Mathematischer Vorkurs (2018)

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1 Mathematischer Vorkurs (2018) Skript für die Natur- und Ingenieurwissenschaften Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2018) Seite 1 / 141

2 Mengen Kapitel 1 Mengen Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2018) Seite 2 / 141

3 Mengen 1.1 Definition: Mengen Unter einer Menge verstehen wir eine Zusammenfassung von Objekten zu einem Ganzen. Diese Objekte heißen dann Elemente der Menge. Beschreibung von Mengen durch Aufzählen aller Elemente mit Mengenklammern {...}.... Angabe einer Eigenschaft E, die die Elemente beschreibt: {x x hat die Eigenschaft E} Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2018) Seite 3 / 141

4 Mengen Beispiele: Die Menge der natürlichen Zahlen N := {1, 2, 3,...}. Die Menge der natürlichen Zahlen mit Null N 0 := {0, 1, 2, 3,...}. Für alle natürlichen Zahlen k > 0 definieren wir N k := {k, k + 1, k + 2,...}. Die Menge der ganzen Zahlen: Z := {..., 2, 1, 0, 1, 2,...}. Die Menge { der rationalen Zahlen als Menge der (gekürzten) Brüche: a } Q := a, b ganze Zahlen und b > 0. b Die Menge der reellen Zahlen: R. Die Menge der nicht negativen reellen Zahlen: R + = {x R x > 0}. Die Menge der komplexen Zahlen: C. Die leere Menge ist die Menge, die kein Element enthält. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2018) Seite 4 / 141

5 Mengen Schreibweisen: Ist a ein Element der Menge M, so schreiben wir kurz a M. Ist a kein Element der Menge M, so schreiben wir kurz a M. Beispiel: 1 N, 2 Z aber 3 N. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2018) Seite 5 / 141

6 Mengen 1.2 Definition: Mengenoperationen Es seien M und N Mengen. 1. Die Vereinigungsmenge M N ist die Menge der Elemente, die in M oder in N enthalten sind. Also M N = {x x M oder x N}. 2. Die Schnittmenge M N ist die Menge der Elemente, die in M und in N enthalten sind. Also M N = {x x M und x N}. 3. M heißt Teilmenge von N, wenn alle Elemente die in M enthalten sind auch in N enthalten sind. Wir schreiben dann M N oder N M. 4. Die Differenzmenge N \ M ist die Menge der Elemente, die in N enthalten sind, aber nicht in M, also N \ M := {x x N und x M}. 5. Ist M N so ist das Komplement von M (bezüglich N) durch M c := {x x N und x M} definiert. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2018) Seite 6 / 141

7 Mengen 1.3 Bemerkung Es gilt in jedem Fall M M. In 4. muss M keine Teilmenge von N sein. Ist zum Beispiel M N =, so ist N \ M = N und M \ N = M. Ist aber M N so ist N \ M = M c und M \ N =. Zwei Mengen M und N sind gleich, wenn die eine jeweils eine Teilmenge der anderen ist. Also M = N genau dann, wenn M N und N M. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2018) Seite 7 / 141

8 Mengen 1.4 Satz: Rechenregeln für Mengenoperationen 1 M N = N M und M N = N M. 2 (M N) P = M (N P ) und (M N) P = M (N P ). 3 M (N P ) = (M N) (M P ). 4 M (N P ) = (M N) (M P ). 5 (M c ) c = M. 6 (M N) c = M c N c und (M N) c = M c N c. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2018) Seite 8 / 141

9 Mengen 1.5 Definition: Kartesisches Produkt 1. Das kartesische Produkt zweier Mengen M und N wird mit M N bezeichnet und enthält als Elemente die geordneten Paare (m, n) mit m M und n N. Also: M N = {(m, n) m M und n N}. Ist M G 1 und N G 2 so kann man das kartesische Produkt wie folgt darstellen: G 2 N M x N M G 1 Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2018) Seite 9 / 141

10 Mengen 1.5 Definition: Kartesisches Produkt[cont.] 2. Das kartesische Produkt mehrerer Mengen M 1,..., M k wird analog definiert. Z.B. ist R 3 = R R R = {(x, y, z) x, y, z R} Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2018) Seite 10 / 141

11 Mengen 1.6 Definition: Quantoren Ist A eine Eigenschaft, die für die Elemente einer Menge M sinnvoll ist, so schreiben wir x M : A(x), wenn jedes Element aus M die Eigenschaft A hat in Worten: für alle x M gilt A(x) und x M : A(x), wenn es mindestens ein Element aus M gibt, das die Eigenschaft A hat in Worten: es gibt ein x M mit A(x). Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2018) Seite 11 / 141

12 Zahlen Kapitel 2 Zahlen Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2018) Seite 12 / 141

13 Zahlen Uns bisher bekannte Zahlenbereiche sind N Z Q R ( C). }{{} später 2.1 Definition: Rationale und irrationale Zahlen 1. R ist die Menge der Dezimalbrüche. 2. Q ist die Menge der abbrechenden oder periodischen Dezimalbrüche. Dabei wird allerdings die Periode 9 ausgeschlossen, indem man die Zahl n, a 1 a 2... a k 1 a k 9 mit der Zahl n, a 1 a 2... a k 1 b k identifiziert mit b k = a k + 1. Dabei ist n N 0, a 1, a 2,..., a k 1 {0, 1,..., 9}, a k {0, 1,..., 8}. 3. Die Elemente der Menge R \ Q, also die nicht-abbrechenden und nicht-periodischen Dezimalbrüche, heißen irrationale Zahlen. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2018) Seite 13 / 141

14 Zahlen Beispiele irrationaler Zahlen: 1. Die Länge der Diagonale eines Quadrates der Seitenlänge 1 ist irrational. Diese Länge ist 2 = 1, Der Umfang eines Kreises mit Durchmesser 1 ist irrational. Diese Länge ist π = 3, Die Eulersche Zahl e = 2, ist irrational. 2.2 Definition: Rechenoperationen Sind x, y R so sind die Rechenoperationen x + y, x y, xy und für y 0 auch x y erklärt. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2018) Seite 14 / 141

15 Zahlen 2.3 Satz: Rechenregeln 1. x + y = y + x und xy = yx (Kommutativgesetze) 2. x + (y + z) = (x + y) + z und x(yz) = (xy)z (Assoziativgesetze) 3. x(y + z) = xy + xz (Distributivgesetz) Als direkte Konsequenz erhalten wir die drei Binomischen Formeln 4. (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2, (a b) 2 = a 2 2ab + b 2 und (a + b)(a b) = a 2 b 2. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2018) Seite 15 / 141

16 Zahlen 2.4 Definition: Kurzschreibweisen für Summen und Produkte Sind m, n N 0 mit m n und a m, a m+1,..., a n R so schreiben wir n 1. a k = a m + a m a n und 2. k=m n a k = a m a m+1... a n k=m Dabei kann der Laufindex eine beliebige Variable sein, etwa n n a k = a j. k=m j=m Es gelten die folgenden Vereinbarungen wenn m > n ist n a k = 0 k=m und n a k = 1 k=m Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2018) Seite 16 / 141

17 Zahlen Rechenregeln und Beispiele: a n a k = k=m n a k + k=m n a k k=m n (a a k ) k=m n b k = k=m n b k = k=m Indexverschiebung: n (a k + b k ) und k=m n (a k b k ). k=m n a k = k=m Arithmetische Summenformel: geometrische Summenformel: q 1. n+t k=m+t a k t. n k = k=1 n k=0 n(n + 1). 2 q k = 1 qn+1 1 q für eine reelle Zahl Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2018) Seite 17 / 141

