Explizite, eingebettete und implizite RK-Verfahren

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "Explizite, eingebettete und implizite RK-Verfahren"

Transkript

1 Kutta-Teorie: Explizite, eingebettete und implizite RK-Verfaren Lukas Klic Kutta-Teorie: : Explizite, eingebettete und implizite RK- Verfaren Lukas Klic Seite:

2 Gliederung -Verfaren - Explizite Verfaren - Eingebettete Verfaren - Implizite Verfaren Zusammenfassung Kutta-Teorie: : Explizite, eingebettete und implizite RK- Verfaren Lukas Klic Seite: 2

3 Explizite Verfaren () Definition.: Ein RK-Verfaren c A streng untere Dreiecksmatrix ist. b T eißt explizit, wenn A eine Ein Zeitscritt k : = f y I y = y b k s + j= j i, k: i = f y+ ak ij j, i= 2,...,s j= ist dann mit s Auswertungen von f ausfürbar. j in der Form Kutta-Teorie: : Explizite, eingebettete und implizite RK- Verfaren Lukas Klic Seite: 3

4 Explizite Verfaren (2) Bemerkung.2: Es genügt, wenn die Matrix A durc Permutation auf strenge Dreiecksform gebract werden kann. Bemerkung.3: a) Es existieren explizite RK-Verfaren beliebig oer Ordnung. b) Ein explizites s-stufiges Verfaren at öcstens die Ordnung s. Kutta-Teorie: : Explizite, eingebettete und implizite RK- Verfaren Lukas Klic Seite: 4

5 Explizite Verfaren (3) Euler- oder Polygonzug-Verfaren s = p = = + I y y f y Runge 2.ter Ordnung s = 2 p = 2 I y y f y f y 2 = + + Kutta-Teorie: : Explizite, eingebettete und implizite RK- Verfaren Lukas Klic Seite: 5

6 Heun 2.ter Ordnung Explizite Verfaren (4) s = 2 p = 2 I y y f y f y f y = Kutta 3.ter Ordnung s = 3 p = Kutta-Teorie: : Explizite, eingebettete und implizite RK- Verfaren Lukas Klic Seite: 6

7 Explizite Verfaren (5) klassisces RK-Verfaren 4.ter Ordnung s = 4 p = Dieses Verfaren bietet einen akzeptablen Kompromiss zwiscen Aufwand (Stufenzal s) und Genauigkeit (Ordnung p). Kutta-Teorie: : Explizite, eingebettete und implizite RK- Verfaren Lukas Klic Seite: 7

8 Problem: Eingebettete Verfaren () Lukas Klic Mittels zweier untersciedlicer Verfaren soll eine Abscätzung des lokalen Verfarensfelers berecnet werden, um diese für die Scrittweitensteuerung zu verwenden. Idee: Benutze explizite Verfaren I bzw. der Ordnung bzw. ˆp = p +, Î p die gemeinsame Zwiscenstufen aben. Somit ist der nötige Aufwand zur simultanen Ausfürung beider Verfaren geringer als der Aufwand, der zur Ausfürung jedes einzelnen Verfarens vonnöten ist. Folgerung und Definition 2.: Die Butcer-Matrix von ist eine Teilmatrix ( Einbettung ) der Butcer-Matrix von. Î I Kutta-Teorie: : Explizite, eingebettete und implizite RK- Verfaren Lukas Klic Seite: 8

9 Eingebettete Verfaren (2) Lukas Klic Anname: ˆ ( p+ 2) p+ ( p+ 2 =Ο = +Ο ) F y I y F y I y e y Damit liefert E,y = ˆI y I y eine Felerscätzung für das Verfaren niederer Ordnung: ˆ F y I y F y I y E,y Kutta-Teorie: : Explizite, eingebettete und implizite RK- Verfaren Lukas Klic Seite: 9

10 Betracte Eingebettete Verfaren (3) p + ε E,y ˆ F y I y F y I y ε Zwei möglice Approximationen von F y steen zur Wal: a) Benutze I y als Approximation. Damit ist die Scrittweite optimal groß, das genauere Î ( y) wird nur zur Scrittweitensteuerung benutzt. b) Benutze Î y als Approximation. Hier sind die Scrittweiten tendenziell zu klein, denn es gilt F y ˆI y ε. Kutta-Teorie: : Explizite, eingebettete und implizite RK- Verfaren Lukas Klic Seite:

11 Eingebettete Verfaren (4) Beispiel für das Felberg4(5)-Verfaren: Somit ist Lukas Klic Kutta-Teorie: : Explizite, eingebettete und implizite RK- Verfaren Lukas Klic Seite: T T T T k = f y 2 k2= f y+ k 9 65 k6= f y+ k+ 432 E,y k 3 k 6 k k 6 k = eine Abscätzung des fürenden Felerterms des Verfarens 4.ter Ordnung I. y = y+ k k3+ k4+ k b ˆb ˆb b

12 Eingebettete Verfaren (5) FSAL-Prinzip (First Same As Last): Lukas Klic Stimmt der Vektor b des niederen (s-stufigen) Verfarens,...,b I s mit der letzten Stufenzeile a s, +,...,as,s + des öeren (s+-stufigen) Verfarens überein, so gilt folgendes: Î y = s + I( y) Beobactung: Wenn y = I ( y) als Approximation von F ( y) angenommen wird, so ist die erste Stufe k = f( y ) des näcsten Scrittes bereits durc die letzte Stufe k = f y des vorerigen Scrittes gegeben. Folgerung: s + s + Die Felerabscätzung wird automatisc geliefert. Kutta-Teorie: : Explizite, eingebettete und implizite RK- Verfaren Lukas Klic Seite: 2

13 Eingebettete Verfaren (6) Beispiel für das Felberg3(4)-Verfaren mit FSAL: Lukas Klic b ˆb ˆb T T T b T Somit ist y y k 27 k 49 k I y = = Also ist k5= f y5 = f I y die erste Stufe des näcsten Zeitscritts (beim Scrittwecsel ist sie f ( y 5 ) ). Kutta-Teorie: : Explizite, eingebettete und implizite RK- Verfaren Lukas Klic Seite: 3

14 Implizite Verfaren () Lukas Klic Problem: Ν Bei nict expliziten Verfaren auf muss in jedem Zeitscritt I y ein nictlineares Gleicungssystem für die Zwiscenstufen numerisc gelöst werden. Lösung: i ij j j = Hierzu kann man ein Newton-Verfaren anwenden, was jedoc oen Aufwand verursact, da zur Ausfürung eines Newton- Scrittes die Ableitung benötigt wird. Alternativ bedient man sic der Fixpunkt-Iteration. s y = y+ a f y, i=,...,s Kutta-Teorie: : Explizite, eingebettete und implizite RK- Verfaren Lukas Klic Seite: 4

