QUADRATWURZELN FRANZ LEMMERMEYER

Transkript

1 QUADRATWURZELN FRANZ LEMMERMEYER Nach den negativen Zahlen und den Brüchen steht in Klasse 8 eine weitere Erweiterung des Zahlbereichs an. Den ersten Schritt dazu machen die Quadratwurzeln.. Quadratwurzeln Ein Quadrat der Kantenlänge 4 cm hat einen Flächeninhalt von 6 cm. Ist die Kantenlänge a, dann hat das Quadrat einen Flächeninhalt a. Ist umgekehrt ein Quadrat mit Flächeninhalt 5 cm gegeben, so muss seine Kantenlänge a cm sein, wobei a = 5 ist, und natürlich muss hier a = 5 sein. Wie groß ist aber die Kantenlänge a eines Quadrats mit einer Fläche von cm? Ein Quadrat mit Kantenlänge a = cm ist zu klein, eines mit Kantenlänge a = cm zu groß. Könnte die Kantenlänge a = 3 cm sein? Dies ist zwar ungefähr richtig, aber nicht genau: es gilt ja ( 3 ) = =, und das ist >. Auch a = 7 cm kommt nicht ganz hin: hier ist ( ) 7 5 = 4 = =,6 <. 5 5 Auch Versuche mit Brüchen, die einen noch größeren Nenner haben, führen nicht zum Ziel: welchen Bruch auch immer wir für a wählen, nie ist a =. Dass dies so ist, haben zuerst die Pythagoreer erkannt, Mitglieder einer Sekte, die Pythagoras vor etwa 500 Jahren gegründet hat. Quadratverdopplung. Unter den uns bekannten Zahlen kommt also keine Zahl a vor, die der Gleichung a = genügt. Gibt es dann überhaupt so ein Quadrat mit Flächeninhalt cm? Der große griechische Philosoph Platon erzählt uns eine Geschichte, in der sich Sokrates mit einem Sklaven Menons unterhält. In diesem Gespräch bringt dieser den ungebildeten Sklaven durch geschicktes Fragen zur Erkenntnis, wie man dazu vorzugehen hat. Wenn das Quadrat links unten Kantenlänge hat, dann hat das große Quadrat Kantenlänge und Flächeninhalt 4 und ist damit viermal so groß wie das kleine. Zeichnet man aber die Diagonalen so ein wie in Abb., entsteht ein Quadrat, dessen Flächeninhalt halb so groß

2 FRANZ LEMMERMEYER Abbildung. Quadratverdopplung ist wie der des großen, weil jede Diagonale die Flächen der vier kleinen Quadrate halbiert. Das Quadrat auf der Diagonale des kleinen Quadrats (also das Quadrat, dessen Kante die Diagonale des Ausgangsquadrats ist) hat damit den doppelten Flächeninhalt des kleinen Quadrats. Satz. Errichtet man auf der Diagonale eines Quadrats ein neues Quadrat, dann hat dieses doppelt so großen Flächeninhalt wie das Ausgangsquadrat. Startet man mit einem Quadrat der Kantenlänge cm, dann hat das Quadrat auf der Diagonale also Flächeninhalt cm. Die Kantenlänge dieses Quadrats kann man nicht mit einem Bruch darstellen; wir führen daher ein neues Zeichen ein, die Quadratwurzel. Aufgabe. Konstruiere ein Quadrat mit Flächeninhalt 8 cm. Quadratwurzeln. Die Quadratwurzel a einer positiven Zahl a > 0 ist diejenige positive Zahl, die mit sich selbst multipliziert a ergibt. Insbesondere ist diejenige Zahl mit < <, für die = = gilt. Quadratwurzeln aus negativen Zahlen wie 4 kann es in den reellen Zahlen nicht geben, weil sowohl = +4, also auch ( ) ( ) = +4 ist, Quadratzahlen also nie negativ sein können. Die Quadratwurzeln von Quadratzahlen lassen sich exakt angeben: es ist 4 =, = 3 usw. Nun ist aber nicht nur 3 3 =, sondern auch ( 3) ( 3) =. Dennoch ist immer nur die positive Quadratwurzel: die Gleichung = 3 ist falsch!