18 Zahlen 2.5 Definition: Potenzen Für a R und n N 0 setzen wir a n := n a. k=1 Insbesondere gilt also a 0 = 1 und 0 0 = 1 aber 0 n = 0 für n > 0. Für a R \ {0} und n N 0 setzen wir a n := 1 a n. a R heißt die Basis und n Z der Exponent der Potenz a n. 2.6 Potenzregeln Für n, m Z gilt: 1 a m a n = a n+m und a n b n = (ab) n sowie 2 (a m ) n = a mn falls die Ausdrücke definiert sind. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2018) Seite 18 / 141

19 Zahlen 2.7 Definition: Quadratwurzel Sind a, b R und b 2 = a so definieren wir {b falls b 0 a := b falls b < 0 Die stets nicht-negative Zahl a heißt Quadratwurzel von a. 2.8 Existenz der Quadratwurzel Die Gleichung x 2 = a besitzt für a < 0 keine reelle Lösung,... für a = 0 die eindeutige (reelle) Lösung x = 0 und... für a > 0 die zwei (reellen) Lösungen x 1 = a und x 2 = a. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2018) Seite 19 / 141

20 Zahlen Der Satz 2.8 lässt sich noch verallgemeinern: 2.9 Satz: Höhere Wurzeln 1 Ist n eine natürliche ungerade Zahl, dann hat die Gleichung x n = a genau eine reelle Lösung und diese bezeichnen wir mit x = n a. 2 Ist n eine natürliche gerade Zahl mit n 0, dann hat die Gleichung x n = a für a < 0 keine reelle Lösung,... für a = 0 die eindeutige (reelle) Lösung x = 0 und... für a > 0 die zwei reellen Lösungen, die wir mit x 1 = n a und x 2 = n a bezeichnen. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2018) Seite 20 / 141

21 Zahlen 2.10 Bemerkung Wir setzen nun a 1 n := n a für a 0 und n 0, und definieren(!) a m n := ( ) a 1 n m. Dann kann man zeigen, dass die Rechenregeln aus Satz 2.6 weiterhin gültig bleiben. Somit haben wir das Potenzieren von ganzen auf rationale Exponenten erweitert. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2018) Seite 21 / 141

22 Zahlen 2.11 Satz: p-q-formel Es sei D := p 2 4q. Dann besitzt die quadratische Gleichung x 2 + px + q = die eindeutige (reelle) Lösung x = p falls D = 0, 2... die zwei (reellen) Lösungen x 1 = p + D und x 2 = p D 2 2 falls D > 0, und... keine reelle Lösung falls D < 0. Die Zahl D heißt Diskriminante der quadratischen Gleichung. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2018) Seite 22 / 141

23 Zahlen 2.12 Definition: Fakultät und Binomialkoeffizient 1 Für natürliche Zahlen n N 0 ist die Fakultät definiert als n! := n k. k=1 Also gilt insbesondere 0! = 1 und (n + 1)! = n! (n + 1). 2 Für zwei natürliche Zahlen k, n N 0 mit k n ist der Binomialkoeffizient definiert als ( ) n n! n(n 1) (n k + 1) := = k k!(n k)! k! Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2018) Seite 23 / 141

24 Zahlen 2.13 Satz: Eigenschaften der Binomialkoeffizienten ( ) ( ) ( ) ( ) n n n n = = 1 und =. 0 n k n k ( ) ( ) ( ) n n n = (Additionstheorem). k k + 1 k + 1 Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2018) Seite 24 / 141

25 Zahlen Wegen des Additiontheorems lassen sich die Binomialkoeffizienten im Pascalschen Dreieck anordnen: ( n k) n Binomischer Lehrsatz Für x, y R und n N 0 gilt (x + y) n = n k=0 ( ) n x k y n k k Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2018) Seite 25 / 141

26 Ordnung und Betrag Kapitel 3 Ordnung und Betrag Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2018) Seite 26 / 141

27 Ordnung und Betrag 3.1 Definition: Ordnung Jede reelle Zahl x hat genau eine der folgenden drei Eigenschaften: x < 0 (negativ), x = 0 (Null) und x > 0 (positiv). Wir definieren x > y durch x y > 0 und x y durch x y > 0 oder x y = 0. Analog werden x < y und x y definiert. Damit gilt für alle x, y R entweder(!) x < y oder x = y oder x > y. Die Zeichen,, <, > und = heißen Ordnungszeichen. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2018) Seite 27 / 141

28 Ordnung und Betrag Mit Hilfe der Ordnungszeichen definieren wir spezielle Teilmengen von R. Seien dazu a, b R mit a < b. 3.2 Definition: Intervalle Beschränkte Intervalle [a, b] := {x R a x b} (Abgeschlossenes Intervall, auch a = b möglich). ]a, b[ := {x R a < x < b} (Offenes Intervall). [a, b[ := {x R a x < b} oder ]a, b] := {x R a < x b} (Halboffene Intervalle). Unbeschränkte Intervalle: [a, [ := {x R a x} und ], b] := {x R x b} ]a, [ := {x R a < x} und ], b[ := {x R x < b} ], [ := R Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2018) Seite 28 / 141

29 Ordnung und Betrag 3.3 Rechenregeln Es seien x, y, z R. Dann gilt 1 Ist x < y und y < z, dann gilt x < z. 2 Ist x y und y x, so ist x = y. 3 Ist x < y dann ist x + z < y + z. 4 Ist x > 0 und y > 0, so ist auch xy > 0. 5 Ist z > 0 und x < y, so ist xz < yz. 6 Ist z < 0 und x < y, so ist xz > yz. 7 Ist 0 < x < y, so gilt 1 x > 1 y > 0. 8 Ist 0 x y, so gilt x 2 y 2. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2018) Seite 29 / 141

30 Ordnung und Betrag Aus den Rechenregeln 3.3 folgt: 3.4 Satz: Vorzeichen von Produkten Es seien x 1,..., x n R. Dann gilt: n x i = 0 ist gleichbedeutend damit, dass es mindestens ein i=1 j {1,..., n} gibt mit x j = 0. n x i 0 ist gleichbedeutend damit, dass nur eine gerade Anzahl der i=1 Faktoren x j negativ ist. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2018) Seite 30 / 141

31 Ordnung und Betrag Die Rechenregeln 3.3 liefern für das Rechnen mit Ungleichungen: 3.5 Bemerkung Die Lösungsmenge einer Ungleichung ändert sich nicht, wenn wir auf beiden Seiten eine Zahl addieren.... mit einer positiven Zahl multiplizieren.... eine streng monoton steigende Funktion anwenden. (Genaueres dazu folgt später.) Beispiele streng monotoner Funktionen: Die Wurzelfunktion auf [0, [. Potenzfunktion mit ungeradem Exponenten auf R und mit geradem Exponenten auf [0, [. Die Exponentialfunktion auf R und die Logarithmusfunktion auf (0, ). Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2018) Seite 31 / 141

32 Ordnung und Betrag 3.6 Definiton: Betrag Der Betrag einer reellen Zahl x ist definiert als der Abstand zu 0 und wird mit x bezeichnet. Also { x falls x 0 x := x falls x < 0 Für x, y R ist x y der Abstand von x und y. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2018) Seite 32 / 141

33 Ordnung und Betrag 3.7 Eigenschaften des Betrags 1. x = 0 ist gleichbedeutend mit x = x = x. 3. x x x mit Gleichheit an genau einer Stelle, wenn x xy = x y. 5. x + y x + y. 6. x y x y. 7. x 2 = x. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2018) Seite 33 / 141