15 Newton-Verfaren: Implizite Verfaren (2) ( ) y : = y f y f y (k+ ) (k) ' (k) (k) Die Startwerte sind vorgegeben oder werden mittels beliebiger expliziter Verfaren konstruiert. Fixpunkt-Iteration: s (k+ ) (k) i = + ij j j = y y a f y i=,...,s k=,,2,... Der Startwert ist y =... = y = y () () s Kutta-Teorie: : Explizite, eingebettete und implizite RK- Verfaren Lukas Klic Seite: 5

16 Implizite Verfaren (3) Beispiel für das Trapezverfaren der Ordnung 2: y = y y = y+ f y + f y I y = y 2 Y= I y = y+ f y + f Y () Um die Ordnung zu eralten reict eine Fixpunktiteration mit Y = y: () Y = y+ f y I y y f y f Y = + + () () () () Y = y+ f y + f Y = y+ f y Das resultierende approximative Trapezverfaren ist identisc mit Heun 2.ter Ordnung. (Prädiktor) (Korrektor) Heun 2.ter Ordnung Kutta-Teorie: : Explizite, eingebettete und implizite RK- Verfaren Lukas Klic Seite: 6

17 Implizite Verfaren (4) Satz 3.: (Gauß-Legendre-Verfaren) Zu s-stufen existieren Verfaren der Ordnung 2s. s * d s Seien c,...,csdie s Nullstellen des Legrende-Polynoms P () s s c = c c. s dc Sei das Butcer-Scema durc Quad und Simp eindeutig festgelegt Quad : bc = k=,...,s k s (s) k j j j = c Simp : a c = i,k=,...,s s k (s) k i ij j j = k Damit at das s-stufige Gauß-Legendre-Verfaren die Ordnung 2s. Kutta-Teorie: : Explizite, eingebettete und implizite RK- Verfaren Lukas Klic Seite: 7

18 Implizite Verfaren (5) Beispiele für Gauß-Legendre-Verfaren: Das -stufige Verfaren der Ordnung 2: Der Zeitscritt y Y= I y mit y y f y 2 = +, = + y = ( y+ Y) Y y f y 2 ist als Lösung der Gleicung Y= y+ f y+ Y 2 definiert. Kutta-Teorie: : Explizite, eingebettete und implizite RK- Verfaren Lukas Klic Seite: 8

19 Implizite Verfaren (6) Das 2-stufige Verfaren der Ordnung 4: Das 3-stufige Verfaren der Ordnung 6: Kutta-Teorie: : Explizite, eingebettete und implizite RK- Verfaren Lukas Klic Seite: 9

20 Zusammenfassung Explizite RK-Verfaren Eingebettete RK-Verfaren Implizite RK-Verfaren Kutta-Teorie: : Explizite, eingebettete und implizite RK- Verfaren Lukas Klic Seite: 2

Numerische Simulation von Differential-Gleichungen der Himmelsmechanik

Numerische Simulation von Differential-Gleichungen der Himmelsmechanik Numerisce Simulation von Differential-Gleicungen der Himmelsmecanik Teilnemer: Max Dubiel (Andreas-Oberscule) Frank Essenberger (Herder-Oberscule) Constantin Krüger (Andreas-Oberscule) Gabriel Preuß (Heinric-Hertz-Oberscule)

Mehr

Eingebettete Runge Kutta Verfahren DOPRI5(4) Verfahren: FSAL Verfahren

Eingebettete Runge Kutta Verfahren DOPRI5(4) Verfahren: FSAL Verfahren Eingebettete Runge Kutta Verfahren DOPRI5(4) Verfahren: FSAL Verfahren 0 1 5 3 10 4 5 8 9 1 5 3 9 40 40 44 45 56 15 19372 6561 25360 2187 9017 1 3168 355 33 1 35 348 0 500 1113 35 500 p = 5 348 0 1113

Mehr

2 Ein Beispiel und der Haken an der Sache

2 Ein Beispiel und der Haken an der Sache Numerik I. Version: 9.02.08 2 Ein Beispiel und der Haken an der Sace In lineare Algebra I-II wurde gezeigt, wie durc das Gaußsce Verfaren lineare Gleicungssysteme gelöst werden. Das folgende einface Beispiel

Mehr

Numerische Simulation in der Luft- und Raumfahrttechnik

Numerische Simulation in der Luft- und Raumfahrttechnik Numerisce Simulation in der Luft- und Raumfarttecnik Dr. Felix Jägle, Prof. Dr. Claus-Dieter Munz (IAG) Universität Stuttgart Pfaffenwaldring, 70569 Stuttgart Email: felix.jaegle@iag.uni-stuttgart.de Inalt

Mehr

Tangentensteigung. Gegeben ist die Funktion f(x) = x 2.

Tangentensteigung. Gegeben ist die Funktion f(x) = x 2. Tangentensteigung Gegeben ist die Funktion () =. Um die Steigung der Tangente im Punkt P( ) zu bestimmen, ermitteln wir zunäcst die Steigung der Sekante durc P( ) und Q( ). Q soll so beweglic sein, dass

Mehr

Mathematik 1 für Studierende der Biologie Teil II: Limes & Konvergenz

Mathematik 1 für Studierende der Biologie Teil II: Limes & Konvergenz Matematik 1 für Studierende der Biologie Teil II: Limes & Konvergenz Cristian Leibold 7. Oktober 2014 Folgen Allgemeines zu Folgen Monotonie und Bescränkteit Grenzwerte und Konvergenz Summen und Reien

Mehr

Musterlösung zu Übungsblatt 1

Musterlösung zu Übungsblatt 1 Prof. R. Pandaripande J. Scmitt, C. Scießl Funktionenteorie 23. September 16 HS 2016 Musterlösung zu Übungsblatt 1 Aufgabe 1. Sei F ein Körper, der R als einen Unterkörper entält. Das eisst R ist eine

Mehr

Was haben Beschleunigungs-Apps mit der Quadratur des Kreises zu tun?

