Codierung zur Fehlerkorrektur und Fehlererkennung

Transkript

1 Codierung zur Fehlerkorrektur und Fehlererkennung von Dr.-techn. Joachim Swoboda Mit 39 Bildern und 24 Tafeln R. OLDENBOURG VERLAG MÜNCHEN WIEN 1973

2 Inhalt Vorwort 9 1. Einführung Redundante Codierung Die einfache Paritätskontrolle Das Verfahren von Hamming Geometrische Deutung des Code-Raumes, Hamming-Distanz und korrigierbare Fehlerzahl Dichtgepackte Codes und Hamming-Grenze Rückgekoppelte Schieberegister und zyklische Codes Zur Historie der Codierungsverfahren, Probleme und Entwicklungstendenzen Algebra der Restklassen (1. Teil) Restklassen bezüglich einer Zahl M, Rechnung modulo M Definition und Beispiele für Gruppe, Ring und Körper Axiome und Beispiele für Ring und Körper Gesetze für die Rechnung modulo M Beweis von Satz Vektoren, Matrizen und lineare Gleichungen Einige Klassen und Eigenschaften von Binärcodes Binäre Block-Codes Einige Eigenschaften von Block-Codes Binäre Gruppen-Codes Nachweis für die Erfüllung der Gruppenaxiome Distanz- und Gewichtsverteilung eines Gruppencode Lineare systematische Binärcodes Nachweis der Gruppen-Axiome für den linearen systematischen Code Erkennbarkeit von Fehlern 44

3 6 Inhalt Bedingungen an die Prüfspalten bei vorgegebener Hamming-Distanz Korrigierbarkeit von Fehlermustern Andeutung für das Aufstellen eines Prüfschemas Zyklische Binär-Codes Der zyklische Code als spezieller Gruppen-Code Die Ermittlung der Kontrollstellen Zur Gruppeneigenschaft des zyklischen Code Algebra der Restklassen (2. Teil: Polynom-Rest к lassen) Polynome in der Rechnung modulo Reduzible Polynome Irreduzible Polynome Restklassen bezüglich eines Polynoms M(u), Rechnung modulo M(u) Beweis des Satzes Ein Beispiel für die Rechnung modulo M(u) Zyklische Eigenschaft der Potenzreste Beispiele für den Zyklus der Polynomreste Ergänzendes zum Zyklus der Potenzreste Polynombeschreibung für rückgekoppelte Schieberegister Wurzeln und Minimalpolynome Die Wurzeln eines Polynoms P(u) Das Minimalpolynom eines Elementes a Allgemeine Eigenschaften von zyklischen Binär-Codes Zyklische Eigenschaft der Codeworte und verkürzte zyklische Codes Das Prüfschema zyklischer Binär-Codes Eine erste Herleitung des Prüfschemas Eine zweite Herleitung des Prüfschemas Erkennbarkeit von beliebig verteilten Fehlerstellen Erkennbarkeit eines Fehlerbüschels Differenzengleichung für die Codewortstellen Spezielle zyklische Codes Der zyklische Hamming-Code Beweis der Codeeigenschaften Die Gewichtsverteilung des Hamming-Code ' Der zyklische Abramson-Code Das Prüfschema des Abramson-Code Beweis der Codeeigenschaften Die Gewichtsverteilung des Abramson-Code 89

4 7 6.3 Der Fire-Code Das Prüfschema des Fire-Code Beweis der Codeeigenschaften Zur Korrektur eines Fehlerbüschels Der Bose-Chaudhuri-Code Beispiel für einen BCH-Code, Prüfschema und Generatorpolynom Beweis der Codeeigenschaften Weitere Codes Das Verfahren der Codespreizung Reed-Muller-Code Reed-Solomon-Code Schaltungen fur Codierung und Decodierung zyklischer Codes Schaltungen für die Codierung Schaltungen aus dem Generatorpolynom G(u) Schaltungen aus dem orthogonalen Polynom H(u) Schaltungen für die Fehlererkennung Schaltungen für die Fehlerkorrektur Detektormuster für eine Fehlerstelle Detektormuster für Büschelfehler Bemerkung zur Korrektur beliebiger Fehler Zur Restfehlerwahrscheinlichkeit Die Verteilung der Fehlerzahl in einem Codewort Restfehlerwahrscheinlichkeit bei Fehlerkorrektur Restfehlerwahrscheinlichkeit bei Fehlererkennung Zur Reduktionsfunktion Ein Beispiel zum Vergleich Anwendungsbeispiele Beispiele aus der Informationsübertragung Beispiele aus der Informationsspeicherung Beispiele aus der Informationsverarbeitung Ausblick: Weitere Korrekturverfahren Korrektur durch Listenvergleich Korrektur mittels Permutation der Codeworte Korrektur durch probeweise Fehlermuster-Überlagerung 139

5 8 Inhalt 10.4 Stellenweise Korrektur für BCH-Codes Stufen-Codes und ihre Korrektur Sequentielle Codes Sequentielle Decodierung Korrektur durch Schwellwert-Decodierung 145 Literatur 147 Stichwortverzeichnis 152