Urs Wyder, 4057 Basel Algebra 2

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1 Urs Wyder, 4057 Basel Algebra

2 Inhaltsverzeichnis 1 Addition und Subtraktion 1.1 Rechengesetze Klammerregel Vorzeichenregeln Aufgaben Multiplikation 4.1 Rechengesetze Potenzgesetze Vorzeichenregeln Aufgaben Binomische und trinomische Formeln, Pascal sches Dreieck Binomische Formeln Trinomische Formeln Aufgaben Faktorzerlegungen (Faktorisierung) Einfaches Ausklammern Faktorisierung mittels binomischer Formeln Faktorisierung mit Zweiklammeransatz Faktorisierung durch doppeltes Ausklammern Division Vorzeichenregeln Einfache Divisionen Division von Summen und Differenzen Der Dividend ist eine Summe, der Divisor ein Faktor Zähler und Nenner sind Summen oder Differenzen Bruchterme und Gleichungen mit Bruchtermen 6.1 Kürzen von Bruchtermen Erweitern von Bruchtermen Addition von Bruchtermen Multiplikation von Bruchtermen Division von Bruchtermen Kreuzworträtsel Gleichungen mit Bruchtermen Wurzeln Rechengesetze Wurzeln von Zahlen Partielles Radizieren von ganzen Zahlen Rationalisierung des Nenners Höhere Wurzeln Einführung Wurzeln mit Potenzen verschachtelt Wurzelgleichungen Quadrieren ist keine Äquivalenzumformung

3 1 Addition und Subtraktion 1.1 Rechengesetze a + b b + a (Kommutativgesetz) (a + b) + c a + (b + (Assoziativgesetz) 1. Klammerregel Verschachtelte Klammern werden schrittweise von innen nach aussen aufgelöst. 1.3 Vorzeichenregeln a + (b + a + b + c a (b + a b c a + (b a + b c a (b a b + c a + ( b + a b + c a ( b + a + b c a + ( b a b c a ( b a + b + c 1.4 Aufgaben 1. Vereinfache die folgenden Terme: 9x + 3x + 1x + 15x + x + 16x b) 14a + 1b + 3a b a + 5ab + 6b + 1ab + 3a 9xy + 16x + 4xy + 4x + 1xy + 14x d) 15.5x + 1.7y +.4x + 3.4x + 4.5y + 1.7x + 1.8y. Vereinfache die folgenden Terme: 3(x + 1) + 5(x + 1) + 7(x + 1) + 9(x + 1) b) 1(x + y) + (x + y) 3x + y 4x y 10(abc + + 1(abc + + (abc + + abc 3a 7abc d) x (x + 1) + x + 1

4 3. Vereinfache die folgenden Terme: 3a (6a 5) b) 4x (3x + 10y) ab (5 ab) d) h + (3g 1h) e) 3k ( k k) 5k f) 16u v (3u 7v) 4. Vereinfache die folgenden Terme: 3m [m (m + n) + n ( n)] + m 5n b) ( n) + [3m (n + 1)] (3n 8) (a 1) [5a (6a 1)] (a + 3) d) [5x 3x (x 1)] + 6x (x + x ) e) (s + ) (s ) f) x (x 3y) [x (x y)] 5. Vereinfache die folgenden Terme: 4a [75a + (13a + b) (7a + b)] + [1a (15a b) 7b] b) 45m 3 (1m + 3m 1) [45m 3 (5m + 10m 1) + (9m 16m 3)] 4m [7a + 5b (3a + b)] [5a + 3b (a b)] d) 5a [13a {4a (5a + 3b) (7a b)} + (4a b)] e) 49c 15 + (3a + 3) [(14a + 9) {5a (17a b) + (9a 5)} + 6a + 3] f) 70a [5a (9a 3) {16a (9a + 1) (5a 13)} {4 (10a 6) (3a + 5) 8}] 6. Gelten das Kommutativ- und das Assoziativgesetz der Addition auch für die Subtraktion? Begründe! Kitab al-gabr wa l-muqabala ist ein Mathematik-Buch, das ungefähr um 85 vom Mathematiker Muhammad ibn Musa al-chwarizmi geschrieben wurde. Unser heutiges Wort Algebra geht auf die lateinische Übersetzung des Titels (Ludus algebrae almucgrabalaeque) zurück. Bild: Statue von al-chwarizmi an der Technischen Universität in Teheran 3

5 Multiplikation.1 Rechengesetze a b b a (Kommutativgesetz) a(b (ab)c (Assoziativgesetz) a(b + ab + ac (Distributivgesetz) a(b ab ac (Distributivgesetz) (a + b)(c + d) ac + ad + bc + bd (Distributivgesetz). Potenzgesetze (ab) n a n b n ( a ) n b an b n a n a m a n+m a n a m an m (a n ) m a n m a 0 1 a R a n 1 a n a 1 1 a.3 Vorzeichenregeln a b ab a ( b) ab ( b ab ( ( b) ab 4

6 .4 Aufgaben 1. Berechne die folgenden Terme: 3x(x 3) b) 3x (x + 1) 1(ab 3) d) 4ab(a + b) e) x (x + 3) f) 5(x + x 3) g) xy (x 3 x ) h) a(a 1 + b) i) 3x x(x + 1) j) a a (a ). Berechne die folgenden Terme: (x 1)x b) (x 3 + x )x (ab + 3a d) (5a 1)a 3a 4 e) 4x(x + 3)x f) 3x (xy y) 1x 3 g) 3(x + 3y)3x h) ab 3ab 1 6 a b i) 8x 3x x j) (4 + 1 )a + 3a a 5a 3. Fülle die folgende Tabelle aus: x y x 3y x 1 y x 1 x3 4x y y xy Berechne die folgenden Terme: (x + 5)(x 1 5 ) b) ( 1 a + 3)( 1 a + 4) ( 3 4 x + x )(x + 3x ) d) (4a + 1)(a ) e) ( 1 ab + 3)(4ab + 5) f) (3m + mn)( 1 3 m + 5mn) g) (a + ab)(( )a + 3b) h) ( 1 3 xy + 3x)( 1 6 x y + 3) i) (( + 1)x + 3)(4x + ) j) ( 1 ab + cd)(5ab + 3cd) 4 5. Berechne die folgenden Terme: (x + 1 )(x + 4) b) ( 5 x + 3)(x + ) 5x (x + )( 1 x + 3) d) 8a (6a + 3b)( 1 6 a + b) e) ( + 1)x 8x (3x + 6)(7x + ) f) 1(x + 3)(x + 4) 4 5 g) 3x(x + (4 + 1))(x + 5) h) 4 (x + 3x + 1 )(x + ) i) ( 1x + 1 y)(x + y) 3 5

