Online Vorlesung Wirtschaftswissenschaft. Gleichungen verstehen, umstellen und lösen. Fernstudium-Guide präsentiert. Mathe-Basics

Transkript

1 Fernstudium-Guide präsentiert Online Vorlesung Wirtschaftswissenschaft Mathe-Basics Gleichungen verstehen, umstellen und lösen Dieses Werk ist urheberrechtlich geschützt. Jegliche unzulässige Form der Entnahme, des Nachdrucks, der Vervielfältigung, Veröffentlichung oder sonstiger Verwertung ist untersagt und wird strafrechtlich verfolgt. Alle Rechte vorbehalten. fernstudium-guide

2 Der Begriff der Gleichung Was ist eine Gleichung? Bei einer Gleichung handelt es sich um eine Aussage, die die Gleichheit zweier Werte oder Terme zum Ausdruck bringt. Dazu nutzt man mathematische Symbole. Ein Term besteht aus Zahlen, Variablen (x, y, z, a, b,..) und mathematischen Symbolen (+, -,, /, (),...). Sie erhalten zu jeder Vorlesung von uns die kompletten Vorlesungsunterlagen. Das sind im Schnitt über 60 Folien. Diese eignen sich hervorragend bei Ihrer Klausurvorbereitung als effektive Zusammenfassung des Stoffes und dienen zudem als Hilfsmittel auch für weiterführende Kurse Ihres Studium.

3 Der Begriff der Gleichung Was ist eine Gleichung? Bei einer Gleichung handelt es sich um eine Aussage, die die Gleichheit zweier Werte oder Terme zum Ausdruck bringt. Dazu nutzt man mathematische Symbole. Ein Term besteht aus Zahlen, Variablen (x, y, z, a, b,..) und mathematischen Symbolen (+, -,, /, (),...). Zahlen kann man in verschiedene Mengen unterteilen: Natürliche Zahlen : 1, 2, 3, 4, 5, 6,..., ,..., ,... Ganze Zahlen : -1, - 2, - 3, - 4, - 5,..., ,..., 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,..., ,... Rationale Zahlen : 1 2, 54 9, 0 4 = 0, 13 2, 4 4, , Reelle Zahlen : - 0,1234, 4, - 0,5,,... Wir lassen Sie auch nach der Vorlesung nicht allein - Wenn Sie Fragen zum Studium, zu den Folien, zu Klausuren, zum Kursmaterial haben - wir helfen Ihnen per Mail gerne weiter.

4 Der Begriff der Gleichung Was ist eine Gleichung? Bei einer Gleichung handelt es sich um eine Aussage, die die Gleichheit zweier Werte oder Terme zum Ausdruck bringt. Dazu nutzt man mathematische Symbole. Ein Term besteht aus Zahlen, Variablen (x, y, z, a, b,..) und mathematischen Symbolen (+, -,, /, (),...). Zahlen kann man in verschiedene Mengen unterteilen: Natürliche Zahlen : 1, 2, 3, 4, 5, 6,..., ,..., ,... Ganze Zahlen : -1, - 2, - 3, - 4, - 5,..., ,..., 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,..., ,... Rationale Zahlen : 1 2, 54 9, 0 4 = 0, 13 2, 4 4, , Reelle Zahlen : - 0,1234, 4, - 0,5,,... Merke: Alle natürlichen Zahlen sind in den ganzen Zahlen enthalten. Alle ganzen Zahlen sind in den rationalen Zahlen enthalten. Alle rationalen Zahlen sind in den reellen Zahlen enthalten.

5 Der Begriff der Gleichung Was ist eine Gleichung? Bei einer Gleichung handelt es sich um eine Aussage, die die Gleichheit zweier Werte oder Terme zum Ausdruck bringt. Dazu nutzt man mathematische Symbole. Ein Term besteht aus Zahlen, Variablen (x, y, z, a, b,..) und mathematischen Symbolen (+, -,, /, (),...). Term 1 = = 11 Term 2 = 3 x = x + x + x Term 3 = 19 2 a x + 3, ( ) = 19 2 a x + 3, ( ) Box: Unter Potenzieren versteht man das n-malige Multiplizieren einer Zahl a mit sich selbst: a n = a a... a

