Kapitel 3: Variable und Term

Transkript

1 1. Einführungsbeispiel Das Thema Termumformungen ist ein sehr wichtiges Grundlagenthema in der Mathematik und gehört in den Bereich der Algebra. Wer diese Grundlagen gut verarbeitet hat, kann später in vielen Anwendungsbereichen der Mathematik (Geometrie, Physik, u.a.) von diesem Know-How profitieren. Als erstes starten wir mit einem Beispiel aus der Geometrie: Die Gemeinde Pisakon plant für ihre Sekundarstufe 1 einen Erweiterungsbau. Die Vorgabe für die Architekten war: der Grundriss der Schulzimmer muss quadratisch sein! Die Seitenlänge eines Schulzimmers unterscheidet sich von Architekt Müller und von Ingenieur Meier um 1.4 m. Der Unterschied der Grundrissflächen beträgt 5.76 m! Zudem kann man sagen, dass Müller generell viel grosszügiger geplant hat. Frage: Wie gross sind die Seitenlängen der geplanten Schulzimmer auf dem Plan mit Massstab 1:100? Ziel: Eine strukturierte und sorgfältige Lösung! M. Kunz 1

2 . Grundlagen Term T Ein Term ist eine sinnvolle Zusammensetzung von mathematischen Symbolen, wie...! Beispiele:... Umformung Einen Term T 1 umformen heisst, einen neuen Term T bilden, der nach dem Einsetzen von Zahlen gleichwertig ist. Beispiele:... Algebraische Gesetze a. Rechenhierarchie (zu beachten z.b. beim Auflösen von Gleichungen!)... b. Additionsregeln c. Klammerregeln d. Potenzregeln Bruchterme Erweitern: Kürzen: M. Kunz

3 3. Produkte von Summen Terme umformen Gleichungen lösen (a + 5) ( a 3) =... (x 1) (4 x) =... (b + 3) (b + 7) =... (x 5) (x + ) =... (x ) (x + 3) = (x + 6) (x ) und G = Q (rationale Zahlen!!!) Lösungsmenge bestimmen Textaufgabe (Musterlösung in 4 Schritten) Das Produkt zweier Faktoren, die sich um 7 unterscheiden, ist gleich dem Produkt, dessen Faktoren man erhält, wenn man zur grösseren Zahl 3 addiert und von der kleineren subtrahiert. Wie heissen die beiden Zahlen? a. Variabeldefinition: b. Gleichung:... c. Lösung: d. Kontrolle! M. Kunz 3

4 Umkehrung Trinome Binome Du weisst: (a 3) (a + ) =... Es muss umgekehrt auch möglich sein, bestimmte quadratische Trinome in ein Produkt von Binomen zu zerlegen. Aufgrund der Operationszeichen lassen sich vier verschiedene Trinom-Typen Typ 1:.. unterscheiden! Typ :.. Typ 3:.. Mit dem folgenden Fluss- Typ 4:.. diagramm lässt sich das Faktorisieren von Trinomen vereinfachen: Schema, aus Lehrmittel ZH, Bd. 3 Beispiele: x 14x + 49 = a + 16a + 64 = x + 10x + 9 = c 5 = b 8b 9 = a a + ¼ = y 81 = a + 9a + 0 = x + x 56 = a a 6 = M. Kunz 4

5 4. Die binomischen Formeln Ein Sonderfall der Multiplikation algebraischer Summen sind die Binome. Theorie Produkteform Quadratform Summenform Bezeichnung (a + b) (a + b) (a + b) a + ab + b 1. Binom (a b) (a b) (a b) a ab + b. Binom (a + b) (a b) keine a b 3. Binom Die geometrische Deutung der 1. Binomischen Formel: Durch die Anwendung dieser Formeln kann man einerseits das Quadrat einer algebraischen Summe sehr rasch angeben, andererseits ist es möglich, einen quadratischen Summenterm in Faktoren zu zerlegen (Faktorisieren). Beispiele (a + 3) =... (x 5) =... (c 3) (c + 3) =... (5x + 3y) =... (a 5) (a + 5) =... (a b) 3(a b) + 4 (a + b)(a b) 3(a - ab) = x xy + y =... 4a + 1ab +9b =... 36c 9d =... x + 10x + 5 =... 9a 1a 4 =... x 18xy + 81y =... M. Kunz 5

