Unterlagen zu endlichen Körpern. Erhard Aichinger

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1 Unterlagen zu endlicen Körpern Erard Aicinger Linz, im November 2005 Alle Recte vorbealten 1

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3 KAPITEL 1 Endlice Körper 1 Definition endlicer Körper DEFINITION 11 Ein Ring mit Eins R R,,,, 0, 1 ist ein Körper, wenn (1) R 2, (2) für alle x, y R gilt x y y x, (3) für alle x R 0 gibt es ein y R mit x y 1 ÜBUNGSAUFGABEN 12 (1) Zeigen Sie, dass es in einem Körper für jedes x öcstens ein y mit x y 1 geben kann (2) Zeigen Sie, dass das Produkt zweier Elemente in einem Körper nur dann 0 ist, wenn einer der Faktoren gleic 0 ist In einem Körper at jedes Element a 0 genau ein multiplikativ inverses Element; wir bezeicnen es mit a 1 Für jede Primzal p ist der Ring p ein Körper 2 Körper aus irreduziblen Polynomen Sei f ein Polynom in K x Für a, b K x definieren wir falls f a b Wir definieren a b mod f, a f a q f q K x Jede Restklasse modulo f entält genau ein Polynom, dessen Grad kleiner als deg f ist SATZ 13 Sei K ein Körper, sei f K x mit deg f 1, und sei a K x Dann gibt es genau ein b K x, sodass deg b < deg f und a f b f Beweis: Wir zeigen als erstes, dass es so ein b gibt: Durc Division eralten wir q und r in K x, sodass a q f r und deg r < deg f Wir setzen b r Es gilt a f a q f f r f b f Nun zeigen wir, dass es öcstens ein solces b geben kann Seien b 1, b 2 K x so, dass b 1 f b 2 f und 3

4 4 1 ENDLICHE KÖRPER deg b 1 < deg f, deg b 2 < deg f Dann gilt f b 2 b 1 Da b 2 b 1 kleineren Grad als f at, gilt b 2 b 1 0 Wir kürzen den Rest r der Division von a durc f mit a mod f ab Es gilt also a b mod f genau dann, wenn a mod f b mod f Wenn f ein Polynom in p x vom Grad n ist, gibt es genau p n Restklassen modulo f Um zu bestimmen, ob zwei Polynome zur gleicen Restklasse modulo f geören, kann man iren Rest bei der Division durc f bestimmen Die folgende Matematica- Funktionen berecnen Quotient und Rest einer Division in p x Deg [f_, var_] := Lengt [ CoefficientList [ f, var ] ] - 1; (* Berecnet den Grad des Polynoms f in der Variablen var *) Lcf [f_, var_] := CoefficientList [f, var] [[Deg[f,var] + 1]]; (* Liefert den fuerenden Koeffizienten von f in der Variablen var *) PolynomialQuotientP [f_,g_,var_,p_] := (* Liefert das q, sodass es r mit deg r < deg g gibt, sodass f = q*g + r Alle Recnungen in Z_p [x] *) Module[{lf, lg, f1, g1,q}, f1 = PolynomialMod[f,p]; g1 = PolynomialMod[g,p]; If [Deg[g1, var] > Deg[f1, var], 0, lf = Lcf [f1, var]; lg = Lcf [g1, var]; q = lf * PowerMod[lg, -1, p] * var^(deg[f1,var]-deg[g1,var]); (* compute return value *) q + PolynomialQuotientP [ PolynomialMod [f1 - q * g1, p], g1, var, p] ]]; PolynomialRemainderP [f_,g_,var_,p_] := (* Liefert den Rest bei der Division von f durc g *) PolynomialMod [f - g * PolynomialQuotientP [f,g,var,p], p];