6 Der Begriff der Gleichung Was ist eine Gleichung? Bei einer Gleichung handelt es sich um eine Aussage, die die Gleichheit zweier Werte oder Terme zum Ausdruck bringt. Dazu nutzt man mathematische Symbole. Ein Term besteht aus Zahlen, Variablen (x, y, z, a, b,..) und mathematischen Symbolen (+, -,, /, (),...). Term 1 = = 11 Term 2 = 3 x = x + x + x Term 3 = 19 2 a x + 3, ( ) = 19 2 a x + 3, ( ) Variablen sind gewisse Zahlen, die man in die Gleichungen einsetzen muss, damit diese wahr sind: Term 4 = 3 x Term 5 = 18 Term 4 = Term 5 3 x = = 18 x = 6

7 Umformung von Gleichungen Wie löst man die Gleichung? Waage Gleichzeitige Reduzierung auf beiden Seiten um z.b. ein schwarzes Kästchen. Waage Gleichzeitige Erhöhung auf beiden Seiten um z.b. 2 rote Kästchen.

8 Umformung von Gleichungen Wie löst man die Gleichung? Waage Gleichzeitige Reduzierung auf beiden Seiten um ein Vielfaches (zb. Halbierung der Kästchenzahl) Waage Waage Gleichzeitige Erhöhung auf beiden Seiten um ein Vielfaches (zb. Verdoppeln der Kästchenzahl Waage

9 Umformung von Gleichungen Erlaubte Äquivalenzumformungen sind: Addition desselben Ausdrucks auf beiden Seiten ( +2 oder +5 x oder +4 (x 2 +y 2 )...). Subtraktion desselben Ausdrucks auf beiden Seiten ( -2 oder -5 x oder -(x+y) (x-y)...). Viele Studierende scheitern nicht an den Anforderungen des Studiums, sondern an einer falschen Vorbereitung und Studienorganisation. Wir wollen, dass Sie Ihr Studium schaffen und nicht, dass das Studium Sie schafft... Nutzen Sie unser Hintergrundwissen zu Bibliotheksrecherche, kostenlosen Zusatzmaterialien (die wirklich nützlich sind!), Kontaktgruppen und Klausuranforderungen - so ist der Studienerfolg näher als Sie denken.

10 Umformung von Gleichungen Erlaubte Äquivalenzumformungen sind: Addition desselben Ausdrucks auf beiden Seiten ( +2 oder +5 x oder +4 (x 2 +y 2 )...). Subtraktion desselben Ausdrucks auf beiden Seiten ( -2 oder -5 x oder -(x+y) (x-y)...). Multiplikation mit demselben Ausdruck (ungleich null) auf beiden Seiten ( 2 oder 5...). Eine Multiplikation mit null ist nicht umkehrbar und damit keine Äquivalenzumformung. Beachte: bei Multiplikation mit einem Ausdruck (z.b. x-2) der eine Variable enthält, kann dieser Ausdruck null sein. Ein Studium ist nicht nur mit großem Lernaufwand verbunden. Es müssen Unterlagen wie Altklausuren und Z u s a t z l i t e r a t u r b e s o r g t w e r d e n, Te r m i n e z u r Klausuranmeldung, zur Rückmeldung und für Studienzentren müssen koordiniert werden und schließlich muss auch ein Lernplan entwickelt werden. Wir stehen Ihnen mit unserer kostenlosen Studienplanung gerne helfend zur Verfügung. Testen Sie uns!

11 Umformung von Gleichungen Erlaubte Äquivalenzumformungen sind: Addition desselben Ausdrucks auf beiden Seiten ( +2 oder +5 x oder +4 (x 2 +y 2 )...). Subtraktion desselben Ausdrucks auf beiden Seiten ( -2 oder -5 x oder -(x+y) (x-y)...). Multiplikation mit demselben Ausdruck (ungleich null) auf beiden Seiten ( 2 oder 5...). Eine Multiplikation mit null ist nicht umkehrbar und damit keine Äquivalenzumformung. Beachte: bei Multiplikation mit einem Ausdruck (z.b. x-2) der eine Variable enthält, kann dieser Ausdruck null sein. Division durch denselben Ausdruck (ungleich null) auf beiden Seiten ( 2 oder 5...). Anmerkung: Division durch null ist nicht möglich. Beachte: bei Multiplikation mit einem Ausdruck (z.b. x-2) der eine Variable enthält, kann dieser Ausdruck null sein.

