ADDIEREN UND SUBTRAHIEREN VON TERMEN POTENZSCHREIBWEISE

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1 ADDIEREN UND SUBTRAHIEREN VON TERMEN UND DIE POTENZSCHREIBWEISE ) VARIABLE Beispiel: Ein Rechteck habe einen Umfang von 0 cm. Gib Länge und Breite des Rechtecks in einer Formel an. Es ist natürlich leicht erkennbar, dass es hier nicht nur eine Lösung gibt, sondernn theoretisch unendlich viele. Wir können die Lösung deshalb nicht eindeutig (explizit) angeben, sondern können den Zusammenhang lediglich beschreiben. Wie berechnen wir nun den Umfang: Wäre die Länge 7cm und die Breite 3 cm, so würden wir den Umfang folgendermaßen berechnen: U = = 0 Denselben Umfang würden wir natürlich auch mit den Zahlenpaaren (8;), (9;) usw. erhalten. Allgemein erhalten wir den Umfang eines Rechtecks aus der Summe der doppelten Länge und der doppelten Breite. Um dies allgemein ausdrücken zu können, führen wir für die Länge und die Breite sogenannte Variable oder Platzhalter ein. Wir nennen die Länge a und die Breite b. b a Nun könnenn wir den Zusammenhang durch folgende Formel beschreiben: U = a + b Mit Hilfe von Variablen kann man Beziehungen zwischen verschiedenen Zahlen und Größen kurz und übersichtlich als Formel anschreiben. Wenn man Variable durch Zahlen ersetzt, hat man zu beachten:

2 Dieselbe Variable darf in einer nur durch dieselbe Zahl ersetzt werden. Verschiedene Variable können sowohl durch verschiedenee als auch durch dieselben Zahlen ersetzt werden (In unserem Beispiel könnte a=7 und b=3 sein; Es könnte aber auch a=5 und b=5 sein). Beispiel: Addiert man zur einer zu bestimmenden Zahl die Zahl 38 ergibt sich 73. Bestimmen Sie die unbekannte Zahl. x + 35 = = 38 Die gesuchtee Zahl ist 38. Ein Junge und sein um 6 Jahre älterer Bruder sind zusammen Jahr alt. Bestimmen Sie das Alter der beiden Brüder. Wir stellen uns die gegebenen Daten zunächst an einer Tabelle dar: Alter Jüngerer Bruder x Älterer Bruder x+6 Die Variable x ist hier also das Alter des Jüngeren. Man könnte dies natürlich auch ändern (Versuchen Sie dies). Nun müssen wir eine Gleichung finden. Verbal finden wir diese so: Alter des Älteren + Alter des Jüngeren = Jahre Nun setzen wir unsere mathematischen Ausdrücke ein. x x = Intuitiv versuchen wir diese Gleichung zu lösen(genaueres lernen Sie später. Sollte Ihnen das Auflösen der Gleichungen noch nicht gelingen, so ist dies kein Beinbruch).

3 n x x = x + x = + 6 = Wenn um 6 vermehrt sind, so müssen gleich - 6 sein. = 8 Wenn gleich 8 sind, so muß x gleich 8 : sein. X = 9 Nachdem das Alter des Jüngeren x ist, ist dieser also 9 Jahre alt. Der Ältere ist x + 6 Jahre alt, also = 5 Jahre. Variable tauchen natürlich in der Mathematik ständig auf. Für uns bedeutet dies, dass wir lernen müssen; mit diesen zu rechnen. 3

4 ) Terme Definition: Einen sinnvollenn Rechenausdruck nennt man Term. Solch ein sinnvoller Rechenausdruck kann aus Zahlen aber auch aus Variablen bestehen. Einige Beispiele: 0; 5 ; ( 8 5) ; x; x + 3; y 3 Als sinnloser Rechenausdruck ist für uns vorerst folgendes Beispiel interessant: 0. Eine Division durch 0 ist unlogisch (Warum?), es gibt folglich kein Ergebnis. Man sagt: Die Division durch 0 ist nicht definiert. Merke: Division durch 0 ist nicht möglich. Mit Termen, die nur aus Zahlen bestehen, können wir inzwischen ja schon ganz gut umgehen. Uns interessiert nun also, wie rechnet man, wenn Variable vorkommen? 3) Addieren und Subtrahieren einfacher Termee Grundsätzlich kann man mit Variablen genauso rechnen wie mit Zahlen. Beispiele: 5+ 5 = 5 also muß x + x = x sein = 5 7 also muß a + a + a + a + a = 5 a sein. Anmerkung: Statt 5 x schreib einfach ungeschrieben. Beachte insbesondere: x bedeutet x. bt man normalerweise gerne 5x. Den Malpunkt lässt man also Beispiel: + 3y -x +3x -5y = + 3y -x +3x -5y = Die x addieren und subtrahieren: -x-3x=x x+3y-5y= Die y subtrahieren: +3y-5y=-y = x - y

