Mathematikskript Realschule Klasse 10 (Baden-Württemberg) Vorbereitung Realschulabschlussprüfung 2016 Unterrichtsbegleitung im 10.

Transkript

1 Mathematikskript Realschule Klasse 0 (Baden-Württemberg) Vorbereitung Realschulabschlussprüfung 06 Unterrichtsbegleitung im 0. Schuljahr inkl. aller Prüfungsaufgaben von Dipl.-Math. Alexander Schwarz aschwarz@mathe-aufgaben.com Homepage: Wichtiger Hinweis: Ich bitte den Eigentümer dieses Skriptes, weder das gesamte Skript noch Teilauszüge daraus zu kopieren, einzuscannen oder auf andere Art und Weise zu vervielfältigen, um es an andere weiterzugeben. Der Preis dieser Unterlagen steht in keinem Verhältnis zu dem Zeitaufwand, den ich dafür investiert habe und für den Inhalt, den man bekommt. Ich bitte um Fairness und danke dafür Alexander Schwarz

2 Einige Hinweise Zunächst einmal bedanke ich mich für das Vertrauen, das ihr mir mit dem Kauf dieses Skriptes entgegengebracht habt! Der darin enthaltene Stoff ist auf den Lehrplan von Baden-Württemberg für die Abschlussprüfung 06 abgestimmt. Das Skript ist sowohl ein Begleiter beim Lernen auf die Klassenarbeiten während des 0.Schuljahres als auch ein wertvolles Vorbereitungsbuch für eure Matheprüfung. In den Kapiteln bis 7 werden die einzelnen Themengebiete der Prüfung ausführlich und verständlich anhand vieler Beispiele vorgestellt und wiederholt. Im Anschluss an jedes Kapitel findet ihr viele Übungsaufgaben, mit denen ihr kontrollieren könnt, ob ihr den Stoff eines Kapitels verstanden habt. Damit ihr bei den Übungsaufgaben Prüfungsniveau erreicht, habe ich in den ersten 7 Kapiteln alle Prüfungsaufgaben der Jahrgänge eingebaut. Damit ihr vor der Abschlussprüfung die Möglichkeit habt, komplette Prüfungsjahrgänge am Stück durchzurechnen, findet ihr in den Kapiteln 8 bis 0 die zusammenhängenden Abschlussprüfungsaufgaben der Jahre 03 bis 05. Hinweis zu den Lösungen der Übungs-/ und Prüfungsaufgaben: Am Ende der jeweiligen Kapitel befindet sich ein Kasten, in dem die Ergebnisse der einzelnen Übungsaufgaben dargestellt sind (so genannte "Kurzlösungen"). Falls ihr eine Aufgabe durchgerechnet habt, könnt ihr anhand der Kurzlösungen kontrollieren, ob eure Ergebnisse stimmen. Falls ihr eine Aufgabe nicht vollständig lösen könnt oder euer Ergebnis nicht mit der Kurzlösung übereinstimmt, ist dies auch kein Problem. Denn ihr findet die ausführlich durchgerechneten Musterlösungen aller Aufgaben in einer pdf-datei, die ich euch als Besteller des Skriptes per Download-Link auf meiner Homepage zum Herunterladen zur Verfügung stellen werde. Natürlich gibt es auch Aufgaben (insbesondere bei der Trigonometrie), bei denen man auf verschiedenen Wegen zum Ziel kommt. Falls ihr mit einem anderen Lösungsweg als in der Musterlösung dargestellt auf dasselbe Ergebnis kommt, kann dies natürlich auch richtig sein. Wichtige Formeln, die ihr häufig in der Prüfung benötigt oder Rechenverfahren, die ihr auswendig lernen solltet sind grau hinterlegt. Nach meiner Erfahrung hilft es Schülern, wenn man nicht nur darstellt, wie etwas gemacht wird, sondern auch, wie (und warum) etwas nicht gemacht werden darf. Ich habe daher in dem Skript auch typische Fehler und Irrtümer dargestellt, die Schüler aufgrund meiner langjährigen Erfahrung immer wieder unterlaufen. Sie sind durch das entsprechende Symbol am Rand gekennzeichnet. Wer diese "Fettnäpfchen" kennt, kann ihnen besser ausweichen. Auch wenn ich mir viel Mühe gebe, Tipp- und Flüchtigkeitsfehler zu vermeiden, kann ich diese natürlich nicht komplett ausschließen. Solltet ihr Fehler entdecken, bin ich für eine Mitteilung dankbar. Auch Anregungen und konstruktive Kritik werden von mir gerne entgegengenommen und bei der Aktualisierung berücksichtigt. Viel Erfolg bei der Bearbeitung dieses Skriptes und alles Gute für eure Prüfung! Alexander Schwarz

