2018, MNZ. Jürgen Schmidt. Vorkurs. Mathematik RECHNEN. Tag. Wintersemester 2018/19

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1 208, MNZ. Jürgen Schmidt Vorkurs Mathematik. RECHNEN Wintersemester 208/9 Tag

2 Kontaktdaten Dr.-Ing. Jürgen Schmidt Raum (036) Sprechzeit: im WS208/9 (Vorlesungszeit) dienstags, 4:00 5:00 Uhr 2

3 DAS Problem der Mathematik Und wofür braucht man das? Paul Epstein (87 939) Die Mehrheit bringt der Mathematik Gefühle entgegen, wie sie nach Aristoteles durch die Tragödie geweckt werden sollen, nämlich Mitleid und Furcht. Mitleid mit denen, die sich mit der Mathematik plagen müssen, und Furcht: daß man selbst einmal in diese gefährliche Lage geraten könne. Die Vermessung der Welt Deutschland / Österreich 20/202, Spielfilm 202 Warner Bros. Entertainment 3

4 Wozu ist der Brückenkurs gut? Vorbereitung auf Studienfächer, die Mathematikkenntnisse voraussetzen Schulkenntnisse auffrischen positiver Nebeneffekt: Möglichkeit zum Kennenlernen der zukünftigen Kommilitonen um die übelsten Sünden mathematischer Unfähigkeit zu vermeiden 4

5 Welche Aussage ist falsch? ) (a + b) 2 = a 2 + b 2 2) 3) Die Hälfte von 0 0 ist 0 5 4) 5) 4 dividiert durch ½ ist 2 6) 7) ½ von 0 8 = 5 8 8) 9) log AB = log A log B und es kommt noch schlimmer! 0) sin(a + B) = sin A + sin B 5

6 Falsches Kürzen Quelle: Viele Studienanfänger haben keine Vorstellung, wie man richtig kürzt. 6

7 Interpretation mathematischer Symbole Quelle: δ ζθ σω nie zuvor gesehen 7

8 : 2 2 =? Quelle: Das war wohl nichts mit der Schwarmintelligenz 8

9 Programmübersicht Vorlesung Tag Datum Thema Brüche, Potenzen und Wurzeln, Binome Gleichungen, Ungleichungen und Beträge Funktionen einer Veränderlichen Ableiten einer Funktion Aufleiten einer Funktion Aufgaben in den +Übungen 9

10 Literatur Begleitmaterial zum Brückenkurs J. Schmidt: Basiswissen Mathematik. Springer Spektrum, 204. preisliche Alternative für ipad-besitzer itunes-store: Vorkurs Mathe, Preis: 4,99 id ?mt= Taschenbuch: 49 Seiten ISBN: Preis: 29,99 0

11 Zahlenbereiche N 2x + 3 = 5 Z x + 3 = 0 2x 3 = 0 x 2 3 = 0 x = 0 als bekannt vorausgesetzte Zahlenmengen Q R C

12 Zahlendarstellung Stellenwertsysteme mit B N\{} und 0 a i < B Grafisch auf der Zahlengerade 4 0 r =p/q q 6 0 Umwandlung zwischen Dezimal- und Bruchdarstellung p Irrationale Zahl r 2

13 Brüche a : b = a / b (a: Zähler; b: Nenner) Kürzen ist das Vereinfachen von Brüchen, wobei Zähler und Nenner in Faktoren zerlegt und gemeinsame Faktoren herausgestrichen werden. Nenner darf niemals Null werden/sein (b 0; c 0) MERKE: In Differenzen und Summen kürzen nur die DUMMEN! & % 3

14 Rechnen mit Brüchen negatives Vorzeichen Addition/Subtraktion gleicher Nenner Addition/Subtraktion verschiedene Nenner Zahl und Bruch Faktor und Bruch Multiplikation zweier Brüche Division zweier Brüche 4

15 Potenzen Seien a R, a 0 und n N, so definieren wir: Insbesondere ist 0 0 nicht definiert Produktzeichen: Ferner ist wichtig, daß für a > 0 ein negativer Exponent NICHT zu einem negativen Endergebnis führt. artverwandte Operation bei natürlichen Zahlen: Fakultät Definition Faktoren 5

