Unter dem Symbol n! (gelesen n Fakultät) versteht man das Produkt der natürlichen Zahlen von 1 bis n.

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1 Die Fakultät Definition: Unter dem Symbol n! (gelesen n Fakultät) versteht man das Produkt der natürlichen Zahlen von 1 bis n. n! = (n 2) (n 1) n Zusätzlich wird definiert 0! = 1 Wie aus der Definition der Fakultät hervorgeht gilt (n + 1)! = n! (n + 1) 84

2 Die Fakultät Beispiele n! für n = 5: 5! = = 120 0! 2! 4! = 1 (1 2) ( ) = 48 85

3 Binomialkoeffizienten Definition: Unter dem Symbol (gelesen: n über k ) versteht man den folgenden Bruch aus zwei Produkten zu je k Faktoren: Zusätzlich legt man fest 86

4 Binomialkoeffizienten Die Zahl k ist eine natürliche Zahl, die gibt die Anzahl der Faktoren im Zähler bzw. im Nenner an. Im Nenner steht das Produkt der ersten k natürlichen Zahlen. Die Zahl n ist eine reelle Zahl, die gibt den ersten Faktor im Zähler an, der zweite Faktor heißt n-1, der dritte n-2 usw. bis k-ten Faktor n k + 1. Die Symbole wurden von Leonhard Euler (Schweizer Mathematiker, tik Physiker und Astronom) eingeführt und werden deshalb Eulersche Symbole genannt. Berechnet man die Potenzen eines Binoms, so erhält man die Symbole als Koeffizienten vor den einzelnen Summanden, weshalb man sie auch Binomialkoeffizienten nennt. 87

5 Binomialkoeffizienten Beispiele: 88

6 Binomialkoeffizienten Eigenschaften der Binomialkoeffizienten Ist nämlich n eine natürliche Zahl und kleiner als k, so ist null einer der Faktoren im Zähler. Beweis: Man erhält durch erweitern des Bruches mit 89

7 Binomialkoeffizienten Man erhält daraus weiter, wenn man k durch n k ersetzt, Weiter gilt: Man erhält dies indem man aus der Summe auf der linken Seite die Binomialkoeffizienten als Brüche schreibt, die Brüche addiert, gemeinsame Faktoren der Summanden im Zähler ausklammert und den Rest vereinfacht. 90

8 Der binomische Satz Unter einem Binom versteht man eine Summe aus zwei Gliedern: a + b Der Binomische Satz gibt an, wie Potenzen eines Binoms (a + b) n mit natürlichen Zahlen n als Exponenten in Summen entwickelt werden können. Berechnet man die Potenzen des Binoms a + b für die Exponenten n = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, so erhält man das folgende Ergebnis: 91

9 Der binomische Satz In diesen Summenentwicklungen erkennt man Gesetzmäßigkeiten: Die Anzahl der Summanden ist um eins größer als der Exponent des Binoms Alle Summanden enthalten Produkte aus Potenzen von a und b, wobei die Summe der Exponenten von a und b gleich n ist Bei Anordnung der Summanden nach fallender Potenzen von a (steigenden Potenzen von b) sind die Exponenten bei a der Reihe nach n, n-1, 1, 0 und die Exponenten bei b der Reihe nach 0, 1,, n-1, n Die Koeffizienten der Potenzen des Binoms bilden das so genannte Pascalsche Zahlendreieck: Jede Zahl ist die Summe der beiden schräg darüberstehenden Zahlen 92

10 Der binomische Satz Schreibt man das Pascalsche Zahlendreieck unter Verwendung der Eulerschen Symbole auf, so erhält man 93

11 Der binomische Satz Unter Verwendung der Eulerschen Symbole lässt sich die Summenentwicklung der Potenz eines Binoms (a + b) n für eine beliebige natürliche Zahl n aufschreiben: 94

12 Kombinatorik Die Kombinatorik beschäftigt sich mit den Gesetzen der Zusammenstellungen und möglichen Anordnungen von endlich vielen Elementen einer Menge. Es können Zusammenstellung aller oder eines Teils dieser Elemente betrachtet werden, die Anordnung der Elemente in den Zusammenstellungen kann eine Rolle spielen oder nicht, und es können Wiederholungen der Elemente in den Zusammenstellungen zugelassen werden oder nicht. Deshalb unterscheidet man drei Arten von Zusammenstellungen (auch genannt Komplexionen), nämlich Permutationen, Variationen und Kombinationen. 95

13 Kombinatorik - Permutationen Eine Permutation von n Elementen (ohne Wiederholung) ist jede Zusammenstellung, in der die n Elemente in irgendeiner Anordnung nebeneinander stehen. Unterschiedliche Anordnung der n Elemente bedeuten stets verschiedene Permutationen. Beispiele Permutation aus den zwei Elementen 1 und 2: Permutation aus den zwei Elementen a und m: am ma Permutation aus den drei Elementen 1, 2 und 3: Die Anzahl P n der Permutationen aus n voneinander verschiedenen Elementen ist 96

