Man unterscheidet zwei Gruppen von Codes: Blockcodes und Faltungscodes.

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1 Versuch: Kanalcodierung. Theoretische Grundlagen Kanalcodierungstechniken werden zur Erkennung und Korrektur von Übertragungsfehlern in digitalen Systemen eingesetzt. Auf der Sendeseite wird zur Originalinformation redundante Information hinzugefügt, die der Empfänger nutzt, um Fehler zu erkennen und/oder zu korrigieren. Man unterscheidet zwei Gruppen von Codes: Blockcodes und Faltungscodes. Bei der Blockcodierung werden Blöcke fester Länge codiert, übertragen und decodiert.. Der Codierungsalgorithmus transformiert jeden Block aus k Informationssymbolen in ein Codewort aus n Symbolen (mit n>k), indem er r=n-k Prüfsymbole hinzufügt. Diese Struktur wird als (n,k) Blockcode bezeichnet, das Verhältnis nennt man Coderate R=k/n. Bei Faltungscodes werden aus der Eingangsbitfolge durch faltungsähnliche Operationen mehrere Ausgangsfolgen erzeugt, die neben den Nutzdaten die hinzugefügte Redundanz enthalten. Im Gegensatz zu Blockcodes wird bei Faltungscodes eine kontinuierliche Verarbeitung durchgeführt. Die Coderate R berechnet sich als Kehrwert der pro Nutzbit im Mittel übertragenen Codebits. Neben der Coderate bestimmt auch die Gedächtnistiefe der Faltungsoperation die Leistungsfähigkeit eines Faltungscodes. Die Symbole in einem Codewort können binär oder nichtbinär sein. Binäre Symbole bestehen aus den Elementen und. Nichtbinäre Codes enthalten Symbole aus einem Primkörper mit q>2 Elementen, wobei q eine Primzahl ist. Man bezeichnet Primkörper auch als Galoisfeld GF(q). Ebenfalls nichtbinär sind Codes, bei denen die Symbole aus m-tupeln von Elementen aus einem Primkörper bestehen. Diese Körper bezeichnet man als Erweiterungskörper GF(q m ). Reed Solomon (RS) Codes sind die bekanntesten Vertreter dieser Codeklasse. In der Praxis werden Codes über GF(2) oder GF(2 m ) verwendet. Ein Code heißt linearer Code falls für die Codeworte die Gesetzmäßigkeiten der Linearität (Additivität und Proportionalität) gelten. Eine Codierung bezeichnet man als systematisch, wenn das Codewort das Infowort unverändert enthält. Üblicherweise verwendet man systematische Blockcodes und nichtsystematische Faltungscodes. Man unterscheidet zwei Typen von Decodern: Algebraische Decoder und Bitfolgenschätzer, die empfangsseitig ein Modell des Codierers benutzen. Der am meisten verwendete nichtalgebraische Folgenschätzer ist der Viterbi Algorithmus, mit dem Faltungscodes decodiert werden. Algebraische Decodierung nutzt Gesetzmäßigkeiten der linearen Algebra endlicher Körper und wird bei linearen Blockcodes angewendet. - -

2 . Kommunikationssystem Digitale Kommunikationssysteme können wie in Bild gezeigt in drei Bereiche unterteilt werden: die Sendeseite, der Übertragungskanal und die Empfängerseite. Sendeseitig wird zur Kanalcodierung ein von der Quelle gelieferter Informationsvektor x mit k Symbolen durch den Codierer in ein Codewortvektor y mit n Symbolen transformiert. Durch Störungen werden die gesendeten Codewörter im Kanal verfälscht. Beispiele hierfür sind der Gaußkanäle (AWGN) und der binär-symmetrische Kanal (BSC). Der AWGN (Additive White Gaussian Noise) Kanal addiert weißes Rauschen auf das übertragene Signal. Beim BSC werden die binären Symbole entsprechend einem Fehlervektor e verfälscht, d.h. invertiert, was mathematisch einer Modulo-2-Addition des Codewortvektors y und dem Fehlervektor e. entspricht: r=y e. Empfängerseitig wird mittels der zugefügten Redundanz versucht, die im Kanal entstandenen Fehler zu erkennen und zu korrigieren. Nachrichtenquelle wechsel konstant.7 Schalter Senderseite Fehlervektor: e Empfängerseite 8 Bit - ADU 8 Quelle Codierer OutIn Kanal Decodierer Senke Redundanz Infovektor: x gesendeter Codewortvektor: y empfangener Codewortvektor: r korrigierter Infovektor: x ) Bild Kommunikationssystem mit Kanalcodierung.2 Bit-, Symbol- und Wortfehler Bei codierten Übertragungssystemen unterscheidet man zwischen Bit-, Symbol- und Wort- Fehlern. Jedes Codewort umfasst mehrere Symbole. Entsprechend führt ein fehlerhaftes Wort zu mehreren Symbolfehlern. Bei binärer Codierung bestehen die Symbole aus einzelnen Bits, - 2 -