5 Sei K x / f definiert durc Auf K x / f definieren wir,, durc 3 EIGENSCHAFTEN ENDLICHER KÖRPER 5 K x / f a f a K x a f b f a b f a f b f a b f a f b f a b f SATZ 14 Sei K ein Körper, und sei f K x Dann ist K x / f,,,, 0 f, 1 f ein Ring mit Eins SATZ 15 Sei K ein Körper, und sei f K x irreduzibel über K Dann ist K x / f ein Körper K x / f wieder ein kommutativer Ring mit 1 Es bleibt zu zeigen, dass jedes K x / f mit 0 f invertierbar ist Sei K x so, dass f Da f irreduzibel ist, und kein Vielfaces von f ist, gilt ggt, f 1 Es gibt also u, v K x, sodass u v f 1 Es gilt also u f f u f 1 v f f 1 f Wenn K ein endlicer Körper mit q Elementen ist, und f ein über K irreduzibles Polynom vom Grad n, dann ist K x / f ein Körper mit q n Elementen Wenn wir also irreduzible Polynome über p finden, können wir daraus größere endlice Körper konstruieren In [Lidl and Niederreiter, 1983, p142, 327] finden wir eine untere Scranke für die Anzal der irreduziblen Polynome über einem endlicen Körper SATZ 16 Sei K ein endlicer Körper mit q Elementen Von den q n normierten Polynomen vom Grad n über K sind zumindest 1 2n qn Polynome irreduzibel Der folgende Satz liefert einen Test, ob ein Polynom irreduzibel über einem endlicen Körper mit q Elementen ist SATZ 17 Sei K ein Körper mit q Elementen, sei n und sei f K x mit deg f n Äquivalent sind: (1) Für alle i 1, 2,, n gilt: 2 (2) f ist irreduzibel über K ggt f, x qi x 1 3 Eigenscaften endlicer Körper Für n kürzen wir mit n 1 ab n mal

6 6 1 ENDLICHE KÖRPER DEFINITION 18 Sei K ein Körper und sei N die Menge, die durc N n n 1 0 definiert ist Wenn N leer ist, dann definieren wir die Carakteristik von K als 0, wenn N nict leer ist, dann definieren wir die Carakteristik von K als das kleinste Element in N Für einen endlicen Körper ist die Carakteristik also das kleinste a mit a 1 0 Die Carakteristik von p ist p SATZ 19 Sei K ein endlicer Körper Dann ist seine Carakteristik eine Primzal Beweis: Da K endlic ist, gibt es a, b mit a > b und a 1 b 1, also a b 1 0 Wir zeigen nun, dass min n n 1 0 eine Primzal ist Sei p dieses Minimum Wenn es c, d < p gibt, sodass cd p, dann gilt c 1 d 1 0, also entweder c 1 0 oder d 1 0 Das widersprict der Minimalität von p Also ist p eine Primzal SATZ 110 Sei K ein endlicer Körper mit q Elementen, und sei p die Carakteristik von K Dann gibt es ein n, sodass q p n SATZ 111 Sei E ein Körper der Carakteristik p mit q p m Elementen Dann gilt für alle x, y E: (1) x y p x p y p (2) x q x Beweis: (1): Nac dem binomiscen Lersatz gilt p 1 x y p x p p i x i y p i y p i 1 Da p i für alle i 1, 2,, p 1 Vielface von p sind, gilt x y p x p y p (2): Wir verwenden den Satz von Fermat für die Gruppe E, und eralten, dass alle x 0 die Gleicung x q 1 1 erfüllen ÜBUNGSAUFGABEN 112 (1) Sei K ein Körper der Carakteristik p, sei m, und seien x, y K Zeigen Sie: x y pm x pm y pm (2) Sei K ein Körper, und sei f K x Seien Α 1, Α 2,, Α k K paarweise versciedene Nullstellen von f Zeigen Sie, dass x Α i ein Teiler von f in K x ist (3) Zeigen Sie, dass ein Polynom in K x vom Grad n, das n 1 versciedene Nullstellen at, automatisc das Nullpolynom sein muss

