Mathematik für Klasse 6 Bruchrechnung Teil 1

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1 Testversion Mathematik für Klasse 6 Bruchrechnung Teil Trainingseinheiten zum Unterricht Datei Nr. 00 Friedrich W. Buckel Stand. Januar 006 INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK

2 Inhalt Vorwort. Training: Bruchteile von Schokolade Pizza. Training: Erweitern von Brüchen. Training: Kürzen von Brüchen. Training: Bruchteile von Maßeinheiten. Training: Gemischte Zahlen Lösungsteil für alle Aufgaben -

3 00 Klasse 6 Einführung Brüche Erweitern Kürzen Vorwort Das Lesen Verstehen eines solchen Textes ist für Schüler der Klassenstufe 6 oftmals noch zu schwer. Und da meine Hilfe gerne von Eltern in Anspruch genommen wird, deren Kinder Probleme in Mathematik haben, ist hier ein Vorwort notwendig. Wenn ein Kind in dieser Altersstufe sich in Mathematik schwer tut, kann es viele Ursachen haben. Das Kind hat zu wenig Grlagen: Es beherrscht das Einmal-Eins nicht hat zu wenig Übung im Kopfrechnen. Das Abstraktionsvermögen des Kindes ist noch nicht so weit entwickelt, dass es Transferleistungen erbringen kann. Dann kann man ihm zwar an einem Beispiel klar machen, wie man rechnen soll, aber bei anderen Aufgaben, vor allem, wenn sie eine andere Gestalt haben, weiß das Kind damit nichts mehr anzufangen. Es kann die gelernte Methode noch nicht vom einen Beispiel auf das andere transferieren! Dann aber erkennt das Kind auch nicht den Hintergr einer solchen Rechnung. Es klammert sich eben an die gesehenen Beispiele sein Rechnen ist ein Nachahmen. Hier stoßen wir an das generelle Problem des Mathematikunterrichts in dieser Altersstufe (Klasse bis ). In der Regel stoßen Herleitungen auf Unverständnis, die, um so abstrakter sie geführt werden. Kinder leben in diesem Alter vom Erkennen vom Aha-Effekt. An einfachen sich wiederholenden Beispielen merken die Kinder, dass es Analogien gibt, die man dann zu einer Regel fassen kann. Der Mathematiklehrer sollte dann auch den Mut besitzen manche Sonderfälle einfach ignorieren. Viele Kinder machen dann zu, wenn man mit zu vielen ja-aber wenn-dann kommt. Man kann ja andeuten, dass es Ausnahmen gibt. Hier ist der Drang nach Vollständigkeit Gr vielen Übels. Perfekte Mathematiker werden hier zu schlechten Pädagogen! Der geschickte Lehrer findet gute Beispiele fördert so das Entdecken der Kinder. Aber bitte langsam nicht zu viele Varianten auf einmal. Sonst bremst man die Entwicklung eher als man sie zur Entfaltung bringt! Was also können Eltern tun, wenn Sie mit diesem Text Hilfe suchen? Meine Texte sind eher für Eltern gedacht. Sie können nachvollziehen, welche Methoden es gibt, was man beachten kann. Rechnen Sie dann einzelne Beispiele mit Ihrem Kind durch zeigen Sie Methoden auf. Nur wenige Kinder werden diese Texte alleine durcharbeiten können. Die Aufgabenseiten hieraus sind durchaus für Kinder selbst geeignet. Doch ich bringe auch anspruchsvolle Aufgaben, denn ich will vieles abdecken, was so möglich ist.

4 00 Klasse 6 Einführung Brüche Erweitern Kürzen Beispiel. Training: Bruchteile von Schokolade Pizza Eine Tafel Mathe-Schoko hat vier Vertiefungen zum Auseinanderbrechen. Sie wird dadurch in vier Teile aufgeteilt. Jedes dieser Teile nennt man ein Viertel, oder eine Viertels-Tafel. Dies schreibt man so: Tafel. Nimmt man zwei Teile, also Viertel, dann hat man die halbe Tafel: Tafel. Und dann gibt es noch drei Viertel: Tafel Und wie man sieht sind Viertel wieder die ganze Tafel: Tafel = Tafel Beispiel Eine Pizza zerschneidet man meist in gleich große Teile: Jedes einzelne Stück bezeichnet man als ein Achtel schreibt Pizza Die nächste Abbildung zeigt drei Achtel schraffiert: Pizza. Der nicht schraffierte Teil sind Pizza. Zusammen ergeben sie eine ganze Pizza: + = = Man kann durch Abzählen herausfinden: Nimmt man vier Achtel, hat man die Hälfte: Pizza = Pizza. Nimmt man zwei Achtel, hat man ein Viertel: Pizza = Pizza, ja alle Achtel ergeben die ganze Pizza: Pizza = Pizza. Wichtig: Will man mit Bruchteilen rechnen, müssen alle gleichartigen Teile gleich groß sein: Alle Achtel müssen gleich groß sein, alle Viertel, teilt man einen Liter Wasser in 6 Teile, müssen alle 6 Teile gleich groß sein, sonst darf man sie nicht Sechstel nennen!