34 Ordnung und Betrag 3.8 Satz: Quadratische Ungleichungen Es gilt x 2 + px + q < 0 ( x + p ) 2 D < 2 4, wobei D = p 2 4q die Diskriminante ist. Ist D < 0 so hat die Ungleichung keine reelle Lösung. Für D 0 gilt x 2 + px + q < 0 x + p D < 2 2. Außerdem gilt für D 0 x 2 + px + q > 0 x + p > 2 D 2. Im Fall D < 0 ist die Lösungsmenge der Ungleichung x 2 + px + q > 0 ganz R. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2018) Seite 34 / 141

35 Abbildungen und Funktionen Kapitel 4 Abbildungen und Funktionen Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2018) Seite 35 / 141

36 Abbildungen und Funktionen 4.1 Definition: Abbildung Es seien D und W Mengen. Eine Abbildung f von D nach W ist eine Vorschrift, die jedem Element x D genau ein Element f(x) W zuordnet. f(x) heißt das Bild von x unter f D heißt der Definitions- und W der Wertebereich (manchmal besser Wertevorrat. Ist nun f : D W eine Abbildung, so heißt die Menge der Elemente in W, die von f getroffen wird, die Bildmenge von f und wird mit f(d) bezeichnet. Es gilt f(d) := {y W x D : y = f(x)} = {f(x) x D} W. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2018) Seite 36 / 141

37 Abbildungen und Funktionen 4.2 Definition, Urbild, Graph Ist U W eine Teilmenge, so nennt man die Menge aller Elemente von D deren Bild in U liegt, das Urbild von U. Dies wird mit f 1 (U) bezeichnet. Es gilt f 1 (U) := {x D f(x) U} D. Die Teilmenge {(x, f(x)) x D} D W, bezeichnet man als Graph der Abbildung f. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2018) Seite 37 / 141

38 Abbildungen und Funktionen 4.3 Bemerkung Zwei Abbildungen f 1 : D 1 W 1 und f 2 : D 2 W 2 sind genau dann gleich, wenn D 1 = D 2, W 1 = W 2 und f 1 (x) = f 2 (x) für alle x D Definition: identische Abbildung Es sei f : D D mit f(x) := x für alle x D. Diese Abbildung heißt identische Abbildung oder Identität auf D und wird hier mit id D bezeichnet. Sprechweise: Oft wird der Begriff Funktion parallel zum Begriff Abbildung benutzt. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2018) Seite 38 / 141

39 Abbildungen und Funktionen 4.5 Definition: Polynome Es sei n N und a 0, a 1,..., a n R mit a n 0. Dann heißt die Funktion p : R R mit p(x) = n a k x k = a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0 k=0 ein Polynom. Die Zahl grad(p) := n heißt der Grad, die a k heißen die Koeffizienten und speziell a n der Leitkoeffizient von p. Eine Zahl x 0 R mit p(x 0 ) = 0 heißt Nullstelle von p. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2018) Seite 39 / 141

40 Abbildungen und Funktionen 4.6 Satz: Faktorisierung Es sei p ein Polynom und x 0 eine Nullstelle. Dann gibt es ein Polynom q mit grad(q) = grad(p) 1, so dass p(x) = (x x 0 )q(x). Die Koeffizienten des Polynoms q aus der Faktorisierung lassen sich durch Polynomdivision oder mit Hilfe des Hornerschemas bestimmen. 4.7 Hornerschema Das Hornerschema kann dazu benutzt werden, den Funktionswert eines Polynoms p an einer beliebigen Stelle x 0 zu bestimmen. Man erhält zusätzlich die Koeffizienten eines Polynoms q, dessen Grad um Eins kleiner ist, als der von p, und das erfüllt. p(x) = (x x 0 )q(x) + p(x 0 ) Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2018) Seite 40 / 141

41 Abbildungen und Funktionen Beschreibung des Hornerschemas: Zunächst schreiben wir die Koeffizienten von p in die erste Zeile einer Tabelle und den Wert 0 unter a n. Dann führt man dann von links nach rechts in der Tabelle immer wieder zwei Schritte durch: 1. Addiere die Zahlen der ersten und zweiten Zeile und schreibe sie in die dritte Zeile. 2. Der zuletzt berechnete Wert wird mit x 0 multipliziert und in die zweite Zeile der nächsten Spalte eingetragen. Schließlich gelangt man zu folgendem Abschlußschema: a n a n 1 a n 2 a 1 a c n 1 x 0 c n 2 x 0 c 1 x 0 c 0 x 0 = = = = = c n 1 c n 2 c n 3... c 0 c 1 Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2018) Seite 41 / 141

42 Abbildungen und Funktionen Dann ist a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0 = (x x 0 )(c n 1 x n 1 + c n 2 x n 2 + c 1 x + c 0 ) + c 1. Ist x 0 eine Nullstelle des Polynoms p, so hat man eine Polynomdivision durchgeführt: p(x) = (x x 0 )q(x) mit q(x) = c n 1 x n 1 + c n 2 x n 2 + c 1 x + c 0. Man kann nun 4.7 auf q anwenden und so nach und nach Nullstellen von p abspalten. Hilfreich beim Nullstellensuchen: Hat p nur ganzzahlige Koeffizienten, und ist der Leitkoeffizient a n = 1, so sind alle rationalen Nullstellen sogar ganz und sie sind Teiler des Koeffizienten a 0.. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2018) Seite 42 / 141

43 Abbildungen und Funktionen 4.8 Definition: Rationale Funktionen Es seien p und q Polynome. Dann heißt die Funktion f mit f(x) := p(x) q(x) rationale Funktion. Ihr Definitionsbereich ist D = {x R q(x) 0}. 4.9 Definition: Potenzfunktion Es sei q Q eine rationale Zahl. Dann ist die Potenzfunktion definiert durch i) f q : ]0, [ ]0, [, f q (x) = x q, falls q < 0, ii) f q : [0, [ [0, [, f q (x) = x q, falls q > 0. Bemerkung: Später werden wir die Potenzfunktionen auch für irrationale Exponenten erklären. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2018) Seite 43 / 141

44 Abbildungen und Funktionen 4.10 Definition: Einschränkung und Fortsetzung Es seien D 1 D 2 und f 1 : D 1 W, f 2 : D 2 W zwei Abbildungen mit f 1 (x) = f 2 (x) für alle x D 1. Dann heißt f 1 Einschränkung von f 2 und f 2 Fortsetzung von f 1. Man schreibt auch f 1 = f 2 D Definition: Verkettung von Abbildungen Es seien f : D U und g : V W Abbildungen und es gelte U V. Dann ist die Verkettung g f : D W definiert durch (g f)(x) := g(f(x)). Statt Verkettung sagt man auch Hintereinanderausführung oder Komposition und man liest g f als g nach f. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2018) Seite 44 / 141

45 Abbildungen und Funktionen 4.12 Definition: Umkehrabbildung Es seien f : D W und g : W D Abbildungen mit den Eigenschaften (1) g f = id D und (2) f g = id W. Dann heißen f und g Umkehrabbildungen voneinander und wir schreiben g = f 1 bzw. f = g 1. Man sagt dann auch f (und natürlich auch g) ist invertierbar. Eine Abbildung f : D W hat genau dann eine Umkehrabbildung, wenn die Gleichung f(x) = y für jedes y W genau eine Lösung x D hat. Die Umkehrabbildung ist dann (für dieses (x, y)-paar) durch f 1 (y) = x definiert. Sind D und W Teilmengen von R, so erhält man den Graphen der Umkehrfunktion f 1 aus dem Graphen von f durch Spiegelung an der winkelhalbierenden. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2018) Seite 45 / 141

