Übung zu Drahtlose Kommunikation. 7. Übung

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1 Übung zu Drahtlose Kommunikation 7. Übung

2 Aufgabe 1 (Cyclic Redundancy Check) Gegeben ist das Generator-Polynom C(x) = x 4 + x a) Zeichnen Sie die Hardware-Implementation zum obigen Generator-Polynom (bestehend aus Schieberegistern und XOR-Gattern). b) Die folgende Nachricht soll übertragen werden: M(x) = x 8 +x 7 +x 6 +x 4 +x 3 +1 Sichern Sie die Nachricht mit dem obigen Generator-Polynom C(x) ab. Wie lautet die zu übertragende Nachricht T(x)? c) Gehen Sie davon aus, dass das 8. Bit (von rechts, an der Stelle x 7 ) bei der übertragenen Nachricht T(x) gekippt ist. 7. Übung Drahtlose Kommunikation 2

3 Cyclic Redundancy Check polynomielle Arithmetik modulo 2 Koeffizienten entweder 0 oder 1 kein Übertrag zu berücksichtigen Addition und Subtraktion identisch, XOR 6. Übung Drahtlose Kommunikation 3

4 Cyclic Redundancy Check Was wird übertragen, wenn gilt 6. Übung Drahtlose Kommunikation 4

5 Aufgabe 1 (Cyclic Redundancy Check) Gegeben ist das Generator-Polynom C(x) = x 4 + x a) Zeichnen Sie die Hardware-Implementation zum obigen Generator-Polynom (bestehend aus Schieberegistern und XOR-Gattern). 7. Übung Drahtlose Kommunikation 5

6 Cyclic Redundancy Check 6. Übung Drahtlose Kommunikation 6

7 Aufgabe 1 (Cyclic Redundancy Check) Gegeben ist das Generator-Polynom C(x) = x 4 + x a) Zeichnen Sie die Hardware-Implementation zum obigen Generator-Polynom (bestehend aus Schieberegistern und XOR-Gattern). 7. Übung Drahtlose Kommunikation 7

8 Aufgabe 1 (Cyclic Redundancy Check) Gegeben ist das Generator-Polynom C(x) = x 4 + x a) Zeichnen Sie die Hardware-Implementation zum obigen Generator-Polynom (bestehend aus Schieberegistern und XOR-Gattern). Output x 4 x 3 C 3 C 2 C 1 C 0 x 2 x 1 Input x 0 x 4 x 3 x 2 x 1 x 0 C 3 C 2 C 1 C 0 x 4 + x Übung Drahtlose Kommunikation 8

9 Aufgabe 1 (Cyclic Redundancy Check) C(x) = x 4 + x C(x) = M(x) = x 8 +x 7 +x 6 +x 4 +x 3 +1 M(x) = x 4 x 3 x 2 x 1 x 0 C 3 C 2 C 1 C 0 x 4 + x C 3 C 2 C 1 C 0 C 3 C 2 I C 3 I I=Input Übung Drahtlose Kommunikation 9

10 Aufgabe 1 (Cyclic Redundancy Check) C(x) = x 4 + x T(x) = x 12 +x 11 +x 10 +x 8 +x 7 +x 4 +x 2 C(x) = T(x) = C 3 C 2 C 1 C 0 C 3 C 2 I C 3 I I=Input Übung Drahtlose Kommunikation 10

11 Aufgabe 1 (Cyclic Redundancy Check) Gegeben ist das Generator-Polynom C(x) = x 4 + x b) Die folgende Nachricht soll übertragen werden: M(x) = x 8 +x 7 +x 6 +x 4 +x 3 +1 Wie lautet die zu übertragende Nachricht T(x)? T(x) = Übung Drahtlose Kommunikation 11

12 Aufgabe 1 (Cyclic Redundancy Check) Gegeben ist das Generator-Polynom C(x) = x 4 + x M(x) = x 8 +x 7 +x 6 +x 4 +x 3 +1 T(x) = x 12 +x 11 +x 10 +x 8 +x 7 +x 4 +x 2 M(x) = T(x) = x 7 gekippt ->T (X) = c) Gehen Sie davon aus, dass das 8. Bit (von rechts, an der Stelle x 7 ) bei der übertragenen Nachricht T(x) gekippt ist. 7. Übung Drahtlose Kommunikation 12

13 Aufgabe 1 (Cyclic Redundancy Check) Gegeben ist das Generator-Polynom C(x) = x 4 + x M(x) = x 8 +x 7 +x 6 +x 4 +x 3 +1 T(x) = x 12 +x 11 +x 10 +x 8 +x 7 +x 4 +x 2 M(x) = T(x) = d) Manipulieren Sie die übertragene Nachricht T(x) so, dass der Fehler mittels CRC nicht erkannt wird. 7. Übung Drahtlose Kommunikation 13