5 00 Klasse 6 Einführung Brüche Erweitern Kürzen Es gibt Brüche, die verschieden sind, aber gleich viel bedeuten! Beispiel Diese Schokoladentafel besteht aus gleich großen Stücken. Klaus zerbricht ihre Tafel in Teile isst davon, Maria zerteilt in Teile isst davon Teil. Man sieht, dass beide dieselbe Menge Schokolade gegessen haben: Wir schreiben daher: Schokolade = Schokolade oder kurz: =. ACHTUNG: Die Schreibweise = heißt nicht, dass dies dieselben Brüche sind. Es sind verschiedene Brüche mit gleichem Wert! Wie man sieht, sind auch = =! Wir werden später lernen, wie man solche Brüche ineinander umrechnen kann. Beispiel Diese Tafel Schokolade kann man in 6 gleiche Reihen oder in Stücke zerbrechen: Man erkennt: = darunter: = = 6 6 Dabei ist es egal, welche Teile man markiert. Auch das sind : Ja, wer ein scharfes Messer hat, kann gar Teile daraus machen, indem er jedes Stückchen nochmals zerteilt. Damit man aber selbst die Schokolade behält, muss man sich nun das Doppelte nehmen, also haben wir = = =. 6

6 00 Klasse 6 Einführung Brüche Erweitern Kürzen Bitte Nachdenken: Wir haben gesehen, dass man ein Stück (Schokolade oder Pizza oder was auch immer) immer weiter zerteilen kann, man muss nur gleichzeitig immer mehr Stücke nehmen, damit man dieselbe Menge behält. Schauen wir uns als letztes Beispiel dieses an; Eine Tafel Edelsahne mit Himbeeraroma hat Rippen kann daher leicht in Teile zerlegt werden. Ich gönne mir davon Rippen, besitze also dieser Tafel. Zerteilt man die Tafel zusätzlich nochmals quer durch die Mitte, ergibt dies 0 Teile, ich besitze nun davon also:. 0 Ich könnte nun weiter zerbröseln Jedes der 0 Teile nochmals in der Länge halbieren, dann komme ich auf 0 Teile. Und bin stolzer Besitzer von jetzt deutlich kleineren Teilen :. 0 Ja, wer meint, er habe noch eine Idee, könnte die ursprüngliche Tafel mal quer durchschneiden, dann komme ich auf 6. Es ist klar, dass mein Besitz an Schleckereien immer derselbe bleibt, sehen wir vom zerbröselnden Abfall ab. 6 Also gilt: = = = = Entdeckst Du auch, was rechnerisch passiert? Multipliziert man im ersten Bruch Zähler Nenner mit, entsteht der. Bruch. Multipliziert man im ersten Bruch Zähler Nenner mit, entsteht der. Bruch. Multipliziert man im ersten Bruch Zähler Nenner mit, entsteht der. Bruch.? Wie müsste folglich der Zähler heißen: = 0 Hier wird der Nenner mit 0 multipliziert, also müsste dies auch im Zähler 0 geschehen: =. 0 Oder: Wie muss der Nenner heißen? =? Der Zähler wurde mit multipliziert, also rechnen wir genau so im Nenner: =. 6 Was wir hier tun, nennt man ERWEITERN eines Bruches!