14 Kombinatorik - Permutationen Jede Anordnung von k Elementen, von denen das i-te Element n i-mal auftritt, i = 1, 2,, k, heißt Permutation mit Wiederholung. Die Anzahl der Elemente in der Peermutation ist dann n = n 1 + n n k. Beispiel: Die Permutation der zwei Elemente a, b, in denen das Element a einmal und das Element b zweimal auftritt (k = 2, n 1 = 1, n 2 = 2, n = n 1 + n 2 = = 3) abb bab bba Die Anzahl der Permutationen von k Elementen, von denen das i-te Element n i -mal auftritt ist 97

15 Kombinatorik - Variationen Eine Variation von n Elementen zur k-ten Klasse (zu je k Stück, k n) ist jede aus k Elementen bestehende Zusammenstellung, die sich aus den Elementen unter Berücksichtigung der Reihenfolge bilden lässt. Beispiele Die Variationen der drei Elemente a, b, c zur zweiten Klasse sind: ab ac ba bc ca cb Die Variationen der vier Elemente a, b, c, d zur zweiten Klasse sind: ab ba ca da ac bc cb db ad bd cd dc Die Anzahl der Variationen von n Elementen zur k-ten Klasse ist 98

16 Kombinatorik - Variationen Variationen von n Elementen zur k-ten Klasse bei denen sich die einzelnen Elemente bis zu k-mal wiederholen, heißen Variationen mit Wiederholung Beispiele Die Variationen der drei Elemente a, b, c zur zweiten Klasse mit Wiederholung sind: aa ba ca ab bb cb ac bc cc Die Variationen der vier Elemente a, b, c, d zur zweiten Klasse mit Wiederholung sind: aa ba ca da ab bb cb db ac bc cc dc ad bd cd dd Die Anzahl der Variationen von n Elementen zur k-ten Klasse mit Wiederholung ist 99

17 Kombinatorik - Kombinationen Eine Kombination von n Elementen zur k-ten Klasse (k n) ist jede aus k Elementen bestehende Zusammenstellung, die sich aus den n Elementen ohne Berücksichtigung der Anordnung bilden lässt. Die Kombination geht aus der Variation hervor, wenn man die Anordnung nicht beachtet Beispiele Die Kombinationen der drei Elemente a, b, c zur zweiten Klasse sind: ab ac bc Die Kombinationen der vier Elemente a, b, c, d zur zweiten Klasse sind: ab ac ad bc bd cd Die Anzahl der Kombinationen von n Elementen zur k-ten Klasse ist 100

18 Kombinatorik - Kombinationen Kombinationen von n Elementen zur k-ten Klasse, bei denen sich die einzelnen Elemente bis zu k-mal wiederholen, heißen Kombinationen mit Wiederholung Beispiele Die Kombinationen der drei Elemente a, b, c zur zweiten Klasse mit Wiederholung sind: aa ab ac bb bc cc Die Kombinationen der vier Elemente a, b, c, d zur zweiten Klasse mit Wiederholung sind: aa ab ac ad bb bc bd cc cd dd Die Anzahl der Kombinationen von n Elementen zur k-ten Klasse ist 101

19 Summen- und Produktzeichen Summenzeichen Das Summenzeichen hilft dabei eine übersichtliche Form einer Addition zu erhalten, wenn durch viele Summanden der Ausdruck sehr unübersichtlich wird Für zwei natürliche Zahlen (ganze Zahlen) m und n m n gilt: Wobei i alle Werte von n bis m durchläuft und alle a i aufsummiert werden. i = Summationsindex, m = untere Summationsgrenze, n = obere Summationsgrenze 102

20 Summen- und Produktzeichen Summenzeichen - Rechenregeln Summen von Summen Zwei oder mehrere Summen können zusammengefasst (oder getrennt) werden, indem die einzelnen Glieder a, b jeweils hinter ein eigenes Summenzeichen geschrieben werden. Beim Zusammenfassen ist aber darauf zu achten, dass die Summationsgrenzen m und n gleich sind. 103

21 Summen- und Produktzeichen Summenzeichen - Rechenregeln Unterteilen in Teilsummen Eine einzelne Summe kann in zwei oder mehr Teilsummen aufgeteilt werden. Voraussetzung ist aber m k n 104

22 Summen- und Produktzeichen Summenzeichen - Rechenregeln Konstante Faktoren vor Summen Steht vor a ein Faktor c kann c ausgeklammert werden, denn Der Faktor kann dann vor das Summenzeichen wandern 105

23 Summen- und Produktzeichen Summenzeichen - Rechenregeln Kombination von Summen und Faktoren Die Summe kann in Teilsummen aufgeteilt werden, wobei die Faktoren wieder vor das Summenzeichen wandern. 106

24 Summen- und Produktzeichen Produktzeichen Ähnlich wie das Summenzeichen wird das Produktzeichen definiert Ein bekanntes Produktzeichen ist n-fakultät 107