14 Aufgabe 1 (Cyclic Redundancy Check) Gegeben ist das Generator-Polynom C(x) = x 4 + x M(x) = x 8 +x 7 +x 6 +x 4 +x 3 +1 T(x) = x 12 +x 11 +x 10 +x 8 +x 7 +x 4 +x 2 M(x) = T(x) = d) Manipulieren Sie die übertragene Nachricht T(x) so, dass der Fehler mittels CRC nicht erkannt wird. 7. Übung Drahtlose Kommunikation 14

15 Cyclic Codes C(x) = x 3 + x > 1101 Error-Pattern: : Übung Drahtlose Kommunikation 15

16 Cyclic Codes C(x) = x 3 + x > 1101 T(X) = Übung Drahtlose Kommunikation 16

17 Faltungscode (engl. Convolutional Code) Informationsbits sind explizit im Codewort enthalten Folgezustand hängt vom aktuellen Zustand, dem Eingangswert und der Rückkopplungsstruktur des Codierers ab Ans Ende der Informationsfolge wird ein sogenanntes Tailbit gesetzt um einen definierten Zustand zu erreichen. Hauptmerkmal von Faltungscodes (Unterscheidung zu Blockcodes): Decodierung beruht nicht auf einer Prüfgleichung, sondern auf der optimalen Schätzung einer Empfangsfolge. 7. Übung Drahtlose Kommunikation 17

18 Faltungscode (engl. Convolutional Code) mit (n,k,k) = (2,1,3) Implementation über Register und XOR Zustandsdiagramm 7. Übung Drahtlose Kommunikation 18

19 (n,k,k) = (2,1,3) Anfangszustand: Inhalt des Schieberegisters ist 0 0 Von links wird aktuelles Informationsbit in das Schieberegister eingeschoben. Dort wird es mit anderen Informationsbit des Schieberegisters zu n-codebit Ausgabe verknüpft. 7. Übung Drahtlose Kommunikation 19

20 (n,k,k) = (2,1,3) Allgemein: Es gibt eine Einflusslänge L c = (K*k), welche der Länge des Schiebregisters entspricht, d.h. jedes Informationszeichen beeinflusst L c -mal das Ausgangswort. Je größer diese Einflusslänge ist, desto mehr Kombinationsmöglichkeiten sind zur Bildung des Codes vorhanden und desto leistungsfähiger ist der Faltungscoder. Einflusslänge entspricht der Rolle der Blocklänge n bei den linearen Blockcodes. Coderate bei Faltungscodes beträgt: R = k n 7. Übung Drahtlose Kommunikation 20

21 Hamming Code 7. Übung Drahtlose Kommunikation 21

22 a) Erläutern Sie, was in einem (n,k,k) Faltungscode die Variablen n, k und K repräsentieren? (n,k,k) k -> Eingangsbit (Informationszeichen ist 1 Bit lang) K -> Begrenzungsfaktor (Länge des Schieberegisters ist k*k) n -> Ausgangsbit (für jedes Eingangsbit entstehen n Ausgangsbits) -> somit n Verknüpfungen (n, k, K) code Input processes k bits at a time Output produces n bits for every k input bits K = constraint factor k and n generally very small n-bit output of (n, k, K) code depends on: Current block of k input bits Previous K-1 blocks of k input bits 7. Übung Drahtlose Kommunikation 22

23 (n,k,k) = (2,1,3) Beispiel: Eingangscodefolge: Coderate R = 1 2 Faltungscode: input u n u n-1 u n-2 v n1 =u n-2 u n-1 u n v n2 =u n-2 u n v n1 +v n Übung Drahtlose Kommunikation 23

24 (n,k,k) = (2,1,3) Eingangscodefolge: Faltungscode: Codebaum Beim Codebaum repräsentiert jedes Eingangsbit eine neue Verzweigung des Baumes. Die Ausgabefolge wird an den dazugehörigen Ästen abgelesen. Dabei ist besonders wichtig, dass jede Eingebefolge mit 00 abgeschlossen wird. Aus der Eingangsfolge 1011 wird deshalb Somit entspricht jede Informationsfolge genau einem Pfad durch den Baum, dies führt zu einem exponentiellen Anwachsen des Baumes mit entsprechend großer Redundanz. Der Codebaum wird benutzt um die sequentielle Decodierung zu beschreiben. 7. Übung Drahtlose Kommunikation 24

25 (n,k,k) = (2,1,3) Netzdiagramm (trellis) Eingangscodefolge: Faltungscode: Das Netzdiagramm besteht aus Knoten und Zweigen, dabei stellen die Knoten die Zustände (also das Gedächtnis des Codierers) dar. Die Zweige beschreiben den Übergang von einem Zustand in den darauf folgenden. An den Zweigen stehen wie beim Codebaum die durch die jeweiligen Eingangsbit erzeugten Ausgangsbit, auch hier muss die Eingangsfolge mit 00 abschließen. Das trellis enthält weniger Redundanz als der Codebaum, da hier gleiche Zweige für mehrere Wege benutzt werden können. 7. Übung Drahtlose Kommunikation 25

