Karlsruher Institut für Technologie (KIT) SS 2013 Institut für Analysis Prof. Dr. Tobias Lamm Dr. Patrick Breuning

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1 Karlsruher Institut für Technologie KIT SS 203 Institut für Analysis Prof Dr Tobias Lamm Dr Patrick Breuning Aufgabe Höhere Mathematik II für die Fachrichtung Physik Übungsblatt Bestimmen Sie die Ableitungen der folgenden Funktionen: a f : R 3 R 2, fx, y, z = xy 2 z 3 e xy2 z 3, x 2 e y + sin x b f : R 2 R 3, fx, y = ye x + x sinh y, y 4 + 3x 2 sin y, 4y x 3 c f : R 0, R 2 R, fw, x, y, z = x y a Sei f : R 3 R 2, fx, y, z = xy 2 z 3 e xy2 z 3, x 2 e y + sin x =: f x, y, z, f 2 x, y, z Wir berechnen zunächst die partiellen Ableitungen von f: f x, y, z = y 2 z 3 e xy2 z 3 + xy 2 z 3 e xy2 z 3 y 2 z 3 = y 2 z 3 + xy 2 z 3 e xy2 z 3, 2 f x, y, z = 2xyz 3 + xy 2 z 3 e xy2 z 3, 3 f x, y, z = 3xy 2 z 2 + xy 2 z 3 e xy2 z 3, f 2 x, y, z = 2xe y + cos x, 2 f 2 x, y, z = x 2 e y, 3 f 2 x, y, z = 0 Da die partiellen Ableitungen auf R 3 stetig sind, ist f stetig partiell differenzierbar und damit auch differenzierbar Für die Ableitung von f ergibt sich f Dfx, y, z = x, y, z 2 f x, y, z 3 f x, y, z f 2 x, y, z 2 f 2 x, y, z 3 f 2 x, y, z y 2 z 3 + xy 2 z 3 e xy2 z 3 2xyz 3 + xy 2 z 3 e xy2 z 3 3xy 2 z 2 + xy 2 z 3 e xy2 z 3 = 2xe y + cos x x 2 e y 0 b f : R 2 R 3, fx, y = ye x + x sinh y, y 4 + 3x 2 sin y, 4y x 3 Auch hier sind alle partiellen Ableitungen von f stetig, so dass f differenzierbar ist mit ye x + sinh y e x + x cosh y Dfx, y = 6x sin y 4y 3 + 3x 2 cos y, x, y R 2 3x 2 4

2 c f : R 0, R 2 R, fw, x, y, z = x y Wegen x y = e y ln x gilt x fw, x, y, z = e y ln x y/x und y fw, x, y, z = e y ln x ln x Folglich ist Dfw, x, y, z = 0 yx y x y ln x 0, w, x, y, z R 0, R 2 Aufgabe 2 Die Funktion f : R 2 R sei definiert durch y 3 x 2 y fx, y := x 2 + y 2 für x, y 0, 0, 0 für x, y = 0, 0 a Zeigen Sie, dass f auf R 2 stetig ist b Berechnen Sie in jedem Punkt die partiellen Ableitungen von f c Sind die partiellen Ableitungen von f im Punkt 0, 0 stetig? d Bestimmen Sie die Richtungsableitung f v 0, 0 für jede Richtung v, für die das möglich ist Für welche v gilt f v 0, 0 = f0, 0 v? e Untersuchen Sie, in welchen Punkten f differenzierbar ist Berechnen Sie dort Df a Auf R 2 \ {0, 0} ist f als Komposition stetiger Funktionen stetig Stetigkeit von f in 0, 0: Sei x k, y k k N eine beliebige Folge in R 2 \{0, 0} mit x k, y k 0, 0 Dann gilt auch m k := max{ x k, y k } k 0, und dies liefert dann fx k, y k y3 k + x2 k y k x 2 k + y2 k m3 k + m3 k m 2 k = 2m k k 0 Das bedeutet fx k, y k 0 = f0, 0, womit die Stetigkeit von f auf ganz R 2 bewiesen ist b Für x, y 0, 0 erhalten wir mit Hilfe der Quotientenregel und fx, y = 2xyx2 + y 2 y 3 x 2 y2x x 2 + y 2 2 = 4xy3 x 2 + y fx, y = 3y2 x 2 x 2 + y 2 y 3 x 2 y2y x 2 + y 2 2 = 4x2 y 2 x 4 + y 4 x 2 + y 2 2 Im Punkt 0, 0 dagegen müssen wir auf die Definition der partiellen Ableitung zurückgehen: und ft, 0 f0, f0, 0 = 0 f0, t f0, 0 2 f0, 0 t t 2 = t 0

