Abb. 1: Zahlendreieck. Abb. 2: Zeile dreimal addieren

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1 Hans Walser, [205002] Trinomialkoeffizienten Worum geht es Es wird eine Verallgemeinerung des Pascalschen Dreiecks der Binomialkoeffizienten besprochen. 2 Das Dreieck Die Abbildung zeigt das Zahlendreieck. Abb. : Zahlendreieck Jede Zahl ist die Summe der drei Zahlen unmittelbar oberhalb sowie links und rechts oberhalb. Man kann es auch so sehen: Eine Zeile wird dreimal versetzt unter einander geschrieben und dann wird addiert (Abb. 2) Abb. 2: Zeile dreimal addieren

2 Hans Walser: Trinomialkoeffizienten 2 / 7 Die Zahlen ergeben sich als Koeffizienten durch das Potenzieren eines Trinoms: ) 0 = ) = p 2 +pq +q 2 ) 2 = p + 2 p 3 q + 3p 2 q pq 3 +q ) 3 = p 6 + 3p 5 q + 6 p q p 3 q p 2 q + 3pq 5 +q 6 ) = p 8 + p 7 q +0 p 6 q 2 +6 p 5 q 3 +9 p q +6 p 3 q 5 +0 p 2 q 6 + pq 7 +q 8 Alternativ kann mit einem quadratischen Polynom gearbeitet werden: ( x 2 + x +) 0 = ( x 2 + x +) = x 2 +x + ( x 2 + x +) 2 = x + 2x 3 + 3x 2 + 2x + ( x 2 + x +) 3 = x 6 + 3x 5 + 6x + 7x 3 + 6x 2 + 3x + ( x 2 + x +) = x 8 + x 7 +0x 6 +6x 5 +9x +6x 3 +0x 2 + x + 3 Schreibweise und Indizierung Für die Zahlen des Zahlendreieckes der Abbildung habe ich die Schreibweise t n,k, n { 0,, 2,...}, k { n, n +,..., n, n} gewählt (Abb. 3). Abb. 3: Schreibweise und Indizierung In dieser Bezeichnung gilt die Rekursion: t n,k = t n,k + t n,k + t n,k+

3 Hans Walser: Trinomialkoeffizienten 3 / 7 Wir haben die Symmetriebeziehung: t n, k = t n,k Link zu den üblichen Trinomialkoeffizienten Wir potenzieren das Standard-Trinom ( a + b + c). Zunächst erhalten wir zum Beispiel für den Exponenten : ( a + b + c) = a + a 3 b + a 3 c + 6a 2 b 2 +2a 2 bc + 6a 2 c 2 + ab 3 +2ab 2 c +2abc 2 + ac 3 + b + b 3 c + 6b 2 c 2 + bc 3 + c Das ist eine hässliche Darstellung. Sie kann verbessert werden durch eine zweidimensionale dreiecksförmige Anordnung (Abb. ). Die Terme im Dreieck sind zu summieren. b ab 3 b 3 c (a + b + c) = 6a 2 b 2 2ab 2 c 6b 2 c 2 a 3 b 2a 2 bc 2abc 2 bc 3 a a 3 c 6a 2 c 2 ac 3 c Abb. : Dreiecksanordnung Die Koeffizienten dieses Schemas sind die üblichen Trinomialkoeffizienten für n =. Wir erkennen die gewöhnlichen Binomialkoeffizienten und Produkte davon. Wenn wir nun die Trinomialkoeffizienten spaltenweise addieren (Abb. 5), ergibt sich die zu gehörende Zeile des Zahlenschemas der Abbildung.

4 Hans Walser: Trinomialkoeffizienten / Abb. 5: Spaltenweise Addition Die Stimmigkeit dieses Verfahrens kann wie folgt eingesehen werden. In den Formeln der Abbildung ersetzen wir a = p 2, b = pq und c = q 2 (Abb. 6). Die Terme in einer Spalte enthalten dieselben Variablen mit denselben Potenzen. Wir können also spaltenweise addieren.

5 Hans Walser: Trinomialkoeffizienten 5 / 7 (pq) (p 2 )(pq) 3 (pq) 3 (q 2 ) (p 2 + pq + q 2 ) = 6(p 2 ) 2 (pq) 2 2(p 2 )(pq) 2 (q 2 ) 6(pq) 2 (q 2 ) 2 (p 2 ) 3 (pq) 2(p 2 ) 2 (pq)(q 2 ) 2(p 2 )(pq)(q 2 ) 2 (pq)(q 2 ) 3 (p 2 ) (p 2 ) 3 (q 2 ) 6(p 2 ) 2 (q 2 ) 2 (p 2 )(q 2 ) 3 (q 2 ) p 8 p 7 q 0p 6 q 2 6p 5 q 3 9p q 6p 3 q 5 0p 2 q 6 pq 7 q 8 Abb. 6: Einsicht In unserer Bezeichnung für t n,k ergeben sich damit folgende Summenformeln: t n,k = n k 2 n k+2 j ( k+2 j ) k+ j j=0 ( ) n k 2 = n! j=0 Wer Lust hat, kann einen Induktionsbeweis versuchen. j! ( k+ j)! ( n k 2 j)!

6 Hans Walser: Trinomialkoeffizienten 6 / 7 5 Farbliche Gestaltung Wir können wie beim Pascalschen Dreieck der Binomialkoeffizienten nun auch die Trinomialkoeffizienten modulo m farblich codieren. In der Abbildung 7 wird zwischen gerade (schwarz) und ungerade (rot) unterschieden. Abb. 7: Gerade und ungerade Wir erhalten eine fraktale Struktur, das war ja auch zu erwarten. In der Abbildung 8 wird modulo 3 gearbeitet. Abb. 8: Modulo 3

7 Hans Walser: Trinomialkoeffizienten 7 / 7 Die Abbildung 9 gibt die Situation für modulo. Abb. 9: Modulo Die Abbildung 7 schließlich für modulo 5. Abb. 7: Modulo 5