Was haben Beschleunigungs-Apps mit der Quadratur des Kreises zu tun? Was aben Bescleunigungs-Apps mit der Quadratur des Kreises zu tun? Teilnemer: Jonatan Geuter Leonard Hackel Paul Hagemann Maximilian Kuc Amber Lucas Tobias Tieme Tobias Tiesse Niko Wolf Gruppenleiter:

Mehr

2.3.1 Explizite Runge-Kutta-Verfahren

2.3.1 Explizite Runge-Kutta-Verfahren Somit ist y(t + h) = y + hf(t, y ) + h (f t (t, y ) + f y (t, y )f(t, y )) + O(h 3 ) Setzen wir Φ(t, y, h) := f(t, y) + h (f t(t, y) + f y (t, y)f(t, y)), so erhalten wir ein Verfahren mit der Konsistenzordnung

Mehr

Übungen zum Mathematik-Abitur. Geometrie 1

Übungen zum Mathematik-Abitur. Geometrie 1 Geometrie Übungen zum atematik-abitur -7/8 Übungen zum atematik-abitur Geometrie Gegeben sind die Punkte ( 4 ) und ( 5 6 4) P und die Gerade 7 4 g: x= + r 4 Aufgabe : Die Ebene E entält g und Bestimmen

Mehr

Á 4. Differenzierbarkeit, Stetigkeit

Á 4. Differenzierbarkeit, Stetigkeit Á 4. Differenzierbarkeit, Stetigkeit Historisc ist der Begriff der Differenzierbarkeit lange vor dem der Stetigkeit entwickelt worden. Untersciedlice Definitionen der Differenzierbarkeit werden von Gottfried

Mehr

Manfred Burghardt. Allgemeine Hochschulreife und Fachhochschulreife in den Bereichen Erziehung, Gesundheit und Soziales

Manfred Burghardt. Allgemeine Hochschulreife und Fachhochschulreife in den Bereichen Erziehung, Gesundheit und Soziales Manfred Burgardt Allgemeine Hocsculreife und Facocsculreife in den Bereicen Erzieung, Gesundeit und Soziales Version /4 Inaltsverzeicnis I Inaltsverzeicnis Inaltsverzeicnis... I Die Ableitungsfunktion

Mehr

Linear. Halbkreis. Parabel

Linear. Halbkreis. Parabel Vom Parabolspiegel zur Ableitungsfunktion Im Folgenden get es darum erauszufinden, was ein Parabolspiegel ist und wie er funktioniert. Das fürt uns auf wictige Fragen eines Teilgebietes der Matematik,

Mehr

4 Runge-Kutta-Verfahren

4 Runge-Kutta-Verfahren Numerik gewöhnlicher Differentialgleichungen 43 4 Runge-Kutta-Verfahren 4. Konstruktion Ausgangspunkt wie immer (Substitution: s = t + τh, 0 τ ) y(t + h) = y(t) + [y(t + h) y(t)] = y(t) + = y(t) + h 0

Mehr

mit der Anfangsbedingung y(a) = y0

mit der Anfangsbedingung y(a) = y0 Numersce Lösung von Dfferentalglecungen De n den naturwssenscaftlc-tecnscen Anwendungen auftretenden Dfferentalglecungen snd n den wengsten Fällen eplzt lösbar. Man st desalb auf Näerungsverfaren angewesen.

Mehr

Physik I Übung 7, Teil 2 - Lösungshinweise

Physik I Übung 7, Teil 2 - Lösungshinweise Pysik I Übung 7, Teil - Lösungsinweise Stefan Reutter SoSe 0 Moritz Kütt Stand:.06.0 Franz Fujara Aufgabe Clausius- Klappermann Clapeyron Revisited (Vorsict, Aufgabe vom Cef!) Da sic Prof. Fujara wie immer

Mehr

Kapitel 16 : Differentialrechnung

Kapitel 16 : Differentialrechnung Kapitel 16 : Differentialrechnung 16.1 Die Ableitung einer Funktion 16.2 Ableitungsregeln 16.3 Mittelwertsätze und Extrema 16.4 Approximation durch Taylor-Polynome 16.5 Zur iterativen Lösung von Gleichungen

Mehr

Zentrale schriftliche Abiturprüfungen im Fach Mathematik

Zentrale schriftliche Abiturprüfungen im Fach Mathematik Aufgabe 2 Wetterstation Aufgabe aus der scriftlicen Abiturprüfung Hamburg 05. In einer Wetterstation wird die Aufzeicnung eines Niedersclagmessgeräts vom Vortag (im Zeitraum von 0 Ur bis Ur) ausgewertet.

Mehr

Teil 1. 2 Gleichungen mit 2 Unbekannten mit Textaufgaben. und 3 Gleichungen mit 2 Unbekannten. Datei Nr. 12180. Friedrich Buckel. Stand 11.

Teil 1. 2 Gleichungen mit 2 Unbekannten mit Textaufgaben. und 3 Gleichungen mit 2 Unbekannten. Datei Nr. 12180. Friedrich Buckel. Stand 11. Teil Gleicungen mit Unbekannten mit Textaufgaben und 3 Gleicungen mit Unbekannten Datei Nr. 80 Stand. April 0 Lineare Gleicungssysteme INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK 80 Gleicungssysteme Vorwort

Mehr

Newton-Verfahren zur gleichungsbeschränkten Optimierung. 1 Gleichungsbeschränkte Optimierungsprobleme

Newton-Verfahren zur gleichungsbeschränkten Optimierung. 1 Gleichungsbeschränkte Optimierungsprobleme Newton-Verfahren zur gleichungsbeschränkten Optimierung Armin Farmani Anosheh (afarmani@mail.uni-mannheim.de) 3.Mai 2016 1 Gleichungsbeschränkte Optimierungsprobleme Einleitung In diesem Vortrag geht es

Mehr

Kapitel 3. Konvergenz von Folgen und Reihen

Kapitel 3. Konvergenz von Folgen und Reihen Kapitel 3. Konvergenz von Folgen und Reihen 3.1. Normierte Vektorräume Definition: Sei V ein Vektorraum (oder linearer Raum) über (dem Körper) R. Eine Abbildung : V [0, ) heißt Norm auf V, falls die folgenden

Mehr

Lösungshinweise zu den Hausaufgaben:

Lösungshinweise zu den Hausaufgaben: M. Boßle, B. Krinn Ü. Okur, M. Wie Blatt 7 Gruppenübung zur Vorlesung Höere Matematik 2 Sommersemester 202 Dr. M. Künzer Prof. Dr. M. Stroppel Lösungsinweise zu en Hausaufgaben: Aufgabe H 58. Differenzierbarkeit

Mehr

Rudolphs Schlitten. Aufgabe. Autor: Jochen Ricker

Rudolphs Schlitten. Aufgabe. Autor: Jochen Ricker Rudolps Sclitten Autor: Jocen Ricker Aufgabe Endlic ist es wieder soweit: Weinacten stet vor der Tür! Diesmal at der Weinactsmann sic ein ganz besonderes Gescenk für seine Rentiere einfallen lassen. Sie

Mehr

Übungsaufgaben zu Analysis 2 Lösungen von Blatt V vom 07.05.15. f(x, y) = 2(x + y) + xy + 3x 2, g(x, y) = xy + e xy.