7 00 Klasse 6 Einführung Brüche Erweitern Kürzen MERKE:. Training: Erweitern von Brüchen Man erweitert einen Bruch, indem man Zähler Nenner mit derselben Zahl multipliziert. Dabei ändert sich der Wert dieses Bruches nicht! Mit der Zahl 0 darf man nicht erweitern. Erweitern von mit ergibt = = Erweitern von mit ergibt 0 = = Erweitern von 0 9 mit ergibt = = 9 9 Erweitern von mit 0 ergibt 0 0 = = Graufgabe: Brüche auf denselben Nenner bringen! Erweitere beide Brüche so, dass sie denselben Nenner erhalten. Warum gibt es viele Lösungen?. Wenn man den ersten Bruch mit erweitert den zweiten mit, dann folgt. 0 = = = = Man kann auch mit dem Doppelten davon erweitern, also mit 0 6: = = = = Man kann auch mit dem Dreifachen davon erweitern, also mit 9: = = = = 9 usw.

8 00 Klasse 6 Einführung Brüche Erweitern Kürzen 6 Berechnung der kleinsten gemeinsamen Nenners (=Hauptnenner) Beispiel Erweitere die Brüche Nenner erhalten. 0 so, dass sie den kleinsten gemeinsamen Zwischenüberlegung Schüler neigen dazu, das Produkt der beiden Nenner als kleinsten gemeinsamen Nenner zu verwenden. Das stimmt nur in manchen Fällen. Würde man hier als Hauptnenner 0 = 0 verwenden, dann sähe das Ergebnis so aus: 0 00 = = = = Aber bereits 0 ist ein gemeinsamer Nenner von 0. Man muss dazu den ersten Bruch mit 0 den zweiten mit 6 erweitern: 0 66 = = 0 0 = 0 6 =. 0 Der kleinste gemeinsame Nenner, also das, was man als den Hauptnenner bezeichnet, ist jedoch nur 60. Dazu muss man den ersten Bruch mit den. mit erweitern: = = = = Wenn man bedenkt, dass ein gemeinsamer Nenner ja ein Vielfaches der beiden gegebenen Nenner ist, denn man muss ja jeden von ihnen durch Multiplikation in diesen Hauptnenner überführen, dann wird klar, dass der Hauptnenner das kleinste gemeinsame Vielfache der Einzelnenner ist! Die Berechnung dieses kgv wurde in der Datei 06 Teilbarkeit besprochen. Hier gibt es dazu nochmals einige Beispiele. MERKE: Unter dem Hauptnenner von Brüchen versteht man den kleinsten gemeinsamen Nenner, also das kleinste gemeinsame Vielfache (kgv) der Einzelnenner.

9 00 Klasse 6 Einführung Brüche Erweitern Kürzen Beispiele zur Graufgabe Erweitern zum Hauptnenner Methode Bringe auf den Hauptnenner. Methode : Merkmal: Die Nenner haben keine gemeinsamen Teiler. Damit ist das kleinste gemeinsame Vielfache ihr Produkt: 6 = = = = Hinweis: Bringe Alle Zahlen haben den gemeinsamen Teiler, doch der ist hier stets unbrauchbar wird weggelassen. auf den Hauptnenner. Methode : Merkmal: Der große Nenner ist ein Vielfaches des kleineren. Damit ist der größere das kleinste gemeinsame Vielfache: = = (bleibt so). a) Bringe auf den Hauptnenner. Merkmal: Die Nenner haben gemeinsamen Teiler. Damit ist das kgv kleiner als ihr Produkt! Methode: Man zerlegt die beiden Nenner in Primfaktoren:. Man schreibt aber stets nur gleiche untereinander. Das Produkt aller Spalten ist das kgv. Die fehlenden Zahlen bilden die Erweiterungszahlen. = EZ = = EZ = kgv = = Also ist der Hauptnenner, den Bruch mit dem Nenner muss man mit, den mit dem Nenner mit erweitern: = = = =. Diese drei Methoden muss man auswendig lernen: Man muss zuerst erkennen, welches Merkmal vorliegt, dann wird die passende Methode angewandt!

