5. Übungsblatt zur Analysis II

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1 Facbereic Matematik Prof. Dr. R. Farwig C. Komo J. Prasiswa R. Sculz SS Übungsblatt zur Analysis II Gruppenübung Aufgabe G (Differenzierbarkeit Gegeben sei die Funktion f : R R mit f(x, y := xy. Zeigen Sie: f ist stetig und partiell differenzierbar im Punkt (0, 0, aber die Funktion ist in (0, 0 nict total differenzierbar. Lösung: Die Funktion f(x, y = xy = x y ist als Produkt zweier stetiger Funktionen wieder stetig, also insbesondere im Punkt (0, 0 stetig. Die partiellen Ableitungen im Punkt (0, 0 können nur mit Hilfe der Definition berecnet werden: (0, 0 = lim y 0 f(, 0 f(0, 0 (0, 0 = lim 0 f(0, f(0, 0 0 = lim 0 = 0 0 = lim 0 = 0. Beide partiellen Ableitungen sind im Punkt (0, 0 gleic 0. Wäre f differenzierbar im Punkt (0, 0, dann würde für die Jacobi-Matrix gelten: f (0, 0 = (0, 0, und es müßte für ein ϕ(, k mit = 0 die Gleicung lim (,k (0,0 ϕ(,k (,k f(, k = f(0, 0 + f (0, 0 (, k + ϕ(, k erfüllt sein. Einsetzen ergibt xy = ϕ(, k, also ϕ(, k = k. Wält man nun die Folge ( n, n, dann gilt sicerlic lim n ( n, n = (0, 0, aber lim n ϕ( n, n ( n, n = Also kann f im Nullpunkt nict differenzierbar sein. n = + n n 0. Aufgabe G (Jacobi-Matrix Gegeben seien die Funktionen g : R 3 R und : R R mit g(x, y, z := (x + y + z, xyz bzw. (u, v := (e v, e u. Bestimmen Sie die Jacobi-Matrizen g, und ( g.

2 Lösung: g (x, y, z = ( x y yz xz xy (, 0 e v (u, v = e u 0 ( g(x, y, z = (e xyz, e x +y +z ( yze ( g xyz xze xyz xye xyz (x, y, z = xe x +y +z ye x +y +z e x +y +z = g Aufgabe G3 (Abbildungen von Matrizen (+3 Punkte Sei R n n die Menge der n n-matrizen. Sei eine Norm auf R n und die durc induzierte Operatornorm, d.., { } Ax A = sup : 0 x R n. x a Zeigen Sie b Zeigen Sie Ax A x. AB A B für alle A, B R n n. c Sei f : R n n R n n R n n, (A, B A B. Zeigen Sie, dass f in jedem Punkt (A, B differenzierbar ist und berecnen Sie f (A, B. Lösung: aaus der Definition folgt Ax x b es gilt für alle x R n A. ABx A Bx A B x. Somit gilt AB = sup{ ABx, x R n, x = } sup{ A B, x R n, x = } = A B. c Sei die euklidisce Norm auf R n. Diese ist äquivalent zu der (von irgendeiner Norm induzierten Operatornorm Op. Es gilt f(a + H, B + K = (A + H (B + K = A B + AHB + HAB + H B + A K + AHK + HAK + H K = f(a, B + (AHB + HAB + A K + H B + AHK + HAK + H K. Die Abbildung (H, K AHB + HAB + A K ist offenbar linear. Außerdem H B + AHK + HAK + H K H + K c H B + AHK + HAK + H K Op H Op + K Op c H Op B + A Op H Op K Op + H Op K Op H Op + K Op c H Op B Op + A Op H Op K Op + H Op K Op H Op c( H Op B Op + A Op K Op + H Op K Op (H,K 0 0.