Übungsaufgaben zu Analysis 2 Lösungen von Blatt V vom 07.05.15. f(x, y) = 2(x + y) + xy + 3x 2, g(x, y) = xy + e xy. Prof. Dr. Moritz Kaßmann Fakultät für Matematik Sommersemester 015 Universität Bielefeld Übungsaufgaben zu Analysis Lösungen von Blatt V vom 07.05.15 Aufgabe V.1 + Punkte) Gegeben seien die Funktionen

Mehr

7.2. Ableitungen und lineare Approximation

7.2. Ableitungen und lineare Approximation 7.. Ableitungen und lineare Approximation Eindimensionale Ableitungen und Differentialquotienten einer Funktion bekommt man bekanntlic als Limes von Differenzenquotienten f ( a) = f ( a + ) f( a ) = x

Mehr

Mathematische Grundlagen der Ökonomie Übungsblatt 13

Mathematische Grundlagen der Ökonomie Übungsblatt 13 Matematisce Grundlagen der Ökonomie Übungsblatt 13 Abgabe Donnerstag 4. Februar, 10:15 in H3 6+4+5+++1 = 0 Punkte Mit Lösungsinweisen zu einigen Aufgaben 51. Ire Bekannte Dido möcte, dass aus einem günstig

Mehr

RWTH Aachen, Lehrstuhl für Informatik IX Kapitel 3: Suchen in Mengen - Datenstrukturen und Algorithmen - 51

RWTH Aachen, Lehrstuhl für Informatik IX Kapitel 3: Suchen in Mengen - Datenstrukturen und Algorithmen - 51 RWTH Aacen, Lerstul für Informatik IX Kapitel 3: Sucen in Mengen - Datenstrukturen und Algoritmen - 51 Sucbäume Biser betractete Algoritmen für Suce in Mengen Sortierte Arrays A B C D - Nur sinnvoll für

Mehr

Vektor und Matrixnormen Vorlesung vom

Vektor und Matrixnormen Vorlesung vom Vektor und Matrixnormen Vorlesung vom 18.12.15 Grundlagen: Matrix Vektor und Matrixprodukt. Lineare Räume. Beispiele. Problem: Berechne die Lösung x von Ax = b zu gegebenem A R n,n und b R n. Ziele: Konditionsanalyse

Mehr

Eigenwerte und Diagonalisierung

Eigenwerte und Diagonalisierung Eigenwerte und Diagonalisierung Wir wissen von früher: Seien V und W K-Vektorräume mit dim V = n, dim W = m und sei F : V W linear. Werden Basen A bzw. B in V bzw. W gewählt, dann hat F eine darstellende

Mehr

Elemente der Algebra und Zahlentheorie Musterlösung, Serie 3, Wintersemester vom 15. Januar 2006

Elemente der Algebra und Zahlentheorie Musterlösung, Serie 3, Wintersemester vom 15. Januar 2006 Prof. E.-W. Zink Institut für Mathematik Humboldt-Universität zu Berlin Elemente der Algebra und Zahlentheorie Musterlösung, Serie 3, Wintersemester 2005-06 vom 15. Januar 2006 2te, korrigierte und erweiterte

Mehr

PACKAGING DESIGN LIMBIC SCHMIDT SPIELE KNIFFEL MASTER

PACKAGING DESIGN LIMBIC SCHMIDT SPIELE KNIFFEL MASTER PAKAGING DESIGN LIMBI SHMIDT SPIELE KNIFFEL MASTER 16. Präsentation 03. Dezember 2014 Für alle Kniffel-Fans dürfte Einiges bei Kniffel Master scon bekannt sein. Der blaue Text kann daer von allen überspruen

Mehr

Höhere Mathematik II für die Fachrichtung Informatik. Lösungsvorschläge zum 3. Übungsblatt

Höhere Mathematik II für die Fachrichtung Informatik. Lösungsvorschläge zum 3. Übungsblatt KARLSRUHER INSTITUT FÜR TECHNOLOGIE INSTITUT FÜR ANALYSIS Dr. Cristop Scmoeger Heiko Hoffmann SS 24 Höere Matematik II für die Facrictung Informatik Lösungsvorscläge zum 3. Übungsblatt Aufgabe 9 a) Bestimmen

Mehr

Mathematik für Naturwissenschaftler I WS 2009/2010

Mathematik für Naturwissenschaftler I WS 2009/2010 Mathematik für Naturwissenschaftler I WS 2009/2010 Lektion 18 8. Januar 2010 Kapitel 5. Funktionen mehrerer Veränderlicher, Stetigkeit und partielle Ableitungen 5.2. Partielle Ableitungen von Funktionen

Mehr

6. Die Exponentialfunktionen (und Logarithmen).

6. Die Exponentialfunktionen (und Logarithmen). 6- Funktionen 6 Die Eponentialfunktionen (und Logaritmen) Eine ganz wictige Klasse von Funktionen f : R R bilden die Eponentialfunktionen f() = c ep( ) = c e, ier sind, c feste reelle Zalen (um Trivialfälle

Mehr

8.3 Lösen von Gleichungen mit dem Newton-Verfahren

8.3 Lösen von Gleichungen mit dem Newton-Verfahren 09.2.202 8.3 Lösen von Gleichungen mit dem Newton-Verfahren Beispiel: + 2 e Diese Gleichung kann nicht nach aufgelöst werden, da die beiden nicht zusammengefasst werden können. e - - 2 0 Die gesuchten

Mehr

Optimierung. Optimierung. Vorlesung 2 Optimierung ohne Nebenbedingungen Gradientenverfahren. 2013 Thomas Brox, Fabian Kuhn

Optimierung. Optimierung. Vorlesung 2 Optimierung ohne Nebenbedingungen Gradientenverfahren. 2013 Thomas Brox, Fabian Kuhn Optimierung Vorlesung 2 Optimierung ohne Nebenbedingungen Gradientenverfahren 1 Minimierung ohne Nebenbedingung Ein Optimierungsproblem besteht aus einer zulässigen Menge und einer Zielfunktion Minimum

Mehr

Über die Diskretisierung und Regularisierung schlecht gestellter Probleme

Über die Diskretisierung und Regularisierung schlecht gestellter Probleme Über die Diskretisierung und Regularisierung sclect gestellter Probleme von Dipl. Mat. Robert Plato Vom Facbereic Matematik der Tecniscen Universität Berlin genemigte Dissertation zur Erlangung des akademiscen

Mehr

Differenzierbare Funktionen

Differenzierbare Funktionen Kapitel 5 Differenzierbare Funktionen In diesem Kapitel widmen wir uns dem Begriff der Differenzierbarkeit und entwickeln die Eigenscaften differenzierbarer Funktionen. Darüberinaus wollen wir auc unsere

Mehr

3.6 Eigenwerte und Eigenvektoren

3.6 Eigenwerte und Eigenvektoren 3.6 Eigenwerte und Eigenvektoren 3.6. Einleitung Eine quadratische n n Matrix A definiert eine Abbildung eines n dimensionalen Vektors auf einen n dimensionalen Vektor. c A x c A x Von besonderem Interesse

Mehr

Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler II (Analysis) 2. Klausur Sommersemester

Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler II (Analysis) 2. Klausur Sommersemester Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler II (Analysis) 2. Klausur Sommersemester 2011 30.09.2011 BITTE LESERLICH IN DRUCKBUCHSTABEN AUSFÜLLEN Nachname:...................................................................