7 6. Berechne die folgenden Terme: (m + 8n)(3m + 9n) + (m + 3)(5m + ) b) 10x x (x + 3)(x + ) (x 6) 3x (8x + 3x ) (1x 3 + x)(x + 1) d) 16a b 8a 3b (4 3a b 10ab) (5a + )(a + ) 7. Vereinfache die folgenden Terme: ( b) ( ( a ) d) ( a ) e) a f) ( a ) 8. Vereinfache die folgenden Terme: ( 5 b) ( 4 ( a 7 ) d) ( a 5 ) e) a 6 f) ( a ) 3 9. Es sei a. Berechne die folgenden Terme: a b) ( ( d) ( e) a f) ( a ) 10. Es sei n N. Berechne und vereinfache die folgenden Terme: (1 x) b) (1 x)(1 + x) (1 x)(1 + x + x ) d) (1 x)(1 + x + x + x 3 ) e) (1 x)(1 + x + x + x 3 + x 4 ) f) (1 x)(1 + x + x + x 3 + x 4 + x 5 ) g) (1 x)(1 + x + x x n 1 ) 11. Berechne die folgenden Terme: (xy + 1)( 1a 1) b) (gh + ( + 1 ))(gh + ) ( 1ab (ab + 4 d) ( ( + 1 ) + u)( 3 + u) 3 e) ( 1 4 u v 3 + )(8 u v 3 ) 6

8 1. Berechne und vereinfache die folgenden Terme: (a + b 1)(a + ) b) (x + y)(x + y 3) (1 + 3v v )( v) d) (x x + 1)(x x + 1) e) (m + mn n)(m + mn + n) f) (6 z z )(1 + z z Berechne und vereinfache die folgenden Terme: (3x + x )( x + 1) + 3x(x ) [x (x + 3x )] b) a(a + 3b)(a b) a 3 3ab(a + 1) 7

9 3 Binomische und trinomische Formeln, Pascal sches Dreieck 3.1 Binomische Formeln (a + b) a + ab + b (1. Binomische Formel) (a b) a ab + b (. Binomische Formel) (a + b) (a b) a b (3. Binomische Formel) 3. Trinomische Formeln (a + b + a + b + c + ab + ac + bc (a + b a + b + c + ab ac bc (a b a + b + c ab ac + bc 3.3 Aufgaben 1. Berechne mittels binomischer Formel: (x + y) b) (x + 3) (x + 1) d) (3ab + ) e) (m + 1 ) f) (x y 3 + x). Berechne mittels binomischer Formel: (x y) b) (x 3) (3x y) d) (ab 3 e) ( 1 3 f) (n m mn) 3. Berechne mittels binomischer Formel: (x + 8) b) (x 3y)(x + 3y) (3ab d) (5x + x ) e) (4m + 10) f) (e 5f)(e + 5f) 4. Weshalb ist (a+b) nicht das gleiche wie a +b? Was muss erfüllt sein, damit Gleichheit gilt? Begründe und mache Beispiele! 8

10 5. Berechne mittels binomischer Formel: (x y)(x + y) b) (x y)(x 1 5 y) (5t 3s)(5t + 3s) d) (x 1 10 y )(x y ) e) (3m + 7 n3 )(3m 7 n3 ) f) (11ghk 1)(11ghk + 1) g) (m n mn) h) (1 ab(1 + ab i) (5a 1 ) j) (x y ) 6. Berechne und vereinfache die folgenden Terme: (x + y) (x y) b) (a + 5)(a 5) (a + 5) (3a + (3a + (3a d) (4m n) (4m + n)(4m n) e) (3a ) (3a + ) 7. Die erste binomische Formel (a + b) a + ab + b lässt sich anhand der folgenden Figur leicht zeigen: a ab a ab a b b b Zeige auch die Richtigkeit der. und 3. binomischen Formel mit Hilfe entsprechender Vierecke. Kann man auch die Trinomische Formel in analoger Weise illustrieren? 8. Überprüfe die Richtigkeit der folgenden Gleichungen: x 3(x + y) + 3(x + y) (x + 3y) b) [(x + 3) + x ] [(x + 1) + (x + ) ] 4 (5x + )(5x ) + x( 5x) + 7 (x + ) (x + 1) 9

11 9. Berechne und vereinfache die folgenden Terme: (x + y + 3z) b) (x y 3z) (ab + a + 3b) d) (4ab a 3b) e) (s + 3.5t 1.5u) f) ( 5t 3s + ) 10. Berechne und vereinfache die folgenden Terme: ( 1x y + 3 ) b) ( x + 1y z) (a ( + 1 )a + 1) d) (a 3 1 a + 1) e) ( a + 3b 1 3 f) ( 1x y 3 ) 11. Berechne die folgenden Terme mit Hilfe des Pascal-Dreiecks: (x + y) 7 b) (x + 3y) 4 (3a 1) 5 d) (3x + ) 4 e) (4xy + 1) 4 f) (a 3b) 5 g) (x y) 6 h) (a 1) 8 1. Berechne die folgenden Terme mit Hilfe des Pascal-Dreiecks: (5s + t) 3 b) ( m) 5 ( a ( 3b)) 3 d) ( 1 + x)5 e) ( a b)3 10

