Von Mitio NAGUMO. (Gelesenam 20. Juli, 1937.)

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1 U ber die Differentialgleichung y"=f(x, y, y') Von Mitio NAGUMO. (Gelesenam 20. Juli, 1937.) Das Hauptziel vorliegender Arbeit ist eine hinreichende Bedingung zu geben, dass es in einem beschrankten Bereich auf der (x, y) Ebene cine Integralkurve der Differentialgleichung durch zwei gegebene Punkte existiert. Die Bedingung bezieht sich wesentlich auf die Begrenzungskurve des Bereiches. Es scheint mir auch bedeutungevoll etwas uber die Fortsetzbarkeit der Integralkurve in einem beschrankten Bereich auf der (x, y) Ebene zu untersuchen. Denn, diese gilt nicht immer, obwohl wean die Differentialgleichung eine sehr einfache Form hat. 1. Fortsetzbarkeit Die allgemeine Losung von der Integralkurven. ist entweder y= c-x+c'(x<c) oder y=c'. Die Integralkurve ist im allgemeinen nur bis x=c fortsetzbar, wahrend y dem endlichen Grenzwert y=c' nahert. Es gibt also fur jeden Punkt auf der Ebene eine Integralkurve, die sich diesem Punkt nahert aber nicht weiter fortsetzbar let. Es ist also unentbuhrlich eine Bedingung fur die Fortsetzbarkeit der Integralkurve zu geben. z 1. Es sei ein beschrankter Sat abgeschlosscner Bercich in der (x, y) Ebene. Ferner sei * der dreidimensionale Bereich von (x, y, y'), sodass (x, y) und <y'<+. Die Funktion f(x,y,y') sei stctig in * und genuge der folgenden Bedingung wo (u) eine positive stetige Funktion von u(>=0)) ist derart, (dass

2 862 Mitio NAGUMO. [Vol. 19 Dann kann jedc Integralkurve von (0) nach der beiden Seiten hin bis an den Rand von fortgesetzt werden. Bemerkung Die Bedingungen (1) and (2) sind erfullt. wenn etwa ist. Bevor wir in den Beweis des Satzes eingehen, schicken wir den folgenden Hilfssatz voraus. Hilfssatz 1, Unter denselbon Voraussetzungerl wie in Satz 1 gibt es fur eine beliebige positive Zahl a eine andere ( ) folgender Beschaffenheit: Fur ein beliebiges Integral y=y(x) von (1) mit den Anfangsbedingungen y(x0)=yo and y'(x0) <=, wo (x0,y0) ein beliebiger Punkt von ist. gilt immer die Ungleichung solange die Integralkurve in liegt. Beweis. Da beschrankt ist, so gibt es eine positive Zahl L, sodass fur beliebige zwei Punkte (x1,y1) und (x2,y2) in Nach (2) gibt es dann fur cine beliebige positive Zahl ( ) (> ) derart, class, eine andere Nun sei y = y(x) ein beliebiges Integral von (0) mit den Anfangsbedirrgungen y(x0)=y0 and y'(x0)<=, wo (x0,y0) ein Punkt von ist. Es sei x1<=x<=x2 ein Intervall, sodass die Integralkurve y=y(x) in liegt, and x1<=x0<=x2. Es gilt dann y'(x)< ( ) fur x1<=x<=x2. Done, ware dies nicht der Fall, so gibt es zwei Punkte und im Intervall x1<=x<=x2, sodass y'( )=, y'( )= ( ) and a<y'(x)< ( ) zwischen und. Man darf voraussetzen sonst braucht man ur -x anstatt x zu setzen. Da y'(x)>0 in ist, so folgt each n (0) und (1) fiir Also was widerspricht mit (3). Es muss daher y'(x)< ( ) fur x1<=x<=x2. Ganz analog konnen wir beweisen, dass y'(x)>) ( fur x1<=x<=x2,

3 1937] Uber die Differentialgleichung y=f(x, y, y') 863 wenn es nur y'(x0)>=- gilt. W.z.b.w. Beweis von Satz 1. Es sei y= y(x) eine Integralkurve von (0) durch en Punkt von. Es sei a eine positive Zah1, sodass y'(x0) <= ein. Nach Hilfssatz 1 gibt es dann eine positive Zahl ( ) (>a) derart, dass y'(x) < (a), solange die Integralkurve in liegt. Nun sei der abgeschlossenebeschrankte dreidimensionale Bereich von (x, y, y'), sodass (x, y) und y' <= (a). Nach einem Satz von Kavmke(1) ist jede Integralkurve des Systems das mit (0) gleichwertig ist, fortsetzbar bis an den Rand von. Da die Gleichung y'(x) = ( ) aber nicht erreicht wird, so ist die Integralkurve fortsetzbar bis an den Rand von. W.z.b.w. 2. Existenzsatz fur die Randwertaufgabe. Im folgenden verstche man unter den durch die Kurven x=a, x=b, (a<b), y= (x) and y= (x) begrenzten, abgeschlossenen, beschrankten Bereich aus der (x, y) Ebene, wo (x) und (z) fur a<=x<=b stetig sind und (x) < (x) fur a<x<b. am x=a differenzierbar und (a)< (a). Die Funktion f(x, y, y') genuge denselben Bedingungen wie in Satz 1. Es gibt dann eine positive Zahl folgender Beschaffenheit. Jede Integralkurve von (0) mit den Anfangsbedingtungen (a)<= y(a)< (a) und y'(a)>= trifft die Kurve y= (x) fur ein x im a<x<b, and jede Integralkurve von (0) mit den Bedingungen (a)<y(a)<= (a) and y'(a)<=trifft die Kurve y= (a) fur ein x im a<x<b. Beweis.Man setze =Max[ (L/b-a), (a)+, - (a)- ], wo (1) Crelles Journal 161 (1939), S gleichungen reeller Funktionen, S Auch von demselben Verfasser: Differential-

