Repetitorium Analysis I für Physiker

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1 Micael Scrapp Ubungsblatt 3 Lösungen Tecnisce Universität Müncen Repetitorium Analysis I für Pysiker Analysis I Aufgabe Wir definieren zunäcst die Funktion g(t) = 2 0 f(t)t 2 dt Die Menge B = g (], 5[)ist somit als stetiges Urbild einer offenen Menge ebenfalls offen. Aufgabe 2 Als Quotienten stetiger Funktionen, wobei der Nenner jew. ist, sind alle Funktionen g n stetig. Für den Grenzübergang gilt: 0 = n g n () = n + = = sgn() = n {, > 0, < 0 = 0 = g n () = 0 n N Die überall stetigen Funktionen g n konvergieren also punktweise gegen die Funktion sgn(), die unstetig ist im Punkt = 0. Aufgabe 3 a) Die Funktion d() = tan ist auf dem Intervall [0, π/2[ stetig und differenzierbar auf dem offenen Intervall ]0, π/2[ mit der Ableitung d () = + tan 2 = tan 2. Sie ist > 0 für alle ]0, π/2[. Nac dem Mittelwertsatz gilt dort d() = d() d(0) = d (ξ) für ein passendes ξ ]0, [. Das ergibt d() > 0. b) Die gefragte Funktion g() = sin differenzierbar mit der Ableitung g () = cos sin 2 ist im Intervall ]0, π/2[ nac der Quotientenregel = cos 2 ( tan ). Dieser Wert ist nac Teil a) überall negativ; folglic ist g (nac dem Monotoniekriterium für differenzierbare Funktionen) strikt monoton fallend. Aufgabe 4

2 a.) (i) Merfaces anwenden der Regel von L Hopital liefert: (ii) tan 0 3 = 0 2 tan 2 tan 3 6 = 0 tan = 0 2 tan ( + tan 2 ) 6 = 0 2( + tan 2 ) 2(3 tan 2 ( + tan 2 )) 6 = /3 (iii) (iv) b.) (cos ) = e ln(cos ) = e ln(cos ) ln(cos ) = cos ( sin )( 2 ) 2 = tan = 0 (cos ) = e 0 = (sin ) tan = e tan ln(sin ) = e tan ln(sin ) π/2 π/2 π/2 π 4 tan arcsin(tan ) π 2 ln sin π/2 tan = π/2 = cos sin π/2 sin 2 ( sin cos ) = 0 (sin π/2 )tan = e 0 = = π 4 = π 4 cos 2 tan 2 cos 2 tan 2 = 0 Zunäcst berecnen wir die Ableitungen von y = tan und damit die Taylorreie. y = tan y(0) = 0 y = + tan 2 y (0) = y = 2 tan ( + tan 2 ) y (0) = 0 y = 2( + 3 tan 2 )( + tan 2 ) y (0) = 2 Für den gesucten Grenzwert eralten wir scließlic: = y = + /3 3 + o( 5 ) tan = ( + /33 + o( 5 )) = /

3 Aufgabe 5 Zur Untersucung der Stetigkeit nemen wir eine Falluntersceidung vor. < 0: dann wird f() =. Aus Aufgabe sss wissen wir jedoc, dass diese Funktion stetig ist. Analoges gilt für > 0. Am Nullpunkt gilt: = 0 = 0 <0 0 >0 Womit auc die Stetigkeit im Ursprung gezeigt ist. Nun zur Differenzierbarkeit von f(). im Falle = 0 folgt jedoc: < 0 : dann gilt: f () = 2 > 0 : dann gilt: f () = 2 0 <0 2 = + 0 >0 2 = Abbildung : Grap zu f Aufgabe 6 a). Die Funktion y y erfüllt die Relation y + = y + für alle y R. Desalb wird zack( + ) = + 3/2 = + /2 + = zack() für alle R. Auf dem Intervall [ /2, /2 [ gilt zack() = =, und im Punkt = /2 ist zack(/2) = /2 = zack( /2) = /2. Mitin ist zack() = für alle I = [ /2, /2] und zack( + ) = zack() sonst. Insbesondere ist die Restrikton von zack() gleic auf /2 0, also linear und zack() = auf 0 /2 ebenfalls linear. b.) Offenbar ist zack auf I stetig mit einem einzigen Minimum bei = 0 und mit je einem Maimum in = /2 und in = /2. Wegen der Periodizität ist zack( + m) = zack() für alle m Z und alle I. Daraus folgt auc die Stetigkeit von zack auf R. Die Menge der Minima von zack ist Z, ire Maima liegen genau in den Punkten von /2 + Z. Zwiscen je zwei benacbarten Etremstellen von f verläuft die Funktion linear.