3 so dass die Symbolfehlerrate gleich der Bitfehlerrate ist. Im Falle nichtbinärer Codierung (RS- Code) umfasst jedes Symbol mehrere Bits. Entsprechend sind Bit-, Symbol- und Wort- Fehlerrate verschieden. Um einen Vergleich der verschiedenen Kanäle zu ermöglichen ist es sinnvoll, die Bit- Symbol- und Wortfehlerrate auf den SNR (Signal-Stör-Abstand) des äquivalenten AWGN- Kanal mit Schwellwertentscheider und den Symbolen ± umzurechnen. Da der AWGN Kanal Gaußrauschen addiert, kann die Berechnung mit Hilfe des komplementären gaußschen Fehlerintegrals Q[x] erfolgen. In Tabelle sind die Werte des komplementären gaußschen Fehlerintegrals für SNR-Angaben in db (2lg(x)) enthalten. Durch einfache Interpolation können damit beispielsweise gemessene Bit- und Symbolfehlerraten auf äquivalente SNR- Werte umgerechnet werden

4 Tabelle (aus: Söder, G., Tröndle, K.: Digitale Übertragungssysteme. Springer 985) - 4 -

5 .3 Der diskrete Kanal Gemäß Bild. ist der diskrete Kanal die Zusammenfassung von Modulator, physikalischem Kanal und Demodulator. In der formalen Beschreibung wird ein diskreter Kanal durch das Tripel (Y, R, P r y ) charakterisiert. Y bedeutet dabei das Eingangsalphabet mit q Werten. Im einfachsten Fall handelt es sich um einen Binärcode mit q=2, wobei die Symbole lediglich aus Bits bestehen. Bei q=2 m entsprechen den Symbolen Bitgruppen (z.b. Bytes bei m=8). R stellt das Ausgangsalphabet des Kanals dar, d.h. der Wertebereich für die Empfangswerte r. P r y erfasst die Kanal-Übergangswahrscheinlichkeiten, wobei P r y (R Y) die bedingte Wahrscheinlichkeit dafür ist, dass r=r R empfangen wird unter der Voraussetzung, dass y=y Y gesendet wurde. Diese bedingten Wahrscheinlichkeiten lassen sich aus dem Signalmodell des Kanal ermitteln. Beispielsweise überlagert sich beim AWGN (Additive White Gaussian Noise) Kanal additiv weißes Gaußrauschen dem gesendeten Signal, und ein abtastender Quantisierer überführt das gestörte Empfangssignal in diskrete Werte r R. Aus der Wahrscheinlichkeitsdichte der Störung lassen sich dann die bedingten Wahrscheinlichkeiten P r y (R Y) bestimmen. Darüber hinaus können Kanäle ein Gedächtnis besitzen und/oder auch zeitvariant (instationär) sein. Bei der Demodulation unterscheidet man zwei Fälle.. Hard-Decision Bei Hard-Decision gilt in der Regel R=Y, und der Demodulator schätzt direkt die gesendeten Werte z.b. mittels Schwellwertentscheider. Im binären Fall gilt dann R=Y={,}, der resultierende Kanal lässt sich als einer Modulo-2-Addition des Codewortvektors y und eines Fehlervektor e interpretieren. Das Modell des BSC liegt oft bei einfachen Blockcodes vor. 2. Soft- Decision Bei Soft- Decision umfasst R mehr Werte als Y, im Extremfall handelt es sich um reelle Zahlen. Hier gibt der Demodulator mehr Information über den Kanal (Zustand, Qualität) an den Decoder weiter. Beispielsweise teilt der Demodulator dem Decoder mit, mit welcher Sicherheit er seine Entscheidungen getroffen hat (sehr sicher bis völlig unzuverlässig). Zwar kann prinzipiell jedes Codierungsverfahren die Soft-Information nutzen, praktikabel ist dies jedoch meist nur bei Faltungscodes und eingeschränkt bei einigen Blockcodes. y Y Physikalischer Modulator Demodulator Kanal r R &RGLHUHU.DQDO 'HFRGHU Bild. Modell des Übertragungskanals - 5 -