12 Umformung von Gleichungen Erlaubte Äquivalenzumformungen sind: Addition desselben Ausdrucks auf beiden Seiten ( +2 oder +5 x oder +4 (x 2 +y 2 )...). Subtraktion desselben Ausdrucks auf beiden Seiten ( -2 oder -5 x oder -(x+y) (x-y)...). Multiplikation mit demselben Ausdruck (ungleich null) auf beiden Seiten ( 2 oder 5...). Eine Multiplikation mit null ist nicht umkehrbar und damit keine Äquivalenzumformung. Beachte: bei Multiplikation mit einem Ausdruck (z.b. x-2) der eine Variable enthält, kann dieser Ausdruck null sein. Division durch denselben Ausdruck (ungleich null) auf beiden Seiten ( 2 oder 5...). Anmerkung: Division durch null ist nicht möglich. Beachte: bei Multiplikation mit einem Ausdruck (z.b. x-2) der eine Variable enthält, kann dieser Ausdruck null sein. Vertauschen der beiden Seiten bzw. der Ausdrücke auf einer Seite 7x + 6x 3 4 p 8 = 9π π = 6x3 + 7x 4 p 8

13 Umformung von Gleichungen Wie löst man die Gleichung 3x + 1 = x + 9? Waage Wägeoperation Gleichung Äquivalenzumformung - 1 3x + 1 = x x 3x = x x 2x = x = 4

14 Klammern auflösen Klammern auflösen: 1.) + (...) Steht vor einer Klammer ein Pluszeichen, so kann die Klammer einfach weggelassen werden. 7x + 6x 4 8 = 7x + 6x 4 8

15 Klammern auflösen Klammern auflösen: 1.) + (...) Steht vor einer Klammer ein Pluszeichen, so kann die Klammer einfach weggelassen werden. 2.) - (...) 7x + 6x 4 8 = 7x + 6x 4 8 Steht vor einer Klammer ein Minuszeichen, so dreht man in der Klammer alle Vorzeichen um. 7x 6x 4 8 = 7x 6x + 4 8

16 Klammern auflösen Klammern auflösen: 1.) + (...) Steht vor einer Klammer ein Pluszeichen, so kann die Klammer einfach weggelassen werden. 7x + 6x 4 2.) - (...) 8 = 7x + 6x 4 8 Steht vor einer Klammer ein Minuszeichen, so dreht man in der Klammer alle Vorzeichen um. 7x 6x 4 8 = 7x 6x ) (...) Steht vor einer Klammer ein Mal-Zeichen, so muss jeder Summand in der Klammer mit dem Faktor vor dem Mal-Zeichen multipliziert werden. 7 6x 4 8 = 7 6x x 4 8 = 7 6x 7 = ( 6x + 6x + 6x + 6x + 6x + 6x + 6x ) = 42x 28 8 = 42x 14 4 ( ) 4 8 = 42x = 42x a 6x 4 8 = 5a 6x 5a 4 8 = 5 6 a x a = 30ax a 20 8 = 30ax 20 8 a

17 Klammern auflösen 4.) (...) (...) Hat man zwei Klammern zu multiplizieren, so muss man alle Summanden der ersten Klammer die allen Summanden der zweiten Klammer multiplizieren. Merkregel: Jeder Mann möchte mit jeder Frau tanzen + +

18 Klammern auflösen 4.) (...) (...) Hat man zwei Klammern zu multiplizieren, so muss man alle Summanden der ersten Klammer die allen Summanden der zweiten Klammer multiplizieren. Merkregel: Jeder Mann möchte mit jeder Frau tanzen

19 Klammern auflösen 4.) (...) (...) Hat man zwei Klammern zu multiplizieren, so muss man alle Summanden der ersten Klammer die allen Summanden der zweiten Klammer multiplizieren. 1. Beispiel: 6x 2 ( ) ( 4a + 5) = 6x 4a + 6x 5 2 4a 2 5 = 6 4 x a x 2 4a 2 5 = 24 x a + 30 x 8a 10 = 24xa + 30x 8a 10

20 Klammern auflösen 4.) (...) (...) Hat man zwei Klammern zu multiplizieren, so muss man alle Summanden der ersten Klammer die allen Summanden der zweiten Klammer multiplizieren. 1. Beispiel: ( 6x 2) 4a + 5 ( ) = 6x 4a + 6x 5 2 4a 2 5 = 6 4 x a x 2 4a 2 5 = 24 x a + 30 x 8a 10 = 24xa + 30x 8a 10