3 Hausübung Aufgabe H (Differenzierbarkeit Es sei f : R R mit ( (x + y sin für (x, y 0 f(x, y := x +y 0 für (x, y = 0 (+ Punkte gegeben. Zeigen Sie a : R R und y : R R existieren, sind aber im Nullpunkt nict stetig. b f ist im Nullpunkt differenzierbar. Lösung: Sei (x, y (0, 0. Dann gilt = x sin( x + y + (x + y cos( x + y ( x x + y 3 = x sin( x + y x x + y cos( x + y. Sei y = 0. Dann at man f(0 +, 0 f(0, 0 = sin = sin 0 0. Somit ist existiert die partielle Ableitung nac x. Sei a n = ( nπ, 0. Dann gilt a n (0, 0 aber (a n = 0 cos nπ = n 0 = (0, 0. Also ist unstetig. Für die Ableitung nac y get alles genauso. Wir zeigen nun, dass die totale Ableitung 0 ist. Es gilt für = (, (0, 0 ( f( = + ( + sin Also gilt und f ist in (0, 0 differenzierbar. f(0 + = f( = f(0, 0 + df(0, 0 + f( Aufgabe H (Kompakteit und gleicmäßige Stetigkeit (4 Punkte Sei K eine kompakte Teilmenge des R d und sei (f n n N eine Folge stetiger Funktionen mit f n : K R m, die gleicmäßig gegen eine Funktion f : K R m konvergiert. Weiterin sei g : R m R l eine stetige Funktion. Zeigen Sie, dass die Funktionenfolge (g f n n N auf K gleicmäßig gegen g f konvergiert. Hinweis: Zeigen Sie zuerst, dass die Menge kompakt ist. Für n n 0 gilt f n (K L. L := {x R m : y f(k mit x y } 3

4 Lösung: Aus der gleicmäßigen Konvergenz der f n folgt die Stetigkeit von f. Das Bild f(k ist als stetiges Bild eines Kompaktums kompakt. Also ist f(k bescränkt. Für l L existiert ein y f(k mit l y, daer gilt somit ist L bescränkt. Sei x R m \ L, dann gilt l l y + y < + c, min x y = d x >, da f(k kompakt ist. y f(k Somit ist U dx (x eine Umgebung von x, d.. R m \ L ist offen und somit L abgesclossen und kompakt. Aufgrund der gleicmäßigen Stetigkeit von f gibt es einen Index N N, so dass für jedes n N f n (x f(x gilt. Für n N gilt also f n (K L. Nac diesen Vorbereitungen zeigen wir nun die gefragte gleicmäßige Konvergenz. Sei dazu ɛ > 0 vorgegeben. Auf der kompakten Menge L ist die Funktion g gleicmäßig stetig. Daer gibt es ein δ > 0 mit g(x g(y < ɛ für alle x, y L mit x y < δ. Da (f n n N gleicmäßig gegen f konvergiert, gibt es ein N N mit Insgesamt eralten wir sup f n (x f(x < δ falls n N. x K sup g(fn(x g(f(x < ɛ falls n max{n, N }. x K Damit ist die fraglice gleicmäßige Konvergenz gezeigt. Aufgabe H3 (Kettenregel Gegeben sei die Funktion f : R R mit (4 Punkte f(x, y = x + xy y 3. Die Darstellung dieser Funktion in Polarkoordinaten x(r, ϕ = r cos (ϕ und ỹ(r, ϕ = r sin (ϕ lautet f(r, ϕ = f( x(r, ϕ, ỹ(r, ϕ mit f : R R. Bestimmen Sie die partiellen Ableitungen von f mittels der Kettenregel. Lösung: Die partiellen Ableitungen von f lauten f x (x, y = x + y und f y (x, y = x 3y. Für die Polarkoordinaten gilt x r (r, ϕ = cos (ϕ und x ϕ (r, ϕ = r sin (ϕ bzw. ỹ r (r, ϕ = sin (ϕ und ỹ ϕ (r, ϕ = r cos (ϕ. 4

5 Damit ergibt sic für die Funktion f f r (r, ϕ = f x ( x(r, ϕ, ỹ(r, ϕ x r (r, ϕ + f y ( x(r, ϕ, ỹ(r, ϕ ỹ r (r, ϕ = ( r cos (ϕ + r sin (ϕ cos (ϕ + (r cos (ϕ 3r sin (ϕ sin (ϕ = r cos (ϕ + 4r sin (ϕ cos (ϕ 3r sin 3 (ϕ, f ϕ (r, ϕ = f x ( x(r, ϕ, ỹ(r, ϕ x ϕ (r, ϕ + f y ( x(r, ϕ, ỹ(r, ϕ ỹ ϕ (r, ϕ = ( r cos (ϕ + r sin (ϕ ( r sin (ϕ + (r cos (ϕ 3r sin (ϕ (r cos (ϕ = r (cos (ϕ sin (ϕ sin (ϕ + cos (ϕ 3r 3 sin (ϕ cos (ϕ. 5