Mehr

37 Gauß-Algorithmus und lineare Gleichungssysteme

37 Gauß-Algorithmus und lineare Gleichungssysteme 37 Gauß-Algorithmus und lineare Gleichungssysteme 37 Motivation Lineare Gleichungssysteme treten in einer Vielzahl von Anwendungen auf und müssen gelöst werden In Abschnitt 355 haben wir gesehen, dass

Mehr

Taylor-Entwicklung der Exponentialfunktion.

Taylor-Entwicklung der Exponentialfunktion. Taylor-Entwicklung der Exponentialfunktion. Betrachte die Exponentialfunktion f(x) = exp(x). Zunächst gilt: f (x) = d dx exp(x) = exp(x). Mit dem Satz von Taylor gilt um den Entwicklungspunkt x 0 = 0 die

Mehr

Dierentialgleichungen 2. Ordnung

Dierentialgleichungen 2. Ordnung Dierentialgleichungen 2. Ordnung haben die allgemeine Form x = F (x, x, t. Wir beschränken uns hier auf zwei Spezialfälle, in denen sich eine Lösung analytisch bestimmen lässt: 1. reduzible Dierentialgleichungen:

Mehr

45 Eigenwerte und Eigenvektoren

45 Eigenwerte und Eigenvektoren 45 Eigenwerte und Eigenvektoren 45.1 Motivation Eigenvektor- bzw. Eigenwertprobleme sind wichtig in vielen Gebieten wie Physik, Elektrotechnik, Maschinenbau, Statik, Biologie, Informatik, Wirtschaftswissenschaften.

Mehr

2 Einschrittverfahren 2.1 Einführung

2 Einschrittverfahren 2.1 Einführung Einschrittverfahren. Einführung Im folgenden werden wir uns bei der Beschreibung und Analyse von numerischen Verfahren für Anfangswertprobleme auf den Fall n = beschränken. Dies wird nur gemacht, um die

Mehr

Tangenten an Funktionsgraphen (Differenzialrechnung) Aufgaben ab Seite 4

Tangenten an Funktionsgraphen (Differenzialrechnung) Aufgaben ab Seite 4 Klasse / Augaben ab Seite 4 rundlagen und Begrie der Dierenzialrecnung Die Zeicnungen und Erklärungen sind etwas ausürlicer als notwendig u versciedene Screibweisen und Darstellungen auzuzeigen. Steigung

Mehr

Numerische und stochastische Grundlagen der Informatik

Numerische und stochastische Grundlagen der Informatik Numerisce und stocastisce Grundlagen der Informatik Peter Bastian Universität Stuttgart, Institut für Parallele und Verteilte Systeme Universitätsstraße 38, D-70569 Stuttgart email: Peter.Bastian@ipvs.uni-stuttgart.de

Mehr

Klausur zur Vordiplom-Prüfung

Klausur zur Vordiplom-Prüfung Technische Universität Hamburg-Harburg SS 25 Arbeitsbereich Mathematik Dr. Jens-Peter M. Zemke Klausur zur Vordiplom-Prüfung Numerische Verfahren 22. Juli 25 Sie haben 9 Minuten Zeit zum Bearbeiten der

Mehr

Leitfähigkeit. On-Line Leitfähigkeits-Messung. h h h h h h h. Messen Überwachen Regeln. Kommunale und industrielle Abwässer. Wasseraufbereitung

Leitfähigkeit. On-Line Leitfähigkeits-Messung. h h h h h h h. Messen Überwachen Regeln. Kommunale und industrielle Abwässer. Wasseraufbereitung Leitfäigkeit On-Line Leitfäigkeits-Messung Messen Überwacen Regeln Kommunale und industrielle Abwässer Wasseraufbereitung Natürlice Gewässer Meerwasser, Brackwasser Kesselspeisewasser Demineralisierung

Mehr

4.5 Wachstumsfunktionen

4.5 Wachstumsfunktionen 4.5 Wachstumsfunktionen Wenn man die Entwicklung einer Pflanze modelliert, ist es zweckmäßig, das Verzweigen und das Längenwachstum in verschiedenen Regeln zu modellieren. Das wurde zum Beispiel in den

Mehr

6 Hauptachsentransformation

6 Hauptachsentransformation 6 Hauptachsentransformation A Diagonalisierung symmetrischer Matrizen (6.1) Satz: Sei A M(n n, R) symmetrisch. Dann gibt es eine orthogonale n n-matrix U mit U t AU = D Diagonalmatrix Es folgt: Die Spalten

Mehr

Analysis: Klausur Analysis

Analysis: Klausur Analysis Analysis Klausur zu Ableitung, Extrem- und Wendepunkten, Interpretation von Grapen von Ableitungsfunktionen, Tangenten und Normalen (Bearbeitungszeit: 90 Minuten) Gymnasium J Alexander Scwarz www.mate-aufgaben.com

Mehr

Übungen zur Vorlesung Differential und Integralrechnung II (Unterrichtsfach) -Bearbeitungsvorschlag-

Übungen zur Vorlesung Differential und Integralrechnung II (Unterrichtsfach) -Bearbeitungsvorschlag- MATHEMATISCHES INSTITUT DER UNIVERSITÄT MÜNCHEN D. Rost, M. Gebert SS 015 Blatt 9 19.6.015 Übungen zur Vorlesung Differential und Integralrecnung II (Unterrictsfac) -Bearbeitungsvorsclag- 1. Sei n N 0.

Mehr

Solche Abbildungen nennt man ZENTRISCHE STRECKUNGEN. DEFINITION:

Solche Abbildungen nennt man ZENTRISCHE STRECKUNGEN. DEFINITION: ZENTRICHE TRECKUNG DER TORCHENCHNABEL ol Farstift Zeicenstift ol, Farstift und Zeicenstift lieen immer auf einer Geraden! Früer at man den torcenscnabel (antorap) benutzt um Bilder maßstäblic zu verrößern,

Mehr

Lineare Hülle. span(a) := λ i v i : so dass k N, λ i R und v i A.