26 Klammern auflösen 4.) (...) (...) Hat man zwei Klammern zu multiplizieren, so muss man alle Summanden der ersten Klammer die allen Summanden der zweiten Klammer multiplizieren. 1. Beispiel: ( 6x 2) 4a + 5 ( ) = 6x 4a + 6x 5 2 4a 2 5 = 6 4 x a x 2 4a 2 5 = 24 x a + 30 x 8a 10 = 24xa + 30x 8a 10 Merke: - + = = = = +

28 Klammern auflösen 4.) (...) (...) Hat man zwei Klammern zu multiplizieren, so muss man alle Summanden der ersten Klammer die allen Summanden der zweiten Klammer multiplizieren. 2. Beispiel: 5 ( 6x 2) ( 4a + 5) = ( 5 6x + 5 2) ( 4a + 5) = ( 30x + 10) ( 4a + 5) = 30x 4a 30x a = 120xa 150x + 40a + 50

29 Klammern auflösen 4.) (...) (...) Hat man zwei Klammern zu multiplizieren, so muss man alle Summanden der ersten Klammer die allen Summanden der zweiten Klammer multiplizieren. 2. Beispiel: 5 ( 6x 2) ( 4a + 5) = ( 5 6x + 5 2) ( 4a + 5) - - = + = ( 30x + 10) ( 4a + 5) = 30x 4a 30x a = 120xa 150x + 40a + 50

35 Klammern auflösen 4.) (...) (...) Hat man zwei Klammern zu multiplizieren, so muss man alle Summanden der ersten Klammer die allen Summanden der zweiten Klammer multiplizieren. 3. Beispiel: ( 6x 2a + 6) 4a + 5 ( ) = 6x 4a + 6x 5 2a 4a 2a a = 24xa + 30x 8a a 10a + 24a + 30 = 24xa a 2 10a + 24a + 30 = 24xa a a + 30

47 Klammern auflösen 4.) (...) (...) Hat man zwei Klammern zu multiplizieren, so muss man alle Summanden der ersten Klammer die allen Summanden der zweiten Klammer multiplizieren. 3. Beispiel: ( 6x 2a + 6) 4a + 5 ( ) = 6x 4a + 6x 5 2a 4a 2a a = 24xa + 30x 8a a 10a + 24a + 30 = 24xa a 2 10a + 24a + 30 = 24xa a a a + 24a = +14a a... -1a 0 1a... 14a +24a

48 Binomische Formeln Binomische Formeln 1.) (a+b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 Grafische Darstellung: a b a b (a+b) (a+b) = (a+b) 2

49 Binomische Formeln Binomische Formeln 1.) (a+b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 Grafische Darstellung: a b a a (a+b) (a+b) = a a 2 (a+b) 2 b

50 Binomische Formeln Binomische Formeln 1.) (a+b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 Grafische Darstellung: a b a a (a+b) (a+b) = a a 2 (a+b) 2 b b a b a

51 Binomische Formeln Binomische Formeln 1.) (a+b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 Grafische Darstellung: a b a b a (a+b) (a+b) = a a 2 a b a (a+b) 2 b b a b a

52 Binomische Formeln Binomische Formeln 1.) (a+b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 Grafische Darstellung: a b a b a (a+b) (a+b) = a a 2 a b a b (a+b) 2 b a b b 2 b a b

53 Binomische Formeln Binomische Formeln 1.) (a+b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 Grafische Darstellung: a b a b a (a+b) (a+b) = a a 2 a b a b (a+b) 2 b a b b 2 b a b (a+b) 2 = a 2 + a b + a b + b 2

54 Binomische Formeln Binomische Formeln 1.) (a+b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 Beispiele: ( x + 4) 2 = x x = x x = x 2 + 8x + 16 x a b 2 = ( x 3 ) ( x 3 ) 43a b + 43a b 2 = x x 3 a b a 2 = x x 3 a b 2 b a 2 b 2 Box : Potenzgesetze ( x y) a x = x a y a y a = xa y a ( x n ) m = x n m

55 Binomische Formeln Binomische Formeln 2.) (a-b) 2 = a 2-2ab + b 2 Beispiel: ( zx 4y) 2 = ( zx) 2 2 zx 4y + ( 4y) 2 = z 2 x 2 8zxy + 16y 2