6 .4 Fehlererkennung und Korrektur, Schranken, Codeverkürzung Ein Code kann man sich anschaulich so vorstellen, dass in einem diskreten n-dimensionalen Raum (Gitter) nur bestimmte Punkte als Codeworte zulässig sind. Bei einer fehlerhaften Übertragung werden diese zulässigen Punkte in andere Punkte verfälscht. Wenn es sich hierbei um im Sinne des Codes unzulässige Punkte handelt, kann der Fehler erkannt und über eine Zuordnung zum nächstgelegenen Codewort ggf. auch korrigiert werden. Zur Beurteilung der Fähigkeit eines Codes zur Fehler zu erkennen und zu korrigieren spielt der Abstand zwischen den zulässigen Codewörtern eine zentrale Rolle. Bei binären Codes bezeichnet man die Anzahl unterschiedlicher Bits als Hamming-Abstand d H. Beispiel: Í d H =3, da sich die Codeworte in drei Stellen unterscheiden. Unter dem Hamming-Gewicht eines Codewortes versteht man die Anzahl der von Null verschiedenen Symbole des Codewortes und somit den Hamming-Abstand zum Nullwort. d min bezeichnet der kleinste Abstand zwischen allen zulässigen Codewörtern. Fehlererkennung: Ein verfälschtes Codewort kann erkannt werden, wenn für die Anzahl der verfälschten Stellen gilt: m (d min -). Fehlerkorrektur: ist möglich wenn gilt t ( d min ). 2 Beispielsweise kann ein Code mit d min =3 zwei Fehler erkennen und einen Fehler korrigieren. Demnach ist man bestrebt, einen Code mit möglichst großem d min zu finden..eine theoretische Grenze ist durch die Hamming-Schranke gegeben. Bei binären t-fehler t n k korrigierenden Codes muss gelten: n i 2. i= Codeverkürzung Ein systematischer Code kann verkürzt werden, indem man einige Info-Stellen zu Null setzt und nicht überträgt. Bei der Decodierung werden entsprechend Nullen ergänzt. Da die Redundanz unverändert übernommen wird, bleiben die Korrektureigenschaften des ursprünglichen Codes erhalten. Für den Einsatz verkürzter Codes sind folgende Gründe denkbar: die Anwendung fordert eine bestimmte Codewortlänge, ein Code mit geeigneten Korrektureigenschaften ist zu lang, um auf dem gegebenen Kanal übertragen zu werden, Infoworte variabler Länge sollen mit demselben Code geschützt werden

7 .5 Lineare Blockcodes Bei einem (n,k) Blockcode werden den k Informationsbits, die in einem Vektor x zusammengefasst sind, (n-k) redundante Bits hinzugefügt. Der Codewortvektor y lässt sich durch Multiplikation des Infowortvektors mit einer Generatormatrix G der Dimension (k n) berechnet. Hat sie die Form G=[I P] mit der (k k) Einheitsmatrix I, und einer (k n-k) Prüfmatrix P, so liegt ein systematischer Code vor. Beispiel: Infovektor : x=(), Generatormatrix: G=[I P]= Codewortvektor : y=x G=( ). k Infozeichen (n-k) Redundanzzeichen Die Nachricht ist statt zuvor 4 jetzt 7 Zeichen lang, es wurde eine Redundanz von 3 Zeichen hinzugefügt. Die Coderate beträgt R= 4 7. T Für die Decodierung ist die Kontrollmatrix H mit der Eigenschaft G H =[] von Bedeutung. Für einen systematischen Code mit G=[I P] berechnet sich die Kontrollmatrix zu wobei im binären Fall das negative Vorzeichen keine Rolle spielt. P H T =, I Im Empfänger wird aus dem empfangenen Codewort eine Hilfsgröße berechnet das Syndrom. Mit Hilfe des Syndroms kann dann ein Fehler erkannt und gegebenenfalls korrigiert T werden. Das Syndrom wird mit Hilfe der Kontrollmatrix H zu s = r H berechnet. Da für ein T gültiges Codewort stets H = gilt, hängt beim Kanalmodell r = y e das Syndrom nur von T der Störung e ab, d.h. s = e Beispiel : H. Fall : ungestörte Übertragung Empfangenes Codewort: r=( ), T Syndrom: s = e H = (). T H = Das Syndrom ist, daher ist während der Übertragung kein oder ein nicht erkennbarer Fehler aufgetreten