46 Abbildungen und Funktionen 4.13 Definition: Monotonie Es sei I R und f : I R eine Funktion. Dann heißt f monoton wachsend, wenn für alle x 1, x 2 I mit x 1 < x 2 gilt f(x 1 ) f(x 2 ) streng monoton wachsend, wenn für alle x 1, x 2 I mit x 1 < x 2 gilt f(x 1 ) < f(x 2 ) monoton fallend, wenn für alle x 1, x 2 I mit x 1 < x 2 gilt f(x 1 ) f(x 2 ) streng monoton fallend, wenn für alle x 1, x 2 I mit x 1 < x 2 gilt f(x 1 ) > f(x 2 ). Beispiel: Die Potenzfunktionen f q : [0, [ [0, [ sind streng monoton steigend. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2018) Seite 46 / 141

47 Trigonometrie Kapitel 5 Trigonometrie Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2018) Seite 47 / 141

48 Trigonometrie Scheitel S Schenkel α Winkelbereich Winkel werden in Grad oder im Bogenmaß (auch Rad) angegeben: 360 =2π. y 1 cot α r = 1 sin α α cos α 1 tan α x Durch diese Betrachtungen am Einheitskreis werden vier Funktionen definiert. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2018) Seite 48 / 141

49 Trigonometrie 5.1 Definition: Winkelfunktionen Name D W Sinus sin R [ 1, 1] Cosinus cos R [ 1, 1] Tangens tan R \ { 2k+1 2 π k Z} R Cotangens cot R \ {kπ k Z} R Die Graphen der Sinus- und Cosinusfunktionen y y = sin x y = cos x π 2π x Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2018) Seite 49 / 141

50 Trigonometrie Die Graphen der Tangens- und Cotangensfunktionen: y 1 y = tan x y = cot x π 4 π 2 3π 4 π 5π 4 3π 2 x Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2018) Seite 50 / 141

51 Trigonometrie 5.2 Interpretation am rechtwinkligen Dreieck C A b α c a B Mit diesen Bezeichnungen gilt dann sin α = a b, cos α = c und tan α = a b c Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2018) Seite 51 / 141

52 Trigonometrie 5.3 Definition: Periodische Funktionen Es sei T > 0. Eine Funktion f : R R heißt T -periodisch, wenn f(x + T ) = f(x) für alle x R. 5.4 Definition: Symmetrie von Funktionen Es sei I R ein um 0 symmetrisches Intervall. Eine Funktion f : I R heißt gerade, wenn f( x) = f(x) für alle x I ungerade, wenn f( x) = f(x) für alle x I. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2018) Seite 52 / 141

53 Trigonometrie 5.5 Satz: Eigenschaften der Winkelfunktionen 1. sin sowie cos sind 2π- und tan sowie cot sind π-periodisch. 2. sin(x + π) = sin x und cos(x + π) = cos x. 3. sin(x + π 2 ) = cos x und cos(x + π 2 ) = sin x. 4. tan x = sin x 1 und cotx = cos x tan x. 5. cos ist eine gerade Funktion und sin, tan und cot sind ungerade Funktionen. 6. Für alle x R gilt sin x 1 und cos x sin(x) = 0 genau dann, wenn x = kπ mit k Z. cos(x) = 0 genau dann, wenn x = 2k+1 2 π mit k Z. 8. sin 2 x + cos 2 x = 1 der Trigonometrische Pythagoras. 9. cos 2 x = tan 2 x und sin2 x = cot 2 x. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2018) Seite 53 / 141

54 Trigonometrie 5.6 Einschränkungen der Winkelfunktionen Die folgenden Einschränkungen der Winkelfunktionen benutzt man zur Definiton von Umkehrfunktionen: 1 sin [ [ ] : π π 2, π 2, π ] 2 [ 1, 1] ist streng monoton wachsend. 2 2 cos [0,π] : [0, π] [ 1, 1] ist streng monoton fallend. 3 tan ] ] [ : π π 2, π 2, π [ 2 R ist streng monoton wachsend. 2 4 cot ]0,π[ :]0, π[ R ist streng monoton fallend. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2018) Seite 54 / 141

55 Trigonometrie 5.7 Definition: Arcusfunktionen Die Umkehrfunktionen der Winkelfunktionen werden Arcusfunktionen genannt und sind 1. arcsin : [ 1, 1] [ π 2, π ] 2 2. arccos : [ 1, 1] [0, π] 3. arctan : R ] π 2, π [ 2 4. arccot : R ] 0, π[ Die Graphen der Arcusfunktionen sehen wie folgt aus (siehe Bemerkung 4.12): Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2018) Seite 55 / 141

56 Trigonometrie y y y = arccos x π π 2 y = arcsin x y = arccot x π 4 π 2 x y = arctan x 1 x π 2 π 2 Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2018) Seite 56 / 141

57 Trigonometrie Beim Rechnen mit den Winkelfunktionen sind folgende Additionstheoreme sehr nützlich: 5.8 Satz: Additionstheoreme 1 sin(x ± y) = sin x cos y ± sin y cos x 2 cos(x ± y) = cos x cos y sin x sin y tan x ± tan y 3 tan(x ± y) = 1 tan x tan y Daraus erhält man dann 5.9 Folgerung: Doppelte Winkel 1. sin(2x) = 2 sin x cos x 2. cos(2x) = cos 2 x sin 2 x 3. tan(2x) = 2 tan x 1 tan 2 x 4. cos 2 x = 1 ) 2( 1 + cos(2x) und sin 2 x = 1 ( ) 2 1 cos(2x) Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2018) Seite 57 / 141

58 Trigonometrie Eine kleine Beweisskizze für die Additionstheoreme: sin x cos y cos x sin y x cos x cos y cos y sin y sin x sin y x y 1 x + y cos(x + y) sin(x + y) Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2018) Seite 58 / 141

59 Trigonometrie Und nun noch ein paar spezielle Werte der Winkelfunktionen (und mit den Additionstheoremen und der Periodizität dann natürlich weitere). x in Grad x in Rad 0 π 6 sin x 0 1 cos x π 4 π 3 π tan x cotx Eselsbrücke für die Sinus-Werte: x in Grad sin x Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2018) Seite 59 / 141

60 Differenzierbarkeit Kapitel 6 Differenzierbarkeit Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2018) Seite 60 / 141

61 Differenzierbarkeit Die Begriffe Grenzwert und Stetigkeit werden in Mathematikvorlesungen genau definiert. Hier sollen lediglich die Ideen verdeutlicht werden. 6.1 Grenzwert und Stetigkeit Sei I ein Intervall und x 0 ein Punkt in I oder ein Randpunkt. Eine Funktion f : I R hat in x 0 den Grenzwert a, wenn sich die Werte f(x) nur um beliebig wenig von a unterscheiden, wenn x immer näher an x 0 rückt. f(x 0 ) selbst wird dabei nicht betrachtet. Schreibweisen: lim x x 0 f(x) = a oder f(x) a für x x 0. Die Funktion f nennt man stetig in x 0 I, wenn lim x x 0 f(x) = f(x 0 ) ist. f ist stetig auf I, wenn f in jedem Punkt von I stetig ist. Beispiele unstetiger Funktionen sind Funktionen mit Sprungstellen oder Polstellen. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2018) Seite 61 / 141

62 Differenzierbarkeit 6.2 Definition: Differenzierbarkeit Es sei f : I R eine Funktion auf dem offenen Intervall I R. f heißt differenzierbar in dem Punkt x 0 I, wenn der Grenzwert des Differenzenquotienten f(x) f(x 0 ) f(x 0 + h) f(x 0 ) lim = lim R x x 0 x x 0 h 0 h existiert. Dieser Wert wird dann mit f (x 0 ) bezeichnet und heißt die Ableitung von f an der Stelle x differenzierbar auf I, wenn f an jeder Stelle x I differenzierbar ist. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2018) Seite 62 / 141