56 Binomische Formeln Binomische Formeln 2.) (a-b) 2 = a 2-2ab + b 2 Beispiel: ( zx 4y) 2 = ( zx) 2 2 zx 4y + ( 4y) 2 = z 2 x 2 8zxy + 16y 2 3.) (a-b) (a+b) = a 2 - b 2 Beispiel: ( 4 2) ( 4 + 2) = = = 16 4 = 12 ( 4 2) ( 4 + 2) = ( 2) ( 6) = 12 ( zx 4y) ( 4y + zx) = ( zx 4y) ( zx + 4y) = ( zx) 2 ( 4y) 2

57 Lösen von Gleichungen Beispiel 1: Man löse folgende Gleichung 6x + ( 4x + 1) = 2x + 9 Lösung: 6x + ( 4x + 1) = 2x + 9 6x + 4x + 1 = 2x x + 1 = 2x + 9 Merke: Wenn vor einem Klammerausdruck unmittelbar ein Pluszeichen steht (nicht so beim Minuszeichen), kann die Klammer einfach weggelassen werden.

58 Lösen von Gleichungen Beispiel 1: Man löse folgende Gleichung 6x + ( 4x + 1) = 2x + 9 Lösung: 6x + ( 4x + 1) = 2x + 9 6x + 4x + 1 = 2x x + 1 = 2x x = 2x x = 2x x 2x = 2x + 8 2x 8x = 8 Merke: Wenn vor einem Klammerausdruck unmittelbar ein Pluszeichen steht (nicht so beim Minuszeichen), kann die Klammer einfach weggelassen werden.

59 Lösen von Gleichungen Beispiel 1: Man löse folgende Gleichung 6x + ( 4x + 1) = 2x + 9 Lösung: 6x + ( 4x + 1) = 2x + 9 6x + 4x + 1 = 2x x + 1 = 2x x = 2x x = 2x x 2x = 2x + 8 2x 8x = 8 8x 8 = 8 8 x = 1 x 8 8 = 8 8 x 1 = 1 Damit die obige Gleichung richtig ist, muss die Variable x den Wert 1 haben. Diese Gleichung hat also genau eine Lösung - nämlich x = 1. Merke: Wenn vor einem Klammerausdruck unmittelbar ein Pluszeichen steht (nicht so beim Minuszeichen), kann die Klammer einfach weggelassen werden. Merke: Wenn eine Zahl im Zähler eines Bruches steht und dort mit einem Ausdruck multipliziert wird, dann kann man sie auch vor den Bruch schreiben und durch ein Mal-Zeichen verbinden.

60 Lösen von Gleichungen Beispiel 1: Man löse folgende Gleichung 6x + ( 4x + 1) = 2x + 9 Probe unserer Rechnung: ( ) = 2x + 9 ( ) = ( ) = ( ) = x + 4x = 11 Merke: Setzt man den gefundenen Wert der Variablen in die Gleichung ein, so kann man direkt überprüfen, ob man richtig gerechnet hat. Die Probe unserer Rechnung ergibt, dass die rechte Gleichungsseite der linken Seite entspricht - Wir haben uns also nicht verrechnet.

61 Lösen von Gleichungen Beispiel 2: Man löse folgende Gleichung -x (-x - 3) = -2x - 5 Lösung: -x (-x - 3) = -2x - 5 -x ( -x)+ 2 (-3) = -2x - 5 Merke: Wenn vor einem Klammerausdruck unmittelbar eine Zahl steht, so muss jeder Ausdruck in der Klammer mit dieser Zahl multipliziert werden.

62 Lösen von Gleichungen Beispiel 2: Man löse folgende Gleichung -x (-x - 3) = -2x - 5 Lösung: -x (-x - 3) = -2x - 5 -x ( -x)+ 2 (-3) = -2x - 5 -x x + -6 = -2x - 5 Merke: Eine positive Zahl, die man mit einer negativen Zahl multipliziert, ergibt ein negatives Produkt.

63 Lösen von Gleichungen Beispiel 2: Man löse folgende Gleichung -x (-x - 3) = -2x - 5 Lösung: -x (-x - 3) = -2x - 5 -x ( -x)+ 2 (-3) = -2x - 5 -x x + -6 = -2x - 5 -x -2x = -2x - 5 Merke: Man kann auf den einzelnen Seiten der Gleichungen die Ausdrücke und Zahlen beliebig umstellen, die mit einem Pluszeichen bzw. Minuszeichen voneinander getrennt sind.