8 Fall 2: gestörte Übertragung Empfangenes (falsches) Codewort: r=( ) T Syndrom: s = e H.= () Das Syndrom ist nicht, daher ist während der Übertragung ein Fehler aufgetreten. Zur Lokalisierung des Fehlers besitzt der Empfänger eine Syndromtabelle, in der zu jedem T möglichen Syndrom ein geschätzter Fehlervektor gespeichert ist, wobei s = ê H gilt. Gibt es mehrere Vektoren mit gleichen Syndrom (sogenannte Nebenklassen), so wird in der Regel der mit dem kleinsten Hamming-Gewicht, d.h. der geringsten Fehleranzahl (Nebenklassenanführer) verwendet. Im letzten Schritt wird der geschätzte Fehlervektor vom empfangenen Codewort subtrahiert, was in binären Zahlenkörper einer komponentenweisen Modulo-2-Addition entspricht: ŷ = r ê. Beispiel: Im obigen Beispiel ist für das Syndrom () laut Syndromtabelle der Fehlervektor () zu korrigieren. Syndromtabelle : s ê Å fehlerfreie Übertragung = Å dies ist das gesendete Codewort. Zu den binären linearen Blockcodes zählen beispielsweise die Hamming-, sowie die größere Klasse der BCH-Codes. Der im Versuch verwendete (7,4) Hamming Code besitzt d min =3 und kann somit t = ( d min ) = Fehler korrigieren

9 .6 Zyklische Codes Zyklische Codes sind einen Spezialfall linearer Blockcodes, bei denen Codeworte durch zyklisches Verschieben aus einem anderen Codewort erzeugt werden können. Sie haben eine sehr große praktische Bedeutung und werden in vielen nachrichtentechnischen Systemen eingesetzt, beispielsweise: Digitale Mobilfunksysteme, Datenspeicher (CD, Hard- und Floppy Disk), Digitale Rundfunksysteme (DAB, DVB, RDS), Computernetzwerke (LAN). Diese Codes sind deshalb von großer praktischer Bedeutung, da zu ihrer Realisierung einfache Schieberegisterschaltungen eingesetzt werden können. Zu ihrer Beschreibung eignet sich eine Polynomschreibweise, bei der die Komponenten von Vektoren x den Koeffizienten von Polynomen x(d) mit der Variablen D entsprechen.für die Koeffizienten selbst gilt die übliche Modulo-Arithmetik der linearen Blockcodes. Die zyklische Eigenschaft entsteht dadurch, dass man alle Berechnungen bezüglich der Polynom- Divisionsreste, die sich bei eine Division durch (D n -) ergeben, durchführt. Dann entspricht D x(d) einem um eine Stelle zyklisch rotierten Vektor x. Codierung Zyklische Codes sind eindeutig definiert durch die Angabe eines Generatorpolynoms g(d), das alle Codeworte ohne Rest teilt. Deshalb erhält man ein nichtsystematisches Codewort durch die Polynommultiplikation y(d) = x(d) g(d). Will man systematische Codeworte übertragen, so ermittelt man diese mittels r r y(d) = D x( D) + ( D x( D)) mod g( D), wobei r=n-k die Anzahl der Redundanzstellen, D r x(d) das um r Stellen verschobene r Infowort und ( D x( D)) mod g( D) den Divisionsrest der Polynomdivision D r x(d) durch g (D) bezeichnet. Wiederum spielt das negative Vorzeichen bei binären Codes keine Rolle. Die in Bild 2 dargestellte Schaltung realisiert einen systematischen Code mit dem Generatorpolynom g(d)=d 3 +D+D. Dabei handelt es sich um einen (7,4) Hamming-Code mit d min =3, der t= Fehler korrigieren und m=2 Fehler erkennen kann. g(d) = + D + D 3 D D D Bild 2 Zykl. Codierer x(d) y(d) - 9 -