12 Abbildung 1: Blaise Pascal ( ) beschäftigte sich vor allem mit der projektiven Geometrie, mit der Wahrscheinlichkeitsrechnung und dem Prinzip der vollständigen Induktion. Von ihm stammt auch folgendes Bonmot: Hätte der geworfene Stein ein Bewusstsein, er würde sagen, ich fliege, weil ich will. 11

13 4 Faktorzerlegungen (Faktorisierung) 4.1 Einfaches Ausklammern Faktoren, welche in jedem Term einer Summe oder Differenz vorkommen, können ausgeklammert werden. Anders gesagt: bei einer Summe oder Differenz kann der ggt aller Terme ausgeklammert werden. Beispiele: x + y (x + y) ist der ggt der beiden Terme 14a 1a + 8a 3 7a(a 3 + 4a ) 7a(4a + a 3) 7a ist der ggt der drei Terme 1. Faktorisiere die folgenden Terme: 3x 3x b) 13a + 13a a b 3 ab d) 5f + 5g 15fg e) 10mn + 8mn f) 7x + 1xy 14x g) x 3 x 7 h) st s i) 5s + 15s j) 48x 4 y z 36x 3 y 3 z k) x + 4 l) 4abc 16ab + 3ac m) a n) 9x 6 y 4 + 6x 3 y 5 1x 3 y 4. Faktorisiere die folgenden Terme: 30a 18a 3 b) 9a b 45a 4 b 0p + 5pq d) t + 33st 44stu e) 6x 3 + 8x f) ab + ac abc g) e + e h) 45w 36w + 7w 3 i) 0a 30a 3 j) 7xy 14x k) 4xy 16x l) 4st 63tr m) a b n) 6xyz 1abc o) 80w + 88w p) 67s 134s 3 1

14 4. Faktorisierung mittels binomischer Formeln Ist ein Trinom das Quadrat eines Binoms, so können die ersten beiden binomischen Formeln angewendet werden. Ist die Differenz zweier Quadrate gegeben, so kann mittels der dritten binomischen Formel faktorisiert werden. Beispiele: x + x + 1 (x + 1) 9a 1ab + 4b (3a b) 9x 1 (3x + 1)(3x 1) 1. Binomische Formel. Binomische Formel 3. Binomische Formel 1. Faktorisiere die folgenden Terme mit Hilfe der drei binomischen Formeln: x + xy + y b) x + 4x + 4 y + y + 1 d) 4x + 4x + 1 e) a b + abc + c f) 4x 9y g) m 4mn + 4n h) 9a b + 1abc + 4c i) 100x 1 j) 9x 6x + 1 k) 4m n 1mn + 9 l) 9x y 4 4z. Faktorisiere die folgenden Terme mit Hilfe der drei binomischen Formeln: x y b) 18a + 1a + 18t d) 1x 60xy + 75y e) x y + xy + y f) 48a 75b g) a 100am h) 100x 3 0x + x i) a 3 b + a b c + ab 3 c j) 9a a 3 b k) x 4 y 4 l) at 4 a m) 8x 4 y + 8x y + y n) a c 4abc + 4b c o) 5ab 16a 3 p) 144x 4 y z 169x 6 z 3 3. Beweise die folgende Behauptung: 46 1 / P 4. Für jedes n N ist n 3 n durch 6 teilbar. 13

15 4.3 Faktorisierung mit Zweiklammeransatz Zweiklammeransatz: Ist ein Trinom das Produkt zweier Summen oder Differenzen, so kann der Trinom faktorisiert werden. Beispiele: x + 5x + 6 (x + )(x + 3) 4x 10x + 4 (x 1)(x 4) 6a a (a + 1)(3a ) 1. Betrachte das erste Beispiel oben. Der Term ist von der Form x + px + qx. Kann man jeden beliebigen Term, der diese Struktur hat, faktorisieren? Falls nein, suche derartige Beispiele. Was muss im allgemeinen für die Zahlen p und q gelten, damit der Term faktorisiert werden kann? Hinweis: Kann man den Term faktorisieren, so wird er die Form (x + (x + b) haben.. Faktorisiere mittels Zweiklammeransatz: x + 3x + b) y + 5y + 6 y + 7y + 6 d) a + a 6 e) m 11m + 4 f) s + 13s + 1 g) m m 4 h) h + 4h 1 i) x + 7x + 3 j) 3a + 11a + 6 k) 10x + 9x + l) 6m 19m + 10 m) 14a + 7ab + 9b n) 30m + 49m + 0 o) 6n 11n 35 p) 1a + 17ab + b 3. Faktorisiere mittels Zweiklammeransatz: x + 6x + 4 b) a + 6ab + 4b 3m 7m + 60 d) ax + 6ax + 8a e) s t + 1st + 10t f) x 7x 1 g) 4m 4m 168 h) 5an 85an + 150a i) 5x + 5x Ausblick: Versuche die folgende Gleichung zu lösen. Es handelt sich dabei um eine so genannte quadratische Gleichung. Kann man diese nach x auflösen? 3x + 1x Erhöht man eine Zahl um und multipliziert diese mit der um 9 erhöhten Zahl, erhält man 144. Ermittle die ursprüngliche Zahl mittels einer Gleichung. 14

