Verkettungen von optimalen algebraischen und sphärischen Codes bei Coderate 1/2

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1 Verkettungen von optimalen algebraischen und sphärischen Codes bei Coderate 1/2 Dejan E. Lazic Technische Universität Chemnitz-Zwickau, Fakultät für Elektrotechnik und Informationstechnik, Institut für Informationstechnik, D Chemnitz Frank Pählke, Thomas Beth Universität Karlsruhe, Fakultät für Informatik, Institut für Algorithmen und Kognitive Systeme, Am Fasanengarten 5, D Karlsruhe 3. März 1998 Universität Karlsruhe, Institut für Algorithmen und Kognitive Systeme

2 Motivation Vorherrschend bei der Kanalcodierung sind binäre Codes mit BPSK-Modulation. Nachteile: Beschränkung der Gesamtcoderate auf R < 1 Beste binäre Codes (Turbo-Codes) sind sehr lang (N = ). Problem: Verzögerung. Vorteile mehrwertiger Codes: RS-Codes sind als äußere Codes asymptotisch optimal (theoretisch bewiesen). auch Gesamtcoderate R 1möglich bei gleicher Länge und Coderate größeres Korrekturvermögen aufgrund größerer Minimaldistanz Aber: Soft-decision-Decodierung ist schwierig bis unmöglich, denn der Viterbi-Algorithmus scheidet wegen Komplexität O(Q N K ) aus. Universität Karlsruhe, Institut für Algorithmen und Kognitive Systeme 1

3 Struktur der untersuchten Codeverkettungen Quelle GF (Q)? RS-/BCH-Encoder GF (Q)? sphärischer Encoder (Modulator)? IRn AWGN-Kanal? IRn sphärischer Decoder (Demodulator) GF (Q)? RS-/BCH-Decoder (Berkekamp-Massey)? Senke GF (Q) Sphärischer Code S: x S: x =1 m= S = Q m 256 n 15 Universität Karlsruhe, Institut für Algorithmen und Kognitive Systeme 2

4 Parameter der untersuchten Codeverkettungen Äußerer (algebraischer) Code: Coderate R = K N ld Q Normalisierte Coderate R = K N Innerer (sphärischer) Code: Mächtigkeit m = Q 256 Coderate r = ld Q n ( 1 2, 1] Normalisierte Coderate r = 1 n Gesamte Codeverkettung: Codelänge N = N n Coderate R = R r = K N ld Q n 1 2 Universität Karlsruhe, Institut für Algorithmen und Kognitive Systeme 3

5 Verwendete Decodierverfahren Äußerer (algebraischer) Code: hard-decision-decodierung mit Hilfe des Berlekamp-Massey-Algorithmus Kandidatenlisten -Decodierung (an den vom sphärischen Decoder als besonders unzuverlässig erkannten Positionen werden mehrere alternative Symbole durchprobiert) GMD-Decodierung (Algorithmus von Taipale und Pursley) Innerer (sphärischer) Code: Maximum-Likelihood-Decodierung durch vollständige Suche, optional Weitergabe von soft-decision- Information an den äußeren Decoder Universität Karlsruhe, Institut für Algorithmen und Kognitive Systeme 4

6 Ergebnisse Bei vergleichbarer Performance haben Verkettungen mit RS-Codes eine kürzere Gesamtlänge, mit BCH- Codes ein kleineres Symbolalphabet. Beste erreichte Performance: dB bei hard-decision-decodierung Beste Verkettungen: Q = 256, N 3000 (RS) Q = 64,N (BCH) Größtes Problem: Fehlen eines effizienten Verfahrens zur gemeinsamen soft-decision-decodierung des inneren und äußeren Codes GMD-Decodierung des äußeren Codes bringt bei den betrachteten Codeverkettungen (relativ große Coderate des inneren Codes) keine, Kandidatenlisten- Decodierung nur geringfügige Vorteile. Universität Karlsruhe, Institut für Algorithmen und Kognitive Systeme 5

