Mathematik: Mag. Schmid Wolfgang & Lehrer/innenTeam ARBEITSBLATT 2-7 WIEDERHOLUNG VON GLEICHUNGEN

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1 ARBEITSBLATT -7 WIEDERHOLUNG VON GLEICHUNGEN Zur Wiederholung nehmen Sie bitte die Unterlagen des 1. Semesters zur Hand. Beispiel: Berechne : Lösung: Wir bringen alle Brüche auf gemeinsamen Nenner. 3 ( + 8) 8( 5 ) 7 18 / ( + 8) 8( 5 ) Wir führen die Multiplikationen aus Wir fassen die linke Seite der Gleichung zusammen Wir bringen alle Ausdrücke mit auf eine Seite, alle Ausdrücke ohne auf die andere. / /: 7 8 LÖSEN VON TEXTAUFGABEN Zur Wiederholung nehmen Sie bitte die Unterlagen des 1. Semesters zur Hand. 1

2 Aufgaben unter Berücksichtigung des Stellenwertes. Beispiel: Eine dreistellige Zahl hat die Ziffernsumme 13 und an der Einerstelle die Ziffer 7. Die Ziffer an der Hunderterstelle ist gleich der Ziffer an der Zehnerstelle. Wie lautet die Zahl? Lösung: Eine dreistellige Zahl ( z.b. 43) besteht aus drei Ziffern (4, 3, ). Man bezeichnet die Stelle des ers als Einerstelle, die Stelle des 3ers als Zehnerstelle und die Stelle des 4ers als Hunderterstelle. Legen wir nun unsere Zahl fest: Hunderterstelle Zehnerstelle Einerstelle Die Ziffer an der Einerstelle lautet 7. Die Ziffer an der Hunderterstelle ist unbekannt, folglich nennen wir sie. Da die Ziffer an der Zehnerstelle gleich der Ziffer an der Hunderterstelle ist, muss auch diese sein. Die Zahl sieht also folgendermaßen aus: 7 Hunderterstelle Zehnerstelle Einerstelle Nun können wir die Gleichung ansetzen. Unter der Ziffernsumme einer Zahl versteht man die Summe aller vorkommenden Ziffern. (Beispiel: 43 Ziffernsumme 4+3+9). Gleichung: Nun lösen wir die Gleichung: / -7 6 / : 3 Wir setzen in unser Zahl ein und erhalten: 337

3 Beispiel: Die Zehnerstelle einer Zahl ist um 3 größer als die Einerstelle. Vertauscht man die beiden Ziffern erhält man eine neue Zahl. Subtrahiert man 10 von der neuen Zahl erhätl man die Hälfte der neuen Zahl. Bestimmen Sie beide Zahlen. Lösung: Die Zahl sieht folgendermaßen aus: X+3 X Zehnerziffer Einerziffer Bei der vertauschten Zahl werden folglich die beiden Ziffern vertauscht: X X+3 Zehnerziffer Einerziffer Laut Tet soll nun die vertauschte Zahl um 10 größer als die Hälfte der ursprünglichen Zahl sein. Wir erhalten also folgenden Gleichungsansatz: Vertauschte Zahl - 10 Ursprüngliche Zahl / Wir müssen uns nun aber noch den Wert der Zahlen überlegen. Unsere Variable steht ja für Ziffern, nicht für den Wert der Zahl. Nehmen wir als Beispiel die Zahl 45. Die Zahl besteht aus den Ziffern 4 und 5. Den ihr zugeordneten Wert erhalten wir, wenn wir die Zahl mit ihrem Stellenwert schreiben. 4 5 Zehner Einer Wir haben also 4 Zehner und 5 Einer. Folglich können wir also 45 als schreiben. 3

4 Auch bei unseren Zahlen müssen wir also den Stellenwert berücksichtigen. Ziffern Wert der Zahl ursprüngliche Zahl ( ) X+3 X vertauschte Zahl X X+3 ( ) Nun können wir in unsere Gleichung einsetzen: Vertauschte Zahl - 10 Ursprüngliche Zahl / Nun lösen wir die Gleichung: / Linke Seite zusammenfassen / / / : 11 4 Nun setzen wir wieder in unsere Zahlen ein und erhalten 74 und 47. GLEICHUNGEN MIT BRUCHTERMEN Beispiel: G Q Lösung: Zunächst einmal müssen wir uns klar werden, was der Ausdruck G Q bedeutet. G steht für Grundmenge. Die Grundmenge gibt immer an, welche Zahlen ich für die Variable einsetzen darf. Q ist das Symbol für die rationalen Zahlen. Wir dürfen hier also für alle Zahlen einsetzen, die sich als Bruch darstellen lassen. Normalerweise ergibt sich die Grundmenge aus dem Tet der Aufgabenstellung heraus. 4