3 Inhaltsverzeichnis 0. Abflauf der schriftlichen Prüfung. Gleichungen lösen. Lineare Gleichungssysteme. Quadratische Gleichungen.3 Bruchgleichungen. Geraden und Parabeln. Geraden zeichnen. Aufstellen einer Geradengleichung.3 Parabeln der Bauart y ax².4 Parabeln der Bauart y ax² + c.4. Aufstellen der Gleichung einer Parabel y ax² +c.5 Parabeln der Bauart y x² + px + q.5. Scheitelpunktberechnung der Parabel y x² + px + q.5. Aufstellen der Gleichung einer nach oben geöffneten Normalparabel.6 Allgemeine Aufgaben/Fragen zu Geraden und Parabeln 3. Sachrechnen 3. Prozentrechnen 3. Zinsrechnen 4. Diagramme und Auswertung von Daten 4. Diagramme 4. Daten auswerten 5. Wahrscheinlichkeitsrechnung 6. Trigonometrie 6. Berechnung von Dreiecken und Vielecken ohne Parameter e 6. Berechnung von Dreiecken und Vielecken mit Formvariable e 7. Stereometrie / Körperberechnung 7. Rotationskörper: Kugel, Zylinder, Kegel 7. Prismen und Pyramiden 7.3 Zusammengesetzte Körper 7. Prüfungsaufgaben Prüfungsaufgaben Prüfungsaufgaben 05 3

4 0. Ablauf der schriftlichen Prüfung 0. Ablauf der schriftlichen Prüfung Die schriftliche Abschlussprüfung besteht aus zwei Teilen: Teil : Pflichtbereich Teil : Wahlbereich Die Arbeitszeit beträgt insgesamt 80 Minuten. Folgende Themengebiete umfasst die Abschlussprüfung: Lösung von linearen Gleichungssystemen Lösung von quadratischen Gleichungen Lösung von Bruchgleichungen Parabeln und Geraden Prozent- und Zinsrechnung Daten und Diagramme Wahrscheinlichkeitsrechnung Trigonometrie Körperrechnung Pflichtbereich: Der Pflichtbereich umfasst in der Regel 8 Aufgaben, wobei alle Aufgaben gelöst werden müssen. Im Pflichtbereich werden Grundkenntnisse und Grundfertigkeiten sowie grundlegende Lösungsstrategien geprüft. Im Pflichtbereich können 30 Punkte erreicht werden. Wahlbereich: Der Wahlbereich umfasst vier Aufgaben, von denen die Fachlehrer den Schülern drei zur Wahl stellen. Die Schüler müssen zwei der drei Aufgaben bearbeiten. Bearbeiten die Schüler alle drei Aufgaben, werden die beiden besten bewertet. Die Aufgaben des Wahlbereichs stellen erhöhte Ansprüche bezüglich der Lösungsstrategien und Begründungen. Im Wahlbereich können 0 Punkte erreicht werden. Insgesamt können 50 Punkte erzielt werden. Der gesamte Pflichtbereich (30 Punkte) entspricht der Note 3,0. Hinweis zur Rundung der Ergebnisse in den Musterlösungen: Beim Thema "Algebra" (Gleichungen, Geraden, Parabeln) darf generell nicht gerundet werden. In der Trigonometrie und bei Körperaufgaben mit Formvariablen (Aufgaben mit "e") darf ebenfalls nicht gerundet werden. Ansonsten werden die Ergebnisse in diesem Skript in den Musterlösungen auf oder Stellen nach dem Komma gerundet. Handelt es sich dabei um Zwischenergebnisse, wird mit diesen gerundeten Ergebnissen weitergerechnet. Hierdurch kann es zu leichten Abweichungen zwischen den Ergebnissen der Musterlösungen und euren Lösungen kommen. Die von mir angewandten Rundungsregeln sind nicht allgemein verbindlich. Diese solltet ihr für die Klassenarbeiten und die Prüfung bei eurem Lehrer/in erfragen. 4