10 00 Klasse 6 Einführung Brüche Erweitern Kürzen b) Bringe auf den Hauptnenner. Merkmal: Die Nenner 9 haben gemeinsamen Teiler. Primfaktorzerlegung: = = EZ = = = EZ = HN = kgv = = 6 Ich zeige hier, wie man zuerst beide Nenner in ein Produkt zerkleinert um dann daraus die Primfaktoren aufzuspüren. Man kann aber auch zuerst ein anderes Produkt entdecken, etwa, dass beide Zahlen Vielfache von 90 sind, dann sieht die PFZ so aus: Man achte stets darauf, = 9 6 = EZ = dass immer nur gleiche = 9 9 = EZ = Primfaktoren untereinander HN = kgv = = 6 stehen! Jetzt ist zwar die Reihenfolge der Primfaktoren anders, aber das Ergebnis ist davon unabhängig. Abkürzende Methode Für gute Rechner (Schüler der Klasse 6 sind damit oft überfordert) kann man diese Methode der PFZ abkürzen. Ich zeige hier die Kurzform einmal richtig einmal falsch: = EZ = = EZ = HN = = 6 = 6 9 EZ = 9 = 9 9 EZ = 6 HN = = 6 Im ersten Kasten habe ich beide Nenner in Vielfache von zerlegt, die Faktoren zu sind damit teilerfremd. Daher ist der HN ihr Produkt also. Im zweiten Kasten habe ich beide Nenner in Vielfache von 9 zerlegt, die Faktoren zu 9 sind 6 9. Diese haben aber den gemeinsamen Teiler, daher darf man nicht ihr Produkt verwenden ist nicht der Hauptnenner. Ich zeige im Anschluss noch drei Beispiele für PFZ, einmal ausführlich einmal mit der Kurzmethode, die ich älteren Schülern nahe lege!

11 00 Klasse 6 Einführung Brüche Erweitern Kürzen 9 c) Bringe 6 Primfaktorzerlegung: auf den Hauptnenner. Schnellmethode: = 6 = EZ = 6 = = EZ = HN = kgv = = 6 = EZ = 6 = EZ = HN = = 6 Bei der Schnellmethode muss ich den größten gemeinsamen Teiler finden:, so dass seine Vielfachen teilerfremd sind. Dann ist deren Produkt zusammen mit der der HN! 9 9 = = = = d) Bringe 0 60 Primfaktorzerlegung: 0 auf den Hauptnenner. 0 = 9 = EZ = 60 = = EZ = 9 HN = kgv = = 0 Schnellmethode: In der Schnellmethode verwendet man den ggt hat dann die teilerfremden Faktoren 9! Es folgt: = = = = e) Bringe 96 Primfaktorzerlegung: auf den Hauptnenner. = 9 = EZ = 96 = = EZ = HN = kgv = = 0 = 9 EZ = 60 = EZ = 9 HN = 9 = 0 Schnellmethode: = EZ = 96 = EZ = HN = = In der Schnellmethode verwendet man den ggt hat dann die teilerfremden Faktoren! Es folgt: = = = =

12 00 Klasse 6 Einführung Brüche Erweitern Kürzen 0 Anwendung: Vergleichen von Brüchen Musteraufgabe: Welcher Bruch ist größer : 6 oder? Überlegung: Stellen wir uns eine große Schokoladetafel vor. Zerteilen wir sie in 6 Teile, dann sind diese sicher größer, als bei einer Zerteilung in Teile. Denn mehr Teile bedeutet, dass sie kleiner werden. Dafür nehmen wir aber statt dann. Wo hat man mehr: Bei von 6Teilen oder bei von Teilen? Methode: Um vergleichen zu können, bringen wir beide Brüche auf den Hauptnenner! Lösung: Primfaktorzerlegung: Schnellmethode: 6 = 9 = EZ = = 6 = EZ = 6 HN = kgv = = In der Schnellmethode verwendet man den ggt 6 hat dann die teilerfremden Faktoren 6, also ist der Hauptnenner das -fache von Nun die Lösung der Aufgabe: = =, = = Ergebnis: <! 6 Erweiterte Aufgabenstellung: Hauptnenner von Brüchen 6 6 = 6 6 EZ = = 6 EZ = 6 HN = 6 6 = Musteraufgabe: Ordne diese Brüche der Größe nach: 6, 0 Methode: Um vergleichen zu können, bringen wir alle Brüche auf den Hauptnenner! Lösung: Primfaktorzerlegung: Schnellmethode: 6 6 = (!) = EZ = 6 = 6 EZ = 0 = 6 0 = 0 = EZ = EZ = = 6 EZ = 0 = 6 = EZ = 0 HN = HN= kgv= = 960 = 60 =, = Ergebnis: < <! =