64 Lösen von Gleichungen Beispiel 2: Man löse folgende Gleichung -x (-x - 3) = -2x - 5 Lösung: -x (-x - 3) = -2x - 5 -x ( -x)+ 2 (-3) = -2x - 5 -x x + -6 = -2x - 5 -x -2x = -2x - 5-3x + 1 = -2x - 5 3x = x 2x Merke: Die Addition und Subtraktion eines Ausdrucks von einem anderen Ausduck kann man anhand einer Z a h l e n g e r a d e ( Z o l l s t o c k ) veranschaulichen. -4x -3x -2x -1x 0 1x 2x 3x -2x

65 Lösen von Gleichungen Beispiel 2: Man löse folgende Gleichung -x (-x - 3) = -2x - 5 Lösung: -x (-x - 3) = -2x - 5 -x ( -x)+ 2 (-3) = -2x - 5 -x x + -6 = -2x - 5 -x -2x = -2x - 5-3x + 1 = -2x - 5-3x x = -2x x -x + 1 = - 5 -x = x = -6 -x 1 = -6 1 x 1 1 = x = 6 Merke: Wenn vor einem Klammerausdruck unmittelbar eine Zahl steht, so muss jeder Ausdruck in der Klammer mit dieser Zahl multipliziert werden. Damit die obige Gleichung richtig ist, muss die Variable x den Wert 6 haben. Diese Gleichung hat also genau eine Lösung - nämlich x = 6.

66 Lösen von Gleichungen Beispiel 2: Man löse folgende Gleichung -x (-x - 3) = -2x - 5 Probe unserer Rechnung: -x (-x - 3) = -2x (-6-3) = (-9) = = = = = = - 17 Merke: Eine positive Zahl, die man mit einer negativen Zahl multipliziert, ergibt ein negatives Produkt. Merke: Beachte - Punktrechnung geht vor Strichrechnung. Zuerst muss der Ausdruck berechnet werden, der durch ein Malzeichen miteinander verbunden ist. Die Probe unserer Rechnung ergibt, dass die rechte Gleichungsseite der linken Seite entspricht - Wir haben uns also nicht verrechnet.

67 Übungsaufgaben Übungsaufgaben - Lösen Sie folgende Klammerterme auf: 1.) ( x)(x - 5) 2.) (9-7x)² 3.) (12x + 8)(12x - 8) 4.) -4(-3 + 3x) 5.) (3-8x)² 6.) (5x + 6)(5x - 6) 7.) (12x + 8)(12x - 8) 8.) (9 + 6x)(6x - 9) 9.) (12 + 4x)(12-4x) 10.) (4x - 8)² 11.) (6x + 12)(6x - 12) 12.) ( x)² 13.) (6-12x)² 14.) (9 + 12x)² 15.) (109-68x)(1-2x) 16.) -(3-2x) 17.) (8 + 8x)² 18.) (1 + 12x)(1-12x) 19.) ( x)² 20.) ( x)²

68 Übungsaufgaben Übungsaufgaben - Lösen Sie folgende Klammerterme auf (Lösungen) 1.) 57x² 298x ) 49x² 126x ) 144x² 64 4.) 12x ) 64x² 48x ) 25x² 36 7.) 144x² 64 8.) 36x² 81 9.) 16x² ) 16x² 64x ) 36x² ) 144x² + 288x ) 144x² 144x ) 144x² + 216x ) 136x² 286x ) 2x 3 17.) 64x² + 128x ) 144x² ) 121x² + 220x ) 100x² + 200x + 100

69 Übungsaufgaben Übungsaufgaben - Lösen Sie folgende Gleichungen zur Übung nach x auf: 1.) -(4x + 30) + 2x = -3 2.) -2x - (2 + 3x) = -5x ) 3(x - 1) - 2x + 19 = 3x ) -x - 4(x - 6) + 4(x - 4) = 2 5.) -(2x - 1) + 2(x - 1) - x = 3 6.) 2(-2x + 3) x = -2-4x 7.) x - (8-4x) - 2(3x - 8) = -3 8.) 5(3x + 3) x = 19x ) 3x - 1 = (-1-7x) + 14x ) -(3x - 20) x = -5x - 3

70 Übungsaufgaben Übungsaufgaben - Die Lösungsmengen (d.h. der x-wert, der die Gleichungen erfüllt) der Aufgaben: 1.) L={ 13,5} 2.) L=R 3.) L={10,5} 4.) L={6} 5.) L={ 4} 6.) L={11} 7.) L={11} 8.) L={3,875} 9.) L={12,5} 10.) L={ 9,5}

71 Neugierig geworden auf viele weitere Infos zum Studium? Dann besuchen Sie uns unter