3 QUADRATWURZELN 3 Das hat gute Gründe: würde man etwa 4 = ± und = ±3 setzen, dann wäre = +5, + 3 = +, 4 + = + 3 =, 3 = 5, d.h. die Summe zweier Quadratwurzeln könnte bis zu vier verschiedene Ergebnisse haben. Noch schlimmer wären die Folgen für 6, das dann entweder 4 = ± oder 4 wäre: Aber Wurzeln aus negativen Zahlen gibt es nicht, weil Quadrate nicht negativ sein können. Aufgabe. Wie viele verschiedene Ergebnisse könnte haben, wenn man für Quadratwurzeln beide Vorzeichen gelten lässt? Rechnen mit Quadratzahlen. Beim Rechnen mit Quadratwurzeln muss man auf einige oft gemachte Fehler besonders achten:. Quadratwurzeln aus Summen lassen sich nicht einzeln ziehen: = 5, denn + 4 = 3 und 3 liegt sicherlich zwischen 3 und 4. Entsprechendes gilt für 4. Dagegen ist 4 = 4, denn die linke Seite ist 36 = 6, die rechte ebenfalls wegen 4 = 3 = 6. Auch im Falle von kann 4 man die Wurzel aus Zähler und Nenner einzeln ziehen.. 0,0 0,03, denn 0,03 = 0,000. Um solche Fehler zu vermeiden, ist es oft hilfreich, Dezimalzahlen als Brüche darzustellen: 0,0 = = 3 = 0, Man muss genau zwischen 5 und ( 5 ) unterscheiden (das hat eigentlich mit Quadratwurzeln nichts zu tun, sondern gilt genauso für 5 und ( 5) ): Selbstverständlich ist ( 5 ) = ( 5 ) ( 5 ) = +5, während man aber bei 5 festgelegt hat, dass erst das Quadrat und dann die Multiplikation mit auszuführen ist, d.h. also dass 5 = 5 ist. Sinn der Sache ist, dass man sich bei diesem Ausdruck die Klammern sparen kann: hätte man diese Übereinkunft nicht getroffen, müsste man ( 5 ) statt einfach 5 schreiben. Auch bei der Benutzung von Taschenrechnern muss man an dieser Stelle aufpassen.

4 4 FRANZ LEMMERMEYER Übungen () Kopfrechnen: Bestimme die folgenden Quadratwurzeln e) 44 f) () Kopfrechnen: Bestimme die folgenden Quadratwurzeln. 0,36 0,0 0,006 0,000 e),5 f) 6,5 (3) Kopfrechnen: Bestimme zwei aufeinanderfolgende natürliche Zahlen, zwischen denen die jeweilige Quadratwurzel liegt. Beispiel: < 6 < 3, weil 4 < 6 <. < 8 < < 7 < < 00 < < 40 < e) < 40 < f) < 480 < (4) Berechne: (5) (MS) Berechne: (6) (MS) Berechne: (7) (MS) Berechne, falls möglich: 7 ( 6) ( 4) ( ) ( 4 )

5 QUADRATWURZELN 5 (8) Berechne: ( ) () Berechne: (0) Berechne: 4 0, () Berechne: ( ) 3( 75 + ) 5( ) 6( ) () Berechne: (3 ) ( + 3 ) 6 ( ) 4 ( ) (3) Vereinfache durch teilweises Ziehen der Wurzel (4) Berechne: (5) Vereinfache:

6 6 FRANZ LEMMERMEYER (6) Berechne: , , (7) Berechne: 3,4 : 0, 80 : 0, 0,4 :,4 0, : 0,444 (8) Berechne: () Berechne: Hinweis: Man braucht die Hauptnenner, wie etwa 6 5 im ersten Beispiel, nicht auszurechnen. (0) Berechne: () Berechne: