Was bisher geschah...

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1 Polynomcodes, Fortsetzung p. 1 Was bisher geschah... Zyklische Codes versteht man beser als Polynomcodes Polynomcodes erhält man als Hauptideale im Ring GF(q)[X]/X n 1. Solche Hauptideale bestehen aus allen Vielfachen (modulo X n 1) eines festen Polynoms, dem Generatorpolynom des Codes. Das Generatorpolynom ist das normierte Polynom 0 mit dem kleinsten Grad im Code. Das Generatorpolynom ist ein Teiler von X n 1.

2 Polynomcodes, Fortsetzung p und wie es weitergeht Gute Polynomcodes zu finden bedeutet also, gute Generatorpolynome zu finden. Weil Generatorpolynome Teiler von X n 1 sind, suchen wir also nach bestimmten Teilern von X n 1. Es stellen sich zwei Fragen: Wie findet man Teiler von X n 1? Welche Teiler ergeben gute Codes? Gerechnet wird mit Polynomen, deren Koeffizienten aus einem endlichen Körper GF(q) stammen. Wir spezialisieren hier auf den Fall, dass p eine Primzahl ist.

3 Polynomcodes, Fortsetzung p. 3 Charakteristik eines Körpers Wenn in einem Körper K die Vielfachen der Eins 1, 1 + 1, ,...,n 1,... allesamt verschieden sind, dann hat K die Charakteristik Null. Anderenfalls gibt es eine kleinste natürliche Zahl p mit p 1 = 0, und K hat die Charakteristik p. Die Charakteristik ist entweder Null oder eine Primzahl. GF(p n ) hat die Charakteristik p.

4 Polynomcodes, Fortsetzung p. 4 Binomialkoeffizienten modp Wenn p eine Primzahl ist, dann ist der Binomialkoeffizient ( ) p p! p (p 1) (p i + 1) = = i i! (p i)! i (i 1) 2 1 außer für i = 0 und i = p durch p teilbar. Man hat also, falls p prim, ( ) { p 1 falls i = 1 oder i = p mod p = i 0 falls 0 < i < p.

5 Polynomcodes, Fortsetzung p. 5 Binomische Formel Die binomische Formel (a + b) p = p i=0 ( ) p a i b p i i vereinfacht sich radikal, wenn modulo p gerechnet wird: (a + b) p mod p = a p + b p. Alle Zwischenterme ( p i) ai b p i, 0 < i < p, fallen modulo p ja weg.

6 Polynomcodes, Fortsetzung p. 6 Der Frobenius-Automorphismus Für je zwei Elemente a,b aus einem Körper der Charakteristik p gilt (a + b) p = a p + b p, (a b) p = a p b p. Die Abbildung x x p ist ein Körperautomorphismus. Man nennt sie den Frobenius-Automorphismus.

7 Polynomcodes, Fortsetzung p. 7 Bijektivität Dass diese Abbildung bijektiv ist, folgt aus dem Satz vom primitiven Element: Natürlich gilt 0 p = 0. Jedes von 0 verschiedene Element ist Potenz α i eines primitiven Elements α und es gilt (α i ) p = α i p mod q 1. Weil p zu q 1 teilerfremd ist, ist die Abbildung i i p mod q 1 bijektiv.

8 Polynomcodes, Fortsetzung p. 8 Fixpunkte Die Elemente 0, 1, 1 + 1, ,... des Primkörpers sind allesamt Fixpunkte des Frobenius-Algorithmus. Ist f(x) = a 0 + a 1 X + + a n X n ein Polynom, dessen Koeffizienten a 0,a 1,...,a n aus dem Primkörper stammen, dann gilt (f(x)) p = (a 0 + a 1 X + + a n X n ) p = a p 0 + ap 1 Xp + + a p n(x n ) p = a 0 + a 1 X p + a 2 (X p ) a n (X p ) n = f(x p ).

9 Polynomcodes, Fortsetzung p. 9 Nullstellen Ist q = p n und f(x) GF(q)[X] ein Polynom, dessen Koeffizienten aus dem Primkörper stammen, dann gilt f(x) p = f(x p ). Insbesondere gilt: Wenn a eine Nullstelle von f(x) ist, dann ist auch a p eine Nullstelle von f(x). Umkehrung (ohne Beweis): Wenn f(x) in GF(p n )[X] in Linearfaktoren zerfällt und wenn mit jeder Nullstelle a auch a p eine Nullstelle von f(x) ist, dann hat f(x) Koeffizienten aus dem Primkörper.