63 Differenzierbarkeit 6.3 Grundlegende Beispiele f(x) f (x) c 0 x 1 x 2 2x f(x) f (x) 1 1 x x 2 1 x n n x n+1, sin x cos x n N x n n x n 1, n N cos x sin x Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2018) Seite 63 / 141

64 Differenzierbarkeit Die Ableitung einer Funktion f kann man auch geometrisch interpretieren. y T Die Steigung der Tangente T im Punkt a ist der Grenzwert der Sekantensteigungen. a x 6.4 Tangente Die Gerade mit der Gleichung y = f(x 0 ) + f (x 0 ) (x x 0 ) heißt Tangente an den Graphen von f im Punkt ( x 0, f(x 0 ) ) (kurz auch: Tangente an f in x 0 ). Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2018) Seite 64 / 141

65 Differenzierbarkeit Bemerkung: Differenzierbarkeit in x 0 bedeutet also anschaulich, dass sich die Funktionswerte von f in einer kleinen Umgebung von x 0 gut durch die Werte der Tangente annähern lassen. Man sagt auch: f ist linear approximierbar. Genauer: 6.5 Satz: Lineare Approximation Es sei f : I R eine Funktion auf dem offenen Intervall I R und x 0 I. Dann sind folgende Aussagen äquivalent: 1. f ist differenzierbar in x Es gibt eine Zahl c R und eine Funktion φ : I R mit lim x x 0 φ(x) = 0 und In diesem Fall ist c = f (x 0 ). f(x) = f(x 0 ) + c (x x 0 ) + φ(x) (x x 0 ). Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2018) Seite 65 / 141

66 Differenzierbarkeit 6.7 Satz: Differentiationsregeln 1. Vielfache (cf) = cf 2. Summenregel (f + g) = f + g 3. Produktregel (f g) = f g + f g 4. Kettenregel (f g) (x) = f ( g(x) ) g (x) ( ) f 5. Quotientenregel = f g fg g g 2 Insbesondere ist 1. (f 2 ) (x) = 2 f(x) f (x). 2. (f n ) (x) = n f n 1 (x) f (x). ( ) 1 3. (x) = f (x) f f 2 (x). Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2018) Seite 66 / 141

67 Differenzierbarkeit 6.8 Satz: Ableitung der Umkehrfunktion Es sei f auf dem Intervall I streng monoton und differenzierbar und es gelte f 0. Dann ist die Umkehrfunktion f 1 differenzierbar auf J := f(i). Für y = f(x) J, also x = f 1 (y), gilt dann ( f 1 ) (y) = 1 f (x). Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2018) Seite 67 / 141

68 Differenzierbarkeit 6.9 Anwendungen f(x) f (x) 1 x 2 x n 1 x n n x = 1 n 1 n x 1 n n n N x r rx r 1 r Q \ {0} tan x 1 + tan 2 x = 1 cos 2 x 1 arcsin x 1 x 2 arccos x 1 1 x 2 arctan x x 2 Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2018) Seite 68 / 141

69 Differenzierbarkeit 6.10 Satz Ist f : I R differenzierbar in x 0 I, so ist f auch stetig in x Definition: Höhere Ableitungen 1. Ist f auf I differenzierbar, so heißt die Funktion f : I R mit x f (x) die Ableitung von f. 2. Ist f differenzierbar, und f stetig auf I so nennt man f stetig differenzierbar. 3. Sind f und f differenzierbar auf I, dann nennt man die Funktion f := (f ) die zweite Ableitung von f. 4. Ebenso definiert man höhere Ableitungen f, f (4), f heißt k-mal stetig differenzierbar, wenn f (k) existiert und stetig ist. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2018) Seite 69 / 141

70 Anwendungen der Differentialrechnung Kapitel 7 Anwendungen der Differentialrechnung Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2018) Seite 70 / 141

71 Anwendungen der Differentialrechnung 7.1 Satz: Mittelwertsatz der Differentialrechnung Es sei f auf [a, b] stetig und auf ]a, b[ differenzierbar. Dann gibt es ein x 0 ]a, b[ mit f f(b) f(a) (x 0 ) =. b a 7.2 Folgerung Sei f auf [a, b] stetig und auf ]a, b[ differenzierbar. Dann gilt: 1 Ist f (x) 0 (> 0) für alle x ]a, b[, so ist f auf [a, b] (streng) monoton steigend. 2 Ist f (x) 0 (< 0) für alle x ]a, b[, so ist f auf [a, b] (streng) monoton fallend. 3 Ist f (x) = 0 für alle x ]a, b[, so ist f auf [a, b] konstant. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2018) Seite 71 / 141

72 Anwendungen der Differentialrechnung Wenn nicht anders angegeben, sind im Folgenden die Intervalle stets offen (diese werden dann mit I bezeichnet). 7.3 Satz: Krümmung Es se f : I R zweimal differenzierbar. Dann heißt (der Graph von) f linksgekrümmt, falls f > 0 auf ganz I rechtsgekrümmt, falls f < 0 auf ganz I. 7.4 Definition: Wendestelle, Wendepunkt Es sei f : I R zweimal differenzierbar, x 0 I und f (x) habe in x 0 einen Vorzeichenwechsel. Dann heißt x 0 eine Wendestelle und der Punkt ( x0, f(x 0 ) ) ein Wendepunkt (des Graphen) von f. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2018) Seite 72 / 141

73 Anwendungen der Differentialrechnung 7.5 Definition: Extremum Es sei D R eine beliebige Teilmenge, f : D R und x 0 D. (Der Graph von) f hat in x 0 ein globales Maximum, wenn f(x) f(x 0 ) für alle x D. 2...globales Minimum, wenn f(x) f(x 0 ) für alle x D. 3...lokales Maximum, wenn es ein offenes Intervall I mit x 0 I gibt, so dass f(x) f(x 0 ) für alle x I D. 4...lokales Minimum, wenn es ein offenes Intervall I mit x 0 I gibt, so dass f(x) f(x 0 ) für alle x I D. Maxima und Minima fassen wir auch unter dem Namen Extrema zusammen. Wir nennen x 0 eine Extremalstelle, f(x 0 ) ein Extremum und ( x0, f(x 0 ) ) einen Extrempunkt (des Graphen) von f. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2018) Seite 73 / 141

74 Anwendungen der Differentialrechnung 7.6 Satz: Notwendiges Kriterium für Extrema Es sei f : I R differenzierbar in x 0 I. Hat f in x 0 ein lokales Extremum, so ist f (x 0 ) = 0. Die Umkehrung dieses Satzes ist in der Regel nicht richtig. Das zeigt schon das Beispiel f(x) = x 3 und x 0 = 0. Das Phänomen des letzten Beispiels werden wir nun näher beleuchten. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2018) Seite 74 / 141

75 Anwendungen der Differentialrechnung 7.7 Satz: Hinreichendes Kriterium für Extrema Es sei f : I R hinreichend oft differenzierbar und x 0 I mit f (x 0 ) = 0. Dann gilt { } { } < 0 lokales Maximum 1. Ist f (x 0 ), so hat f in x > 0 0 ein. lokales Minimum 2. Ist f (x 0 ) = 0 und f (x 0 ) 0 so hat f in x 0 eine Wendestelle. In diesem Fall spricht man von einem Sattelpunkt. Allgemeiner gilt: 3. Ist f (x 0 ) =... = f (n 1) (x 0 ) = 0 und f (n) 0, dann gilt { Ist n gerade, so hat f in x 0 ein lokales Maximum, falls f (n) (x 0 ) < 0 lokales Minimum, falls f (n) (x 0 ) > 0. Ist n ungerade, so hat f in x 0 einen Wendepunkt. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2018) Seite 75 / 141