Lineare Hülle. span(a) := λ i v i : so dass k N, λ i R und v i A. Lineare Hülle Def A sei eine nichtleere Teilmenge des Vektorraums (V,+, ) Die lineare Hülle von A (Bezeichung: span(a)) ist die Menge aller Linearkombinationen der Elemente aus A { k } span(a) := λ i v

Mehr

4.5 Überbestimmte Gleichungssysteme, Gauß sche Ausgleichrechnung

4.5 Überbestimmte Gleichungssysteme, Gauß sche Ausgleichrechnung 4.5 Überbestimmte Gleichungssysteme, Gauß sche Ausgleichrechnung In vielen Anwendungen treten lineare Gleichungssysteme auf, die eine unterschiedliche Anzahl von Gleichungen und Unbekannten besitzen: Ax

Mehr

Schriftliche Prüfung Schuljahr: 2008/2009 Schulform: Gymnasium. Mathematik

Schriftliche Prüfung Schuljahr: 2008/2009 Schulform: Gymnasium. Mathematik Ministerium für Bildung, Jugend und Sport Prüfungen am Ende der Jargangsstufe 10 Scriftlice Prüfung Sculjar: 2008/2009 Sculform: Matematik Allgemeine Arbeitsinweise Die Prüfungszeit beträgt 160 Minuten.

Mehr

Probabilistische Primzahltests

Probabilistische Primzahltests 23.01.2006 Motivation und Überblick Grundsätzliches Vorgehen Motivation und Überblick Als Primzahltest bezeichnet man ein mathematisches Verfahren, mit dem ermittelt wird, ob eine gegebene Zahl eine Primzahl

Mehr

Numerisches Lösen von Gleichungen

Numerisches Lösen von Gleichungen Numerisches Gesucht ist eine Lösung der Gleichung f(x) = 0. Das sverfahren ist eine numerische Methode zur Bestimmung einer Nullstelle. Es basiert auf dem Zwischenwertsatz: Satz (1.1.1) Zwischenwertsatz:

Mehr

Rekursionen (Teschl/Teschl 8.1-8.2)

Rekursionen (Teschl/Teschl 8.1-8.2) Rekursionen (Teschl/Teschl 8.1-8.2) Eine Rekursion kter Ordnung für k N ist eine Folge x 1, x 2, x 3,... deniert durch eine Rekursionsvorschrift x n = f n (x n 1,..., x n k ) für n > k, d. h. jedes Folgenglied

Mehr

9. Primitivwurzeln. O. Forster: Einführung in die Zahlentheorie

9. Primitivwurzeln. O. Forster: Einführung in die Zahlentheorie 9. Primitivwurzeln 9.1. Satz. Sei G eine zyklische Gruppe der Ordnung m und g G ein erzeugendes Element. Das Element a := g k, k Z, ist genau dann ein erzeugendes Element von G, wenn k zu m teilerfremd

Mehr

Kapitel 17. Determinanten

Kapitel 17. Determinanten Kapitel 17. Determinanten Vorschau: Determinanten Es gibt drei Problemfelder, für die Determinanten von großem Nutzen sind: die formelmäßige Überprüfung der linearen Unabhängigkeit eines Systems von n

Mehr

Kraft F in N Dehnung s in m

Kraft F in N Dehnung s in m . Klausur Pysik Leistungskurs Klasse 7. 9. 00 Dauer: 90 in. Wilel T., ein junger, talentierter Bogenscütze darf sic einen neuen Bogen kaufen. Er kann den Bogen it axial 50 N spannen und seine Are reicen

Mehr

Anleitung zu Blatt 4 Differentialgleichungen I für Studierende der Ingenieurwissenschaften

Anleitung zu Blatt 4 Differentialgleichungen I für Studierende der Ingenieurwissenschaften Fachbereich Mathematik der Universität Hamburg WiSe / Dr Hanna Peywand Kiani 722 Anleitung zu Blatt 4 Differentialgleichungen I für Studierende der Ingenieurwissenschaften Lineare Differentialgleichungssysteme,

Mehr

Nichtlineare Optimierung ohne Nebenbedingungen

Nichtlineare Optimierung ohne Nebenbedingungen Kapitel 2 Nichtlineare Optimierung ohne Nebenbedingungen In diesem Abschnitt sollen im wesentlichen Verfahren zur Bestimmung des Minimums von nichtglatten Funktionen in einer Variablen im Detail vorgestellt

Mehr

Mathematik I. Vorlesung 7. Folgen in einem angeordneten Körper

Mathematik I. Vorlesung 7. Folgen in einem angeordneten Körper Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück WS 009/010 Mathematik I Vorlesung 7 Folgen in einem angeordneten Körper Wir beginnen mit einem motivierenden Beispiel. Beispiel 7.1. Wir wollen die Quadratwurzel einer natürlichen

Mehr

Drehung um einen Punkt um Winkel α.

Drehung um einen Punkt um Winkel α. Drehung um einen Punkt um Winkel α. Sei A R 2 und α R. Drehung um A um Winkel α ist eine Abbildung D A (α) : R 2 R 2 welche wie folgt definiert ist: D A (α) = T A D 0 (α) T ( A), wobei die Abbildung D

Mehr

Klausurberatung Differentialgleichungen I für Studierende der Ingenieurwissenschaften

Klausurberatung Differentialgleichungen I für Studierende der Ingenieurwissenschaften Fachbereich Mathematik der Universität Hamburg WiSe 14/15 Dr. Hanna Peywand Kiani 06.07.2015 Klausurberatung Differentialgleichungen I für Studierende der Ingenieurwissenschaften Die ins Netz gestellten

Mehr

Einführung in die Numerik strukturerhaltender Zeitintegratoren. Leonard Schlag 6. Dezember 2010

Einführung in die Numerik strukturerhaltender Zeitintegratoren. Leonard Schlag 6. Dezember 2010 Einführung in die Numerik strukturerhaltender Zeitintegratoren Leonard Schlag 6. Dezember 2010 1 Inhaltsverzeichnis 1 Einführung in die Numerik strukturerhaltender Zeitintegratoren 3 1.1 Häuge Problemstellung:

Mehr

Mathematik II für Studierende der Informatik. Wirtschaftsinformatik (Analysis und lineare Algebra) im Sommersemester 2016

Mathematik II für Studierende der Informatik. Wirtschaftsinformatik (Analysis und lineare Algebra) im Sommersemester 2016 und Wirtschaftsinformatik (Analysis und lineare Algebra) im Sommersemester 2016 25. April 2016 Die Dimensionsformel Definition 3.9 Sei f : V W eine lineare Abbildung zwischen zwei K-Vektorräumen. Der Kern

Mehr

Spezialkupplungen System Kamlok v. a. zum Einsatz an Beschneiungsanlagen für Betriebsdrücke bis 60 bar.