5 Definition: Die Grundmenge gibt an, welche Werte man für die Variable aus dem Tet heraus einsetzen darf. Bei Bruchtermen haben wir aber noch ein Problem. Der Nenner darf nicht Null werden, da wir ja sonst eine Division durch Null hätten. Wir müssen also nun feststellen, bei welchen Werten für der Nenner Null werden würde. Dazu zerlegen wir den Nenner möglichst in Produkte (Herausheben; Binomische Formeln) ( ) ( ) Wir heben im ersten Nenner 3 und im dritten Nenner heraus. Nun sehen wir, dass bei 3 alle drei Nenner Null werden würden. Wir müssen also 3 als sinnvollen Wert für ausschließen, da wir hier eine Division durch Null erhalten würden. Die Menge, die aus der Grundmenge die mathematisch nicht sinnvollen Ausdrücke ausschließt, nennt man Definitionsmenge, abgekürzt D. Definition: Die Definitionsmenge gibt alle sinnvollen Werte für an. Bei uns gilt Q \ { 3} D (sprich: Definitionsmenge ist Q ohne 3 ). Das Zeichen \ bedeutet also ohne. Nun bringen wir die Gleichung auf gemeinsamen Nenner ( ) ( ) ( 4 3) 6( + ) 3( 6 3) ( 3) 6( 3) 6( 3) 6 ( 4 3) 6( + ) 3( 6 3) 5 Nun der Trick, weshalb wir immer auf gemeinsamen Nenner bringen. Wir multiplizieren die Gleichung einfach mit dem Nenner und damit fällt dieser weg. / 6 3 ( ) Wir führen die Multiplikationen aus Wir fassen die rechte Seite zusammen Nun bringen wir alle Ausdrücke mit auf eine Seite, alle ohne auf die andere. / / / : (-7)

6 0 Wir erhalten als Lösung 0, was bedeutet, dass man eine wahre Aussage erhält, wenn man in die Gleichung 0 einsetzt. Die Lösungen gibt man in der sogenannten Lösungsmenge (abgekürzt L) an. L 0 Für unser Beispiel gilt: { } Für die ersten Aufgaben noch ein kurzes Beispiel: 1 3 G Q Definitionsmenge bestimmen: D Q \ { 0}. Auf gemeinsamen Nenner bringen. 1 3 / 1 3 / :3 4 Lösungsmenge angeben L 4 { } Wichtig: Nehmen Sie bitte für sämtliche Übungen dieses Übungsblattes als Grundmenge Q an. Natürlich kann der Nenner des Öfteren auch komplizierter aufgebaut sein, das Prinzip bleibt jedoch dasselbe. Beispiel: a + 5 ( a 5) a + 5 a + 5 a a G Q 5 ( a 5) a + 5 ( a + 5)( a 5) a 6 Wir zerlegen alle Nenner. Definitionsmenge bestimmen. D Q \ ± 5 { } Auf gemeinsamen Nenner bringen. ( a + 5)( a + 5) ( a 5) a( a 5) / ( a 5) ( a + 5) ( a 5) ( a + 5) ( a 5) ( a + 5) ( a 5) ( a + 5) ( + 5) ( a 5) a( a 5) a Bei den ersten beiden Termen potenzieren, im dritten multiplizieren wir.

7 ( a 10a + 5) a + a a + 10a Wir multiplizieren. a + 10a + 5 a 0a + 50 a + 5a Wir fassen die rechte Seite zusammen. a + 10a + 5 a 15a + 50 Alle Ausdrücke mit a auf eine Seite, alle ohne a auf die andere. / a 10 a a + 50 / +15a 5 a / -5 5 a 5 / : 5 a 1 Lösungsmenge angeben. L 1 { } 7