16 4.4 Faktorisierung durch doppeltes Ausklammern Doppeltes Ausklammern: Ist ein Term mit vier Gliedern gegeben, so kann dieser manchmal in ein Produkt von zwei Faktoren umgewandelt werden, indem man zweimal ausklammert. Beispiel: 3x + 3y + ax + ay 3 (x + y) + a (x + y) (x + y) (a + 3) 1. Faktorisiere die folgenden Terme durch doppeltes Ausklammern: a + ab + a + b b) m + mn + 3m + 3n m + 5m + mn + 10n d) ac + ad + bc + bd e) xy 3x + y 6 f) 6x xy + 3x y g) a 11a ab + b h) 3ax 3x + a. Faktorisiere die folgenden Terme durch doppeltes Ausklammern: xy + 6x + 4y + 1 b) x 4 + x 3 + x + x 18ac + 9ad + 1bc + 6bd d) 1x y + 6x + 8xy + 4x e) 6c d + acd 3abd bcd f) a 3 + a a 1 3. Beweise: Für all n {1, 3, 5, 7,...} gilt: n 3 n ist durch 4 teilbar. 4. Beweise: Für alle p P mit p > 5 gilt: p 4 1 ist durch 40 teilbar. 15

17 5 Division 5.1 Vorzeichenregeln a a a : b a : b b b a a : ( b) (a : b) b a b a ( : b (a : b) b a b a a ( : ( b) a : b b b 5. Einfache Divisionen 1. Führe die folgenden Divisionen aus: 18 : 3 b) 18 : 3 18 : ( 3) d) ( 18) : ( 3) e) 136a : f) 136a : a g) ( 4a 4 b) : (6 h) 6xy : ( 1.5x) i) 36a : (9 j) 5x 5 : ( 5x ) 5.3 Division von Summen und Differenzen Der Dividend ist eine Summe, der Divisor ein Faktor Ist der Dividend eine Summe oder eine Differenz und der Divisor ein Faktor, so werden die einzelnen Glieder durch den Divisor geteilt. Beispiele: (35x 3 10x ) : (5x) 7x x (4abc + 40ab 8 : ( 8 3bc 5b + 1 ( 8a 4 4a 3 + a ) : ( 4a 3 a + 0.5a. Führe die folgenden Divisionen aus: (6x + 8) : b) (16ab 8 : ( (14x 3 y + 1xy) : (7xy) d) (81ab 7a ) : (9 e) (15x 3 + 3x) : (3x) f) ( x 33x ) : ( 11x) g) ( 6v v 4 ) : (13v) h) (15t 75t) : ( 5t) i) (4x 3 + 8x 4 ) : ( 4x) j) ( x 6 + 6x 4 8x ) : ( 6x) k) (4a + 63 : ( 1 l) (4a 84a + 105a 3 ) : (1 16

18 5.3. Zähler und Nenner sind Summen oder Differenzen Bislang haben wir nur Divisionen behandelt, bei denen der Divisor ein einzelner Faktor war. Falls der Divisor eine Summe oder eine Differenz ist, so kann die Rechnung auf folgende zwei Arten gelöst werden: Erste Möglichkeit: Die Division wird als Bruch geschrieben, und anschliessend versucht man Zähler und Nenner zu kürzen. Beachte aber, dass Summen und Differenzen nie gekürzt werden dürfen. Zähler und Nenner sind also vor dem Kürzen in Faktoren zu zerlegen. Nur der Dumme kürzt die Summe! Beispiele: x + 8 6x + 0 x 4 x x 6 x + 7x + 3 3x + 8x 3 (x + 4) (3x + 10) x + 4 3x + 10 (x + ) (x ) (x + ) (x 3) x x 3 (x + 3) (x + 1) (x + 3) (3x 1) x + 1 3x 1 1. Vereinfache die folgenden Brüche: b) d) e) f) x + 4 x + 7x 7 x mn + m ma + mb 7x 81 9x 7 x + x x + x + 6x xy + 6y 17

19 . Vereinfache die folgenden Brüche: b) a 1 a + 3a 4 x x x x a + ab + a + b a + 5a + 6 d) e) f) g) h) i) x + 4xy + 3x + 6y x + 4xy + 4y x + 8x + 16 x 3 + x 8x x 6x + 9 x 3 4x + 3x x 4 1 x + 1 8x + 14x + 3 x + 5x + 3 a 3 a + a a 3 + a + a + 18

20 3. Vereinfache die folgenden Brüche: b) d) e) f) g) a b b a a 6a 16 8a a + 4 3a 4a + 4a 15 6a 7a 3 a + a 4 a + 4a 6 m n mnt + t mnc + 3mn tc 3t 4x 5y 4xz 10yz x x 6 x + x h) i) a + 5ab + 6b a + 4b 4x + 10x 4x 3 5x 19

21 Zweite Möglichkeit: Divisionen können mit Hilfe des Divisionsalgorithmus (Polynomdivision) ausdividiert werden: 1. Ordne den Dividenden und den Divisor nach fallenden Potenzen. Dividiere den ersten Summanden des Dividenden durch den ersten Summanden des Divisors. 3. Multipliziere das Ergebnis mit dem Divisor. 4. Subtrahiere das erhaltene Produkt vom Dividenden. 5. Wiederhole die ersten vier Schritte mit dem sich ergebenden Rest. Beispiele: (6x 3-14x + 17x - 1) : (3x - 4) x - x + 3 6x 3-8x 6x + 17x - 1 6x + 8x 9x - 1 9x (6x 3-17x + 1x - 1) : (x - 5) 3x - x x 5 6x 3-15x x + 1x - 1 x + 5x 16x x (Rest) 0

22 1. Löse mit Hilfe des Divisionsalgorithmus: (x 3 + 3x + 4x + ) : (1 + x) b) (a 3 + 9a + 13a + 1) : (3 + (x 4 + x 3 + 4x + 8x + 3) : (x + 1) d) (4a 4 b + a 3 b + 6a + 3a + ab + b) : (a + 1) e) (6a 5 + 5a 4 6a 3 + 6a + 17a + 1) : (3 + f) (16x x + 13x + 7) : (1 + x) g) (81m 3 81m + 7m 6) : (3m ) 1

23 6 Bruchterme und Gleichungen mit Bruchtermen 6.1 Kürzen von Bruchtermen 1. Vereinfache die folgenden Brüche: 4 x + 4 b) 8x x + 6 x + x 3x + x d) ab + a bc + ac e) a + a + 1 a a 3 f) x + x 6 x x g) am + bm + 11a + 11b mx + 11x + m + h) x 3 + x + x + 1 x 4 1 i) 3x + 3x x x j) a + 11a 1 a + ab + 7a + 7b