10 Während der ersten 4 Takte ist der Schalter S geschlossen und S2 in der unteren Position. Der Infovektor wird beginnend mit dem Koeffizienten der höchsten Potenz eingelesen. Gleichzeitig werden die Infozeichen an den Ausgang gelegt. Nach dem 4.Takt wird die Rückkopplungsschleife durch Öffnen des Schalters S unterbrochen und S2 in die obere Stellung gebracht. In den folgenden 3 Takten werden die Register ausgelesen, diese drei Zeichen bilden die Redundanz. Tabelle. 2 Zustände des Codierers für Zyklische Codes Redundanz Decodierung Auch bei zyklischen Codes wird zur Fehlererkennung- und Korrektur das Syndrom verwendet, dessen Polynom sich zu s ( D) = r( D) mod g( D) berechnet. Die Polynomdivision zur Syndromberechnung kann wiederum eine Schieberegisterschaltung ausführen. Das dem Syndrom zugeordnete Fehlerpolynom lässt sich z. B. in einer Syndromtabelle nachgeschlagen, der geschätzte Fehlervektor wird im binären Fall auf das Codewort addiert, siehe Bild 3. g(d) = + D + D 3 r(d) x ) Bild 3 Syndrom-Decodierer für Zyklischen Code Bei sehr großen oder nichtbinären Codes ist eine Syndromtabelle nicht praktikabel und man greift auf algebraische Decodieralgorithmen wie den Berlekamp-Massey-Algorithmus zurück. Bei ein- oder zweifehlerkorrigierenden binären Codes eignet sich der Meggit-Decoder, bei dem durch zyklisches Schieben ein Fehler gefunden wird, der das gleiche Syndrom wie das Empfangswort besitzt. - -

11 .7 BCH-Code BCH-Codes bilden eine sehr leistungsfähige Klasse zyklischer Codes, mit denen eine vorgegebene Anzahl von insgesamt t beliebig verteilter Fehler innerhalb des Codewortes eindeutig korrigiert werden kann. Der Name dieser Codeklasse ergibt sich aus den Anfangsbuchstaben der Wissenschaftler: Bose, Chaudhuri, Hocquenghem, die diese wichtige Klasse zyklischer Codes um 96 entwickelt haben. Die Fehlerkorrekturkapazität eines BCH- Codes ist eine Funktion der Codewortvektoren und der Infovektorlänge. Konstruktion des BCH-Code Im Gegensatz zu allgemeinen linearen Blockcodes ist, bei denen jedes beliebige Verhältnis zwischen k und n>k möglich ist, gelten für t-fehler korrigierende BCH-Codes die folgenden Zusammenhänge der Code- und Infowortlänge n und k sowie dem Parameter m 3: n=2 m -, und k n-mt, wobei d H =2t+. Es soll nun ein Generatorpolynom g(d) für einen BCH-Code entwickelt werden, mit dem insgesamt t zufällig verteilte Fehler innerhalb des Codewortes korrigiert werden können. Das Generatorpolynom g(d) eines t-fehler korrigierenden Codes wird durch ein Produkt aus insgesamt t Polynomfaktoren entwickelt: g(d)=g (D) g 2 (D)... g t (D) Ausgangspunkt für die Konstruktionsvorschrift ist ein primitives Generatorpolynom g (D)) vom Grad m, womit die Codewortlänge n=2 m - bereits festgelegt ist. Außerdem sei eine beliebige Wurzel α des primitiven Polynoms g (D) gegeben. Die Polynome g 2 (D) bis g t (D) werden bei der Codesynthese so berechnet, dass die Potenzen α 2,α 3,..,α 2t ebenfalls Wurzeln des resultierenden Generatorpolynoms g(d) sind. Es genügt sicherzustellen, dass die ungeraden Potenzen α 3,α 5,..,α 2t- Wurzeln von g(d) sind, da dies für die geraden Potenzen immer gilt. Da die Redundanzlänge im Codewort möglichst klein sein soll, werden insbesondere die Minimalpolynome gewählt. Zur Konstruktion der Minimalpolynome wird das Galois-Feld modulo g (D) zu Grunde gelegt und darin das Element α=d betrachtet. Beispielsweise lautet das Generatorpolynom eines t=3 Fehler korrigierenden BCH-Codes der Länge n=5: g(d)=d +D 9 +D 8 + D 6 +D 5 +D 2 +. In der Praxis werden BCH-Codes Tabellen entnommen. Bei vorgegebener Korrekturkapazität t kann man n und k bestimmen. In der nachfolgenden Tabelle 3 sind mögliche Werte von t und k für BCH-Codes bis n=27 angegeben. - -

12 Tabelle binärer BCH-Codes Tabelle 3 listet binäre BCH Codes bis zum Grad n=27 auf. Tabelle 3 BCH-Codes n k T n: Codewortlänge; k: Infowortlänge; t: Fehlerkorrekturfähigkeit - 2 -

