DIFFERENTIALGLEICHUNGEN

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Edmund Franke
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1 I"., ' '--. _... DIFFERENTIALGLEICHUNGEN i. GEWÖHNLICHE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN VON DR.E.KAMKE f EHEMALS O. PROFESSOR AN DER UNIVERSITÄT TÜBINGEN MIT 38 FIGUREN 6. AUFLAGE, UNVERÄNDERTER NACHDRUCK DER 5. AUFLAGE LEIPZIG 1969 AKADEMISCHE VERLAGSGESELLSCHAFT GEEST & PORTIG K.-G.

Inhalt. Einleitung 1 Erster Abschnitt: Spezielle Typen von Differentialgleichungen erster Ordnung. I. Explizite Differentialgleichungen. 11. Die Differentialgleichung y' = f(x)g(y). 1. Der Sonderfall g(y) = 1, 5 2.

2 Inhalt. Einleitung 1 Erster Abschnitt: Spezielle Typen von Differentialgleichungen erster Ordnung. I. Explizite Differentialgleichungen. 11. Die Differentialgleichung y' = f(x)g(y). 1. Der Sonderfall g(y) = 1, 5 2. Der Sonderfall f(x) sl 7 3. Bezeichnungen 9 4. Die allgemeine Gleichung y' = f(x)g(y) Beispiele und Aufgaben Weitere Beispiele Verlauf der Integralkurve für g(y) -» 0 bei y c oder y d Befreiung von der Einschränkung g(y) 4= Die Differentialgleichung y> -f{^~s~~) 9. Die Gleichung y' =f(ax + By + C) Die homogene Gleichung Trajektorien einer Kurvenschar. Beispiel. Aufgaben Die allgemeine Gleichung Aufgaben Die lineare Differentialgleichung. 14. Das Richtungsfeld Die homogene lineare Gleichung Die allgemeine Gleichung Beziehungen zwischen den Integralen Beispiel und Aufgaben Die Bernoulli- und die Riccati-Differentialgleichung. 19. Die BernoulU-Differentialgleichung Die spezielle Riccati-Differentialgleichung Die allgemeine Riccati-Gleichung Fortsetzung: Eigenschaften der Integrale Aufgaben 43

vin Inhalt. 5. Die exakte Differentialgleichung und der Multiplikator oder integrierende Faktor. 24. Die exakte Differentialgleichung 43 25. Bestimmung der Stammfunktion; Beispiele 44 26.

3 vin Inhalt. 5. Die exakte Differentialgleichung und der Multiplikator oder integrierende Faktor. 24. Die exakte Differentialgleichung Bestimmung der Stammfunktion; Beispiele Der Multiplikator oder integrierende Faktor Beispiel und Aufgaben 47 II. Implizite Differentialgleichungen. 6. Einige spezielle Typen von impliziten Differentialgleichungen. 28. Die Gleichung x = g(y') Die Gleichung y - g{y') Die Clairaut-Differentialgleichung Zusätze und Beispiele Die d'alembert-differentialgleiehung Beispiel Das Prinzip der Integration durch Differentiation Die Legendre-Transformation Die allgemeine implizite Differentialgleichung. 36. Reguläre und singulare Linienelemente einer Differentialgleichung Bedingungen für Begularität und Singularität von Linienelementen Diskriminantenkurve und singulare Integrale Aufgaben 68 Zweiter Abschnitt: Explizite Differentialgleichungen erster Ordnung. III. Die allgemeinen Systeme von n expliziten Differentialgleichungen erster Ordnung für n Funktionen. 8. Existenzsätze. 40. Vektoren und Punkte im n-dimensionalen Baum Geometrische Deutung des Differentialgleichungssystems und seiner Integrale Die Lipschitz-Bedingung Das Iterationsverfahren und der Existenzsatz von PICARD-LINDELÖF Beispiele und Aufgaben Existenzsatz für analytische Funktionen Zusätze. Aufgaben Die geometrische Grundlage des Beweisansatzes von PEANO Zwei Hilfssätze über Funktionenfolgen Der Existenzsatz von PEANO Zusätze. Aufgabe Näherungsverfahren zur Lösung der Differentialgleichung 51. Zeichnerische Verfahren Rechnerische Verfahren Über den Verlauf der Integralkurven. 53. Vorbemerkungen Fortsetzbarkeit von Kurven Über die Menge der Integralkurven, die von einem Punkt ausgehen 101

Inhalt. 11. Eindeutigkeitssätze einfacher Art. 56. Vorbemerkungen 102 57. Ein erster Eindeutigkeitssatz nebst Folgerungen 103 12. Differential-Ungleichungen. Abschätzungssätze. 58.