24 k) 3x 3 + x + 3x x + 5x l) 5x 45 15x + 45 m) m + 14m + 49 m 49 n) 4x + 1x x + 15x o) a + ab 3b a + ab b p) x 6x 55 x 5 q) 14a + ab + 8b 3a + 4ab + b r) 9a + 54a a 7 s) m + mn n m 3mn + n t) x 3 xy x 3 + x y u) x 3 + 8x + 15x x 3 x 1x v) x x 3

25 6. Erweitern von Bruchtermen Bruchterme werden erweitert, indem man Zähler und Nenner des Bruchs mit demselben Faktor, welcher nicht Null sein darf, multipliziert.. Vereinfache die folgenden Brüche: b) d) e) f) x y 6x ab 3c 9cd 3x 4 1x 4 x y 3 3x4 y g) x + y x xy + y h) 5x 5xyz i) x y + 1 y 1 4

26 6.3 Addition von Bruchtermen Bruchterme werden addiert respektive subtrahiert, indem man sie zunächst gleichnamig macht und dann ihre Zähler addiert respektive subtrahiert: a b ± c d ad bd ± cb db ad ± bc bd Beispiele 3x + 1 x x + x 1 x + 5 x 1 Die Nenner müssen vollständig faktorisiert werden: 3x + 1 x x + x 1 x + 5 (x + 1)(x 1) Der gemeinsame Nenner aller Brüche ist das kgv aller Nenner. In diesem Beispiel ist dieser (x + 1)(x 1). Die drei Brüche werden nun so erweitert, dass sie alle diesen gemeinsamen Nenner besitzen: (3x + 1)(x 1) (x + 1)(x 1) + (x + )(x + 1) (x + 1)(x 1) x + 5 (x + 1)(x 1) (3x + 1)(x 1) + (x + )(x + 1) (x + 5) (x + 1)(x 1) Beachte hierbei die Klammer, in die man den Zähler des dritten Bruchs setzen muss. Die Klammern im Zähler können jetzt ausmultipliziert und die Glieder zusammengefasst werden: 3x 3x + x 1 + x + x + x + x 5 (x + 1)(x 1) 4x 4 (x + 1)(x 1) Der Zähler wird in Faktoren zerlegt, anschliessend kann der Bruchterm gekürzt werden: 4(x + 1)(x 1) (x + 1)(x 1) 4 5

27 b) x 4 x + x 6 x 4 x 3x + Die Nenner müssen vollständig faktorisiert werden: x 4 (x + 3)(x ) x 4 (x )(x 1) Der gemeinsame Nenner aller Brüche ist das kgv aller Nenner. In diesem Beispiel ist dieser (x + 3)(x 1)(x ). Die beiden Brüche werden nun so erweitert, dass sie alle diesen gemeinsamen Nenner besitzen: (x 4)(x 1) (x + 3)(x 1)(x ) (x 4)(x + 3) (x + 3)(x 1)(x ) (x 4)(x 1) (x 4)(x + 3) (x + 3)(x 1)(x ) Die Klammern im Zähler können jetzt ausmultipliziert und die Glieder zusammengefasst werden: x 5x + 4 (x x 1) (x + 3)(x 1)(x ) x 5x + 4 x + x + 1) (x + 3)(x 1)(x ) 4x + 16 (x + 3)(x 1)(x ) 4(x 4) (x + 3)(x 1)(x ) 3. Addiere die folgenden Bruchterme: b) a 5 + b 15 5x + 1 x 3 4x x y x x y x xy d) e) f) 1 + x x x 3 1 x x + y x y x y x + y 5x x y + y x 6

28 4. Addiere die folgenden Bruchterme: b) d) 1 x 1 + x 3 x 1 x x x + 3y + 3 8x + 1y 1 6x + 9y x x 8x + 16 x x 7x + 1 x + xy + y xa + xb ya yb x y a + b 5. Addiere die folgenden Bruchterme: b) d) e) f) g) h) 4a a 4 + a + a x + 4 x x + 3x x 4x + 4 x x x x x 15 5 x + 3 y x xy + y + x x y x x 3 4a 8b 16b 8a + 3 a 4b x 9 3x 1 x 5 x x 1 1 x 1 x

29 6. Addiere die folgenden Bruchterme: b) d) a ab + b b a ab + 1 a b 4x + 3 x + x x 3 x x 1 x + 1 m a x a m x + m + a x + a x + 3 x 4 + 3x + 1 x x 4 e) 3x 4y 5 + x + 7y 10 x 7y 1 x y 60 f) g) h) 16x x 3 + x 4x 8 16x x 3 x 4x + 8 8x 4x 4x x 1 5a a + a 6 3 a a 8

30 6.4 Multiplikation von Bruchtermen Bruchterme werden miteinander multipliziert, indem man Zähler mit Zähler und Nenner mit Nenner multipliziert: a b c d ac bd Beispiele x + 6x + 9 x + 6x + 8 3x + 6 3x + 9 Die beiden Zähler und die beiden Nenner werden miteinander multipliziert: (x + 6x + 9) (3x + 6) (x + 6x + 8) (3x + 9) Zähler und Nenner werden in Faktoren zerlegt, anschliessend kann gekürzt werden: (x + 3)(x + 3) 3(x + ) (x + )(x + 4) 3(x + 3) x + 3 x + 4 b) x x + 1 y + xy y x 1 (x x + 1) y (y + xy) (x 1) (x 1)(x 1)y y(x + 1)(x 1) x 1 x Multipliziere die folgenden Bruchterme: (x 9) 3 4x 1 b) d) 3a 5 a 1 x 4 6x 4 9x 7 x 4 a 4a 1 3a a a 49 9