13 .8 Reed-Solomon-Codes Die Reed-Solomon (RS)-Codes (nach ihren Erfindern I. Reed und G. Solomon, 96) bilden eine Klasse von nichtbinären zyklischen Codes. Die Koeffizienten y k in den Codewortvektoren y sind in diesem Fall keine Binärwerte, sondern Elemente eines Erweiterungskörpers GF(q m ). Mit einem RS-Code (2 m -,2 m -2t-) können t beliebig verteilte Symbolfehler korrigiert werden. Dadurch dass jeweils m Bit zu einem Symbol zusammengefasst werden, ergibt sich gleichzeitig die Fähigkeit zur Korrektur von Fehlerbündeln innerhalb des Codewortes. RS-Codes gehören zu den besten bekannten Bündelfehler- korrigierenden Codes. Deshalb werden RS-Codes oft in Systemen eingesetzt, die für Bündelfehler anfällig sind, wie z.b. CD oder bei digitalem Fernsehen DVB. Codierung Eine t-fehler korrigierende RS-Codierung kann als inverse diskreten Fourier-Transformation interpretiert werden, bei der im Frequenzbereich k Koeffizienten durch Info-Stellen und die höchsten 2t Koeffizienten durch Null besetzt werden, siehe Bild 4. n -k 2t Eingang k n ID FT [Kanal] Bild 4 DFT-Interpretation von RS-Codes In der praktischen Realisierung wird kein DFT Prozessor verwendet, sondern es wird n vielmehr das zugehörige Generatorpolynom = i ( D) ( D ) RS i= k g α berechnet und der RS- Codierer durch eine Schieberegisterschaltung als systematischer Code realisiert. Dabei ist zu beachten, dass es sich bei den Symbolen um m-tupel aus den GF(2 m ) handelt. Decodierung Die Decodierung kann entsprechend Bild 5 mit der diskreten Fourier-Transformation erklärt werden. Die (n-k) sendeseitig zu Null gesetzten Koeffizienten bilden das Syndrom und werden zur Fehlererkennung genutzt. Die Fehlererkennung und Korrektur gestaltet sich aufwendiger als bei kurzen Blockcodes, da eine Syndromtabelle in den meisten Fällen den Rahmen einer praktischen Realisierung sprengt. Deshalb werden algebraische Decodierverfahren (z.b. der Berlekamp-Massey- Algorithmus) verwendet. n-k Fehlerwert - Fehlerlokalisation berechnung [Kanal] n DFT k - + Bild 5 4 DFT-Interpretation von RS-Decodes k - 3 -

14 Codeverkürzung Ein gegebener systematischer Code kann verkürzt werden, indem man einige Info-Stellen zu Null setzt und nicht überträgt. Bei der Decodierung werden entsprechend Nullen ergänzt. Beispielsweise besitzt der 2-Symbolfehler korrigierende RS-Code, der Symbolen aus 8 Bit (Byte) verwendet, die Dimension (255, 25). Auf CDs wird ein (32, 28)-Code verwendet, der durch Codeverkürzung aus dem ursprünglichen (255, 25)-Code entsteht. E Beispiel: (Bild 6) Gegeben sei ein systematischer RS-Code (7,5) über den GF(2 3 ), der Infovektor ist aber nur 4 Zeichen lang. Die Nachrichtenübertragung erfolgt über einen Kanal mit einer Breite von 6 Symbolen. Codeverkürzung ist eine Lösung des Problems. Man verbreitert den Infovektor durch Anfügen einer auf 5 Stellen. Dadurch steht auch in jedem Codewort eine zusätzliche Null, welche nicht übertragen wird. Vor dem Decodieren muss diese Null wieder eingefügt werden. Folglich wird dann ein 4-stelliger Infovektor durch einen 6-stelligen Codewortvektor übertragen. Dennoch hat dieser (6,4) Code mindestens die -Fehler Korrekturfähigkeit eines (7,5) Codes. Eingang Demux Mux Mux Reed Solomon Demux Kanal Coder Demux Mux Reed Solomon Decoder Demux Mux Ausgang Codeverkü rzung Codeverkü rzung Codeverkü rzung Codeverkü rzung <---- wird nicht <---- wird nicht ü bertragen genutzt Bild 6 SIMULINK-Modell RS-Codierung - 4 -