7 3 EIGENSCHAFTEN ENDLICHER KÖRPER 7 DEFINITION 113 Sei K ein endlicer Körper mit q Elementen Ein Element Α K ist ein primitives Element von K, wenn K 0 1, Α, Α 2, Α 3,, Α q 2 Ein Element ist also genau dann primitiv, wenn jedes von Null versciedene Körperelement eine Potenz von Α ist DEFINITION 114 Sei K ein endlicer Körper, und sei Α K 0 Die Ordnung von Α in K ist gegeben durc ord Α min k Α k 1 LEMMA 115 Sei K ein endlicer Körper mit q Elementen, und sei Α K 0, und sei m so, dass Α m 1 Dann gilt: (1) Die Ordnung von Α ist ein Teiler von m (2) Die Ordnung von Α ist ein Teiler von q 1 Für n ist φ n die Anzal der zu n teilerfremden Elemente in 1, 2,, n 1 SATZ 116 Sei K ein endlicer Körper mit q Elementen Dann gibt es genau φ q 1 primitive Elemente in K Beweis: Wir zeigen zunäcst, dass K zumindest ein primitives Element Α besitzt Sei q 1 Für 1 und q 2 ist 1 ein primitives Element Wir nemen also nun 2 an Wir bilden die Primfaktorzerlegung von und finden also N, Primzalen p 1, p 2,, p N und r 1, r 2,, r N sodass N m 1 p m r m Wir werden nun für jedes i 1, 2,, N ein Element a i und ein Element b i K 0 wälen: Es gilt p i Element a i K 0, sodass a i pi Es gilt dann < Da das Polynom x p i 1 öcstens p i Nullstellen at, gibt es ein 1 Wir setzen b i a i p i r i (31) b i p i r i 1 Sei nun k die Ordnung von b i, also das kleinste n, sodass b i n 1 Aus Gleicung (31) folgt, dass k p i r i Folglic gibt es ein s i 0, 1,, r i, sodass k p i s i Wir zeigen nun (32) s i r i

8 8 1 ENDLICHE KÖRPER Nemen wir an s i r i 1 Dann gilt b i p i r i 1 also a pi i 1 Das widersprict der Wal von a i ; dieser Widerspruc beweist (32) Die Ordnung von r b i ist also p i i Wir bilden nun Klarerweise gilt c N 1, c b i i 1 1 Wir zeigen nun, dass c wirklic Ordnung at Wenn c kleinere Ordnung ätte, dann gibt es ein j 1,, N, sodass c p j (33) N b p j i 1 i 1 1 Daer gilt Falls i j, so gilt p i r i p j Wegen (31) sind also Faktoren in (33) mit i j gleic 1 Wir eralten also b j p j 1 Da b j wegen (32) die Ordnung p j r j at, gilt p j r j p j Daer gilt p j r j 1, was im Widerspruc zur Primfaktorzerlegung von stet Das Element c at also wirklic Ordnung, und ist somit ein primitives Element von K Man kann dann zeigen, dass die primitiven Elemente von K genau die Elemente in c i i 1, 2,, q 1 und ggt i, q 1 1 sind SATZ 117 Sei n, n 6 Dann gilt φ n Logaritmus zur Basis e) n (Dabei nemen wir den 6 log log n SATZ 118 Sei K ein Körper mit q Elementen, und sei Α K Dann ist Α genau dann primitiv, wenn für jede Primzal p, die q 1 teilt, folgendes gilt: Α q 1 p 1 SATZ 119 Sei p eine Primzal, sei m, und sei q p m Sei f ein normiertes, über p irreduzibles Polynom in p x vom Grad m Dann ist jeder Körper mit q Elementen zu p x / f isomorp

9 Literaturverzeicnis [Lidl and Niederreiter, 1983] Lidl, R and Niederreiter, H (1983) Finite fields, volume 20 of Encyclopedia of Matematics and its Applications Addison-Wesley Publising Company Advanced Book Program, Reading, MA Wit a foreword by P M Con 9