31 8. Multipliziere die folgenden Bruchterme: b) x y 3m 9m x y x + 4x + 4 3y 3 9 9y x + 5x + 6 a b a 4a 8ab + 4b a + ab + b d) 7x y 1x 1y 4x 8xy + 4y 1xy 9. Multipliziere die folgenden Bruchterme: ( a ab b + b ) a b) (x y) ( ) x x y y y x d) ( 1 x + x ) ( x + y ) ( x y ) x x e) f) g) h) ( 1 x + y 1 ) x y ( x ) ( x ) x x ( a 4a ) a 1 ( ) 3 x

32 6.5 Division von Bruchtermen Brüche werden dividiert, indem man den Dividenden mit dem Kehrwert des Divisors multipliziert: a b : c d a b d c ad bc Beispiele a 18 a 4 : a + 3 a 8 Der Dividend wird mit dem Kehrwert des Divisors multipliziert. Anschliessend werden Zähler und Nenner faktorisiert und gekürzt: a 18 a 4 a 8 a + 3 (a 18)(a 8) (a 4)(a + 3) (a + 3)(a 3) (a 4) (a 4)(a + 3) (a 3) 4(a 3) b) 36 mn 1 : 4 m n mn + 1 Wir multiplizieren wiederum den Dividenden mit dem Kehrwert des Divisors. Nach dem Zerlegen wird der Term gekürzt: 36 mn 1 m n mn (mn 1)(mn 1) (mn 1) 4 3(mn 1) 10. Dividiere die folgenden Bruchterme: x xy x + : x y x 4 b) 4x y 3 4z : 7xy z 30a 5 1b 4 : a 3 4b 3 d) (a + b) : a b 31

33 11. Dividiere die folgenden Bruchterme: ) ( 8a b 3 13c : ( ) a4 b 3c 4 b) x 11x + 4 x : (x 3x 40) d) x 4 1 xy y : 5x + 5 x xy x + y a a 1 b : a 4 b b e) x 3 + x y z z : x 3 xy z z 1. Dividiere die folgenden Bruchterme: b) d) ( x + 1 x ) 1 ( 6x 3 x y 6x + 3 ) x + y ( 3 x x ) 3 : ( ) x : : (3 + x) 36x 16 x + y ( ) 5x 9 x + 4x + 4 x + 5x + 6 y Gegeben sind die drei Terme x + 1, x 1, und x 1 x + 1 Berechne das arithmetische Mittel. : 5x 3 xy 3 + y 3 3

34 Doppelbrüche Doppelbrüche werden berechnet, indem man den Zählerbruch mit dem Kehrwert des Nennerbruchts multipliziert: a b c d a b d c ad bc Beispiele x 6y 3 3x 9xy y Der Zählerbruch wird mit dem Kehrwert des Nennerbruchs multipliziert: x 6y 3 y 3x 9xy 4y(x 3y) 9x(x 3y) 4y 9x b) x y x x+y x y x+y y x y x+y Der Zähler und der Nenner des Hauptbruches werden vereinfacht: (x y) x(x+y) (x+y)(x y) (x+y) y(x y) (x+y)(x y) x xy+y x xy (x+y)(x y) (x +xy+y xy+y (x+y)(x y) 3xy+y (x+y)(x y) (x +xy+y (x+y)(x y) Der Zählerbruch wird mit dem Kehrwert des Nennerbruchs multipliziert: 3xy + y (x + y)(x y) (x + y)(x y) 3xy + y y(y 3x) (x + xy + y x + xy + y x + xy + y x a x a a x a+x x a x(a+x) a(a x) (a+x)(a x) (x (a + x)(a x) x(a + x) a(a x) (x (a + x)(a x) x(a + x) a(a x) (x (a + x)(a x) ax + x a + ax (x (a + x)(a x) x + ax a 33

35 14. Vereinfache die folgenden Bruchterme so weit als möglich: a + 1 b 1 b) x 9 x x 8 x 4x+3 4x+8 4a 1 a 4a + d) x x x e) x 4 1 xz z 4x+4 x xz xy+yz f) 5(x y) 3x 3y a g) 5(x y) 3x 3y a 34

36 6.6 Kreuzworträtsel Löse die folgenden Aufgaben bis j) auf einem separaten Blatt. Die Lösungen sind alle ganzzahlig. Schreibe die Lösungen in Worten in das folgende Kreuzworträtsel. Beachte, dass die Umlaute ä, ö und ü als ae, oe und ue geschrieben werden. Die grau unterlegten Buchstaben ergeben in der richtigen Reihenfolge einen berühmten Basler Mathematiker. 4ab c ab c b) 3a 3 a xyza 14xyzb a xza xzb a : y d) ( n m + m) ( n m m) n e) g) 16a a 1 16 m a 1 f) n n+1 n 1 m+mn n 1 10n+10 1 x x x + 3 x + 3x 10 h) 3a 3a b 3a ( 3a b 3a b + 3a b ) i) a + b 3x + 3y (x y) x y a + b j) 11 x 4x 8 4 f e g d b a c j i h 35

37 36

38 6.7 Gleichungen mit Bruchtermen Gleichungen mit Bruchtermen werden gelöst, indem man alle Bruchterme auf einen gemeinsamen Nenner, den sogenannten Hauptnenner, bringt. Anschliessend wird die Gleichung mit dem Hauptnenner multipliziert. Nach dem Kürzen der Bruchterme entsteht eine Gleichung ohne Brüche. Bei Bruchgleichungen sind zudem der Definitionsbereich D und die Lösungsmenge L zu bestimmen. Beispiele 4 x + 1 x + 3 x 4 4 x + 1 x + 3 (x + )(x ) D R \ {, } 4(x + )(x ) x + 1(x + )(x ) x + 3(x + )(x ) (x + )(x ) 4(x + ) + 1(x ) 3 4x x x 48 x 3 L {3} b) Wird eine Gleichung mit dem Hauptnenner multipliziert, so kann sich die Definitionsmenge verändern. Im folgenden Beispiel erhält man zwar eine Lösung, da diese aber nicht in der Definitionsmenge enthalten ist, ist die Lösungsmenge leer. 5 x 1 + x 6 x x 5 x 5 x 1 + x 6 x(x 1) 5 x D R \ {0, 1} 5x(x 1) x 1 + x(x 1)(x 6) x(x 1) 5x(x 1) x 5x + x 6 5(x 1) 6x 6 5x 5 x 1 1 / D L { } 37