13 00 Klasse 6 Einführung Brüche Erweitern Kürzen Aufgabenblatt Aufgabe Erweitere ergänze den fehlenden Zähler bzw. Nenner a) d)? = b) = e)?? = c) = f)?? = =? Aufgabe Bringe diese Brüche auf den kleinsten gemeinsamen Nenner (Hauptnenner) a) d) g) j) Aufgabe 6 6 b) e) h) k) 9 c) f) i) l) Welcher Bruch ist größer? Berechne die Hauptnenner ausführlich! a) d) 9 oder 6 oder b) e) oder 0 oder 0 c) f) oder 0 oder 0 6 Aufgabe Ordne diese Brüche der Größe nach: a), b) c) 9, 0 0 d) 9, ,

14 00 Klasse 6 Einführung Brüche Erweitern Kürzen MERKE:. Training: Kürzen von Brüchen Man kürzt einen Bruch, indem man Zähler Nenner mit derselben Zahl dividiert. Dabei ändert sich der Wert dieses Bruches nicht! Mit der Zahl 0 kann man nicht kürzen. Kürzen ist die Umkehrung des Erweiterns! Erweitern: Umkehrung: Kürzen: Erweitern von ergibt mit Kürzen von = = ergibt durch : = = : Erweitern von mit Kürzen von 0 durch ergibt 0 = = ergibt 0 0 : = = : Erweitern von 0 9 mit Kürzen von 00 durch ergibt = = ergibt : 0 = : = 9 Erweitern von ergibt mit 0 Kürzen von = = 0 60 ergibt durch = :0 60 :0 = Kürzen verkleinerst also Zähler Nenner eines Bruches (wenn man nicht den sinnlosen Versuch unternimmt, durch zu kürzen, was ja gar nichts verändert). Das zeigen noch einmal folgende Grafiken: durch6 kürzen mit6 erweiten durch kürzen mit erweiten 9 durch kürzen mit erweiten 6

15 00 Klasse 6 Einführung Brüche Erweitern Kürzen Was die Erfahrung zeigt: Man erkennt oft nicht, durch welche Zahl man kürzen kann. Daher beginnt man mit kleinen Zahlen kürzt mehrfach nacheinander: 96 = 6 = 9 = = Manche können dies schneller rechnen vielleicht so: 6 = = 96 = Es gibt weitere Möglichkeiten. Das Ziel ist es auf jeden Fall, immer so weit wie möglichst zu kürzen. Da man immer nur durch gemeinsame Teiler von Zähler Nenner kürzen kann, ist es natürlich optimal, den ggt, also den größten gemeinsamen Teiler zu bestimmen durch ihn zu kürzen. Wiederholung aus 00 (Teilbarkeit): Berechnung des ggt durch Primfaktorzerlegung: = 9 = F = 96= = F= ggt = = = Man zerlegt Zähler Nenner in Primfaktoren, schreibt aber nur gleich untereinander. Und genau diese gemeinsamen Primzahlen bilden den GGT, durch den man kürzt. Die Primzahlen, die nicht zum ggt gehören (in ), ergeben den Faktor F, der nach dem Kürzen in Zähler bzw. im Nenner stehen bleibt! Musterbeispiele für das optimale Kürzen bei größeren Zahlen Beispiel : = = : 0 Der neue Nenner, der aus durch Kürzen mit entsteht, ist die markierte der neue Zähler, der aus 0 durch Kürzen entsteht, ist die markierte 0. Beispiel 9 6 0= 0 = 0 9 6= F= 0 = 9 = 9 = F = ggt = = = Rechne selbst!

16 00 Klasse 6 Einführung Brüche Erweitern Kürzen Also ist Beispiel 9 9 : = =. 6 6 : 9 = 6 = 9 = 0 : = = 0 0 : 9 = 96 = = F= 6= 0= 9 = F= 9 ggt = = = 0 = 0 = 0 6 = F= F = ggt = = = Beispiel : = = : 9 6 = 6 = = 06= = 9 = ggt = = F = F = 9 AUFGABE Kürze auf einfache Weise: a) 6 9 b) 0 c) d) e) f) g) 6 h) 6 0 i) j) 0 k) 9 l) 96 AUFGABE 6 Kürze durch den ggt wie in Beispiel bis. a) 6 6 b) 6 6 c) 0 96 d) 6 e) 0 f) 0 0 g) 6 9 h)

