Explizite, eingebettete und implizite RK-Verfahren

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Frieda Lichtenberg
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1 Kutta-Teorie: Explizite, eingebettete und implizite RK-Verfaren Lukas Klic Kutta-Teorie: : Explizite, eingebettete und implizite RK- Verfaren Lukas Klic Seite:

2 Gliederung -Verfaren - Explizite Verfaren - Eingebettete Verfaren - Implizite Verfaren Zusammenfassung Kutta-Teorie: : Explizite, eingebettete und implizite RK- Verfaren Lukas Klic Seite: 2

3 Explizite Verfaren () Definition.: Ein RK-Verfaren c A streng untere Dreiecksmatrix ist. b T eißt explizit, wenn A eine Ein Zeitscritt k : = f y I y = y b k s + j= j i, k: i = f y+ ak ij j, i= 2,...,s j= ist dann mit s Auswertungen von f ausfürbar. j in der Form Kutta-Teorie: : Explizite, eingebettete und implizite RK- Verfaren Lukas Klic Seite: 3

4 Explizite Verfaren (2) Bemerkung.2: Es genügt, wenn die Matrix A durc Permutation auf strenge Dreiecksform gebract werden kann. Bemerkung.3: a) Es existieren explizite RK-Verfaren beliebig oer Ordnung. b) Ein explizites s-stufiges Verfaren at öcstens die Ordnung s. Kutta-Teorie: : Explizite, eingebettete und implizite RK- Verfaren Lukas Klic Seite: 4

5 Explizite Verfaren (3) Euler- oder Polygonzug-Verfaren s = p = = + I y y f y Runge 2.ter Ordnung s = 2 p = 2 I y y f y f y 2 = + + Kutta-Teorie: : Explizite, eingebettete und implizite RK- Verfaren Lukas Klic Seite: 5

6 Heun 2.ter Ordnung Explizite Verfaren (4) s = 2 p = 2 I y y f y f y f y = Kutta 3.ter Ordnung s = 3 p = Kutta-Teorie: : Explizite, eingebettete und implizite RK- Verfaren Lukas Klic Seite: 6

7 Explizite Verfaren (5) klassisces RK-Verfaren 4.ter Ordnung s = 4 p = Dieses Verfaren bietet einen akzeptablen Kompromiss zwiscen Aufwand (Stufenzal s) und Genauigkeit (Ordnung p). Kutta-Teorie: : Explizite, eingebettete und implizite RK- Verfaren Lukas Klic Seite: 7

8 Problem: Eingebettete Verfaren () Lukas Klic Mittels zweier untersciedlicer Verfaren soll eine Abscätzung des lokalen Verfarensfelers berecnet werden, um diese für die Scrittweitensteuerung zu verwenden. Idee: Benutze explizite Verfaren I bzw. der Ordnung bzw. ˆp = p +, Î p die gemeinsame Zwiscenstufen aben. Somit ist der nötige Aufwand zur simultanen Ausfürung beider Verfaren geringer als der Aufwand, der zur Ausfürung jedes einzelnen Verfarens vonnöten ist. Folgerung und Definition 2.: Die Butcer-Matrix von ist eine Teilmatrix ( Einbettung ) der Butcer-Matrix von. Î I Kutta-Teorie: : Explizite, eingebettete und implizite RK- Verfaren Lukas Klic Seite: 8

9 Eingebettete Verfaren (2) Lukas Klic Anname: ˆ ( p+ 2) p+ ( p+ 2 =Ο = +Ο ) F y I y F y I y e y Damit liefert E,y = ˆI y I y eine Felerscätzung für das Verfaren niederer Ordnung: ˆ F y I y F y I y E,y Kutta-Teorie: : Explizite, eingebettete und implizite RK- Verfaren Lukas Klic Seite: 9

10 Betracte Eingebettete Verfaren (3) p + ε E,y ˆ F y I y F y I y ε Zwei möglice Approximationen von F y steen zur Wal: a) Benutze I y als Approximation. Damit ist die Scrittweite optimal groß, das genauere Î ( y) wird nur zur Scrittweitensteuerung benutzt. b) Benutze Î y als Approximation. Hier sind die Scrittweiten tendenziell zu klein, denn es gilt F y ˆI y ε. Kutta-Teorie: : Explizite, eingebettete und implizite RK- Verfaren Lukas Klic Seite:

11 Eingebettete Verfaren (4) Beispiel für das Felberg4(5)-Verfaren: Somit ist Lukas Klic Kutta-Teorie: : Explizite, eingebettete und implizite RK- Verfaren Lukas Klic Seite: T T T T k = f y 2 k2= f y+ k 9 65 k6= f y+ k+ 432 E,y k 3 k 6 k k 6 k = eine Abscätzung des fürenden Felerterms des Verfarens 4.ter Ordnung I. y = y+ k k3+ k4+ k b ˆb ˆb b

