Vorlesung für Schüler

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1 Universität Siegen Facbereic Matematik Vorlesung für Scüler Emmy-Noeter-Campus Prof. Dr. H. J. Reinardt Computerlösungen dynamiscer Probleme Zusammenfassung Es werden zunäcst einface dynamisce Probleme vorgestellt und deren Lösungsveralten diskutiert. Als einfaces Beispiel wird zunäcst ein Modell einer Bevölkerungsentwicklung vorgestellt, deren Lösung mit Hilfe der Exponentialfunktion explizit angegeben werden kann. Bei allgemeineren Populationsmodellen sind deren Lösung nict mer gesclossen angebbar, und man ist auf numerisce Lösungen angewiesen. Ausgeend von der Definition einer Ableitung als Grenzwert von Differenzenquotienten werden Näerungsverfaren für die obigen Probleme ergeleitet. In Abängigkeit von der Wal der Diskretisierungsparameter können Computerlösungen die gesucte Lösung gut approximieren - d.. man at Konvergenz - oder das Verfaren liefert völlig unsinnige Ergebnisse Divergenz). Der Begriff der Konvergenz ängt eng mit dem der Konsistenz zusammen. Es wird an versciedenen Beispielen vorgefürt, wann die genannten Eigenscaften erfüllt sind und wann nict. Inaltsverzeicnis 1 Ableitung / Differentialquotient 2 2 Dynamisce Probleme 3 3 Numerisce Verfaren 5 4 Konsistenz / lokaler Diskretisierungsfeler 6 5 Konvergenz 8 1

2 1 Ableitung / Differentialquotient Vorbereitend bescäftigen wir uns mit dem Begriff des Differentialquotienten oder der Ableitung einer Funktion. Diese bescreibt die Steigung einer Kurve an einer Stelle x, fx) fx ) x x x x f x ) Ableitungen lassen sic zum einen grapisc ermitteln: Animationen zur Ermittlung von Tangentensteigungen Animationen zur Ermittlung von Ableitungskurven Für viele Funktionen kann man deren Ableitungen nac bestimmten Regeln auc explizit angeben. Beispiele: fx) = x 3, f x) = 3x 2 fx) = sin x, f x) = cos x fx) = e x 2, f x) = 1 2 e x 2 fx) = e x, f x) = e x Hierbei ist die Eulersce Zal gegeben durc e = lim n 2, n n) Die Eulersce Zal erält man auc durc die Reie e = k! Entsprecend kann man die Exponentialfunktion auf zwei versciedene Weisen erklären: Exponentialfunktion: e x = lim = n k= 1 + x n ) n x k k! = 1 + x + x2 2 + x Wir beweisen, dass e x ) = e x ist, wobei die Definition von e x als Reie benutzt wird. 2

3 Beweis von e x ) = e x : Setze = x x, und benutze e x e y = e x+y mit x = x, y =, dann folgt Hierin ist e x + e x = e x e 1. also konvergiert 1 e 1) = 1 ) ! + 3 3! = 1 + 2! + 2 3! ), e x + e x e x ). Die Ableitung einer allgemeinen Exponentialfunktion ab x ergibt sic aus den folgenden Beispielen. Beispiele: fx) = ae cx, f x) = a c e cx fx) = ab x, f x) = a ln b b x weil b x x ln = e b) 2 Dynamisce Probleme Als dynamisce Probleme bezeicnen wir Anfangswertprobleme für gewönlice Differentialgleicungen bzw. Systeme von Differentialgleicungen. Hierbei erfüllt die Lösung ut) eine Anfangsbedingung zur Zeit t = t und für t > t eine Gleicung, in der deren erste und gegebenenfalls öere Ableitungen vorkommen. Die Differentialgleicungen eißen gewönlic, da nur Ableitungen nac t und keine Ableitungen nac anderen Variablen vorkommen. Die gesucte Funktion und deren Ableitungen können linear oder nictlinear auftreten; letzteres liegt z.b. bei multiplikativen Termen ut) 2 oder ut)u t) vor. Kompliziertere Modelle dynamiscer Probleme one Angabe der Modellgleicungen) sind z.b.: Animation zum Räuber-Beute-Modell Animation zum Satellitenproblem 3

4 Das einfacste Beispiel für ein Anfangswertproblem ist das des exponentiellen Wacstums. u t) = cut), < t < T Anfangsbedingung: u) = a Lösung: ut) = ae ct siee Animation dazu) Beweis: u t) = ace ct = cut), u) = a Ein allgemeines lineares ) dynamisces System zur Bestimmung einer Vektorfunktion ut) = u 1 t),..., u n t) lässt sic wie folgt screiben: Gesuct: Vektorfunktion ut) als Lösung von u 1t) = a 11 u 1 t) + a 12 u 2 t) + +a 1n u n t) u 2t) = a 21 u 1 t) + +a 2n u n t). u nt) = a n1 u 1 t) + +a nn u n t), t > t u k t ) = α k, k = 1,, n. Mit der Matrix a 11 a 1n A =.. a n1 a nn lässt sic das lineare dynamisce System auc screiben als u t) = Aut), t > t, ut ) = α, mit dem Vektor α = α 1,..., α n ). Scwieriger wird das Problem, wenn die Koeffizienten der Matrix noc von t abängen, u t) = At)ut), t > t, ut ) = α, oder wenn sie sogar von der Lösung selbst abängen. Im letzten Fall kann ein nictlineares Problem vorliegen, das wir allgemein screiben als u t) = F ut)), t > t, ut ) = α. Beispiele für nictlineare dynamisce Probleme sind: 4

