Kanalkodierung. 6 Kanalkodierung Zielstellung. Störungen der übertragenen Daten. 6 Kanalkodierung Zielstellung WS 2018/2019

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1 Fakultät Informatik Institut Systemarchitektur Professur Datenschutz und Datensicherheit WS 2018/ Kanalkodierung Dr.-Ing. Elke Franz 6 Kanalkodierung Zielstellung en der übertragenen Daten Teilnehmer A Angreifer Teilnehmer B Teilnehmer C Teilnehmer D Angreifer Beispiel: Teilnehmer A will mit Teilnehmer D Informationen austauschen Informatik I (für Verkehrsingenieure) WS 2018/ Kanalkodierung Zielstellung en auf dem Kanal verfälschen Informationen Ursachen in Eigenschaften realer Kanäle Stochastischer Charakter Einsatz störungsgeschützter Kodierverfahren (Kanalkodierung) Angreifer auf dem Kanal Abhören der Daten Verfälschen der Daten Ausgabe als anderer Teilnehmer Einsatz kryptographischer Verfahren Unterbrechen der Verbindung Verweigerung der Diensterbringung Informatik I (für Verkehrsingenieure) WS 2018/

2 6 Kanalkodierung Modell Modell der gestörten Informationsübertragung Quelle X Quellenkodierung A * Kanalkodierung A Kanal E Senke B * Quellendekodierung Kanaldekodierung B Informatik I (für Verkehrsingenieure) WS 2018/ Kanalkodierung Modell Hinzufügen von Koderedundanz (Kontrollinformation) Redundanz ist Voraussetzung für die Erkennung und Korrektur von Fehlern Kodierung: A * U l A U n (Kanal-)Kodewort a {0,1} n Kodewortlänge n = l + k Quelle X Quellenkodierung A * Kanalkodierung A Kanal E Senke B * Quellendekodierung Kanaldekodierung B Informatik I (für Verkehrsingenieure) WS 2018/ Kanalkodierung Prinzipien der Fehlerkorrektur Fehlerkorrektur durch Wiederholung automatic repeat request (ARQ) Mit Entscheidungsrückmeldung Ergebnis der Prüfung wird Sender mitgeteilt Im Fehlerfall erfolgt erneute Übertragung durch Rekonstruktion forward error correction (FEC) Zugefügte Redundanz dient der Fehlererkennung sowie der Lokalisierung der Fehlerposition Lokalisierung ermöglicht Korrektur Informatik I (für Verkehrsingenieure) WS 2018/

3 6 Kanalkodierung Prinzipien der Fehlerkorrektur Ergebnisse der Rekonstruktion (FEC) Korrekte Rekonstruktion Die ermittelte Fehlerposition führt zur Korrektur der Empfangsfolge in das gesendete Kodewort. Falsche Rekonstruktion Die ermittelte Fehlerposition führt zur Korrektur der Empfangsfolge in ein anderes Kodewort oder der Fehler ist nicht erkennbar (in diesem Fall ist die Empfangsfolge ein Kodewort). Versagen der Rekonstruktion Kanaldekodierer findet keine Lösung, d.h. der Fehler ist erkennbar, aber nicht korrigierbar. Informatik I (für Verkehrsingenieure) WS 2018/ Kanalkodierung Prinzipien der Fehlerkorrektur Prinzipielle Annahme für die Rekonstruktion Wahrscheinlichkeit für Einfachfehler größer als Wahrscheinlichkeit für Zweifachfehler usw. Zuordnung einer fehlerhaften Folge zum am nächsten gelegenen Kodewort Unterschiedliche Dekodierungsprinzipien Maximum Likelihood: Überführung einer Empfangsfolge in das am nächsten gelegene Kodewort Rekonstruktion mit Mindestdistanz: Korrektur nur, wenn Empfangsfolge innerhalb einer sogenannten Korrekturkugel Informatik I (für Verkehrsingenieure) WS 2018/ Kanalkodierung Redundanz Notwendigkeit von Redundanz Zeichen Quellenkodierung A 00 B 01 C 10 D 11 Verfälschungen nicht erkennbar Hinzufügen von Redundanz in Form einer Binärstelle: Kode 1 ermöglicht Quellenkodierung Kode 1 Kode 2 ebenfalls keine Erkennung Redundanz so hinzufügen, dass Abstand zwischen Kodewörtern vergrößert wird Informatik I (für Verkehrsingenieure) WS 2018/

