Mathematischer Vorkurs MATH

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1 Mathematischer Vorkurs MATH ( ) AOR Dr. Andreas Langer WS Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 1 / 254

2 Kapitel 1 Mengen Kapitel 1 Mengen Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 2 / 254

3 Kapitel 1 Mengen Definition 1.1 (Menge) Unter einer Menge verstehen wir eine Zusammenfassung von Objekten zu einem Ganzen. Diese Objekte heißen dann Elemente der Menge. Beschreibung von Mengen durch Aufzählen aller Elemente mit Mengenklammern {...}.... Angabe einer Eigenschaft E, die dieelementebeschreibt: {x x hat die Eigenschaft E} Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 3 / 254

4 Kapitel 1 Mengen Beispiele: Die Menge der natürlichen Zahlen := {1, 2, 3,...}. Die Menge der natürlichen Zahlen mit Null 0 := {0, 1, 2, 3,...}. Für alle natürlichen Zahlen k>0 definieren wir k := {k, k +1,k+2,...}. Die Menge der ganzen Zahlen: := {..., 2, 1, 0, 1, 2,...}. Die Menge dernrationalen Zahlen als Menge der (gekürzten) a o Brüche: := b a, b ganze Zahlen und b>0. Die Menge der reellen Zahlen:. Die Menge der nicht negativen reellen Zahlen: + = {x 2 x>0}. Die Menge der komplexen Zahlen:. Die leere Menge ; ist die Menge, die kein Element enthält. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 4 / 254

5 Kapitel 1 Mengen Schreibweisen: Ist a ein Element der Menge M, soschreibenwirkurza2m. Ist a kein Element der Menge M, soschreibenwirkurza62 M. Beispiel: 1 2, 2 2,aber Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 5 / 254

6 Kapitel 1 Mengen Definition 1.2 (Mengenoperationen) Es seien M und N Mengen. 1. Die Vereinigungsmenge M [ N ist die Menge der Elemente, die in M oder in N enthalten sind. Also M [ N = {x x 2 M oder x 2 N}. 2. Die Schnittmenge M \ N ist die Menge der Elemente, die in M und in N enthalten sind. Also M \ N = {x x 2 M und x 2 N}. 3. M heißt Teilmenge von N, wennalleelemente,dieinm enthalten sind, auch in N enthalten sind. Wir schreiben dann M N oder N M. 4. Die Di erenzmenge N \ M ist die Menge der Elemente, die in N enthalten sind, aber nicht in M. Also N \ M := {x x 2 N und x 62 M}. 5. Ist M N so ist das Komplement von M (bezüglich N) durch M c := {x x 2 N und x 62 M} definiert. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 6 / 254

7 Kapitel 1 Mengen Bemerkung 1.3 Es gilt in jedem Fall: ; M M. In 4. muss M keine Teilmenge von N sein. Ist zum Beispiel M \ N = ;, soistn \ M = N und M \ N = M. Ist aber M N, soistn \ M = M c und M \ N = ;. Zwei Mengen M und N sind gleich, wenn die eine jeweils eine Teilmenge der anderen ist. Also M = N genau dann, wenn M N und N M. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 7 / 254

8 Kapitel 1 Mengen Graphisch kann man die Mengenoperationen gut mit Hilfe von Venn-Diagrammen darstellen: M N N M M N M N N N M M M N M \ N Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 8 / 254

9 Kapitel 1 Mengen Satz 1.4 (Rechenregeln für Mengenoperationen) 1 M [ N = N [ M und M \ N = N \ M. 2 (M [ N) [ P = M [ (N [ P ) und (M \ N) \ P = M \ (N \ P ). 3 M [ (N \ P )=(M [ N) \ (M [ P ). 4 M \ (N [ P )=(M \ N) [ (M \ P ). 5 (M c ) c = M. 6 (M [ N) c = M c \ N c und (M \ N) c = M c [ N c. 7 M \ N = M [ N \ (M \ N) [ (N \ M). 8 (M \ N) [ (N \ M) =(M [ N) \ (M \ N). Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 9 / 254