39 Beim folgenden Beispiel ist die Lösungsmenge gleich der Definitionsmenge, das heisst die Gleichung stimmt, ausser für die 4, für jede beliebige Zahl aus R. x x 8 + x 6 x 4 3 x (x 4) + x 6 x 4 3 D R \ {4} x (x 4) (x 4) + (x 6) (x 4) x 4 3 (x 4) x + (x 6) 3(x 4) 3x 1 3x L D R \ {4} 15. Bestimme die Definitions- und die Lösungsmenge der folgenden Bruchgleichungen. b) d) e) f) g) h) 5 x 4 1 x 5 9x 1 x 9x x x 6 9 x 3 4x 6x 3 4x 30 78x 78 4x 3 5x 5 + 0x x x 1 x + x + 8 x 4 4 0x 10x 30 4x x 10 0 x 3x x 0 4 x x x 1 x

40 16. Bestimme die Definitions- und die Lösungsmenge der folgenden Bruchgleichungen. b) d) e) f) g) h) 0 x 9 1 x 6x x 5 x 0.8x 5 5 4x 0x x x 1 x ( 1 1 3x 3x 3x 1 ) 0 1 x 14x 9 x 3x 40 3 x x 5 6 x 3 x x 5x x x 16 x x x x + x x x Der Nenner eines Bruches ist um 15 grösser als der Zähler. Der Wert des Bruches beträgt. Berechne den Zähler des Bruches Die Summe der Kehrwerte von zwei aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen ist das Siebenfache der Differenz ihrer Kehrwerte. Wie heissen die beiden Zahlen? 19. Herr Trott arbeitet bei einer grossen Druckerei, welche zwei Druckmaschinen zur Verfügung hat. Um Zeitungen zu drucken, benötigt die erste Maschine vier Stunden. Beide Maschinen zusammen benötigen.4 Stunden. Wie lange benötigt die zweite Maschine alleine, wenn die erste defekt ist? 0. Herr Simp ist Bademeister im Joggeli. Das Bassin für die Kleinkinder kann mit drei Wasserröhren gefüllt werden. Die erste Leitung füllt das Bassin in 0 Minuten, die zweite Leitung benötigt 30 Minuten und die dritte Leitung 40 Minuten. Wie lange dauert es, wenn alle drei Leitungen offen sind? 1. Susi Simp, Theo Trott und Benno Bach möchten wärhend den Ferien eine Solaranlage auf dem Schuhausdach montieren. Susi würde alleine 7 Tage brauchen, Theo alleine 9 Tage und Benno alleine 10 Tage. In welcher Zeit ist die Arbeit fertig, wenn alle zugleich arbeiten und die tägliche Arbeitszeit acht Stunden beträgt? 39

41 7 Wurzeln 7.1 Rechengesetze Wurzeln sind eine spezielle Darstellungsform von Potenzen. Deshalb gelten für Wurzeln die genau gleichen Rechengesetze wie für Potenzen. n ab n a n b n a b n a n b a 1 n n a a 1 n 1 a 1 n 1 n a a z n n a z ( n a ) z n a m a n m a n+m 7. Wurzeln von Zahlen In den beiden folgenden Kapiteln wird gezeigt, wie man Wurzeln von ganzen Zahlen gemäss dem mathematischen Knigge darstellt. Die Relevanz dieser Verfahren ist im Zeitalter des TR zwar gering geworden. Trotzdem werden sie hier aufgezeigt - allein schon, um den Umgang mit Wurzeln zu üben Partielles Radizieren von ganzen Zahlen Radizieren ist der mathematische Fachausdruck für Wurzel ziehen. Ethymologisch gesehen stammt das Wort vom lateinischen radix (die Wurzel) ab, welches auch in Wörtern wie radikal oder Radieschen enthalten ist. Wurzeln von ganzen Zahlen müssen so dargestellt werden, dass die Zahl unter der Wurzel möglichst klein ist. Hierzu wird die Zahl in Primfaktoren zerlegt und so weit als möglich zu Quadratzahlen zusammengefasst

42 1. Vereinfache die folgenden Wurzeln: e) 5 b) d) 4 7 f) 75 g) 800 h) Rationalisierung des Nenners Rationalisieren bedeutet, einen Bruch so zu erweitern, dass aus dem Nenner eine rationale Zahl wird. Zur Erinnerung: die Menge der rationalen Zahlen Q ist die Menge der natürlichen Zahlen, der ganzen Zahlen sowie der Brüche. Fügt man dieser Menge noch die irrationalen Zahlen (z.b. Wurzeln, Pi...) hinzu, so erhält man die reellen Zahlen R. Diese Menge wird später dann später nochmals zu den komplexen Zahlen C (z.b. 1 ) erweitert. Der Vorteil eines Bruchs mit rationalem Nenner ist, dass man sich dessen ungefähren Wert besser vorstellen kann. Man weiss, dass etwa 1.4 ist. Was aber 1/ ist kann sich niemand vorstellen. Weiss man aber, dass 1/ / ist, so weiss man sofort, dass dies etwa 0.7 sein muss. Der Nenner eines Bruchs sollte nach Möglichkeit eine rationale Zahl sein. Hierzu wird der Bruch geeignet erweitert. Im zweiten Beispiel wird der Nenner so erweitert, dass man die 3. Binomische Formel verwenden kann ( ) (1) Rationalisiere die Nenner der folgenden Brüche: 1 10 b) d) 10 e) f) g) i) h) k)