16 Potenzgesetze ACHTUNG bei Addition in Klammern Binomische Formeln 6

17 Ein Binom ist die Summe oder Differenz zweier Monome wie z. B. a + b, x ', x 2 + y 2, ½p 2 q, Ein Monom ist ein Produkt, bestehend aus einem Koeffizienten und Potenzen von einer, selten auch mehreren Variablen, d. h. x, x 2, 27y x, 5y 3 x 2 Der Term (a + b) 2 ist also kein Binom, sondern das Quadrat eines Binoms. Mittels geometrischer Betrachtung finden wir: (a+b) 2 = a 2 + b 2 + 2ab ab b 2 a 2 ab a b 7

18 a b (a+b) 3 = a 3 + b 3 + 3ab 2 + 3a 2 b 8

19 Binome höherer Potenzen (a+b) 4 = (a+b)(a+b) 3 = (a+b)(a 3 + 3a 2 b+3ab 2 + b 3 ) = a (a 3 + 3a 2 b+3ab 2 + b 3 ) + b (a 3 + 3a 2 b+3ab 2 + b 3 ) = a 4 + 3a 3 b+3a 2 b 2 + ab 3 + ak a 3 b + 3a 2 b 2 + 3ab 3 + b 4 Tesserakt = a 4 + 4a 3 b+6a 2 b 2 + 4ab 3 + b 4 (von altgr.: τέσσερεις (τέσσερις) ἀκτίνες vier Strahlen ) bzw. Hyperwürfel 9

20 Pascalsches Dreieck (a + b) 0 = (a + b) = a + b (a + b) 2 = a ab + b 2 (a + b) 3 = a aa 2 b + 3 3ab 2 + b 3 (a + b) 4 = a aa 3 b + 6 6aa 2 b ab 3 + b 4 Blaise Pascal ( ) franz. Mathematiker (a + b) 5 = a aa 4 b + 0aa 3 b 2 + 0aa 2 b 3 + 5ab5 4 + b 5 (a + b) 6 = a a a 5 b + 5aa 4 b aa 3 b 3 + 5aa 2 b 4 + 6ab6 5 + b = = 3 4 A3 2 A3 4 Binomialkoeffizient 20

21 Binomische Formeln. und 2. binomische Formel 3. binomische Formel PASCALsches Dreieck eine Form der grafischen Darstellung der Binomialkoeffizienten verallgemeinerter binomischer Satz Zeile ( 5 3)=0 Summen

22 Anwendung der binomischen Formel allgemeine binomische Formel (a + b) n = a n + na n b + n(n ) 2 a n 2 b 2 + Wir setzen a = und b = x, wodurch sich die Formel vereinfacht zu: ( + x) n = + nx+ n(n ) 2 x 2 + Newton: Was passiert, wenn ich (für alle reellen x im Intervall ],[) als Exponent n = ½ einsetze? ( + x) /2 = p + x n(n )(n 2) a n 3 b x 3 + x Sir Isaac Newton ( ) engl. Naturforscher n(n )(n 2) ( 2 )( 2 2) = + x + 2 ( 2 ) x = + 2 x 8 x2 + 6 x3 + 22

23 Quadratwurzeln ziehen 208, MNZ. Jürgen Schmidt Wir bestimmen den Wert der Quadratwurzel von 7 p 7 = p 6 + = r Mit der Formel von NEWTON erhalten wir hieraus p p p p , , , =4 * r ,000 23

24 Wurzeln Die Quadratwurzel aus dem Radikanden a R >0 ist diejenige nichtnegative Zahl b, die mit sich selbst multipliziert a ergibt. wenn Verallgemeinerung für beliebige Wurzelexponenten n N wenn Wichtig: Wurzel und Potenz sind gleichwertig, d. h. es ist egal, welche Rechenoperation zuerst angewandt wird. Allgemein gilt für geradzahlige Wurzelexponenten (was später noch bedeutsam wird) 24

25 Gesetze für das Rechnen mit Wurzeln Achtung: Häufiger Fehler auch hier (wie bei den Potenzen) 25