12 Eingebettete Verfaren (5) FSAL-Prinzip (First Same As Last): Lukas Klic Stimmt der Vektor b des niederen (s-stufigen) Verfarens,...,b I s mit der letzten Stufenzeile a s, +,...,as,s + des öeren (s+-stufigen) Verfarens überein, so gilt folgendes: Î y = s + I( y) Beobactung: Wenn y = I ( y) als Approximation von F ( y) angenommen wird, so ist die erste Stufe k = f( y ) des näcsten Scrittes bereits durc die letzte Stufe k = f y des vorerigen Scrittes gegeben. Folgerung: s + s + Die Felerabscätzung wird automatisc geliefert. Kutta-Teorie: : Explizite, eingebettete und implizite RK- Verfaren Lukas Klic Seite: 2

13 Eingebettete Verfaren (6) Beispiel für das Felberg3(4)-Verfaren mit FSAL: Lukas Klic b ˆb ˆb T T T b T Somit ist y y k 27 k 49 k I y = = Also ist k5= f y5 = f I y die erste Stufe des näcsten Zeitscritts (beim Scrittwecsel ist sie f ( y 5 ) ). Kutta-Teorie: : Explizite, eingebettete und implizite RK- Verfaren Lukas Klic Seite: 3

14 Implizite Verfaren () Lukas Klic Problem: Ν Bei nict expliziten Verfaren auf muss in jedem Zeitscritt I y ein nictlineares Gleicungssystem für die Zwiscenstufen numerisc gelöst werden. Lösung: i ij j j = Hierzu kann man ein Newton-Verfaren anwenden, was jedoc oen Aufwand verursact, da zur Ausfürung eines Newton- Scrittes die Ableitung benötigt wird. Alternativ bedient man sic der Fixpunkt-Iteration. s y = y+ a f y, i=,...,s Kutta-Teorie: : Explizite, eingebettete und implizite RK- Verfaren Lukas Klic Seite: 4

15 Newton-Verfaren: Implizite Verfaren (2) ( ) y : = y f y f y (k+ ) (k) ' (k) (k) Die Startwerte sind vorgegeben oder werden mittels beliebiger expliziter Verfaren konstruiert. Fixpunkt-Iteration: s (k+ ) (k) i = + ij j j = y y a f y i=,...,s k=,,2,... Der Startwert ist y =... = y = y () () s Kutta-Teorie: : Explizite, eingebettete und implizite RK- Verfaren Lukas Klic Seite: 5

16 Implizite Verfaren (3) Beispiel für das Trapezverfaren der Ordnung 2: y = y y = y+ f y + f y I y = y 2 Y= I y = y+ f y + f Y () Um die Ordnung zu eralten reict eine Fixpunktiteration mit Y = y: () Y = y+ f y I y y f y f Y = + + () () () () Y = y+ f y + f Y = y+ f y Das resultierende approximative Trapezverfaren ist identisc mit Heun 2.ter Ordnung. (Prädiktor) (Korrektor) Heun 2.ter Ordnung Kutta-Teorie: : Explizite, eingebettete und implizite RK- Verfaren Lukas Klic Seite: 6

17 Implizite Verfaren (4) Satz 3.: (Gauß-Legendre-Verfaren) Zu s-stufen existieren Verfaren der Ordnung 2s. s * d s Seien c,...,csdie s Nullstellen des Legrende-Polynoms P () s s c = c c. s dc Sei das Butcer-Scema durc Quad und Simp eindeutig festgelegt Quad : bc = k=,...,s k s (s) k j j j = c Simp : a c = i,k=,...,s s k (s) k i ij j j = k Damit at das s-stufige Gauß-Legendre-Verfaren die Ordnung 2s. Kutta-Teorie: : Explizite, eingebettete und implizite RK- Verfaren Lukas Klic Seite: 7

18 Implizite Verfaren (5) Beispiele für Gauß-Legendre-Verfaren: Das -stufige Verfaren der Ordnung 2: Der Zeitscritt y Y= I y mit y y f y 2 = +, = + y = ( y+ Y) Y y f y 2 ist als Lösung der Gleicung Y= y+ f y+ Y 2 definiert. Kutta-Teorie: : Explizite, eingebettete und implizite RK- Verfaren Lukas Klic Seite: 8

19 Implizite Verfaren (6) Das 2-stufige Verfaren der Ordnung 4: Das 3-stufige Verfaren der Ordnung 6: Kutta-Teorie: : Explizite, eingebettete und implizite RK- Verfaren Lukas Klic Seite: 9

20 Zusammenfassung Explizite RK-Verfaren Eingebettete RK-Verfaren Implizite RK-Verfaren Kutta-Teorie: : Explizite, eingebettete und implizite RK- Verfaren Lukas Klic Seite: 2

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