4 Inhalt. 11. Eindeutigkeitssätze einfacher Art. 56. Vorbemerkungen Ein erster Eindeutigkeitssatz nebst Folgerungen Differential-Ungleichungen. Abschätzungssätze. 58. Zwei grundlegende Abschätzungssätze lineare Differential-Ungleichungen Abschätzungen bei erfüllter Lipschitz-Bedingung Über die Abhängigkeit der Integrale von der rechten der Differentialgleichung und von den Anfangsbedingungen. 61. Ein Hilfssatz Der Limessatz Der Stetigkeitssatz Weitere Untersuchung der charakteristischen Funktionen. 64. Vorbemerkungen Die Differenzierbarkeit der charakteristischen Funktionen Die Differenzierbarkeit nach Parametern Die r-malige Differenzierbarkeit Maximal- und Minimalintegral. Differential-Ungleichungen. Eindeutigkeitssätze. 68. Maximal- und Minimalintegral Differential-Ungleichungen Eindeutigkeitssätze 131 IV. Lineare Systeme. 16. Die allgemeine lineare Differentialgleichung. 71. Definitionen. Der Existenzsatz Einige einfache Bemerkungen über die Integrale der linearen Differentialgleichung Integralbasis einer homogenen Differentialgleichung Lösung der unhomogenen Differentialgleichung Über die Reduktion einer homogenen Differentialgleichung Beispiel und Aufgaben Lineare Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten. 77. Vorbemerkungen Fortführung des Lösungsverfahrens für mehrfache Eigenwerte Vollständige Lösung der homogenen Differentialgleichung Gewinnung einer reellen Integralbasis Zusätze, Beispiele und Aufgaben 155 Dritter Abschnitt: Differentialgleichungen n-ter Ordnung. V. Allgemeines über die Differentialgleichung n-ter Ordnung. 18. Existenz- und Eindeutigkeitssätze. 82. Der Zusammenhang mit den Systemen erster Ordnung 157 IX

X Inhalt. 83. Existenz- und Eindeutigkeitssätze 158 84. Über die Fortsetzbarkeit der Integralkurven 158 19. Beispiele von elementar integrierbaren und reduzierbaren Differentialgleichungen.

5 X Inhalt. 83. Existenz- und Eindeutigkeitssätze Über die Fortsetzbarkeit der Integralkurven Beispiele von elementar integrierbaren und reduzierbaren Differentialgleichungen. Das Auftreten von Bandwertaufgaben. 86. Die Differentialgleichung y" - f(x) in Verbindung mit einer Bandwertaufgabe Die Differentialgleichung y" =f(x, y') Die Differentialgleichung y" =f(y) Einige weitere Differentialgleichungen, die sich auf solche niedrigerer Ordnung zurückführen lassen 165 VI. Die lineare Differentialgleichung n-ter Ordnung. 20. Die allgemeine lineare Differentialgleichung n-ter Ordnung. 89. Definitionen. Existenzsatz Einige einfache Bemerkungen über die Lösungen der linearen Differentialgleichung Die Integralbasis einer homogenen Differentialgleichung Lösung der unhomogenen Differentialgleichung Über die Reduktion der homogenen Differentialgleichung Beseitigung des zweithöchsten Gliedes Beispiel. Aufgabe Die lineare Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten. 96. Hilfssätze über lineare Differentialausdrücke Integration der homogenen Differentialgleichung Die reellen Integrale der homogenen Differentialgleichung Die Sohwingungsgleichung. Aufgaben Ausdehnung des Lösungsverfahrens auf unhomogene Gleichungen Einige besondere Typen von unhomogenen Differentialgleichungen Die Euler-Gleichung Beispiele. Aufgaben Ergänzende Bemerkungen über Systeme linearer Differentialgleichungen 196 VII. Differentialgleichungen mit singulären Stellen. 22. Die lineare Differentialgleichung n-ter Ordnung mit einer schwach singulären Stelle Vorbemerkungen über singulare Stellen Bessel-, hypergeometrische und Legendre-Differentialgleiohungen Transformation der Differentialgleichung mit einer schwach singulären Stelle und formale Lösung Konvergenzbeweis Nachweis einer Integralbasis. Zusatz zu dem Konverganzbereich Bessel-Differentialgleichung; Fortsetzung Oszillations- und Amplitudensatz, insbesondere für Bessel-Funktionen

Inhalt. 23. Systeme linearer Differentialgleichungen mit einer schwach singulären Stelle. 112. Formale Lösung 219 113. Konvergenzbeweis 222 114.

6 Inhalt. 23. Systeme linearer Differentialgleichungen mit einer schwach singulären Stelle Formale Lösung Konvergenzbeweis Nachweis einer Integralbasis 224 Vierter Abschnitt: Rand- und Eigenwertaufgaben Einleitung 225 VIII. Randwertaufgaben. 24. Vorbemerkungen über die Lösbarkeit der Bandwertaufgabe Bezeichnungen und allgemeine Vorbemerkungen Kriterium für die Lösbarkeit einer Bandwertaufgabe Adjungierte Bandwertaufgabe. Selbstadjungierte Bandwertaufgabe Formel von DIRICHLET Adjungierter und bilinearer Differentialausdruck. Formeln von LAGRANGE und GREEN Adjungierte Bandwertaufgabe Selbstadjungierte Bandwertaufgabe Die Green-Funktion und ihre Verwendung zur Lösung unhomogener Bandwertaufgaben Grundlösung Bedeutung der Grundlösung Green-Funktion Green-Funktion der adjungierten Bandwertaufgabe 251 IX. Randwertaufgaben mit Parametern. Eigenwertaufgaben. 27. Die allgemeine Eigenwertaufgabe Voraussetzungen und Vorbemerkungen Charakteristische Determinante A (A) und Eigenwerte Besolvente Beispiele Adjungierte Eigenwertaufgabe Ein Limes der Besolvente Normale Eigenwertaufgaben Ein Hilfssatz über die Biorthogonalisierung von Funktionen Besiduum der Besolvente Normale Eigenwertaufgabe Ein zweites Kriterium für normale Eigenwertaufgaben Voll-lineare Eigenwertaufgaben Definition der voll-linearen Eigenwertaufgaben Biorthogonalität von Eigenfunktionen Maximales Biorthogonalsystem von Eigenfunktionen 271 XI

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