5 Erweitertes Populationsmodell Verulst, 1837) u t) = aut) but) 2, t >, u) = u ; siee Animation dazu) Räuber-Beute-Modell: u 1 = Beutetiere, u 2 = Raubtiere u 1t) = a u 1 t) u 1 t)u 2 t) ), u 2t) = u 1 t)u 2 t) u 2 t), t > t u 1 t ) = α 1, u 2 t ) = α 2 ; siee Animation dazu) Hierbei bescreiben die negativen Terme eine Sterberate, die beim erweiterten Populationsmodell nac Verulst proportional zu ut) 2 ist. 3 Numerisce Verfaren Kennt man die Lösung von Anfangswertproblemen nict explizit, so ist man auf Näerungsverfaren angewiesen. Anand des Modellbeispiels des exponentiellen Wacstums wollen wir zwei einface Näerungsverfaren erleiten. Beispiel: u t) = cut), < t T u) = a siee Animation dazu) 1. Verfaren u t + ) u t) u t ) = a = cu t), t = = {}}{ t, t 1, t 2,... t k = t + k = Scrittweite u t k+1 ) = u t k ) + cu t k ) = 1 + c)u t k ), u t ) = a. Dieses Verfaren eißt Polygonzugverfaren, weil man ausgeend von u t k ) zur Ermittlung des Wertes u t k+1 ) entlang der Geraden y u t k ) t t k = cu t k ) y = cu t k )t t k ) + u t k ), t t k 5

6 bis zum Wert t = t k+1 marsciert siee Animationen dazu). Berücksictigt man noc = t k+1 /k + 1) und die obige Definition der Exponentialfunktion, dann erält man u t k+1 ) = 1 + c) k+1 a ae ct k ), falls noc t k t k ). Zur Herleitung eines zweiten Näerungsferfarens benutzt man, dass ut + 2 ) ut) + 2 u t) = ut) + 2 cut) für die Lösung u des gegebenen Anfangswertproblems. 2. Verfaren verbessertes Polygonzugverfaren ) u t + ) u t) = c u t) + ) 2 cu t) = c ) c u t) für t = t k, k =, 1,... ) u t k+1 ) = 1 + c + c)2 u t k ), u t ) = a. 2 Siee Animation dazu) 4 Konsistenz / lokaler Diskretisierungsfeler Wir screiben unser i.a. nictlineares Anfangswertproblem in folgender Form, u t) = F ut) ), t > t ut ) = u Beispiel: F z) = cz Entsprecend screiben wir unsere Näerungsverfaren als u t + ) u t) = F u t) ), t = t k 6

7 Beispiele: F z) = cz = F z), Polygonzugverf. PZV) F z) = c ) c z, verb. PZV = F ) ) c z. Als Abscneidefeler oder lokale Diskretisierungsfeler bezeicnet man ut + ) ut) ) T t) = F ut), t = tk, k =, 1,... mit der Lösung u des Anfangswertproblems. Wegen ut + ) ut) ) T t) = u t) + u t) F } {{}}{{} ut) ) F ut) erält man die Äquivalenz T t) F ut) ) F ut) ) ). Das Polygonzugverfaren PZV) und das verbesserte Polygonzugverfaren vpzv) erfüllen beide offenbar die letzte Bedingung. Beispiele: PZV: F = F vpzv: F z) = F ) ) c z F z) ) Mit elementaren Überlegungen kann man noc zeigen, dass der Abscneidefeler mit einer gewissen Potenz der Scnittweite gegen Null strebt, wenn get. Bemerkungen: 1) vpzv besser als PZV, weil PZV: T t) K 1 ) vpzv: T t) K 2 ) mit gewissen Konstanten K und K 2) Es gibt weitere) Verfaren mit T t) 5 K usw., z.b. das Runge-Kutta-Verfaren RKV). Je öer die -Potenz bei der Abscätzung des Abscneidefelers, desto besser ist das Verfaren. Man nennt diese Potenz die Konsistenzordnung siee Animation dazu). 7

8 5 Konvergenz Die Konvergenz des Abscneidefelers gegen Null bei ) beantwortet noc nict die eigentlic wesentlice Frage, nämlic die nac der Konvergenz u t) ut) ). Dazu muss man den Feler e t) := u t) ut) untersucen und geeignet abscätzen. Letzteres wird durc die Analyse der Felergleicung ermöglict, e t k+1 ) e t k ) = u t k+1 ) u t k ) } {{ } F u ) ut k+1) ut k ) }{{} T +F u). Falls F z) F z) L z z Lipscitz-Bedingung), dann erält man die folgenden Abscätzungen: e t k+1 ) e t k ) L u u)t k ) {}}{ F u t k ) ) F utk ) ) + T t k ) = e t k+1 ) e t k ) + L e t k ) + T t k ) }{{} 1+L) e t k ) 1 + L) 2 e t k 1 ) + T t k ) L) T t k 1 ) Da 1 + L) i e il e Lt k, i = 1,..., k, erält man nac k + 1 Scritten e t k+1 ) e e Lt k+1 t ) + tk+1 max T t i ) ). 1 i k Bei den obigen Verfaren aben wir die Anfangsapproximation so gewält, dass e t ) = ist. Also at man unter der Lipscitzbedingung die Äquivalenz wobei noc Konvergenz Konsistenz Konv.gescwindigkeit Kons.ordg. ). 8

9 Abscließend betracte noc einige Grapiken: Numerisce Beandlung des Räuber-Beute-Modells mit dem Polygonzugverfaren Numerisce Beandlung des Räuber-Beute-Modells mit dem verbesserten Polygonzugverfaren Numerisce Beandlung des Satellitenproblems mit versciedenen Verfaren und versciedenen Scrittweiten : Polygonzugverfaren, = Polygonzugverfaren, = verbessertes Polygonzugverfaren, = verbessertes Polygonzugverfaren, = Runge-Kutta-Verfaren, = Runge-Kutta-Verfaren, =