5 . Gleichungen lösen. Gleichungen lösen Das Lösen von Gleichungen ist als Handwerkszeug in der Abschlussprüfung unbedingt erforderlich. Im Pflichtbereich muss in der Regel entweder ein lineares Gleichungssystem, eine quadratische Gleichung oder eine Bruchgleichung gelöst werden. Im Wahlbereich muss man hin und wieder Bruchgleichungen lösen. Wie die genannten Gleichungstypen gelöst werden müssen, wird in den folgenden Kapiteln ausführlich erklärt.. Lineare Gleichungssysteme Ein lineares Gleichungssystem besteht aus zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten. Das Ziel besteht darin, dass wir für die beiden Variablen (die meistens mit x und y bezeichnet werden) Zahlen finden, so dass beide Gleichungen erfüllt sind. Für die Lösung solcher Gleichungssysteme können wir das Additionsverfahren oder das Gleichsetzungsverfahren oder das Einsetzungsverfahren anwenden. Es genügt jedoch, wenn wir eines der Verfahren beherrschen. Da ich das Additionsverfahren für das Beste der drei Verfahren halte, werden wir uns in den folgenden Beispielen nur dieses Verfahren betrachten - und auch in den Musterlösungen der Übungsaufgaben wird nur das Additionsverfahren herangezogen. Wer lieber mit einem der beiden anderen Verfahren rechnen möchte, kann dies natürlich gerne tun. Für die Variablen x und y kommen unabhängig vom gewählten Verfahren natürlich immer dieselben Ergebnisse heraus. Beispiel.: Erklärung Additionsverfahren Löse das Gleichungssystem rechnerisch: x 7 3y 3x + y 4.Schritt: Sortieren Zunächst müssen wir beide Gleichungen so sortieren, dass auf der linken Seite die Terme mit den Variablen und auf der rechten Seite die Zahlen ohne die Variablen stehen. Außerdem müssen die Terme mit x und y jeweils genau untereinander stehen: x + 3y 7 3x + y 4.Schritt: Gleichungen durchmultiplizieren Die Gleichungen müssen wir nun so multiplizieren, dass vor x (oder vor y) zwei gleiche Zahlen mit unterschiedlichem Vorzeichen stehen. Wir wählen hierfür die Zahlen vor x aus: Bei der.gleichung steht vor der Variablen x die Zahl und bei der.gleichung die Zahl -3. Wir suchen nun eine möglichst kleine Zahl, in der und 3 als Teiler enthalten sind - dies ist hier 6. Wir multiplizieren beide Gleichungen nun so, dass bei beiden Gleichungen die Zahl 6 vor der Variable x steht - einmal jedoch mit positivem und einmal mit negativem Vorzeichen..Gleichung (mit 3 durchmultipliziert): 6x + 9y.Gleichung (mit durchmultipliziert): 6x + 4y 8 5