76 Anwendungen der Differentialrechnung Beispiel: Wir betrachten f : R R mit f(x) = sin x. Da die 2 + cos x Funktion 2π-periodisch ist, schauen wir sie uns nur auf einem Teilintervall an, nämlich auf [0, 2π]. (genauer auf ] δ, 2π + δ[, da wir ein offenes Intervall brauchen). y f(x) f (x) f (x) 2π x Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2018) Seite 76 / 141

77 Integralrechnung Kapitel 8 Integralrechnung Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2018) Seite 77 / 141

78 Integralrechnung 8.1 Definition: Stammfunktion Es seien f, F : I R Funktionen. F heißt Stammfunktion von f auf I, wenn F auf I differenzierbar ist und F (x) = f(x) für alle x I. Wenn wir für f eine Stammfunktion suchen, so sagen wir auch: wir integrieren f. Wenn wir eine Stammfunktion gefunden haben, so nennen wir f integrierbar. 8.2 Satz 1 Ist F eine Stammfunktion zu f, so ist auch G = F + c mit einer Konstanten c R eine Stammfunktion von f. 2 Alle Stammfunktionen zu f sind von dieser Form. Sind also G und F zwei Stammfunktionen, so gibt es eine Konstante c R mit G(x) = F (x) + c. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2018) Seite 78 / 141

79 Integralrechnung 8.3 Definition: unbestimmtes Integral Die Menge aller Stammfunktionen von f heißt unbestimmtes Integral von f und wird mit f(x) dx bezeichnet. Ist F eine Stammfunktion zu f so schreiben wir auch f(x) dx = F (x) + c. 8.4 Satz: erste Eigenschaften: Linearität (f(x) ) 1. + g(x) dx = f(x) dx + g(x) dx. (c ) 2. f(x) dx = c f(x) dx für c R. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2018) Seite 79 / 141

80 Integralrechnung 8.5 Beispiele 1. Wir bekommen grundlegende Beispiele für Stammfunktionen, wenn wir die Tabellen zu Beispiel 6.3 von rechts nach links lesen. 2. Insbesondere können wir alle Polynome integrieren und bekommen für n p(x) = a k x k k=0 n+1 p(x) dx = c + k=1 a k 1 k xk Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2018) Seite 80 / 141

81 Integralrechnung Nun folgen zwei wichtige Eigenschaften des Integrals, die sich auf Produkte und Verkettungen von Funktionen beziehen. Sie folgen direkt aus den Rechenregeln für das Differenzieren (Satz 6.7). 8.6 Satz: Partielle Integration f(x) g (x) dx = f(x) g(x) f (x) g(x) dx. 8.7 Satz: Substitution Ist F eine Stammfunktion zu f und ist g differenzierbar, so gilt f ( g(x) ) g (x) dx = F ( g(x) ) + c. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2018) Seite 81 / 141

82 Integralrechnung 8.8 Folgerungen Es sei F eine Stammfunktion zu f. Dann ist 1. f(x + a) dx = F (x + a) + c 2. f(a x) dx = 1 F (a x) + c a 3. g(x) g (x) dx = 2( 1 ) 2 g(x) + c 4. x f ( x 2) dx = 1 2 F ( x 2) + c Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2018) Seite 82 / 141

83 Integralrechnung 8.9 Definition: bestimmtes Integral Es sei f : [a, b] R eine Funktion. Dann hat der Wert F (b) F (a) für jede Stammfunktion F von f den gleichen Wert. Dieser Wert heißt bestimmtes Integral von f in den Grenzen a und b und wird mit b a f(x) dx = F (x) b a := F (b) F (a). bezeichnet. f heißt Integrand und a bzw. b untere bzw. obere Integrationsgrenze sowie [a, b] das Integrationsintervall. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2018) Seite 83 / 141

84 Integralrechnung 8.10 Satz: Eigenschaften des bestimmten Integrals a a b a b a f(x) dx = 0 f(x) dx = c a und b a f(x) dx + f(x) dx = b c f(x) dx. a b f(x) dx. f (x) g(x) dx = f(x) g(x) b b f(x) g (x). a 4 Ist F eine Stammfunktion zu f und ist g differenzierbar, so gilt b f ( g(x) ) g(b) g (x) dx = f(t) dt = F (t) a 5 Ist f(x) g(x) so ist g(a) b a f(x) dx a b a g(b). g(a) g(x) dx. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2018) Seite 84 / 141

85 Integralrechnung y y = f(x) a A f (a, b) b x 8.11 Folgerung: Integral und Flächeninhalt Das Integral b a f(x) dx lässt sich als der (orientierte) Inhalt der Fläche unter dem Graphen der Funktion f im Intervall [a, b] deuten. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2018) Seite 85 / 141

86 Integralrechnung 8.12 Definition und Satz: geometrischer Flächeninhalt Es sei f integrierbar. Der geometrische Flächeninhalt A f (a, b) von f auf dem Intervall [a, b] ist definiert als Inhalt der Fläche, die der Graph von f mit der x-achse einschließt. Dieser lässt sich gemäß A f (a, b) = 8.13 Beispiel b a f(x) dx berechnen. Für f(x) = x 3 ist F (x) = 1 4 x4 eine Stammfunktion. Damit gilt also 1 1 f(x) dx = F (x) A f ( 1, 1) = = 0, aber f(x) dx = f(x) dx = F (x) 1 = Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2018) Seite 86 / 141

87 Integralrechnung Wir haben schon gesehen, dass Integration in einem gewissen Sinne die Umkehrung der Differentiation ist. Zum Abschluß dieses Kapitels zitieren wir noch den Satz, der diesen Sachverhalt mathematisch formuliert. Dieser heißt 8.14 Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung Jede auf einem Intervall [a, b] stetige Funktion f besitzt eine Stammfunktion F. Genauer gilt: Definiert man für x [a, b] F (x) := x a f(t) dt so ist diese Funktion auf [a, b] stetig, auf ]a, b[ stetig differenzierbar und es gilt F (x) = f(x). Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2018) Seite 87 / 141

88 Logarithmus- und Exponentialfunktion Kapitel 9 Logarithmus- und Exponentialfunktion Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2018) Seite 88 / 141

89 Logarithmus- und Exponentialfunktion Wir können laut des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung alle stetigen Funktionen integrieren. Die Funktion f(x) = 1 x tauchte allerdings in unseren Beispielen zur Differentiation nie als Ergebnis auf (vgl. Tabellen aus Beispiel 6.3). Ihre Stammfunktion kennen wir also bisher nicht und wir definieren deshalb wie folgt: 9.1 Definition: Logarithmusfunktion Die Logarithmusfunktion (oder der Logarithmus) ln : R + R ist definiert über eine Stammfunktion der auf R + stetigen Funktion x 1 x. Genauer: ln x := x 1 1 t dt. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2018) Seite 89 / 141

90 Logarithmus- und Exponentialfunktion 9.2 Satz: Eigenschaften des Logarithmus 1. ln (x) = 1 x. 2. ln 1 = ln(x y) = ln x + ln y. 4. ln 1 = ln x. x 5. ln(x r ) = r ln x, r Q (später r R). 6. ln ist streng monoton steigend. 7. lim ln x = und lim ln x = x x 0+ Da der Logarithmus ln streng monoton ist, existiert seine Umkehrfunktion. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2018) Seite 90 / 141