4 6 Kanalkodierung Redundanz Kodewortabstand bzw. HAMMING-Distanz d ij Anzahl der Stellen, in denen sich zwei Kodewörter a i = (u i1 u i2 u in ) und a j = (u j1 u j2 u jn ) unterscheiden Beispiel: a i = a j = d ij = 2 Binärkode: Summe der bitweisen Modulo-2-Addition der Kodewörter a i und a j : a i = Å a j = = Informatik I (für Verkehrsingenieure) WS 2018/ Kanalkodierung Redundanz Minimale HAMMING-Distanz d min Kleinster Abstand zwischen den Kodewörtern Erlaubt Beurteilung hinsichtlich Fehlererkennungs- und Fehlerkorrekturmöglichkeiten Kode 1 a 1 = 000 a 2 = 010 a 3 = 100 a 4 = 110 Kode 2 a 1 = 000 a 2 = 011 a 3 = 101 a 4 = 110 d min = 1 d min = 2 Es gibt Verfälschungen, die nicht erkennbar sind. Die Verfälschung einer beliebigen Bitstelle ist mit Sicherheit erkennbar. Informatik I (für Verkehrsingenieure) WS 2018/ Kanalkodierung Fehlererkennung Geometrische Deutung: Korrekturkugeln a x a y Ein Kode kann mit Sicherheit alle Verfälschungen durch Fehlermuster bis zu 1 Stellen erkennen Kodeparameter: (n, l, d min ) Stellen korrigieren Informatik I (für Verkehrsingenieure) WS 2018/

5 6 Kanalkodierung Fehlererkennung Zusammenhang zwischen Erkennbarkeit von Fehlern und HAMMING-Gewicht des Fehlermusters HAMMING-Gewicht einer Binärfolge: Anzahl der mit 1 belegten Stellen HAMMING-Gewicht des Fehlermusters : Mit Sicherheit erkennbar sind Fehlermuster mit. Darüber hinaus sind alle Verfälschungen erkennbar, die auf eine ungültige Folge führen (d.h., A). Informatik I (für Verkehrsingenieure) WS 2018/ Algebraische Kanalkodes Eigenschaften einer algebraischen Struktur Bedeutung: verkürzte Abspeicherung des Kanalkodealphabets Anwendung der Verknüpfungsoperationen der jeweiligen Struktur vereinfachen Kodierung der Quellenkodewörter a * und Dekodierung der Empfangsfolgen b Gruppenaxiome: Abgeschlossenheit bzgl. der Gruppenoperation Assoziativgesetz Existenz eines neutralen Elements Existenz eines inversen Elements zu jedem Gruppenelement Informatik I (für Verkehrsingenieure) WS 2018/ Paritätskode Erweiterung der Quellenkodewörter a i* = (u i1 u i2 u il ) um eine redundante Stelle u i,l+1 (Paritätselement) Ergänzung auf geradzahliges Gewicht: l u i, l 1 uij mod 2 j 1 Kanalkodewort: a i = (u i1 u i2 u il u i,l+1 ) Parameter: (n, l, d min ) = (n, n-1, 2) f e = 1: Einzelfehler werden mit Sicherheit erkannt n 0 : b A Fehlerprüfung: s0 uij mod 2 j 1 1: b A außerdem Erkennung aller Fehler mit ungeradzahligem Gewicht des Fehlermusters Informatik I (für Verkehrsingenieure) WS 2018/

6 Zyklische Kodes Ein Kode heißt zyklisch, wenn für jedes Kanalkodewort durch zyklische Verschiebung der Elemente wieder ein Kanalkodewort entsteht. Beispiel: ( ) Kanalkodewort ( ), ( ), ( ), ebenfalls Kanalkodewörter Beispiel für zyklische Kodes: BCH-Kodes (benannt nach Bose, Chaudhuri und Hoquenhem) mit Elementen in GF(2) (GF(2): Galois Field, endlicher Körper mit 2 Elementen: {0,1}) Fehlererkennung entsprechend d min, zusätzlich Erkennung von Bündelfehlern bis zu f b k ( sowie Erkennung aller Verfälschungen, die auf eine ungültige Folge führen) Informatik I (für Verkehrsingenieure) WS 2018/ Für Beschreibung zyklischer Kodes geeignete Darstellung der Kodewörter a i = (u n-1 u n-2 u 0 ) als Koeffizienten eines Polynoms mit a i (x)= u n-1 x n-1 + u n-2 x n u 0 x 0 Kanalkodewort a(x) mit n Stellen hat maximal den Grad n-1 Beispiel: a = (010011) (= 0 x x x x x x 0 ) a(x) = x 4 + x + 1 Addition in GF(2): Addition modulo 2, d.h., bitweise XOR- Verknüpfung Informatik I (für Verkehrsingenieure) WS 2018/ Grundlage zyklischer Kodes: Generatorpolynom g(x) g(x) = x k + u k-1 x k u 0 x 0 beschreibt den Kode vollständig, notwendig für Kodierung, Dekodierung und Fehlererkennung Grad des Polynoms k = grad g(x) Produkt irreduzibler Minimalpolynome m i (x) (irreduzibel: nicht in ein Produkt von Polynomen zerlegbar) Modularpolynom M(x) (= m 1 (x)) Grundlage für die Bildung des Generatorpolynoms Grad des Modularpolynoms k 1 = grad M(x) bestimmt (maximale) Anzahl der Stellen der Kodewörter: n 2 k1 1 falls Modularpolynom primitiv, gilt n 2 k1 1 (primitiv: Zyklus der Polynomreste maximal) Informatik I (für Verkehrsingenieure) WS 2018/