17 00 Klasse 6 Einführung Brüche Erweitern Kürzen. Training: Bruchteile von Maßeinheiten. GRUNDWISSEN Masseneinheiten : kg = 000 g, d.h. kg = 00 g, kg = 0 g, kg = g t = 000 kg, d.h. 0 t = 00 kg, t = 0 kg, t= kg g = 000 mg, d.h. g= 00mg, g= 0mg, g= mg kg = mg, d.h kg = mg usw. l Volumen : hl= 00 l, d.h. 0 hl = 0 l, hl = l 00 l = 000 ml, d.h. l= 00ml, l= 0ml, l= ml = dm, l= 00 ml, d.h. l= 0dl l= dg 0 00 m = 000 dm = 000 l m = 00 l m = 0 l 0 00 Daher ist auch ml = cm m = cm = ml Längeneinheiten : km = 000 m, d.h. km = 00 m, km = 0 m, km = m m = 000 mm, d.h. m= 00mm, m= 0mm, m= mm m = 00 cm, d.h. m= 0cm, m= cm, cm = mm dm = 0 cm = 00 mm dm = cm dm = mm, Zeiteinheiten : h = 60 min, d.h. h= min 60 min = 60 s d.h. min = s 60 h = 600 s, d. h. h = s 600

18 00 Klasse 6 Einführung Brüche Erweitern Kürzen 6 () Mengen:. Einstufige Rechnungen: kg = 000 g : = 00 g, kg = 000 g : = 0 g kg = 000 g : = g t = 000kg: = 0kg g = 000g:0 = 00mg g = 000 kg :00 = 0 mg 0 00 t = 000 kg : = kg t = g :0.000 = 00 g () Volumen l = 000ml: = 0ml l = 000 ml : = ml m 000l: l = = 0 l = 00 dl : 0 = dl = 0 ml () Längeneinheiten km = 000 m : = 0 m cm mm () Zeiteinheiten 0 00 = von h = 60 min : = 0 min 6 von h = 60 min : 0 = min von h = 600 s :00 = 6 s dm = cm km = 00 m von h = 60 min : 6 = 0 min von min = 60 s : = s von h = 600s: = 0s Diese Aufgaben sind die Grlagen für die nun folgenden schwereren Aufgaben. Man sollte sie im Kopf lösen können!

19 00 Klasse 6 Einführung Brüche Erweitern Kürzen () Mengen. Zweistufige Rechnungen: kg = kg = 0 g = 0 g kg kg = kg = g = 6 g t kg t= t= kg = kg t = 9 kg = kg 9 = kg t g = g = 00 mg = 00 mg g g= g= 0mg = 0mg In der ersten Stufe wird bei zuerst berechnet. kg kg 000 g : 0 g = = In der zweiten Stufe nimmt man dann davon das dreifache. () Volumen 0 l= ml = ml 000 l hl = 0 l = 0 l 0 l m = dm = l l = 000 ml :00 = 0 ml 00 6 hl = 00 l :0 6 = 60 l 0 l= 9 l= 9 0ml= 60ml 9 () Längeneinheiten: m= mm = mm m km = 0 m = 0 m 9 m = 9 m = 9 ( 000 mm :) = 9 mm = mm!! () Zeiteinheiten h= h= min= min min = min = s = s ( ) h = h = 600 s : 90 = 0 s = 0 s!!

20 00 Klasse 6 Einführung Brüche Erweitern Kürzen () Mengen. Dreistufige Rechnungen: a) von kg ( Oberer Weg im Ablaufschema ). Stufe: Berechne von kg = von 000 g = 0 g. Stufe: Dann sind von kg = 0 g = 0 g. Stufe: Dann sind von kg = 0 g = 0 g = kg 0 g ACHTUNG: Man kann die.. Stufe auch vertauschen: von kg ( Unterer Weg im Ablaufschema ). Stufe: Berechne von kg = von 000 g = 0 g. Stufe: Dann sind von kg = 0 g = 0 g. Stufe: Dann sind von kg = 0 g = 0 g = kg 0 g Ablaufschema für eine dreistufige Rechnung: kg 0 g also kgalso 0 g 0 g kgalso also 0 g Grprinzip ist es auf jeden Fall, die Aufgabe zuerst doppelt zu vereinfachen: Man geht zurück auf von kg gleicht dies am Ende dadurch aus, dass man für das Dreifache für kg das Fünffache verwendet. Daher kann man dann die Rechnung so in einem Schritt durchführen: ( ) von kg = von kg = 0 g = 0 g = kg 0 g