4 ' 86 4 Mitio NAGUMO. [Vol.19 (a) and L von denselben Bedeutungen wie in Hilfssatz 1 sind and eine (beliebige) positive Zahl bedcutet. Wir brauchen nur den ersten Teil der Buhauptuug zu beweisen. Denn, der zweite Teil wird ganz hnlich bewiesen wie der erste. Es sei y = y(x) eine Integralkurve avon (0) mit den Bedingungen (a)<=y(a)< (a) und y'(a)>=. Es gilt dann y'(x)> L/b-a, solange die Integralkurve in bleibt. Denn, sonst gabe er einen Punkt (x0,y0) in derart, class y'(x0) <=L/b-a. Nach Hilfssatz -a 1 muss esdanndieungleichung< y'(x) (L/b\b- a) bestehen, solange die Kurve in bleibt, was mit y'(a)> L(L/b-a) widerspricht. Daraus -a kann man leicht die Bebauptung beweisen. W.z.b.w. Hilfssatz 3. Es seion (x) und (x) am x=a zweimal differenzierbar, und entweder (a)> (a) oder (a)> (a). Die Funktion f(x, y, y') genuge denselben Bedingungen wie in Satz 1. Es bestehe weiter die Ungleichung Es gibt dann eine reelle Zahl, sodass jede Integralkurve mit den Anfangabedingungen y(a)= (a), <y'(a)< (a) trifft die Kurve y= &(a) im Intervall a<x<b, Ersetzt man die Ungleichung (4) durch so gibt es cine Zahl, sodass jede Integralkurve mit den Bedingungen y(a)= (a), > y'(a)> (a) trifft die Kurve y= (x) im Intervall a<x<b. Beweis. Dem Leser uberlassen. Nun gehen wir in den Hauptsatz ein. Satz 2. Es scien (x) und (x) im a<=x<=b zweimal rechts und *s tetig und genuge der Bedingung wo(u) eine positive stetige Funktion von u ist und (2) D.h., die linksseitige istieren. and rechtsseitige Ableitungen von (x) and (x) ex-

5 wo 1937] Uber die Differentialgleichung y"=f(x, y, y') 865 Dann gibt es durch zwei beliebige nicht auf ciner Vertikale liegende Punkle (x0,y0) and (x1,y1) in mindestens dine Integralkurve von (0), die for x0<x<xl im innern von lauft. Beweis. Man kann annehmen, dass x0=a, x1=b. Denu, sonst braucht man anstatt den Teilbereich x0<=x<=x1, (x)<=y<= (x) zu betrachten. Die Integralkurve y=y(x, ) mit den Anfangsbedingungen y(a) =y0 d y'(a)= ist eindeutig bestimmt und variert mit stetig. Nach un Satz 1 lasst sich diese Integralkurve fur x>a bis an den Rand von fortsetzen. Es sei Pa der Punkt, wo y=y(x, a) den Rand von trifft. Liegt Pa auf x=b, so variert Pa mit stetig. Liegt Pa auf y= (x) odor y= (x), so kann nach (5) die Integralkurve nicht diese tangieren. Der Schnittpunkt Pa variert also mit stetig. Aus (5) folgt, dass entwedcr (a)< (a) oder '(a)< (a). Nach Hilfssatz 2 oder 3 gibt es dann zwei Werte and, sodass Pa1 auf y= (x) und Pa2, auf y= (a) liegen. Da Pa mit stetig variert, und die Kurven y= (x) (a<x<=b), x=b(w(b)<=y<= (b)), und y= (x) (b>=x>a) zusammen cinen einfachen Bogen bilden, so gibt einen Wert von a= * so, dass Pa* mit dem Punkt (x=b, y=y1) zussammenfallt. Die Integralkurve y=y(r, a*) geht durch. (x0,y0) und (x1,y1), und lauft im innern von fur x0<x<x1, w.z.b.w. Bemerkung. Satz 2 liefert nur eine hinreichonde Bedingung fur die Existenz der Integrale durch zwei Punkte. Uber die Eindeutigkeit der Losung aber lehrt es nichts, wie es das folgende Beispiel zeigt. (3) Genauer soil es D (x) anstatt (x) geschrieben sein.

6 866 Mitio NAGUMO. (Vol. 19 f(y) ist nach y stetig differenzierbar. Im Bereich, 0<=x<=, (x)= -4<=y<=4= (x), sind alle Bedingungen von Satz 2 erfullt. Es muss also durch zwei beliebige nicht auf einer Vertikale liegende Punkte in mindestens elite Integralkurve geben, die in liegt. Es gibt aber unendlich viele Losungen durch (0,0) und (,0) namlich y=c sin x, wo c <=1. (Received August )