10 Kapitel 1 Mengen Definition 1.5 (Kartesisches Produkt) 1. Das kartesische Produkt zweier Mengen M und N wird mit M N bezeichnet und enthält als Elemente die geordneten Paare (m, n) mit m 2 M und n 2 N. Also: M N = {(m, n) m 2 M und n 2 N}. Ist M G 1 und N G 2 so kann man das kartesische Produkt wie folgt darstellen: G 2 N M x N M G 1 Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 10 / 254

11 Kapitel 1 Mengen Definition 1.5 [cont.] 2. Das kartesische Produkt mehrerer Mengen M 1,...,M k wird analog mit Hilfe geordneter k-tupel definiert: M 1 M 2... M k = {(m 1,m 2,...,m k ) m 1 2 M 1 und m 2 2 M 2 und... und m k 2 M k }. 3. Stimmen die Mengen überein, so schreiben wir auch M 2 = M M, M 3 = M M M, usw. Bemerkung 1.6 Als Mengen stimmen M N und N M i.a. nicht überein. Als Mengen stimmen (M N) P und M N P und M (N P ) i.a. nicht überein. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 11 / 254

12 Kapitel 1 Mengen Definition 1.7 (Quantoren) Ist A eine Eigenschaft, die für die Elemente einer Menge M sinnvoll ist, so schreiben wir 8x 2 M : A(x), wenn jedes Element aus M die Eigenschaft A hat. In Worten: für alle x 2 M gilt A(x). Wir schreiben 9x 2 M : A(x), wenn es mindestens ein Element aus M gibt, das die Eigenschaft A hat. Inn Worten: es gibt ein x 2 M mit A(x). Beispiel: Das kartesische Produkt von k Mengen lässt sich wie folgt schreiben: M 1... M k = (m 1,...,m k ) 8i 2{1,...,k} : m i 2 M i. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 12 / 254

13 Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 13 / 254

14 Uns bisher bekannte Zahlenbereiche sind ( ). {z } später Definition 2.1 (Rationale und irrationale Zahlen) 1 ist die Menge der Dezimalbrüche. 2 ist die Menge der abbrechenden oder periodischen Dezimalbrüche. Dabei wird allerdings die Periode 9 ausgeschlossen, indem man die Zahl n, a 1 a 2...a k 1 a k 9 mit der Zahl n, a 1 a 2...a k 1 b k identifiziert mit b k = a k +1.Dabeiistn2 0, a 1,a 2,...,a k 1 2{0, 1,...,9}, a k 2{0, 1,...,8}. 3 Die Elemente der Menge \,also die nicht-abbrechenden und nicht-periodischen Dezimalbrüche, heißen irrationale Zahlen. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 14 / 254

15 Beispiele irrationaler Zahlen: Die Länge der Diagonale eines Quadrates der Seitenlänge 1 ist irrational. Diese Länge ist p 2=1, Der Umfang eines Kreises mit Durchmesser 1 ist irrational. Diese Länge ist =3, Die Eulersche Zahl e = 2, ist irrational. Definition 2.2 (Rechenoperationen) Sind x, y 2 so sind die Rechenoperationen x + y, x y, xy und für y 6= 0auch x y erklärt. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 15 / 254

16 Satz 2.3 (Rechenregeln) 1. x + y = y + x und xy = yx (Kommutativgesetze) 2. x +(y + z) =(x + y)+z und x(yz) =(xy)z (Assoziativgesetze) 3. x(y + z) = xy + xz (Distributivgesetz) Als direkte Konsequenz erhalten wir die drei Binomischen Formeln 4. (a + b) 2 = a 2 +2ab + b 2, (a b) 2 = a 2 2ab + b 2 und (a + b)(a b) =a 2 b 2. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 16 / 254

17 Definition 2.4 (Kurzschreibweisen für Summen und Produkte) Sind m, n 2 0 mit m apple n und a m,a m+1,...,a n 2,soschreibenwir nx 1. a k = a m + a m a n und 2. k=m ny a k = a m a m+1... a n k=m Dabei kann der Laufindex eine beliebige Variable sein, etwa nx nx a k = a j. k=m j=m Es gelten die folgenden Vereinbarungen, wenn m>nist: nx a k =0 k=m und ny a k =1. k=m Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 17 / 254