5 Mit Brüchen lässt sich natürlich genauso arbeiten: Beispiel: 7 x = 3 5 7x = x 6x = 5 5 = 9 x 5 Auf gemeinsamen bringen. Zähler subtrahieren. bleibt gleich. Nenner Nenner Ebenfalls gilt natürlich: Punkt- vor Strichrechnung Klammern werden zuerst gerechnet. Beispiel: x 3 : = 3 x 3 x 6 : 3 = Klammer wird zuerst gerechnet. In der Klammer muss die Multiplikation zuerst ausgeführt werden. Brüche in der Klammer auf : = 3 gemeinsamen Nenner bringen. x x : = 6 6 3x : = 6 x : = x = = = x Klammer ausrechnen. Ersten Bruch kürzen durch 3. Division in eine Multiplikation umwandeln. Vorzeichen bestimmen, kürzen und ausmultiplizieren. 5

6 Was tut man aber, wenn sich die Klammern nicht direkt ausrechnen lassen? Beispiel: ( 3x ) ) + + = Zur grundsätzlichenn Überlegung suchen wir uns einfach ein Beispiel mit Zahlen: + ( - )= Wie kommen wir zu diesem Ergebnis: Einerseits können wir die Klammer zuerst ausrechnen und das Resultat zu dazu addieren, andererseits könnten wir aber auch einfach die Klammer ignorieren: + - = Merke: Steht vor einer Klammer ein Pluszeichen, so kann einfach weggelassen werden. a + b + c = a + b + c diese Klammer Nun also die Lösung für unser Beispiel: + ( 3 x + ) ) = Klammer weglassen, da ein Plus davor steht. + 3 x + = x zusammenfassen = 5x + Was müssen wir aber tun, wenn ein Minus vor der Klammer steht? Beispiel: ( 3x 5) + = Auch dieses Problem überlegen wir uns wieder anhand von Zahlen: 3 - (6 - ) = - Wir können die Klammer zuerst ausrechnen und das Ergebnis von 3 subtrahieren. Dasselbe Resultat erhalten wir aber auch, wenn wir in der Klammer alle Vorzeichen ändern und die Klammer weglassen: = = - Merke: Steht vor einer Klammer ein Minus, so müssen beim Auflösen der Klammer alle Vor- und Rechenzeichen in der Klammer geändert werden. a b + c = a b c a b c = a b + c 6

7 Für unser Beispiel erhalten wir folgende ( 3x + 5 ) = Klammer auflösen und alle Vor- und Rechenzeichen in der Klammer ändern. 3x 5 = x subtrahieren = x 5 Zur Überprüfung, ob ein Resultat richtig ist, kann man eine Probe durchführen: Beispiel: Ich verwende für die Probe unser obiges Beispiel. Da wir bei der ja nur umgeformt haben, muss die Angabe gleich dem Ergebnis sein: 3 x + 5 = x 5 ( Nun setzen wir für x einen beliebigen Wert ein, ich wähle x=, und berechnen die linke und rechte Seite der Gleichung = = 7 ) = 7 7 = 7 Dies stimmt offensichtlich, man nennt dies eine wahre Aussage. Kommt bei der Probe eine falsche Aussage, wie 3 = 5 raus, so hat man sich entweder in der oder aber bei der Probe verrechnet. Auch mit Brüchen lassen sich diese Gesetze natürlich anwenden: x y x 3 + y Klammer auflösen. Vorzeichen = 3 ändern. x y x y 3 3 = Alles auf gemeinsamen Nenner bringen. x 6 y 3 x y x und y jeweils addieren bzw. = subtrahieren. = x 0y 7

8 Auch mehrere ineinander verschachtelte Klammern können auftreten: 7x { 3y [ z 5x ( y z)]} = Die Klammern werden am besten von innen nach außen abgearbeitet. Wir lösen also zunächst die runde Klammer auf. 7x { 3y [ z 5x y + z]} = Nun können wir die z in der eckigen Klammer zusammenfassen. 7x { 3y [ z 5x y]} = Nun lösen wir die eckige Klammer auf. 7x { 3y z + 5x + y} = In der geschwungenen Klammer können wir die y zusammenfassen. 7x { 5y z + 5x} = Nun lösen wir die geschwungenee Klammer auf. 7x 5y + z 5x = Wir fassen noch die x zusammen. = 5y + z Merke: Arbeite ineinander verschachtelte Klammern am besten von innen nach außen ab. 8

9 Bei der Multiplikation ergeben sich von der Schreibweise her bald Probleme. Man möchte zum Beispiel kürzer schreiben. Es werden hier Dreier miteinander multipliziert. Man schreibt dafür kurz 3 (Sprich: 3 hoch ). Man nennt diese vereinfachte Schreibweise die Potenzschreibweise: Weitere Beispiele: 7 7 = 7 = 3,,,, =, x x = x z z z z z = z 5 Beispiel ) Die Potenzschreibweise Sprechweise 7 hoch 7 zum Quadrat hoch 3 zur dritten, hoch, zur vierten x hoch x Quadrat z hoch 5 z zur fünften Definition: x x x... x = x n. x n bezeichnet man als Potenz. n-mal Definition: Jede Potenz besteht aus: Hochzahl (Exponent) x n Grundzahl (Basis) Das bilden einer Potenz heißt Potenzieren. 9