Gleichungen, die auf quadratische Gleichungen führen: Teil 1: Bruchgleichungen. Shareware-Datei ohne Lösungen. Datei Nr

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1 Spezielle Gleichungen Klassenstufe 9 Gleichungen, die auf quadratische Gleichungen führen: Teil : Bruchgleichungen Shareware-Datei ohne Lösungen Datei Nr. 0 April 00 Friedrich Buckel Internatsgymnasium Schloß Torgelow

2 Inhalt Musterbeispiele: () () 5 = 6 = 7 () () (5) (6) = = = 6 = (7) 5 = (8) = 0 6 (9) = (mit Probe!) 5 Aufgabenblatt mit Aufgaben 6 Musterlösungen aller Aufgaben (auf der Mathematik-CD) 7-8

3 0 Kl. 9 - Bruchgleichungen Beispiel : 5 = 6 Der in der Gleichung vorkommende Bruchterme besitzt einen speziellen Definitionsbereich, denn nicht alle reellen Zahlen sind einsetzbar. Die Auflage heißt stets: Der Nenner darf nicht Null werden, denn eine Division durch 0 ist nicht möglich. Der Bruch hat den Nenner, also darf man D = R \ 0 hier 0 nicht einsetzen. Daher gilt: { } Man multipliziert mit dem Nenner durch: 5 = 6 Ordnen: 6 5 = Lösen: = ±, 6 = ± ± 6 = 6 = Da beide Zahlen dem Definitionsbereich angehören folgt: L = { } ;5 Beispiel = 7 Definitionsbereich: D = R \{ 0;} Als nächstes bildet man den Hauptnenner. In ihm müssen alle vorhandenen Nenner als Faktoren enthalten sein: HN = ( ). Mit ihm wird die Gleichung multipliziert: ( ) ( ) ( ) = 7 ( ) Danach kann man in beiden Brüchen den Nenner wegkürzen: ( ) ( ) ( ) = 7 ( ) Es entsteht ( )( ) = 7 ( ) Ausmultiplizieren: = 7 7 Rechts zusammenfassen:, 0 = 0 : 5 = 0 = 5± = ± = Da beide Zahlen dem Definitionsbereich angehören folgt: L = { } ;

4 0 Kl. 9 - Bruchgleichungen Beispiel : = Definitionsbereich: D = R \{ } Mit dem Hauptnenner: ( ) multiplizieren: ( ) ( ) ( ) = ( ) Kürzen: ( ) ( ) = ( ) Ausmultiplizieren: Rechts ordnen: = 0 = 5 5± 5 5± 7 Lösen:, = = = Da beide Zahlen dem Definitionsbereich angehören, gilt L = { ; } Beispiel : = Definitionsbereich: D = R \{ ± } Mit dem Hauptnenner: ( )( ) multiplizieren: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = ( )( ) ( )( ) ( ) = 9 = 9 = 0, ± 8 = R Ergebnis: L = { }.

5 0 Kl. 9 - Bruchgleichungen Beispiel 5: Es gibt Beispiele, die unnötig schwer erscheinen, weil sie durch eine einfache Umformung leichter werden. Sehen wir uns diese Gleichung an: = 6 Der oberflächliche Beobachter sieht zwei verschiedene Nenner und denkt an diesen Hauptnenner: ( 5) ( 5 ). Doch das stimmt nicht. Ich erweitere jetzt einmal den zweiten Bruch mit, das ergibt ( ) = = = 5 ( 5 ) ( ) 5 5 Und plötzlich hat dieser Bruch eine andere Gestalt und denselben Nenner wie der erste Bruch. Merke: Treten zwei Nenner auf, von denen der eine genau die entgegengesetzten Vorzeichen hat, dann kann man sie durch Erweiterung mit (-) gleich machen! Daher lautet nun unsere Gleichung plötzlich so: Mit = \{ 5} = 6 D R und dem Hauptnenner 6 ( 5) folgt: 7 Lösungsmenge L { } = 6 = 5 ( 5) 6 = 5 5 = 7 7 = Beispiel 6: = Hier ist der Hauptnenner auch nicht ( )( ). Klammert man im. Nenner die aus, folgt mit = \{ } = ( ) D R und dem Hauptnenner ( ) Damit folgt = ( ) 5 = 6 = 6 L = 6. Man merke sich solche Tricks! mit { }

6 0 Kl. 9 - Bruchgleichungen 5 Beispiel 7: = Hier muß man den zweiten Nenner faktorisieren, d.h. in ein Produkt aufspalten: = ( )( ). Lautet die Gleichung so: 5 = ( )( ) mit D = R \{ ± } Mit dem Hauptnenner = ( )( ) durchmultiplizieren ergibt 5 ( ) ( ) ( )( ) = ( )( ) 5( ) = 5 0 = 0 = 7 6, 7± 9 7± 5 6 = = = Da beide Zahlen dem Definitionsbereich angehören, gilt L = { ; 6} Beispiel 8: = 0 6 ± Faktorisierung des. Nenners: Aus 6 = 0 folgt N = = { Also gilt: 6 = ( )( ). Damit lautet die Gleichung so: { = 0 ( )( ) mit D = R \{ -; } Multiplikation mit dem Hauptnenner ( )( ) ergibt ( ) ( ) = 0 6 = 0 = d.h., =± (Achtung: ± nicht vergessen! ) Nun taucht ein Problem auf: Die Zahl gehört nicht dem Definitionsbereich an, sie muß daher ausgeschlossen werden, also gilt: L = { }. ACHTUNG: Wenn jemand aus = die fehlerhafte Folgerung = zieht und dann dieselbe Lösungsmenge L = { } erhält, hat er dennoch die Aufgabe falsch gelöst!!!

7 0 Kl. 9 - Bruchgleichungen 5 Beispiel 9: = mit = \{ 0; } D R und HN = ( ) : ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] = = 5 = 0 5 = 0 = ( ) 5± 5 5± 5, = = = ± Da beide Zahlen dem Definitionsbereich angehören, gilt 5 L = ± Man kann bei einer Gleichung mit der Lösung die Probe machen. Hier rechne ich das einmal vor. Es wird aber schlimm!!! Probe in = 5 mit = Man sollte eine Probe nicht wie eine Gleichung behandeln sondern den Wert des Terms der linken Seite berechnen: Berechnung der linken Seite durch Einsetzen: 5 5 ( ) ( ) 5 5 ( ) ( ) 5 ( ) ( ) 5 ( ) ( ) LS = = = = = 5 Der erste Bruch wird mit ( ) erweitert, der zweite mit ( ) Damit werden beide Nenner rational: ( 5 )( ) 5 5 ( )( ) ( )( ) ( )( ) 6 = = 5 = = = = = 5 Damit ergibt die linke Seite dasselbe Ergebnis wie die rechte Seite: Die Probe stimmt!.

8 0 Kl. 9 - Bruchgleichungen 6 Aufgabe Aufgaben Ermittle die Lösungsmenge. Beachte den Definitionsbereich! a) 5 = b) = c) 6 = d) = e) 6 = f) = 5 Aufgabe a) 6 = 5 b) = 0 c) 5 8,75 = ( )( ) d) = 5 e) = f) = Aufgabe (Anleitung: Faktorisiere die Nenner) a) = b) = ( ) c) = 9 e) = 0 = d) 8 f) = = h) = g) Aufgabe (Schwer, führt auf!) a) = b) = 6 c) = 9 d) =