3 c Wegen und 4k 4 f k, k = k k 2 + k 2 = 0 = 2 f0, 0 2 f k, 0 = 0 k k k 2 = = f0, 0 sind die partiellen Ableitungen von f in 0, 0 nicht stetig d Es sei v = v, v 2 R 2 \ {0, 0} eine beliebige Richtung Dann gilt f f0, 0 + hv f0, 0 fhv, hv 2 0, 0 v h 0 h h 0 h Dies soll nun mit h 0 h hv 2 3 hv 2 hv 2 hv 2 + hv 2 2 verglichen werden Es gilt f0, 0 v = h 0 h 3 v 3 2 h3 v 2 v 2 h 3 v 2 + v2 2 0 v v 2 = v 2 h 0 v 3 2 v2 v 2 v 2 + v2 2 = v3 2 v2 v 2 v 2 + v2 2 v 3 2 v2 v 2 v 2 + v2 2 = v 2 v 3 2 v 2 v 2 = v 2 v 2 + v 2 2 2v 2 v 2 = 0 Gleichheit gilt also genau dann, wenn v = 0 oder v 2 = 0 ist e Nicht für alle Richtungen v gilt die Gleichung f v 0, 0 = f0, 0 v Folglich kann die Funktion f in 0, 0 nicht differenzierbar sein, denn sonst müsste diese Gleichung für alle Richtungen v gelten Da die partiellen Ableitungen von f auf R 2 \ {0, 0} stetig sind, ist f auf R 2 \ {0, 0} stetig partiell differenzierbar, also auch differenzierbar und für x, y 0, 0 gilt Dfx, y = fx, y T = x 2 + y 2 2 4xy 3 x 4 + 4x 2 y 2 + y 4 R,2 Aufgabe 3 Die Funktion f : R 2 R ist gegeben durch { x 2 + y 2 sin für x, y 0, 0, fx, y = x 2 +y 2 0 für x, y = 0, 0 a Zeigen Sie, dass diese Funktion im Punkt 0, 0 differenzierbar ist b Rechnen Sie nach, dass die partiellen Ableitungen f und 2 f in 0, 0 nicht stetig sind

4 a Für die partiellen Ableitungen von f im Punkt 0, 0 gilt ft, 0 f0, 0 t 2 sin t 0 f0, 0 t sin t = 0, t 0 weil sin t beschränkt ist, und aufgrund von fx, y = fy, x ist 2 f0, 0 = f0, 0 = 0 Die Funktion f : R 2 R ist genau dann differenzierbar in 0, 0, wenn es eine lineare Abbildung A: R 2 R, also A R,2, gibt mit fh, f0, 0 A h h h Wegen f0, 0 = 0 und 2 f0, 0 = 0 ist A = 0 0 unser Kandidat für die Ableitung von f in 0, 0 In der Tat ist für dieses A erfüllt, denn es gilt f0, 0 = 0 und A h = 0 sowie fh, h = + h2 2 sin h = h sin h h b Für die partielle Ableitung von f nach x ergibt sich im Fall x, y 0, 0 fx, y = 2x sin x 2 + y 2 /2 + x 2 + y 2 cos x 2 + y 2 /2 2 x2 + y 2 3/2 2x = 2x sin x 2 + y 2 /2 xx 2 + y 2 /2 cos x 2 + y 2 /2 Damit hat man für x 0 fx, 0 = 2x sin x x x cos x Ist x k := kπ, k N, gesetzt, so strebt x k 0 für k, allerdings konvergiert fx k, 0 = 2 kπ sinkπ coskπ = k für k nicht Folglich ist f in 0, 0 nicht stetig Aus Symmetriegründen fx, y = fy, x für alle x, y R 2 gilt dies auch für 2 f Bemerkung: Die Funktion f ist ein Beispiel für eine Funktion, die differenzierbar ist, jedoch nicht stetig partiell differenzierbar ist Wenn man also weiß, dass eine Funktion nicht stetig partiell differenzierbar ist, dann kann man keine Aussage über Differenzierbarkeit treffen Aufgabe 4 Wärmeleitungsgleichung und ebene Wellengleichung a Für x, t R n 0, sei ϕx, t = 4πt n 2 e Zeigen Sie, dass ϕ die Wärmeleitungsgleichung t ϕ = ϕ erfüllt

5 b Zeigen Sie, dass für f, g C 2 R, c > 0 und k R n mit c 2 = k 2 die Funktion u : R n R R, ux, t = f k, x ct+g k, x +ct eine Lösung der Wellengleichung 2 t u = u ist Anmerkung: Hierbei bezieht sich der Laplace-Operator nur auf die Raumkoordinaten, dh = n i= 2 falls x R n x 2 i a t ϕ = 4π n 2 n t n 2 e 2 = 4πt n 2 e n2t + x πt n 2 e x 2 4 t 2 i ϕ = 4πt n 2 e iiϕ 2 = 4πt n 2 e = 4πt n 2 e x i 2t x i 2t 2t + x2 i πt n 2 e 2t ϕ = 4πt n 2 e t ϕ = ϕ x 2 + n2t 2 b t u = f k, x ct c + g k, x + ct c t 2 u = f k, x ctc 2 + g k, x + ctc 2 i u = f k, x ct k i + g k, x + ct k i 2 iiu = f k, x ct k 2 i + g k, x + ct k 2 i Aufgabe 5 Polarkoordinaten in R 3 Gegeben sei die Abbildung u = f k, x ct k 2 +g k, x + ct k 2 }{{}}{{} =c 2 =c 2 t 2 u = u f : 0, 0, π 0, 2π R 3, fr, θ, φ = rsin θ cos φ, sin θ sin φ, cos θ a Bestimmen Sie die Jacobimatrix der Abbildung f b Berechnen Sie die Skalarprodukte g ij = i f, j f für i, j 3

6 a Jacobimatrix: sin θ cos φ r cos θ cos φ r sin θ sin φ sin θ sin φ r cos θ sin φ r sin θ cos φ cos θ r sin θ 0 b g = sin 2 θ cos 2 φ + sin 2 θ sin 2 φ + cos 2 θ = sin 2 θsin 2 φ + cos 2 φ + cos 2 θ = g 2 = g 2 = r sin θ cos θ cos 2 φ + r sin θ cos θ sin 2 φ r sin θ cos θ = rsin θ cos θsin 2 φ + cos 2 φ r sin θ cos θ = 0 g 3 = g 3 = r sin 2 θ sin φ cos φ + r sin 2 θ sin φ cos φ + 0 = 0 g 22 = r 2 cos 2 θ cos 2 φ + r 2 cos 2 θ sin 2 φ + r 2 sin 2 θ = r 2 cos 2 θsin 2 φ + cos 2 φ + r 2 sin 2 θ = r 2 g 23 = g 32 = r 2 sin θ cos θ sin φ cos φ + r 2 sin θ cos θ sin φ cos φ + 0 = 0 g 33 = r 2 sin 2 θ sin 2 φ + r 2 sin 2 θ cos 2 φ + 0 = r 2 sin 2 θsin 2 φ + cos 2 φ = r 2 sin 2 θ