43 7.3 Höhere Wurzeln Einführung Bisher wurden nur ganzzahlige Potenzen betrachtet: Müssen Potenzen immer ganzzahlig sein? Was für einen Sinn könnte eine Zahl wie beispielsweise 1 ergeben? Bennen wir diese unbekannte Zahl mit x, so können wir folgende Gleichung schreiben: 1 x Diese Gleichung lässt sich wie folgt umformen: x 1 ( ) ( Gleichung quadrieren ) x 1 x ( 1 ) x 1 x x Vernachlässigen wir die negative Lösung 1, so erhalten wir: 1 Die allgemeine Regel dazu lautet: a 1 n n a und a 1 n 1 a 1 n 1 n a 3. Schreibe die folgenden Wurzeln als Potenzen: 3 b) d) 10 e) 4 x f) 1 3 a g) x x h) 1 5 i) 1 8 k) Eigentlich würde die Lösung x ± lauten. Die negative Lösung ist durch das Quadrieren (keine Äquivalenzumformung!) im ersten Schritt hinzugekommen und ist hier nicht relevant. 4

44 4. Schreibe die folgenden Potenzen als Wurzeln und vereinfache so weit als möglich: 3 1 b) d) x 1 3 e) f) a 1 x g) x a y h) a b c 7.3. Wurzeln mit Potenzen verschachtelt Wir wissen, was 1 bedeutet. Was aber ist beispielsweise 3? Die Antwort erhält man durch anwenden der Rechengesetze für Potenzen: ( ) ( ) Die allgemeine Regel lautet hier: a z n n a z ( n a ) z und a z n 1 a z n 1 n a z Man sieht ebenfalls, dass Wurzeln und Potenzen vertauschen, da sie der gleichen Hierarchiestufe ( Potenz vor Punkt vor Strich ) angehören: n az ( n a ) z Das gilt natürlich auf jeder Hierarchiestufe. Dort gilt ja auch, dass ist, oder dass (10 6) : 3 10 (6 : 3) ist. Die Wurzelschreibweise ist zur Potenzschreibweise völlig äquivalent. Typischerweise wird erstere nur für Quadrat- und Kubikwurzeln (. und 3. Wurzel) angewendet, da das Rechnen mit höheren Wurzeln in Potenzschreibweise wesentlich einfacher ist als in Wurzelschreibweise. Betrachten wir dazu ein einfaches Beispiel. Was ergibt ? Wir rechnen mit Potenzen: Ein Resultat, welches die meisten wohl kaum so erwartet hätten! Allgemein gilt n a m a a n a m a n m a n m m + 1 m n n a m nm + n nm n+m a nm n m a n+m 5. Es gibt Potenzen mit Brüchen als Exponent. Gibt es auch Wurzeln, bei denen der Wurzelexponent (die Zahl über der Wurzel) ein Bruch ist? Macht so etwas wie die halbe Wurzel aus x 1/ x einen Sinn? Versuche durch anwenden der bekannten Rechengesetze selber eine Antwort zu finden! 43

45 6. Schreibe die folgenden Wurzeln als Potenzen und vereinfache so weit als möglich: 3 x b) 10 a 5 d) x3 3 a9 e) a7 f) 10 q 3 7. Schreibe die folgenden Potenzen als Wurzeln: b) d) 1 3 e) a f) x Multipliziere die folgenden Wurzeln. Schreibe das Resultat als Wurzel und als Potenz. 8 b) x 5 x d) 3 x x 3 e) 3 x 5 y f) 3 a 3 a 7.4 Wurzelgleichungen Betrachten wir zum Einstieg folgendes einfaches Beispiel: x 3 Durch einfaches quadrieren der Gleichung wird man die Wurzel nicht los, denn quadrieren einer Gleichung bedeutet, dass man die ganze linke resp. rechte Seite quadrieren muss: x 3 (quadrieren) ( x 3 ) ( x ) 6 x + ( 3) 4 x 6 x Damit erreichen wir also bloss eine Verkomplizierung der Gleichung. Wollen wir die Wurzel los werden, so müssen wir erreichen, dass sie vor dem Quadrieren alleine auf einer Seite der Gleichung steht. Dieses Verfahren nennt man Isolieren der Wurzel. Es ist der Schlussel zur Lösung vieler Wurzelgleichungen: x 3 +3 x 5 quadrieren ( x ) 5 x 5 44

46 7.4.1 Quadrieren ist keine Äquivalenzumformung Wie wir schon weiter oben im Kapitel 7.3 gesehen haben, ist Quadrieren keine Äquivalenzumformung. Das bedeutet, dass bei Wurzelgleichungen Lösungen hinzukommen können. Ob diese alle auch tatsächlich Lösungen darstellen, muss durch einsetzen der Lösung(en) in die ursprüngliche Gleichung getestet werden. Dieser Sachverhalt wird anhand des folgenden Beispiels deutlich: x + 4 ( x + ) ( 4) x + 16 x 14 Einsetzen der Lösung in die ursprüngliche Gleichung ergibt: Die ursprüngliche Gleichung hat somit keine Lösung. Dies hätte man schon vor dem Lösen erkennen können, da auf der linken Seite eine Wurzel und auf der rechten eine negative Zahl steht und eine Wurzel nicht negativ sein kann. Wichtige Anmerkung: In der Mathematik ist die Wurzel einer (positiven!) Zahl immer eine positive Zahl. Beispielsweise ist 4 oder Das Plus oder Minus (±) ist nur beim Lösen von Gleichungen relevant: x 4 x ± 9. Bestimme die Definitions- und Lösungsmengen der folgenden Wurzelgleichungen: b) d) e) f) g) h) x x x 1 3 3x 7 5 x x 5 3 x x + 11 x x + 8 x 4 x

47 i) j) x 1 x x + x k) x + 5 x 0 l) x 5 x 0 m) n) o) 4x + x x x x 4x + 9 3x 5 46