15 .9 Faltungscodes Bisher wurden nur gedächtnislose Codes behandelt, die ein Codewort nur anhand aktueller Infovektoren abbilden. Gleiches gilt bei der Decodierung. Faltungscodes sind Codes mit Gedächtnis, die Informationen aus früheren Infovektoren in das aktuelle Codewort mit einbeziehen. Ein Faltungscode ist daher, rein formal betrachtet, ein Automat mit endlich vielen Zuständen. Codierung Allgemein werden aus einer Eingangsbitfolge jeweils k Bits zu einem Block (Symbol) zusammengefasst und jeweils in ein Schieberegister eingelesen. Die Anzahl der Registerblöcke, die das Gedächtnis des Faltungscodes darstellen zuzüglich des aktuellen Symbols, bezeichnet man als Einflusslänge (Constraint Length) L, siehe Bild 7. Nach erfolgter Eingabe werden aus dem Inhalt der Register in jedem einzelnen Schritt n>k Bits durch Modulo-2-Addierer gebildet. Die Coderate R=k/n beschreibt das Verhältnis zwischen deranzahl der Eingabe- und Ausgabebits. Der Codierer in Bild 7 besitzt die Rate R=/2 bei einer Constraint Length von L=3. L Bild 7 Faltungscodierer Für Faltungscodes sind im Gegensatz zu Blockcodes keine direkten analytischen Konstruktionsvorschriften zum Codeentwurf, d.h. zur Ermittlung geeigneter Verknüpfungen, bekannt. Ähnlich wie bei den Blockcodes charakterisiert der kleinste Hamming-Abstand verschiedener Codewortfolgen d min die Korrekturfähigkeit eines Faltungscodes. Da diese Codes keine Blockstruktur besitzen, kann keine absolute Anzahl korrigierbarer Fehler angegeben werden. Für den praktischen Einsatz sind die besten Faltungscodes, d.h. solche mit größtem d min bei vorgegebener Constraint Length L, in der Literatur tabelliert. Einige Faltungscodes sind in Tabelle 4 angegeben. Beschreibung von Faltungscodes Zur Beschreibung von Faltungscodes sind die folgenden Methoden gebräuchlich:. Matrix aus Generatorpolynomen 2. Zustandsdiagramm 3. Trellisdiagramm 4. Oktaldarstellung Insbesondere dem Trellis-Diagramm, ein über der Zeitachse abgewickeltes Zustandsdiagramm, kommt eine besondere Bedeutung zu. In jeder Stufe des Trellis- Diagramms repräsentieren die Knoten sämtliche Zustände, d.h. die Binärbelegung, die im Schieberegister auftreten können. Die Anzahl der erforderlichen Schieberegisterzellen beträgt dabei L-, da das aktuell anliegende Infosymbol als Eingabesymbol und nicht als Teil des Automatenzustandes betrachtet wird (Mealy- Automat)

16 Die Anzahl der Zustände im Trellis beträgt auf 2 k(l-). Von jedem Knoten aus können jeweils 2 k Folgezustände erreicht werden, dementsprechend führen 2 k Pfeile (Kanten) von jedem Knoten zu den möglichen Folgezuständen. Die Kanten des Trellis werden mit den k Ein- und den n Ausgabebits versehen. Häufig werden eingangsseitig keine Blöcke gebildet, d.h. k=, die Coderate beträgt dann R=/n. In Bild 8 ist ein Trellisdiagramm für obigen Faltungscode mit der Coderate R=/2 und L=4 angegeben : Bild 8 Decodierung von Faltungscodes mit dem Viterbi-Algorithmus Decodierung Zur Decodierung von Faltungscodes wird ein Symbolfolgenschätzer verwendet, der die Wahrscheinlichkeit für Decodierfehler minimiert. Man bezeichnet dieses Verfahren als Maximum-Likelihood-Sequenzschätzung (MLSE). Aufgrund der Abhängigkeit benachbarter Codewerte werden keine Einzelsymbole sondern Symbolfolgen mit zunächst begrenzter Länge N betrachtet. Im Prinzip überprüft eine Maximum-Likelihood Decodierung für die Empfangsfolge sämtliche möglichen Sendesymbolfolgen x bezüglich der bedingten Wahrscheinlichkeiten P[x r] und wählt die wahrscheinlichste Symbolfolge x ) aus. Mit dem Satz von Bayes P[x r]=p[r x] P[x]/P[r] und unter der Annahme, dass alle Symbolfolgen mit gleicher Wahrscheinlichkeit auftreten, muss für einen BSC der Hamming-Abstand und für einen AWGN Kanal der quadratische Abstand zwischen der Empfangsfolge r und allen möglichen Codewortfolgen berechnet werden. Man bezeichnet diesen Abstand als Metrik. Da in praktischen Übertragungssystemen meist analoge Werte empfangen werden, entsteht ein BSC erst dadurch, dass man das Empfangssignal binär quantisiert, quasi hart entscheidet. Man bezeichnet einen MLSE, der mit Hamming- Abständen arbeitet, als Hard Input MLSE und einen, der mit euklidischen Abständen die Metrik berechnet, als Soft Input MLSE. Die Berechnung aller möglichen Abstände ist jedoch aufgrund der großen Anzahl möglicher Sendesymbolfolgen x kaum realisierbar, der Verarbeitungsaufwand im ML-Decoder würde exponentiell mit der Sequenzlänge N wachsen. Praktisch einsetzbar wurden Faltungscodes, nachdem Decodierverfahren entwickelt wurden, die eine Decodierung mit vertretbarem - 6 -