18 Rechenregeln und Beispiele: a nx a k = k=m nx a k + k=m ny a k k=m nx (a a k ) k=m nx b k = k=m ny b k = k=m nx (a k + b k ) und k=m ny (a k b k ). k=m Indexverschiebung: nx a k = k=m Arithmetische Summenformel: geometrische Summenformel: Zahl q 6= 1. Xn+t k=m+t k=0 a k t. nx n(n + 1) k =. 2 k=1 nx q k = 1 qn+1 für eine reelle 1 q Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 18 / 254

19 Definition 2.5 (Potenzen) Für a 2 und n 2 0 setzen wir: a n := ny a. Insbesondere gilt also a 0 =1und 0 0 =1,aber0 n =0für n>0. Für a 2 \{0} und n 2 0 setzen wir a n := 1 a n. a 2 heißt die Basis und n 2 der Exponent der Potenz a n. Satz 2.6 (Potenzregeln) Für n, m 2 gilt 1 a m a n = a n+m und a n b n =(ab) n sowie 2 (a m ) n = a mn, falls die Ausdrücke definiert sind. k=1 Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 19 / 254

20 Definition 2.7 (Quadratwurzel) Sind a, b 2 und b 2 = a, sodefinierenwir p (b falls b 0, a := b falls b<0. Die stets nicht-negative Zahl p a heißt Quadratwurzel von a. Satz 2.8 (Existenz der Quadratwurzel) Die Gleichung x 2 = a besitzt für a<0 keine reelle Lösung,... für a =0die eindeutige (reelle) Lösung x =0und... für a>0 die zwei (reellen) Lösungen x 1 = p a und x 2 = p a. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 20 / 254

21 Der Satz 2.8 lässt sich noch verallgemeinern: Satz 2.9 (Höhere Wurzeln) 1 Ist n eine natürliche ungerade Zahl, dann hat die Gleichung x n = a genau eine reelle Lösung und diese bezeichnen wir mit x = np a. 2 Ist n eine natürliche gerade Zahl, dann hat die Gleichung x n = a für a<0 keine reelle Lösung,... für a =0die eindeutige (reelle) Lösung x =0und... für a>0 die zwei reellen Lösungen, die wir mit x 1 = np a und x 2 = np a bezeichnen. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 21 / 254

22 Bemerkung 2.10 Wir setzen nun a 1 n := np a für a 0, n 2,unddefinieren(!) a m n := a 1 n m. Dann kann man zeigen, dass die Rechenregeln aus Satz 2.6 weiterhin gültig bleiben. Somit haben wir das Potenzieren von ganzen auf rationale Exponenten erweitert. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 22 / 254

23 Satz 2.11 (pq-formel) Es sei D := p 2 4q. DannbesitztdiequadratischeGleichung x 2 + px + q = die eindeutige (reelle) Lösung x = p falls D =0, 2... die zwei (reellen) Lösungen x 1 = p + p D und x 2 = p p D, 2 2 falls D>0, und... keine reelle Lösung, falls D<0. Die Zahl D heißt Diskriminante der quadratischen Gleichung. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 23 / 254

24 Definition 2.12 (Fakultät und Binominalkoe zient) 1 Für natürliche Zahlen n 2 0 ist die Fakultät definiert als n! := ny k. k=1 Also gilt insbesondere 0! = 1 und (n + 1)! = n! (n + 1). 2 Für zwei natürliche Zahlen k, n 2 0 mit k apple n ist der Binomialkoeffizient definiert als n n! n(n 1) (n k + 1) := = k k!(n k)! k! Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 24 / 254

25 Satz 2.13 (Eigenschaften der Binomialkoe zienten) n n n n = =1 und =. 0 n k n k n n n +1 + = (Additionstheorem). k k +1 k +1 Begründung: Es ist = = n n + k k +1 n!(k + 1) (k + 1)!(n k)! + n!(n k) (k + 1)!(n k)! (n + 1)! (k + 1)!(n +1 (k + 1))! = = n +1 k +1 n! k!(n k)! + n! (k + 1)!(n k 1)! n!(k +1+n k) = (k + 1)!(n k)! Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 25 / 254

26 Wegen des Additiontheorems lassen sich die Binomialkoe Pascalschen Dreieck anordnen: n k n zienten im Satz 2.14 (Binomischer Lehrsatz) Für x, y 2 und n 2 0 gilt (x + y) n = nx k=0 n x k y n k k Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 26 / 254