26 (n,k,k) = (2,1,3) Eingangscodefolge: Faltungscode: Zustandsdiagramm Der Darstellung des Zustandsdiagramm liegt ein Mealy-Automat zugrunde. Sie geht im Endeffekt aus dem Netzdiagramm hervor, indem man die zeitliche Komponente des trellis weglässt. Die Darstellung ist sehr kompakt. Jegliche Redundanz, die das Netzdiagramm noch aufwies entfällt Jeder Zustand wird genau einmal gekennzeichnet. Da die Darstellung ein Mealy-Automat ist, steht in den Zuständen der Inhalt des Gedächtnisses und an den Kanten die Ausgabe bzw. das Eingangsbit. Für unsere Eingangsfolge ergibt sich wieder der Faltungscode Allgemein ist zum Zustandsdiagramm zu sagen, dass diese 7. Übung Drahtlose Kommunikation 26

27 Trellis diagram expanded encoder diagram Viterbi code error correction algorithm Compares received sequence with all possible transmitted sequences Algorithm chooses path through trellis whose coded sequence differs from received sequence in the fewest number of places Once a valid path is selected as the correct path, the decoder can recover the input data bits from the output code bits 7. Übung Drahtlose Kommunikation 27

28 Decodieren von Faltungscodes mithilfe des Viterbi-Decodierverfahrens Maximum-Likelihood-Decoder, d.h., er wählt aus allen möglichen Codefolgen die wahrscheinlichste aus. Die Codefolge ist am wahrscheinlichsten, die sich in möglichst wenigen Stellen von der empfangenen Folge unterscheidet, -> bedeutet, den geringsten Hammingabstand zur Empfangscodefolge besitzt. Um diese Unterscheidung fassbar zu machen, wurde eine Metrik λ wie folgt eingeführt. Hierbei entspricht i der jeweiligen Bitstelle x i, der empfangenen Codefolge und y i eines von allen möglichen Codewörtern. Für jede mögliche mögliche Codefolge Y i wird die Summe i = i gebildet und am Ende des Decodiervorgangs ist die Codefolge am wahrscheinlichsten, die die kleinste Summe i hat -> diese ist dann die richtige Eingangsfolge. 7. Übung Drahtlose Kommunikation 28

29 Decodieren von Faltungscodes mithilfe des Viterbi-Decodierverfahrens 1) Beginne Netzdiagramm im Nullzustand zum Zeitpunkt i =0 2) Berechne ( x(i) y(1) ) zwischen empfangenen Codewort x(i) und allen möglichen Codewörtern y(i) 3) Addiere unter 2. berechnete Pfadmetriken zu alten Zustandsmetriken 4) An jedem Zustand Auswahl des jenigen Pfades mit kleinster euklidischer Distanz und Verwerfung der anderen Pfade 5) Wiederholung ab 2. bis alle n empfangenen Wörter abgearbeitet wurden 6) Ende des Netzdiagramms: - Netzdiagramm endet im Nullzustand - Bestimmung des Pfades mit der besten Metrik (n) 7) Zurückverfolgen des in 6. bestimmten Pfades und Ausgabe der zugehörigen Informationsbit. 7. Übung Drahtlose Kommunikation 29

30 Decodieren von Faltungscodes mithilfe des Viterbi-Decodierverfahrens Beispiel für Fehlerkorrektur des Viterbi-Decoders: Richtiger Faltungscode: Falscher Faltungscode: Übung Drahtlose Kommunikation 30

31 Falscher Faltungscode: Übung Drahtlose Kommunikation 31

32 Falscher Faltungscode: Übung Drahtlose Kommunikation 32

33 Falscher Faltungscode: Übung Drahtlose Kommunikation 33

34 Falscher Faltungscode: Übung Drahtlose Kommunikation 34

35 b) Betrachten Sie einen Encoder für Faltungscodes der mit (vn1=u n u n-2 ) und (v n2 = u n-1 u n-2 ) definiert ist. 1) Zeichnen Sie eine Register Implementation. 2) Zeichnen Sie ein Zustandsdiagramm für diesen Encoder. 3) Zeichnen Sie ein Trellis Diagramm für diesen Encoder 7. Übung Drahtlose Kommunikation 35

36 b) Betrachten Sie einen Encoder für Faltungscodes der mit (vn1=u n u n-2 ) und (v n2 = u n-1 u n-2 ) definiert ist. 1) Zeichnen Sie eine Register Implementation. 7. Übung Drahtlose Kommunikation 36

37 b) Betrachten Sie einen Encoder für Faltungscodes der mit (v n1 =u n u n-2 ) und (v n2 = u n-1 u n-2 ) definiert ist. 2) Zeichnen Sie ein Zustandsdiagramm für diesen Encoder. 7. Übung Drahtlose Kommunikation 37

38 b) Betrachten Sie einen Encoder für Faltungscodes der mit (vn1=u n u n-2 ) und (v n2 = u n-1 u n-2 ) definiert ist. 3) Zeichnen Sie ein Trellis Diagramm für diesen Encoder 7. Übung Drahtlose Kommunikation 38

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