91 Logarithmus- und Exponentialfunktion 9.3 Definition: Exponentialfunktion Die Exponentialfunktion exp : R R + ist die Umkehrfunktion des Logarithmus ln : R + R. Die Zahl e := exp(1) = ln 1 (1) 2, heißt Eulersche Zahl. 9.4 Satz: Eigenschaften der Exponentialfunktion 1. exp ist streng monoton wachsend. 2. exp(ln x) = ln(exp x) = x. 3. exp(0) = 1 und exp(x) > lim exp(x) = und lim exp(x) = 0 x x 5. exp(x) exp(y) = exp(x + y), insbesondere gilt für n N damit exp(n x) = ( exp(x) ) n. 6. exp(rx) = (exp(x)) r r Q (später r R). 7. exp (x) = exp(x). Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2018) Seite 91 / 141

92 Logarithmus- und Exponentialfunktion 9.5 Bemerkung Aus Satz 9.4 Punkt 5. folgt exp(q) = e q für alle q Q. Deshalb schreiben wir exp(x) = e x sogar für x R. Sinn bekommt die Schreibweise aus der vorigen Bemerkung durch 9.6 Definition: allgemeine Potenz Für a, b R mit a > 0 definieren wir die allgemeine Potenz a b durch a b := exp(b ln a). 9.6 Folgerung für die Potenzfunktion Für alle r R und x ]0, [ gilt (x r ) = rx r 1. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2018) Seite 92 / 141

93 Logarithmus- und Exponentialfunktion Mit Hilfe des Logarithmus können wir unsere Integralregeln weiter ergänzen: 9.7 Satz 1 1 dx = ln x + c. x f (x) 2 dx = ln f(x) + c. f(x) Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2018) Seite 93 / 141

94 Lineare Gleichungssysteme Kapitel 10 Lineare Gleichungssysteme Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2018) Seite 94 / 141

95 Lineare Gleichungssysteme 10.1 Definition: Lineares Gleichungssystem LGS Ein (reelles) lineares Gleichungssystem (LGS) mit n Variablen x 1, x 2,..., x n und m Gleichungen hat folgende Gestalt a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2. a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = b m mit a ij, b j R für 1 i n und 1 j m. Die a ij nennen wir die Koeffizienten des LGS und die b j nennen wir die rechte Seite des LGS. Das LGS heißt homogen, wenn die rechte Seite nur aus Nullen besteht. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2018) Seite 95 / 141

96 Lineare Gleichungssysteme Wir definieren a 11 a a 1n a 21 a a 2n A :=.... a m1 a m2... a mn A heißt eine Matrix. Die Zahlen a ij R, i = 1,..., m, j = 1,..., n heißen Einträge von A. Der Raum aller (m n)-matrizen mit reellen Einträgen heißt R m n Das LGS ist äquivalent zu wobei (Ax) i := Ax = b, n a ij x j i = 1,..., m. j=1 Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2018) Seite 96 / 141

97 Lineare Gleichungssysteme Kurzschreibweise: Statt der Form in oben benutzen wir auch die etwas kompaktere Schreibweise (A b) := a 11 a a 1n a 21 a a 2n b a m1 a m2... a mn 10.3 Definition: Lösungsmenge Die Lösungsmenge des LGS (A b) bezeichnen wir mit L(A, b) := { (x 1,..., x n ) R n (x 1,..., x n ) löst (A b) } b 1 b m. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2018) Seite 97 / 141

98 Lineare Gleichungssysteme 10.4 Satz: Gauß-Operationen Die folgenden Operationen verändern die Lösungsmenge eines LGS nicht: 1. Multiplizieren einer Zeile mit einer Zahl a Vertauschen von Zeilen. 3. Addition eines Vielfachen einer Zeile zu einer anderen Zeile. 4. Vertauschen von Spalten Achtung: Wenn man Punkt 4. anwendet, muss man sich merken, welche Variable zu welcher Spalte gehört! Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2018) Seite 98 / 141

99 Lineare Gleichungssysteme 10.5 Satz: Gauß-Algorithmus Es sei (A b) ein lineares Gleichungssystem, dann kann man durch geeignete Gauß-Operationen erreichen, dass das LGS die folgende Form bekommt: y 1 y 2 y k y k+1 y n c c c k c k c m Die y j sind die Variablennamen x 1 bis x n, aber eventuell in vertauschter Reihenfolge. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2018) Seite 99 / 141

100 Lineare Gleichungssysteme Praktische Durchführung des Gauß-Algorithmus: Wir versuchen durch 3.(Tausch von Zeilen), 4.(Tausch von Spalten) und 1.(Skalierung einer Zeile) eine 1 in die obere linke Ecke zu bekommen. (Ist dies nicht möglich, dann endet der Algorithmus, denn die Koeffizienten, mit denen man diesen Schritt gestartet hat, sind alle Null.) Durch Anwenden von 2.(Addition von Zeilen) erzeugen wir Nullen unterhalb und oberhalb dieser 1. Wir beginnen nun wieder mit Step1. Allerdings wenden wir ihn auf das kleinere System an, das wir durch Löschen der ersten Spalte und ersten Zeile erhalten. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2018) Seite 100 / 141

101 Vektoren Kapitel 11 Vektoren Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2018) Seite 101 / 141

102 Vektoren 11.1 Definition: Vektoren im Zahlenraum Ein Vektor (im Zahlenraum) mit n Komponenten ist ein n-tupel reeller Zahlen, also ein Element aus R n. Wir schreiben die Komponenten eines Vektors in eine Spalte: v 1 v v = 2. v n (Manchmal benutzen wir die platzsparende Schreibweise v = (v 1, v 2,..., v n ) T, wobei das T andeutet, dass wir eigentlich einen Spaltenvektor meinen) Definition: Rechnen mit Vektoren v 1 w 1 v 1 + w 1 Mit v =., w =. und α R ist v + w =. und v n w n v n + w n αv 1 α v =.. αv n Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2018) Seite 102 / 141

103 Vektoren Wir beschränken uns in den kommenden Betrachtungen auf R 2 und R 3, obwohl alles auch im Höherdimensionalen und allgemeineren Situationen richtig bleibt. v 2 v 1 2 v 0 w v + w Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2018) Seite 103 / 141

104 Vektoren 11.3 Satz: Rechenregeln für Vektoren Es seien u, v und w Vektoren und α und β seien reelle Zahlen, dann gilt: 1. v + w = w + v. 2. u + ( v + w) = ( u + v) + w. 3. Es gibt einen Nullvektor 0 mit v + 0 = 0 + v = v. 4. Zu v gibt es einen Vektor v mit v + ( v) = α (β v) = (αβ) v v = v. 7. (α + β) v = α v + β v. 8. α ( v + w) = α v + α w Bemerkung zu 3.:... nämlich 0 := (0, 0,..., 0) T. Bemerkung zu 4.:... nämlich v := ( 1) v = ( v 1,..., v n ) T. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2018) Seite 104 / 141

105 Vektoren 11.4 Definition: Linearkombination Es seien v 1,..., v n Elemente des R m. Eine Summe der Form α 1 v 1 + α 2 v α n v n heißt Linearkombination und die Zahlen α j R heißen Koeffizienten der Linearkombination. ) ( 6 Beispiele: Der Vektor 4 R 3 ist eine Linearkombination der Vektoren 2 ( ) ( ) ( ) , 1 und 0 mit Koeffizienten 6, 4 und 2, ) ) ) ( 1 und eine Linearkombination der Vektoren 1 0 Koeffizienten 4, 0 und 2., ( und ( mit Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2018) Seite 105 / 141

106 Vektoren 11.5 Definition: Linear abhängig Die Vektoren v 1,..., v n R m heißen linear abhängig, wenn es Zahlen α 1,..., α n R gibt, die nicht alle Null sind, so dass aber die Linearkombination α 1 v 1 + α 2 v α n v n = 0 ist. Sie heißen linear unabhängig, wenn sie nicht linear abhängig sind Bemerkung Die Vektoren v 1,... v n sind genau dann linear unabhängig, wenn die Gleichung α 1 v 1 + α 2 v α n v n = 0 (als Gleichung für die Zahlen α 1,..., α n ) nur die Lösung α 1 =... = α n = 0 hat. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2018) Seite 106 / 141