21 00 Klasse 6 Einführung Brüche Erweitern Kürzen 9 b) von 0 g ( Oberer Weg im Ablaufschema ). Stufe: Berechne von g = von 000 mg = mg. Stufe: Dann sind von g = mg = 6 mg. Stufe: von 0 g = 0 6 mg = 0 mg = g 0 mg ACHTUNG: Man kann die.. Stufe auch vertauschen: ( Unterer Weg im Ablaufschema ). Stufe: Berechne von g = von 000 mg = mg. Stufe: Dann sind von 0 g = 0 g = 0 g. Stufe: von 0 g = 0 mg = 0 mg = g 0 mg g mg 0 g 6mg 0mg 0 g 0 mg Auch gehen wir so vor, dass wir zunächst zweimal vereinfachen: Wir berechnen von g multiplizieren dann mal für mit 0 für 0 g. Damit kann man die Rechnung in einem Rutsch so durchführen: ( ) ( ) von 0 g = von g 0 = mg 0 = 0 mg = g 0 mg c) 0 von t : 0 t 0 0 kg 0 t 0kg 0kg t 0 0 kg Kurzlösung: 0 0 ( ) von t = von t = 0 kg = 0 kg = t 0 kg

22 00 Klasse 6 Einführung Brüche Erweitern Kürzen 0 () Volumen a) ( ) von l = von l = ml = ml = l ml Oder in zwei Schritten: l ml l ml 6 ml l ml b) ( ) von m = von m = 0 dm = 0 dm 0 0 () Streckenlängen a) ( ) von km = von km = 0 m = 0 m = km 0 m oder bei Berechnung in zwei Schritten: km 0 m km 0m 0 m km 0 m b) ( ) von m= vonm = cm = 96cm () Zeiteinheiten: a) ( ) von h = von h = 0 min = 0 min b) ( ) von 9 min = von min 9 = s = 6 s min s s 9min 6 s 9min 0 s

23 00 Klasse 6 Einführung Brüche Erweitern Kürzen. Dreistufige Rechnungen mit Zahlenvorteil ES GIBT AUFGABEN, BEI DENEN MAN EINE STUFE AUSLASSEN KANN! () Mengen a) von 00 g Hier muss man nicht zuerst von g berechnen! Da man 00 ohne Rest durch teilen kann, lässt sich von 00 g sofort berechnen: g. Daher geht die Rechnung z. B. so:. Stufe: Berechne von 00 g = g. Stufe: Dann sind von 00 g = g = g!!! Kurzrechnung: ( ) von 00 g = von 00 g = g = g b) von kg Man kann durch teilen, also:. Stufe: Berechne von kg = kg. Stufe: Dann sind von kg = kg = kg Kurzrechnung: ( ) von kg = von kg = km = kg () Strecken a) 6 von 0 km Da man 0 ohne Rest durch 6 teilen kann, lässt sich 6 berechnen: km! Daher geht die Rechnung z. B. so: 6 6 ( ) von 0 km = von 0 km = km = km von 0 km sofort b) von 0 m Man kann 0 durch teilen, also rechnet man so: ( ) von 0 m = von 0 m = 0 m = 0 m c) 0 von 6 m Man kann 6 nicht durch 0 teilen, also wandelt man 6 m in 600 m um. Nun kann man aber 600 m durch 0 teilen: 0 0 ( ) von 6 m = von 600 cm = 0 cm = 0 cm = m 0 cm d) von km 00 m Man kann 00 m durch teilen:. Stufe: Berechne von 00 m = 600 m. Stufe: Dann sind von 00m= 600m= 000m= km ( ) von km 00 m = von 00 m = 600 m = 000 m = km Toll!

24 00 Klasse 6 Einführung Brüche Erweitern Kürzen () Zeiteinheiten a) von 6 h Hier muss man nicht zuerst von h berechnen! Da man 6 ohne Rest durch teilen kann, lässt sich von 6 km sofort berechnen: h! Daher geht die Rechnung z. B. so:. Stufe: Berechne von 6 h = h. Stufe: Dann sind von 6h= h= 6h!!! Kurz: ( ) d) von 0 min von 6 h = von 6 h = h = 6 h Man stellt zuerst fest, dass 0 : = ist: ( ) von 0 min = von 0 min = min = min e) von h Jetzt muss man erkennen, dass h = 0 min durch teilbar ist: ( ) von h = von 0 min = min = min f) 9 0 von min ( ) von min = von 00 s 9 = 0 s 9 = 90 s = min 0 s