10 Polynomcodes, Fortsetzung p. 10 Faktorisierungsstrategie für X n 1 Wir wollen alle Teiler von X n 1 in GF(p)[X] finden, also Teiler mit Koeffizienten aus GF(p). Dazu gehen wir folgendermaßen vor: Wähle q := p s so, dass X n 1 in GF(q)[X] in Linearfaktoren zerfällt. Fasse Linearfaktoren zusammen, die in der gleichen Bahn des Frobenius-Automorphismus liegen und erhalte so Teiler mit Koeffizienten aus GF(p).

11 Polynomcodes, Fortsetzung p. 11 Beispiel: X 17 1 GF(2)[X] Welche (irreduziblen) Faktoren hat das Polynom X 17 1 GF(2)[X]? Strategie: Wähle q := 2 s so, dass X 17 1 in GF(q)[X] in Linearfaktoren zerfällt. Fasse Linearfaktoren zusammen, die zur einer Bahn des Frobenius-Automorphismus gehören. Der erste Schritt bedeutet: Wähle q = 2 s so, dass 17 ein Teiler von q 1 ist. Dazu wählt man s so, dass 2 s mod 17 = 1 ist. Die Potenzen von 2 modulo 17 sind: 2, 4, 8, 16, 15, 13, 9, 1,...

12 Polynomcodes, Fortsetzung p. 12 X 17 1 zerfällt in GF(2 8 )[X] Weil 17 ein Teiler von ist, enthält GF(2 8 ) eine primitive 17te Einheitswurzel β. Man hat dann X 17 1 = ( β) (X β 2 ) (X β 17 ). Alle Teiler von X 17 1 lassen sich als Produkte dieser Linearfaktoren und von Skalaren schreiben. Ein Teiler f(x) hat genau dann Koeffizienten aus dem Primkörper GF(2), wenn jeweils mit β i auch βi 2 mod 17 Nullstelle ist.

13 Polynomcodes, Fortsetzung p. 13 Zyklotome Klassen Die Bahnen der Abbildung x 2x mod 17 sind {0} {1, 2, 4, 8, 16, 15, 13, 9} {3, 6, 12, 7, 14, 11, 5, 10} Wenn f(x) ein irreduzibler Teiler von X 17 1 ist und nur Koeffizienten aus GF(2) hat, dann gibt es folgende Möglichkeiten: f(x) = X 1 f(x) = (X β 1 ) (X β 2 ) (X β 4 ) (X β 9 ) f(x) = (X β 3 ) (X β 6 ) (X β 12 ) (X β 10 )

14 Polynomcodes, Fortsetzung p. 14 Konkret, bitte! Frage: In den auf der vorigen Folie angegebenen Polynomen kommt das Element β vor. Wie bestimmt man denn diese Polynome konkret? Antwort: Man muss dazu in GF(q) rechnen, im angegebenen Fall also in GF(2 8 ). Man wählt sich ein primitives Polynom p(x) GF(2)[X] vom Grad 8. Man berechnet β := X 15 mod p(x). Weil = 255 ist, ist β eine primitive 17te Einheitswurzel in GF(256). Nun kann man die auf der vorigen Folie angegebenen Polynome konkret ausrechnen. In Ergebnis fallen alle komplizierten Koeffizenten weg und es bleiben nur die Koeffizienten 0 und 1 übrig.

15 Polynomcodes, Fortsetzung p. 15 Noch ein Beispiel: X 11 1 Faktorisiere X 11 1 in GF(2)[X]. Finde s. Berechne dazu die Potenzen von 2 modulo 11: 2, 4, 8, 5, 10, 9, 7, 3, 6, 1. s = 10, 11 teilt 1023 = Die zyklotomen Klassen sind {0} und {2, 4, 8, 5, 10, 9, 7, 3, 6, 1}. Die Zerlegung in irreduzible Faktoren lautet also X 11 1 = (X 1)(X 10 +X 9 +X 8 +X 7 +X 6 +X 5 +X 4 +X 3 +X 2 +X+1).