4 Aufgabe 7 a) Wir zeigen zunäcst 0 ep() ep() = =. 0 Zum Beweis folgern wir aus der carakteristiscen Ungleicung ep() + und der Funktionalgleicung von ep für alle ] 0, [ die Abscätzung ( + /2) 2 ( ep(/2) ) 2 = ep() = ep( ). Daraus erält man für alle ] 0, [ + /4 ep() ( ) =. Beide Seiten in den letzten Abscätzungen konvergieren für 0 gegen. Das ergibt den Grenzwert 0 ep() = und die erste Gleicung in der Beauptung. Nun ist für alle t ] 0, [ ep( t) t = ep(t) ep(t) t ; t daraus ergibt sic nac dem bereits Bewiesenen auc die zweite Beauptung. Sei jetzt a R beliebig. Dann wird für alle R \ {0}: ep(a + ) ep(a) Hieraus folgt jetzt ep (a) = ep(a). = ep(a) ep(). b) Nac der Kettenregel wird die allgemeine Potenz α = ep ( α ln ) in R + differenzierbar mit der Ableitung d d α = α ep( α ln ) = α ep ( (α ) ln ) = α α. Darin wurde die Formel ln () = / verwendet. Aufgabe 8 a) Es ergibt sic mit der Summen-, der Ketten- und der Quotienten-Regel sin () = 2( e + e ) = cos, cos () = 2( e e ) = sin, tan () = sin () cos() sin() cos () cos 2 () = cos2 () sin 2 () cos 2 () = tan 2 (). b) Aus der bekannten Limesbezieung e = 0 folgt für die differenzierbare und daer auc stetige Funktion sin, dass sup sin(r) = gilt. Mit sin( ) = sin() ergibt sic daraus auc inf sin(r) =. Weiter garantiert die strikte Positivität der Ableitung