25 00 Klasse 6 Einführung Brüche Erweitern Kürzen Aufgabe Berechne in einer kleineren Einheit a) kg b) t c) g d) t e) von kg f) von t g) von g (e bis g mit Stufen!!!) Aufgabe Berechne in derselben Einheit a) von 600 g b) von 0 kg c) 9 von 6 t Aufgabe 9 Verkürzte Rechnungen a) von km b) von m c) 0 von dm d) von 0 m e) von 00 km f) 9 von cm g) von m 60 cm h) 6 von km (in m) i) 0 von 0 km j) 0 von 6 m (in cm) Aufgabe 0 a) h b) min c) 0 h d) 600 h Aufgabe a) von 0 min b) 6 von min c) 0 von h min e) von h f) 0 von h g) von 0 min h) von 9 h

26 00 Klasse 6 Einführung Brüche Erweitern Kürzen Einführung:. Training: Gemischte Zahlen Wir können Ganze Brüche zusammenfassen: Unser Rechenwerkzeug ist wieder die Bruchschokolade von der Firma Mathegut: Das sind Tafel eine halbe Man könnte dies so schreiben: + oder kürzer. Und hier haben wir + = Dann + =. Ganze in Brüche zerteilen: Hier haben wir Tafeln. Zerteilen wir die ganze Tafel in halbe Tafeln: =, dann besitzen wir insgesamt Oder diese Tafeln. = Tafeln! Zerlegen wir jede ganze Tafel in Viertel, dann ergeben die ganzen Tafeln zusammen Viertel, 9 also gilt: = + = Wir rechnen; +, also ausführlich: + 9 = =. Jetzt liegen Tafeln auf dem Tisch. Wir zerlegen jede Tafel in Achtel; Dann erhalten wir insgesamt + = + = Achtel! + = =

27 00 Klasse 6 Einführung Brüche Erweitern Kürzen Hier noch vier Beispiele ohne Abbildungen: a) = = =, denn wenn ein Ganzes aus Teilen besteht, dann bestehen ganze aus = Teilen. Dazu kommt der der Rest Zwölftel. b) + = = c) = = = d) = = = Merke: Ist der Zähler eines Bruches größer als sein Nenner, dann Spricht man von einem unechten Bruch. Die Umkehrung: Unechte Brüche enthalten zerbrochene Ganze! Wir sollen den unechten Bruch in eine gemischte Zahl zurückverwandeln: enthalten ganze (Tafeln Schokolade oder was auch immer), nämlich aufgeteilt in =, bleiben als Rest. Daraus erkennt man die Rechenmethode =, denn : = (Ganze) Rest (Achtel) =, denn : = (Ganze) Rest (Zwölftel) 6 =, denn 6 : = (Ganze) Rest (Fünftel) 0 =, denn : = ( = ) Rest 0 (Dreizehntel)

28 00 Klasse 6 Einführung Brüche Erweitern Kürzen 6 Noch eine Bemerkung: Bei manchen Rechnungen können Ergebnisse auftreten, die so aussehen, wie oder. Hier steht hinter der ganzen Zahl ein unechter Bruch. Wenn dies passiert, muss man aus dem unechten Bruch noch die Ganzen herausziehen: Beispiele: = + = + = = + = + = 9 = + = 0 Die Zwischenschritte darf man weglassen, also so: = oder = oder =. Aufgabe a) b) Verwandle die gemischten Zahlen in unechte Brüche: c) 6 d) e) f) g) 9 h) 9 Aufgabe a) e) Verwandle die gemischten Zahlen in unechte Brüche: b) f) c) g) 9 9 d) h) Aufgabe a) b) Schreibe die gemischten Zahlen korrekt an: c) d) e) f) g) 9 h) 00 9

29 00 Klasse 6 Einführung Brüche Erweitern Kürzen

30 00 Klasse 6 Lösung der Aufgaben Nur auf der Mathe-CD

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Bruchzahlen. Zeichne Rechtecke von 3 cm Länge und 2 cm Breite. Dieses Rechteck soll 1 Ganzes (1 G) darstellen. von diesem Rechteck. Bruchzahlen Zeichne Rechtecke von cm Länge und cm Breite. Dieses Rechteck soll Ganzes ( G) darstellen. Hinweis: a.) Färbe ; ; ; ; ; ; 6 b.) Färbe ; ; ; ; ; ; 6 von diesem Rechteck. von diesem Rechteck.

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