6 . Gleichungen lösen Beim Durchmultiplizieren einer Gleichung müssen alle Ausdrücke berücksichtigt werden. Bei der.gleichung darf nicht nur "x" mit 3 multipliziert werden, sondern auch "3y" und auf der anderen Seite die Zahl 7. Beide Gleichungen werden nun addiert. Dabei fällt eine Variable weg und wir müssen nur noch die Ergebnisgleichung, die nur noch eine Variable enthält, lösen. 6x + 9y 6x + 4y 8 3y 3 3y 3 :3 y 4.Schritt: Zweite Variable berechnen Die erhaltene Lösung für die eine Variable müssen wir in eine der gegebenen Gleichungen aus dem.schritt eingesetzt. Hier setzen wir y in die.gleichung ein: Lösungsmenge: L {(/)} x x 4 x Die runde Klammer in den geschweiften Klammern dürfen wir nicht vergessen! Zunächst wird der x-wert und dann der y-wert in die Lösungsmenge geschrieben. Es kann auch vorkommen, dass wir das Gleichungssystem zunächst vereinfachen müssen, bevor wir das Additionsverfahren anwenden können: Beispiel.: Löse das Gleichungssystem rechnerisch: 3(x y) (y x) 4 8(x y) x 6.Schritt: Zusammenfassen und Sortieren Hier müssen wir zunächst die Klammern auflösen und alles zusammenfassen:.gleichung:.gleichung: 3 (x y) (y x) 4 8 (x y) x 6 3x 6y y + x 4 8x 8y x 6 5x 8y 4 6x 8y 6 Damit erhalten wir folgendes Gleichungssystem: 5x 8y 4 6x 8y 6.Schritt: Gleichungen durchmultiplizieren Beim Addieren soll die Variable y herausfallen. Deshalb müssen wir die.gleichung mit - durchmultiplizieren, damit vor y einmal 8 und einmal -8 steht. 5x 6x 8y 4 ( ) 8y 6 5x 6x + 8y 8y 4 6 6

7 . Gleichungen lösen 5x + 8y 4 6x 8y 6 x 4.Schritt: Zweite Variable berechnen Einsetzen von x in eine Gleichung aus dem.schritt: 5 8y 4 y 0,5 Lösungsmenge: L { ( / 0,5) } Bei der Lösung von linearen Gleichungssystemen kann es auch zu Sonderfällen kommen: Beispiel.3: Gleichungssystem besitzt keine Lösung Löse das Gleichungssystem rechnerisch: x + 3y 5 x 6y 8.Schritt: Sortieren entfällt, da beide Gleichungen schon sortiert sind.schritt: Gleichungen durchmultiplizieren Beim Addieren soll hier die Variable x herausfallen..gleichung (mit durchmultipliziert): x + 6y 0.Gleichung (nicht durchmultipliziert): x 6y 8 x + 6y 0 x 6y Da bei der Addition nun beide Variablen weggefallen sind und eine falsche Aussage 0-8 übrig geblieben ist, besitzt das Gleichungssystem keine Lösung. Lösungsmenge: L { } (leere Menge) Beispiel.4: Gleichungssystem besitzt unendlich viele Lösungen Löse das Gleichungssystem rechnerisch: x + 3y 5 x 6y 0.Schritt: Sortieren entfällt, da beide Gleichungen schon sortiert sind.schritt: Gleichungen durchmultiplizieren Beim Addieren soll die Variable x herausfallen..gleichung (mit durchmultipliziert): x + 6y 0.Gleichung (nicht durchmultipliziert): x 6y 0 7

8 . Gleichungen lösen x + 6y 0 x 6y Da bei der Addition nun beide Variablen weggefallen sind und eine wahre Aussage 0 0 übrig geblieben ist, besitzt das Gleichungssystem unendlich viele Lösungen. Die Lösungsmenge enthält unendlich viele Paare (x,y) und sieht nun etwas komplizierter aus: L { (x,y): x+3y -5 } oder L { (x,y): -x-6y 0 } Wir schreiben einfach eine der beiden Ausgangsgleichungen in die Lösungsmenge hinein. Hinweis für die Prüfung: In den Prüfungsaufgaben der letzten Jahre sind Sonderfälle wie in Beispiel.3 und.4 nicht vorgekommen. Trotzdem ist es nicht auszuschließen, dass sowohl in Klassenarbeiten als auch in kommenden Prüfungen einer der Fälle mal vorkommen kann. Übungsaufgaben zu Kapitel. Aufgabe -: Löse die folgenden linearen Gleichungssysteme rechnerisch. a) 8x + 8 3y b) x 8y + 0 c) 4(y 3x) + y x 87 4x + 4y 8 3x + y 0 7(y x) (y 9,5x) 5 d) (3x y) (x + y) 4 e) y 4x 7 f) 3(x + 3y) (y x) 9 3y + 4x x y x y Aufgabe - (Pflichtbereich Jahr 006) Lösen Sie das Gleichungssystem: 5(y ) 3(x 7) Aufgabe -3 (Pflichtbereich Jahr 008) Lösen Sie das Gleichungssystem: 0 + x y Aufgabe -4 (Pflichtbereich Jahr 00) Lösen Sie das Gleichungssystem: 3y 7 5 x x + 3 y 6 5 x 3 y + x 5 0(y ) 6 3 8