5 sin () = cos, dass sin eine samt Umkerfunktion stetig differenzierbare bijektive Abbildung von R auf sic definiert. Nac dem Satz über die Ableitung der Umkerfunktion besitzt die üblicerweise Ar sin bezeicnete Umkerfunktion von sin aufgrund der Relation cos 2 sin 2 = die Ableitung Ar sin (y) = sin (Ar siny) = + sin 2 (Ar sin y) = + y 2. Die Funktion tan und ir Wertevorrat tan(r) = ], [ wurden bereits in H30 bestimmt. Die strenge Positivität der Ableitung tan y = tan 2 (y) bestätigt noc einmal das strengmonotone Wacstum von tan und die Differenzierbarkeit der Umkerfunktion Ar tan. Nac der Formel von oben gilt Ar tan (y) = tan (Ar tan y) = tan 2 (Ar tan y) = y. 2 Aufgabe 9 Wir berecnen die 2008.te Ableitung mitilfe der Leibniz-Formel. Es gilt: ( ) ( ) 2008 (2008) f (2008) = 2 (e c)(2008) + ( 2 ) (e c ) (2007) + ( 2 ) (e c ) (2006) 2 Die restlicen Summanden verscwinden, da ere Ableitungen von 2 gleic sind. Zusammen mit 2 (e c ) (n) = 2 c n e c folgt somit: f (2008) = c e c c 2007 e c c 2006 e c Aufgabe 0 a) Die Funktion f() = ep ( ln ) ist auf dem Intervall J = ]0, [ differenzierbar mit der (aus Ketten- und Produktregel gewonnenen) Ableitung f () = ( ) [ ep ln ln + ] 2 2 = / ln 2. Sie ist offensictlic größer als Null, falls 0 < < e gilt, gleic Null bei = e und kleiner als Null, falls e < < gilt. Daer ist aufgrund des Monotoniekriteriums f strikt monoton wacsend im Intervall 0 < e und strikt monoton fallend im Intervall e <. Insbesondere liegt bei = e ein isoliertes lokales Maimum von f. ln b) Das Argument der Eponentialfunktion in der Definition von f genügt am recten Intervallende von J der Voraussetzung der zweiten l Hôpitalscen Regel. Sie ergibt ln / = = 0 ; und daraus folgt / = e 0 =. ln Am linken Intervallende von J gilt wegen ln = erst rect 0 0 ergibt wegen y e y = 0 den Grenzwert / = 0. 0 =. Das

6 c) Aus der Tatsace n /n = f(n) und mit dem unter Teil a) festgestellten Monotonieveralten von f ist das Maimum von ( n /n) unter den beiden Zalen 2 /2 und 3 /3 zu sucen. Ire Differenz at dasselbe Vorzeicen wie die Differenz der secsten Potenzen. Für sie aber gilt ( 2 /2 ) 6 = 8 < ( 3 /3 ) 6 = 9. Mitin ist f(3) = 3 /3 das Maimum der genannten Folge. Aufgabe Wir zeigen zunäcst die gleicmäßige Stetigkeit der Wurzelfunktion. Für, > 0 gilt die Abscätzung : + (versciebe auf die recte Seite und quadriere alles) Für beliebiges, y > 0 und = y wobei o.b.d.a. gelte y > folgt: y < δ = y y < δ = ε was die gleicmäßige Stetigkeit der Wurzel-Funktion beweist. Die Funktion g() = 2 ist als Produkt der stetigen Funktionen y = bekanntlic stetig auf ganz R. Um zu zeigen, dass sie nict gleicmäßig stetig ist, wälen wir ein festes ε = und beweisen, dass ierzu kein δ > 0 eistiert. Sei nun δ > 0 beliebig und wäle = sowie y = + δ/2, dann gilt: δ δ y = δ/2 < δ aber f() f(y) = δ 2 /4 + > = ε Aufgabe 2 a.) Betracte die Funktion f() = ( ) Ln() für > 0 f() = f() = + 0 ([ Ln ]) = + Nun berecnen wir die Etrema von f. Aus f () = = o folgt: = ist ein möglicer Kandidat. Aufgrund der Grenzwertbetractung muss es sic um ein globales Minimum andeln und f() = Ln f() = 0 = Ln bzw. Ln( + ) Für die zweite Abscätzung verwenden wir die Funktion g() = Ln ( ). Es gilt: zusammen folgt also: = g() = Ln ( ) = Ln( ) + Ln bzw. + + = ( ) Ln( ) Ln( + ) = f( ) 0 Ln( + )

7 b.) Die Funktion Ln( + ) at bekanntlic die Ableitung +. Für diese Ableitung können wir jedoc ser einfac mitilfe der geometriscen Reie die Potenzreiendarstellung angeben. + = ( ) = ( ) n n Durc Integration dieser Potenzreie eralten wir: Ln( + ) = n=0 ( ) n n+ n=0 n + = n= n+ n ( ) n Mit der Abscätzung aus Teilaufgabe a.) Ln( + ) folgt nun für die Funktion (): () = Ln( + ) 2 /2 2 für > 0.