Spezialkupplungen System Kamlok v. a. zum Einsatz an Beschneiungsanlagen für Betriebsdrücke bis 60 bar. let it snow! Snow Hocdruck-Hebelarmkupplungen Spezialkupplungen System Kamlok v. a. zum Einsatz an Bescneiungsanlagen für Betriebsdrücke bis 60 bar. Inalt 83 Die SNOW MASTER Sclaucansclüsse 84 Hocdruck-Sclauckupplungen

Mehr

Lineare Algebra für D-ITET, D-MATL, RW. Beispiellösung für Serie 10. Aufgabe ETH Zürich D-MATH. Herbstsemester Dr. V. Gradinaru D.

Lineare Algebra für D-ITET, D-MATL, RW. Beispiellösung für Serie 10. Aufgabe ETH Zürich D-MATH. Herbstsemester Dr. V. Gradinaru D. Dr. V. Gradinaru D. Devaud Herbstsemester 5 Lineare Algebra für D-ITET, D-MATL, RW ETH Zürich D-MATH Beispiellösung für Serie Aufgabe..a Bezüglich des euklidischen Skalarprodukts in R ist die Orthogonalprojektion

Mehr

4.1. Grundlegende Definitionen. Elemente der Analysis I Kapitel 4: Funktionen einer Variablen. 4.2 Graphen von Funktionen

4.1. Grundlegende Definitionen. Elemente der Analysis I Kapitel 4: Funktionen einer Variablen. 4.2 Graphen von Funktionen 4.1. Grundlegende Definitionen Elemente der Analysis I Kapitel 4: Funktionen einer Variablen Prof. Dr. Volker Schulz Universität Trier / FB IV / Abt. Mathematik 22./29. November 2010 http://www.mathematik.uni-trier.de/

Mehr

Stefan Ruzika. 24. April 2016

Stefan Ruzika. 24. April 2016 Stefan Ruzika Mathematisches Institut Universität Koblenz-Landau Campus Koblenz 24. April 2016 Stefan Ruzika 2: Körper 24. April 2016 1 / 21 Gliederung 1 1 Schulstoff 2 Körper Definition eines Körpers

Mehr

Nichtlineare Gleichungssysteme

Nichtlineare Gleichungssysteme Kapitel 2 Nichtlineare Gleichungssysteme Problem: Für vorgegebene Abbildung f : D R n R n finde R n mit oder ausführlicher f() = 0 (21) f 1 ( 1,, n ) = 0, f n ( 1,, n ) = 0 Einerseits führt die mathematische

Mehr

4.3 Anwendungen auf Differentialgleichungen

4.3 Anwendungen auf Differentialgleichungen 7 4.3 Anwendungen auf Differentialgleichungen Die Laplace-Transformation wird gerne benutzt, um lineare Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten y n + a n y n +... + a y + a 0 y ft zu lösen,

Mehr

BSc: Waldmesslehre Waldinventur I

BSc: Waldmesslehre Waldinventur I BSc: Waldmesslere Prof. Dr. Cristop Kleinn Institut für Waldinventur und Waldwacstum Arbeitsbereic Fernerkundung und Waldinventur Stratifizierte Sticprobe Stratifizierte Zufallsauswal In mancen Fällen

Mehr

e-funktion und natürlicher Logarithmus

e-funktion und natürlicher Logarithmus e-funktion und natürlicer Logaritmus. Die Differentialgleicung y=y' Gibt es eine Funktion, die mit irer Ableitung identisc ist, d.. dass f = f ' für alle gilt? Wenn die Ableitung trigonometriscer Funktionen

Mehr

Vorlesung: Analysis II für Ingenieure. Wintersemester 07/08. Michael Karow. Themen: Niveaumengen und Gradient

Vorlesung: Analysis II für Ingenieure. Wintersemester 07/08. Michael Karow. Themen: Niveaumengen und Gradient Vorlesung: Analysis II für Ingenieure Wintersemester 07/08 Michael Karow Themen: Niveaumengen und Gradient Wir betrachten differenzierbare reellwertige Funktionen f : R n G R, G offen Zur Vereinfachung

Mehr

Besteht eine Matrix nur aus einer Spalte (Zeile), so spricht man auch von einem Spaltenvektor (Zeilenvektor)

Besteht eine Matrix nur aus einer Spalte (Zeile), so spricht man auch von einem Spaltenvektor (Zeilenvektor) Matrizenrechnung. Matrizen Matrizen sind bereits im Kapitel Lineare Gleichungssysteme aufgetreten. Unter einer (m n) -Matrix A verstehen wir ein rechteckiges Zahlenschema mit m Zeilen und n Spalten. Der.

Mehr

Überblick. Kapitel 7: Anwendungen der Differentialrechnung

Überblick. Kapitel 7: Anwendungen der Differentialrechnung Überblick Kapitel 7: Anwendungen der Differentialrechnung 1 Beispiel 1: Kapitel 7.1: Implizites Differenzieren 1 Beispiel 1: Steigung der Tangente Kapitel 7.1: Implizites Differenzieren 2 Beispiel 1: Steigung

Mehr

Aufgabe 2.1. Aufgabe 2.2. Aufgabe 2.3. Institut für Angewandte und Experimentelle Mechanik. Technische Mechanik I

Aufgabe 2.1. Aufgabe 2.2. Aufgabe 2.3. Institut für Angewandte und Experimentelle Mechanik. Technische Mechanik I Institut für Angewndte und Eperimentelle Mecni Tecnisce Mecni I ZÜ. Aufgbe. F 4 O F F F In den Knten einer gleicseitigen Prmide wiren 4 Kräfte gemäß nebensteender Sie. Für die Beträge der Kräfte gilt:

Mehr

Ein Beispiel für eine lineare Abbildung

Ein Beispiel für eine lineare Abbildung Inhaltsverzeichnis Ein Beispiel für eine lineare Abbildung Lothar Melching Vorbemerkungen 2 Ein Beispiel 2 2 Definition der Abbildung f 2 22 Die Abbildungsmatrix 3 23 Anwendung 3 Eigenwerte 3 Die neue

Mehr

Komplexe Zahlen (Seite 1)

Komplexe Zahlen (Seite 1) (Seite 1) (i) Motivation: + 5 = 3 hat in N keine Lösung Erweiterung zu Z = 2 3 = 2 hat in Z keine Lösung Erweiterung zu Q = 2 / 3 ² = 2 hat in Q keine Lösung Erweiterung zu R = ± 2 ² + 1 = 0 hat in R keine

Mehr

Lineare Algebra II 5. Übungsblatt

Lineare Algebra II 5. Übungsblatt Lineare Algebra II Übungsblatt Fachbereich Mathematik SS Prof Dr Kollross / Mai Susanne Kürsten Tristan Alex Gruppenübung Aufgabe G (Algebraisch abgeschlossener Körper) Ein Körper heißt algebraisch abgeschlossen,

Mehr

1 Gemischte Lineare Modelle

1 Gemischte Lineare Modelle 1 Gemischte Lineare Modelle Wir betrachten zunächst einige allgemeine Aussagen für Gemischte Lineare Modelle, ohne zu tief in die mathematisch-statistische Theorie vorzustoßen. Danach betrachten wir zunächst