7 Erklärung der Ergebnisse Asymptotisch (n ) gilt für optimale Codes: SER =2 ne(r)+o(n) (E(r) =Fehlerexponent) Aber: Für kleine Codelängen n und kleines E b /N 0 steigt die SER mit wachsendem n, und kein Code mit n 8 und r>1/2erreicht bei E b /N 0 3dB die SER einer einfachen BPSK-Modulation! Hinzu kommt: Je größer n ist, desto kürzer muß (bei gleicher Gesamtlänge N )der äußere Code sein. Dieser kürzere Code muß also mehr Fehler korrigieren als ein binärer Code gleicher Rate. Die Hamming-Minimaldistanz D H,min ist bei mehrwertigen Codes zwar größer, aber dies macht die genannten Nachteile nicht wett. Fazit: Bei praktisch handhabbaren inneren Codes (n 8) ist keine Verbesserung gegenüber binären Codes mit BPSK-Modulation zu erwarten. Universität Karlsruhe, Institut für Algorithmen und Kognitive Systeme 6

8 Ausblick Derzeit untersucht: soft-decision-decodierung von RS- und BCH-Codes Idee: Modifiziere den Code derart, daß eine sequentielle Decodierung möglich wird. Nachteil: Die Minimaldistanz D H,min wird durch die Modifikationen geringer. Weitere Ansätze: Verkettungen mit Interleaving, Produktcodes, iterative Decodierung Größtes Problem: bei sequentieller Decodierung kein soft output (nötig für iterative Decodierung) bisher keine nennenswerten Erfolge Universität Karlsruhe, Institut für Algorithmen und Kognitive Systeme 7

9 2.5 Kapazität eines AWGN-Kanals nach Shannon 2 allgemein für mehrwertige Codes 1.5 Rc 1 für binäre Codes mit BPSK-Modulation E b /N 0 [db] Universität Karlsruhe, Institut für Algorithmen und Kognitive Systeme 8

10 1 0.1 Symbolfehlerrate für sphärische Codes mit r =1 n=8 n=7 n=6 n=5 n=4 n=3 n=2 n=1 SER E b /N 0 [db] Universität Karlsruhe, Institut für Algorithmen und Kognitive Systeme 9

11 Die besten untersuchten Codes innerer Code äußerer Code Gesamtcode Bezeichnung min N K D H,min N R b /N 0 [db] für E m n d BER =10 5 R R R R B B B B Für jeden Wert von m = Q enthält die obige Tabelle die beste untersuchte Verkettung mit einem RS-Code(R1,...,R4)und die beste untersuchte Verkettung mit einem BCH- Code (B1,...,B4). Universität Karlsruhe, Institut für Algorithmen und Kognitive Systeme 10

12 7 Codeperformance in Abhängigkeit von der Länge des inneren Codes 6.5 R1 E b /N 0 [db] für BER = B1 B2 R2 B3 R3 3.5 B4 R Codelänge n Universität Karlsruhe, Institut für Algorithmen und Kognitive Systeme 11

13 7 Codeperformance in Abhängigkeit von der Länge des äußeren Codes 6.5 E b /N 0 [db] für BER = R1 R2 R3 B3 B1 B2 3.5 R4 B Codelänge N Universität Karlsruhe, Institut für Algorithmen und Kognitive Systeme 12

14 7 Codeperformance in Abhängigkeit von der Gesamtlänge 6.5 R1 E b /N 0 [db] für BER = R2 R3 B3 B1 B2 3.5 R4 B Codelänge N = N n Universität Karlsruhe, Institut für Algorithmen und Kognitive Systeme 13

15 Codeperformance in Abhängigkeit von der Mächtigkeit des Alphabets E b /N 0 [db] für BER = B1 R1 B2 R2 B3 R3 3.5 B4 R Mächtigkeit m = Q Universität Karlsruhe, Institut für Algorithmen und Kognitive Systeme 14

16 Anordnung der Seiten Universität Karlsruhe, Institut für Algorithmen und Kognitive Systeme 15