6 5. Faktorisieren ein Überblick Beim Faktorisieren wird ein Term von der.. in die verwandelt. Der Wert des Terms bleibt aber selbstverständlich gleich. Damit wir uns im Thema besser zu Recht finden, unterscheiden wir vier Faktorisierungsarten: a. Ausklammern Von der Produkteform in die Summenform: 5a ( 3a ) =... 3xy (4xy + 5x 4 ) =... Von der Summenform in die Produkteform: 7c + 1c =... 6rst 9r + 1rt =... b. Mehrmaliges Ausklammern Von der Produkteform in die Summenform: (a + b)( + x) =... (3a 5 b 3 )(a + b) =... Von der Summenform in die Produkteform: x 3x + 5yx 15y =... 3a+3b+3c-ay-by-cy =... c. Binomische Formeln anwenden Von der Produkteform in die Summenform: (a + 3b) =... (3x 4y 3 ) =... Von der Summenform in die Produkteform: 5x 16 =... 36a 4ab + 4b =... d. Verschiedene Binome anwenden Von der Produkteform in die Summenform: (a + 4)(a 3) =... (x )(x 5) =... Von der Summenform in die Produkteform: x + 7x + 10 =... a + a 8 =... M. Kunz 6

7 6. Anwendung des Faktorisierens: Quadratische Gleichungen lösen Bestimme die Lösungsmengen der folgenden quadratischen Gleichungen! Beachte dabei die Grundmenge! Die Lösung muss via Faktorisieren gefunden werden! Vorgehen: 1. Alle Teile auf die linke Seite verschieben; ihr Wert ist gleich Null!. Linke Seite faktorisieren! 3. Ein Produkt ist dann Null, wenn einer der Faktoren Null ist!!! 4. Lösungsmenge bestimmen 1. (x + 15) x = 0. x + x 56 = 0 3. x x = 0 4. x x + = x + 5 = 0 6. x = 7x - 13 M. Kunz 7

8 7. Anwendung des Faktorisierens: Bruchterme kürzen Will man Bruchterme kürzen, so muss man Zähler und Nenner zuerst faktorisieren. Sonst gibt s Ärger!!! Es gibt nämlich den Spruch : Summen kürzen nur die Dummen!!! Und zu denen gehören wir ja nicht, oder!? Deshalb gilt: Nur kürzen, wenn alle + und Zeichen in Klammern versorgt sind! Einige Beispiele dazu: 4( x + 1) a. = 0( x + 1) 3 5x y ( a 1) b. = 4 3 5x y x + x c. = x a d. = a + a 3 3a + 3b e. = 5b 5a x x f. = z zx 4x 36 g. = 4 3x 43 ( x y) 5 h. = x xy + y x + x 15 i. = 3x + 18x + 15 M. Kunz 8

9 8. Das Pascalsche Dreieck Das Pascalsche Dreieck dient zur Ermittlung der Binomialkoeffizienten (= Zahlen vor Variablen). Theorie n = 0 1 n = n = 1 1 n = n = n = n = (a + b) n =? (a + b) 0 = (a + b) 1 = (a + b) = (a + b) 3 = (a + b) 4 = (a + b) 5 = Folgende Koeffizienten bilden das Pascalsche Dreieck für das Binom (a b) n! (a b) n =? n = 0 n = 1 n = n = 3 n = usw. Beispiele (x + 3) 4 = (a 5) 3 = M. Kunz 9

10 9. Polynomdivision Das Prinzip der Polynomdivision ist dem Verfahren der schriftlichen Division von Zahlen nachgebildet! Zahlenbeispiel : 5 =... Algorithmus Drei Anwendungen 1. Divisor und Dividend nach Potenzen ordnen.. Erstes Glied des Dividenden durch erstes Glied des Divisors dividieren. 3. Produkt aus Quotient und Divisor bilden. 4. Das Produkt vom Dividenden subtrahieren. 5. Ist die Differenz 0, so ist das Verfahren beendet. Andernfalls kann auf die Differenz als neuem Dividenden das Verfahren von 1 bis 5 angewendet werden. 6. Ist die höchste Potenz der Differenz kleiner als die höchste Potenz des Divisors, so wird das Verfahren abgebrochen und ein Rest notiert. (6a + 7a + ) : (a + 1) =... (6x 3 + 5x 4x + 3) : (x + 3) =... (z ) : (z + 10) =... M. Kunz 10