17 Aufwand gestatten. Hierbei ist insbesondere der Viterbi-Algorithmus zu nennen, der in der Lage ist, die Maximum-Likelihood Lösung zu berechnen, dazu allerdings nur eine Komplexität benötigt, die lediglich von der Constraint Length L, nicht aber von der Folgenlänge N expotentiell abhängt. Der Viterbi-Algorithmus lässt sich in einem Trellisdiagramm veranschaulichen: Bei einem BSC wird die Anzahl unterschiedlicher Bits zwischen der empfangenen Binärfolge r und den mit dem jeweiligen Faltungscode möglichen Codewortfolgen y berechnet. Beispielsweise gibt es ab der dritten Stufe im Trellisdiagramm nach Bild 8 jeweils zwei Pfade, die in einen Knoten münden, deren akkumulierter Abstand sich aber in der Metrik i.a. unterscheidet. Nach dem ML-Ansatz wird die wahrscheinlichste Sendefolge x gesucht, was mit dem (Hamming-) Abstand zwischen Codewort- und Empfangsfolge korrespondiert. Folglich wird für jeden Knoten der Pfad mit dem kleinsten bisher berechneten Abstand (Survivor) weiterverfolgt und sämtliche anderen Pfade können gelöscht werden. Deshalb werden für Knoten nur der Pfad mit den jeweils kleinsten akkumulierten Abständen gespeichert und weiterverfolgt. Falls die akkumulierten Abstände der auf einen Knoten führenden Pfade gleiche Werte aufweisen, ist keine unmittelbare Pfadauswahl möglich. Ein pragmatischer Ansatz ist es, z.b. stets den obersten der Pfade weiterzuverfolgen oder eine Losentscheidung zu treffen. Wenn das Trellisdiagramm für eine endlich lange Symbolfolge den Endzustand erreicht hat, existiert nur noch ein Survivor-Pfad, dessen zugehörige Symbole als wahrscheinlichste Symbolfolge x ) ausgegeben werden können. Verfolgt man für alle Zustände einer Pfadtiefe die Wege zum Anfangsknoten des Trellisdiagramms, so stellt man ab etwa 5 L zurückliegender Knoten ein Verschmelzen aller Survivor-Pfade fest. Die Symbole dieses gemeinsamen Teilpfades können ausgegeben werden, auch ohne dass der Endzustand erreicht ist. Deshalb eignet sich der Viterbi-Algorithmus auch für unendlich lange Symbolfolgen. Bündelfehler Eine Eigenschaft aller Faltungscodes ist, dass bei Fehlentscheidungen Bündelfehler entstehen, d.h. Fehler treten nach der Decodierung nicht einzeln sondern in Gruppen auf. Diesen Mangel beseitigt man, indem um einen Faltungscode ein äußerer Code hinzugefügt wird. Oft verwendet man RS-Codes, die, wie erwähnt, zu den besten bekannten Bündelfehlerkorrigierenden Codes zählt. Man spricht dann von verketteten Codes. Zusätzlich bietet sich ein Interleaving (Codespreizung) zwischen Faltungs- und Block- Code an. Die Idee besteht darin, auftretende Bündelfehler durch Umsortieren im Empfänger zu dekorrelieren (auf viele Codewörter zu verteilen), so dass sie in den einzelnen Codewörtern bei der äußeren Decodierung als stochastisch verteilte Einzelfehler auftreten. Natürlich muss zuvor sendeseitig in umgekehrter Reihenfolge umsortiert werden. Liste optimaler Faltungscodes Faltungscodes werden häufig durch die Darstellung der Verknüpfungen in oktaler Form angegeben