Mehr

Skulptur. 0,25 m. 1,65 m 1,7 m Sockel. 0,6 m 0,6 m 10 m. Aufgabe 1: Die Skulptur

Skulptur. 0,25 m. 1,65 m 1,7 m Sockel. 0,6 m 0,6 m 10 m. Aufgabe 1: Die Skulptur Aufgabe 1: Die Skulptur Um die Höe einer Skulptur zu bestimmen, die auf einem Sockel stet, stellt sic eine Person (Augenöe 1,70 m) in einer Entfernung von 10 m mit dem Rücken zur Skulptur und ält sic einen

Mehr

C orthogonal und haben die Länge 1). Dann ist die Länge von w = x u + y v gegeben durch w 2 Def. = w,w =

C orthogonal und haben die Länge 1). Dann ist die Länge von w = x u + y v gegeben durch w 2 Def. = w,w = 1 v Die Länge Def. Sei (V,, ) ein Euklidscher Vektorraum. Für jeden Vektor v V heißt die Zahl v,v die Länge von v und wird v bezeichnet. Bemerkung. Die Länge des Vektors ist wohldefiniert, da nach Definition

Mehr

3 Nichtlineare Gleichungssysteme

3 Nichtlineare Gleichungssysteme 3 Nichtlineare Gleichungsssteme 3.1 Eine Gleichung in einer Unbekannten Problemstellung: Gegeben sei die stetige Funktion f(). Gesucht ist die Lösung der Gleichung f() = 0. f() f() a) f ( ) 0 b) f ( )

Mehr

ANALYSIS Differenzialrechnung Kapitel 1 5

ANALYSIS Differenzialrechnung Kapitel 1 5 TELEKOLLEG MULTIMEDIAL ANALYSIS Differenzialrecnung Kapitel 5 Ferdinand Weber BRmedia Service GmbH Inaltsverzeicnis Jedes Kapitel beginnt mit der Seitenzal.. Das Tangentenproblem. Steigung einer Geraden

Mehr

Kapitel 11. Bilinearformen über beliebigen Bilinearformen

Kapitel 11. Bilinearformen über beliebigen Bilinearformen Kapitel 11 Bilinearformen über beliebigen Körpern Wir können in diesem Kapitel rasch vorgehen, weil die meisten Konzepte im Zusammenhang mit Sesquilinearformen bereits eingeführt wurden. In diesem Abschnitt

Mehr

Heute schon gepoppt?

Heute schon gepoppt? Heute scon gepoppt? Benno Grabinger, Neustadt/Weinstraße, www.bennograbinger.de www.pringles.de Benno Grabinger: Pringles 1 Wie ann die Form eines Pringle matematisc bescrieben werden? Wo entsteen solce

Mehr

Nichtlineare Gleichungssysteme

Nichtlineare Gleichungssysteme Kapitel 5 Nichtlineare Gleichungssysteme 51 Einführung Wir betrachten in diesem Kapitel Verfahren zur Lösung von nichtlinearen Gleichungssystemen Nichtlineares Gleichungssystem: Gesucht ist eine Lösung

Mehr

Prozessmanagement mit Hilfe von QlikView am Universitätsklinikum Tübingen

Prozessmanagement mit Hilfe von QlikView am Universitätsklinikum Tübingen Stabsstelle Medizinplanung und Strukturfragen Prozessmanagement mit Hilfe von QlikView am Universitätsklinikum Tübingen AG Prozessmanagement der GQMG Dr. J. Mascmann Hannover, den 14.04.2011 Ausgangslage

Mehr

Kurs über Lineare Gleichungssysteme. PD Dr. Karin Halupczok

Kurs über Lineare Gleichungssysteme. PD Dr. Karin Halupczok Kurs über Lineare Gleichungssysteme PD Dr. Karin Halupczok Mathematisches Institut Albert-Ludwigs-Universität Freiburg http://home.mathematik.unifreiburg.de/halupczok/diverses.html karin.halupczok@math.uni-freiburg.de

Mehr

CLUB APOLLO 13, 13. Wettbewerb Aufgabe 2

CLUB APOLLO 13, 13. Wettbewerb Aufgabe 2 Der Auftrieb Diese Aufgabe wird vom Facbereic Pysik der eibniz Universität annover gestellt. Weitere Informationen zum Studiengang der Pysik findet ir unter ttp://www.pysik.uniannover.de/ CUB APOO 13,

Mehr

D-MATH Numerische Methoden FS 2016 Dr. Vasile Gradinaru Alexander Dabrowski. Serie 9

D-MATH Numerische Methoden FS 2016 Dr. Vasile Gradinaru Alexander Dabrowski. Serie 9 D-MATH Numerische Methoden FS 2016 Dr. Vasile Gradinaru Alexander Dabrowski Serie 9 Best Before: 24.5/25.5, in den Übungsgruppen (2 wochen) Koordinatoren: Alexander Dabrowski, HG G 52.1, alexander.dabrowski@sam.math.ethz.ch

Mehr

3 Elementare Umformung von linearen Gleichungssystemen und Matrizen

3 Elementare Umformung von linearen Gleichungssystemen und Matrizen 3 Elementare Umformung von linearen Gleichungssystemen und Matrizen Beispiel 1: Betrachte das Gleichungssystem x 1 + x 2 + x 3 = 2 2x 1 + 4x 2 + 3x 3 = 1 3x 1 x 2 + 4x 3 = 7 Wir formen das GLS so lange

Mehr

Musterlösung 3. D-MATH Algebra I HS 2015 Prof. Richard Pink. Faktorielle Ringe, Grösster gemeinsamer Teiler, Ideale, Faktorringe

Musterlösung 3. D-MATH Algebra I HS 2015 Prof. Richard Pink. Faktorielle Ringe, Grösster gemeinsamer Teiler, Ideale, Faktorringe D-MATH Algebra I HS 2015 Prof. Richard Pink Musterlösung 3 Faktorielle Ringe, Grösster gemeinsamer Teiler, Ideale, Faktorringe 1. Sei K ein Körper. Zeige, dass K[X 2, X 3 ] K[X] ein Integritätsbereich,

Mehr

ma t 4 u GITARREN- UND LAUTENBÜNDE GRUNDLEGENDES DAS MONOCHORD

ma t 4 u GITARREN- UND LAUTENBÜNDE GRUNDLEGENDES DAS MONOCHORD GRUNDLEGENDES DAS MONOCHORD Scon in der Antike war es üblic, Intervalle durc Streckenteilung auf einer gespannten Saite geometrisc darzustellen. Das dabei benützte Instrument eißt Kanon oder Monocordon

Mehr