die Gleichung von Längsschwingungen eines Stabes Freie Stabschwingungen Erzwungene Stabschwingungen \ Schwingungen einer rechteckigen Membran Radiale Schwingungen einer kreisförmigen Membran Schwingungen einer kreisförmigen Membran (allgemeiner Fall) 270

6 Inhaltsübersicht XI 10. Die Gleichung der Wärmeleitung in einem Stabe Die Wärmeleitung in einem Stabe, dessen Enden auf der Temperatur Null gehalten werden Die Wärmeleitung in einem Stabe, dessen Enden auf konstanter Temperatur gehalten werden Die Wärmeleitung in einem Stabe, dessen Enden sich auf vorgegebenen veränderlichen Temperaturen befinden Die Wärmeleitung in einem Stabe, art dessen Enden ein freier Wärmeaustausch mit der Umgebung stattfindet Die Wärmeleitung in einem unendlichen Stab Die Wärmeleitung in einem Kreiszylinder; der Fall einer isolierteii Oberfläche Die Wärmeleitung in einem Kreiszylinder; der Fall des Wärmeaustausches mit dem umgebenden Medium durch die Oberfläche hindurch Die Wärmeleitung in einem Kreiszylinder; der Fall konstanter Temperatur 291 Literaturhinweise der Herausgeber 295 Sachregister 299