9 Aufgabe -5 (Pflichtbereich 0) Lösen Sie das Gleichungssystem: (x 3y) (x y) 7 (5y x) + 6 4x 3 Lösungen zur Kontrolle: -: a) x 0,5 ; y 4 b) x -0,5 ; y 0,75 c) x -8 ; y 5 d) x ; y - e) x -7 ; y - f) x ; y -: x -5 ; y -6-3: x ; y 7-4: x 4 ; y -0,5-5: x ; y - 9

10 7. Prüfungsaufgaben 03 Pflichtbereich: Aufgabe P/03: (4 Punkte) Im Trapez ABCD gilt: AB 5, cm BC 7,cm γ 50,5 Berechnen Sie die Länge der Strecke AD 7. Prüfungsaufgaben 03 Aufgabe P/03: (4 Punkte) Das rechtwinklige Dreieck AEF überdeckt das Quadrat ABCD teilweise. Es gilt: AD 5,0 cm α 34 Berechnen Sie den Winkel ε und die Länge von EG Aufgabe P3/03: (4 Punkte) Ein Zylinder und eine quadratische Pyramide haben gleich große Mantelflächen. Die Umfänge der beiden Grundflächen sind ebenfalls gleich. Für den Zylinder gilt: V 0 cm³ (Volumen) Z Z r 3,8 cm (Radius) Berechnen Sie die Höhe der Pyramide. Aufgabe P4/03: (3,5 Punkte) Lösen Sie die Gleichung: (3x + ) + x(5 4x) ( x )(6x + ) 0

11 7. Prüfungsaufgaben 03 Auszug aus den Musterlösungen (Die Musterlösungen werden als pdf-datei zur Verfügung gestellt) Aufgabe -: Lösungshinweise:. Schritt: Falls erforderlich zunächst Klammern in den Gleichungen auflösen und vorhandene Brüche per Durchmultiplizieren mit dem Hauptnenner auflösen. Danach beide Gleichungen so sortieren, dass links die Ausdrücke mit x und y stehen und rechts die Zahlen ohne Variable. Schritt: Entscheidung, ob die Variable x oder y entfernt werden soll; danach eine oder beide Gleichungen so durchmultiplizieren, dass an die Variable, die entfernt werden soll, zwei gleiche Zahlen mit unterschiedlichen Vorzeichen stehen. 3. Schritt: Gleichungen addieren; es entsteht im Ergebnis eine Gleichung mit einer Variable, die dann berechnet werden kann. 4. Schritt: Die berechnete Variable in eine Gleichung einsetzen und damit die andere Variable berechnen. a).schritt: Sortieren 8x 4x 3y + 4y 8 8.Schritt: Gleichungen durchmultiplizieren Beim Addieren soll die Variable x herausfallen 8x 4x 3y + 4y 8 8 ( ) 8x 8x 3y 8y 8 36 y 44 y 4 4.Schritt: Zweite Variable berechnen Einsetzen von y 4 in eine Gleichung aus dem.schritt: Lösungsmenge: L { ( / 4) } b).schritt: Sortieren 8 x x, x 3x 8y + y 0.Schritt: Gleichungen durchmultiplizieren Beim Addieren soll die Variable y herausfallen x 3x 8y + y 0 4 x x 8y + 8y 0 4x x 4.Schritt: Zweite Variable berechnen Einsetzen von x in eine Gleichung aus dem.schritt: 3 Lösungsmenge: L { ( / ) } ( ) + y 0 y, 4