7 Kodeparameter (n, l, d min ) Quellenkodewörter a * (x): l Informationsstellen Generatorpolynom vom Grad k (k: Anzahl redundanter Stellen) Länge der Kanalkodewörter n = l + k d min bestimmt Möglichkeiten der Fehlererkennung (f e ) und der Fehlerkorrektur (f k ) zusätzlich Erkennung von Bündelfehlern mit f b k Verschiedene Verfahren für Kodierung Multiplikationsverfahren Divisionsverfahren generell: jedes Kanalkodewort ist ein Vielfaches des Generatorpolynoms Informatik I (für Verkehrsingenieure) WS 2018/ Multiplikationsverfahren Kodierung: a(x) = a * (x) g(x) Übertragung: b(x) = a(x) e(x) Fehlererkennung: r(x) = 0: x x b g q x r mit q(x) = div(b(x), g(x)), r(x) = mod(b(x), g(x)) a) Übertragung fehlerfrei, d.h. b * (x) = q(x) = a * (x) oder b) Fehler nicht erkannt, d.h. b * (x) = q(x) a * (x) aber q(x) A * r(x) 0: Fehler erkannt Dekodierung: b * (x) = div(b(x), g(x)) Informatik I (für Verkehrsingenieure) WS 2018/ x Divisionsverfahren Kodierung: a(x) = a * (x) x k + r(x) 1. Multiplikation mit dem Polynom x k Verschiebung der Informationsstellen um k Stellen nach links 2. Ergebnis ist im Allgemeinen kein Vielfaches von g(x); Ermittlung und Subtraktion eines Restpolynoms r(x): (in GF(2) bedeutet Subtraktion Addition) a * x x g x k q * k x r x ; r x mod a x x, g x Fehlererkennung wie bei Multiplikationsverfahren Dekodierung: Divisionsverfahren ergibt systematischen Kode (systematisch: Position der Informationsstellen ist bekannt) Auslesen der Informationsstellen Informatik I (für Verkehrsingenieure) WS 2018/

8 Beispiel 1: Zyklischer HAMMING-Kode g(x) = m 1 (x) = M(x) Anzahl Kontrollstellen: k = grad g(x) k 1 = grad(m (x)) (beim HAMMING-Kode: k 1 = k) Modularpolynom primitiv n 2 k1 1 Eigenschaften bzgl. Fehlererkennung: d min = 3 Sicherere Erkennung von Einfach- und Zweifachfehlern (f e = 2) Erkennung von Bündelfehlern bis zu f b k Informatik I (für Verkehrsingenieure) WS 2018/ Beispiel 2: ABRAMSON-Kode g(x) = m 1 (x) m 0 (x) = M(x)(x+1) Erweiterung um eine Stelle Anzahl Kontrollstellen: k = grad(g(x)) k 1 = grad(m (x)) Modularpolynom primitiv n 2 k1 1 Kodewörter haben immer geradzahliges Gewicht Eigenschaften bzgl. Fehlererkennung: d min = 4 (f e = 3) Erkennung von Bündelfehlern bis zu f b k Erkennung ungeradzahliger Fehlermuster Informatik I (für Verkehrsingenieure) WS 2018/ Anwendungen Nutzung nur für Fehlererkennung: CRC-Kodes (Cyclic Redundancy Check), Anwendung z.b. in Protokollen auf der Sicherungsschicht ( Rechnernetze) oder beim Mobilfunk Bezeichnung: CRC-k Beispiele für genormte Polynome CRC-12 = x 12 + x 11 + x 3 + x 2 + x + 1 CRC-16 = x 16 + x 15 + x Effiziente Berechnung mit einfacher Schieberegisterschaltung (in Hardware umgesetzt) Informatik I (für Verkehrsingenieure) WS 2018/