107 Vektoren 11.7 Beispiele Die Vektoren u = 2, v = 6, w = 1 R 3 sind linear abhängig, denn es gilt 4 u + ( 1) v + ( 2) w = 0. ( ) ( ) Die Vektoren v =, w = R sind linear unabhängig, denn { } α+ 2β = 0 α v + β w = 0 ist gleichbedeutend mit dem LGS und 2α+ β = 0 dies hat die eindeutige Lösung α = β = 0 (vgl. das Kapitel über LGS). Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2018) Seite 107 / 141

108 Vektoren 11.8 Bemerkung 1. v R m ist genau dann linear abhängig, wenn v = Die lineare Abhängigkeit zweier Vektoren v, w R 3 \ { 0} ist gleichbedeutend mit jeweils a) v und w liegen auf einer Geraden durch den Nullpunkt, und b) je einer der Vektoren ist ein Vielfaches des anderen. 3. Die lineare Abhängigkeit dreier Vektoren u, v, w R 3 \ { 0} ist gleichbedeutend mit jeweils a) u, v und w liegen in einer Ebene durch den Nullpunkt, und b) mindestens einer der Vektoren ist eine Linearkombination der anderen beiden. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2018) Seite 108 / 141

109 Vektoren 11.9 Weitere wichtige Begriffe und Bemerkungen 1. Das Erzeugnis (oder Spann) der Vektoren v 1,..., v k R m ist die Menge aller Linearkombinationen dieser Vektoren. (Das ist auch für eine beliebige Menge von Vektoren erklärt). 2. Lässt sich jedes Element eines Vektorraums V eindeutig(!) als Linearkombination der Vektoren v 1,..., v k V darstellen, dann nennt man { v 1,..., v k } eine Basis von V. 3. Die Elemente einer Basis sind linear unabhängig. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2018) Seite 109 / 141

110 Vektoren 11.9 Weitere wichtige Begriffe und Bemerkungen[cont.] Speziell für das Rechnen im R n heißt das 4. n Vektoren des R n sind genau dann linear unabhängig, wenn sie eine Basis bilden. 5. Die Standardbasis des R n besteht aus den kanonischen Einheitsvektoren e 1 = , e 2 = ,..., e n = Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2018) Seite 110 / 141

111 Skalar- und Vektorprodukt Kapitel 12 Skalar- und Vektorprodukt Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2018) Seite 111 / 141

112 Skalar- und Vektorprodukt 12.1 Definition: Skalarprodukt, Norm und Winkel 1. Das Skalarprodukt zweier Vektoren v, w R n ist definiert durch v w := v 1 w 1 + v 2 w v n w n. 2. Die Norm (oder der Betrag) eines Vektors ist definiert durch v := v v = v v v2 n. 3. Der Winkel ψ [0, π] zwischen zwei Vektoren v, w R n, beide nicht der Nullvektor, ist definiert durch cos ψ = v w v w. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2018) Seite 112 / 141

113 Skalar- und Vektorprodukt Das Winkel wird über das Skalarprodukt so definiert, dass er mit dem ebenen Winkel im R 2 übereinstimmt. Hilfsmittel ist der Kosinussatz: c a α b a 2 = b 2 + c 2 2bc cos α. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2018) Seite 113 / 141

114 Skalar- und Vektorprodukt 12.2 Satz: Eigenschaften des Skalarproduktes und der Norm 1. v w = w v. 2. v (α w + β u ) = α( v w) + β( v u ). 3. Für v 0 ist 1 v v = v w = 0 genau dann, wenn v und w senkrecht aufeinander stehen. ( ) ( ) b a 5. Der Vektor steht senkrecht auf dem Vektor. a b 6. v v = 0 genau dann, wenn v = α v = α v. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2018) Seite 114 / 141

115 Skalar- und Vektorprodukt 12.3 Satz: Dreiecksungleichung Für Vektoren v und w gilt v + w v + w und v w v w, sowie damit dann v w v u + u w Satz: Parallelogrammgleichung Für Vektoren v und w gilt v + w 2 + v w 2 = 2 v w 2. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2018) Seite 115 / 141

116 Skalar- und Vektorprodukt Im Fall des R 3 gibt es noch ein Produkt zwischen Vektoren, dass als Ergebnis wieder einen Vektor liefert Definition: Kreuzprodukt Es seien v = v 1 v 2 v 3, w = w 1 w 2 w 3 Vektorprodukt) v w definiert durch R 3. Dann ist das Kreuzprodukt (oder v 2 w 3 v 3 w 2 v w := v 3 w 1 v 1 w 3. v 1 w 2 v 2 w 1 Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2018) Seite 116 / 141

117 Skalar- und Vektorprodukt 12.6 Satz: Eigenschaften des Kreuzproduktes 1. v w = w v. 2. v ( α w + β u ) = α( v w) + β( v u ). 3. Ist α der Winkel zwischen v und w so ist v w = v w sin α. 4. v w = 0 genau dann, wenn v und w linear abhängig sind. 5. ( v w) v = ( v w) w = 0. D.h. v w steht sowohl senkrecht auf v als auch auf w. 6. v w entspricht dem Flächeninhalt des von v und w aufgespannten Parallelogramms. 7. v, w und v w bilden in dieser Reihenfolge ein Rechtssystem. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2018) Seite 117 / 141

118 Skalar- und Vektorprodukt v w Mittelfinger Rechte-Hand- Regel v Daumen w Zeigefinger Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2018) Seite 118 / 141

119 Skalar- und Vektorprodukt Eine Kombination des Skalarproduktes und des Kreuzproduktes im R 3 liefert ein weiteres geometrisch relevantes Produkt: 12.7 Definition: Spatprodukt Das Spatprodukt dreier Vektoren u, v, w R 3 ist definiert durch s( u, v, w) = u ( v w) ie folgenden Eigenschaften des Spatproduktes sind direkte Konsequenzen aus denen der beiden beteiligten Produkte: 12.8 Folgerung: Eigenschaften des Spatproduktes 1. Das Spatprodukt ist total schiefsymmetrisch, d.h. s( u, v, w) = s( w, u, v) = s( v, w, u) = s( v, u, w) = s( u, w, v) = s( w, v, u) Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2018) Seite 119 / 141

120 Skalar- und Vektorprodukt 12.8 Definition: Spatprodukt[cont.] 2. Der Betrag des Spatproduktes s( u, v, w), entspricht dem Volumen des von u, v und w aufgespannten Parallelepipeds. u v w v u Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2018) Seite 120 / 141

121 Skalar- und Vektorprodukt Bemerkung: Man kann das Spatprodukt der Vektoren u = u 2, u 3 v 1 w 1 v = v 2 und w = w 2 mit Hilfe der Sarrus-Regel berechnen. v 3 w 3 u 1 u 1 v 1 w 1 u 1 v 1 u 2 v 2 w 2 u 2 v 2 u 3 v 3 w 3 + u 3 + v 3 + Es ist nämlich s ( u, v, w) = u 1 v 2 w 3 + v 1 w 2 u 3 + w 1 u 2 v 3 u 3 v 2 w 1 v 3 w 2 u 1 w 3 u 2 v 1 Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2018) Seite 121 / 141

122 Geraden und Ebenen Kapitel 13 Geraden und Ebenen Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2018) Seite 122 / 141

123 Geraden und Ebenen 13.1 Definition: Gerade und Ebene Es seien v, w R 3 linear unabhängige Vektoren und a ein weiterer Vektor. Eine Gerade g ist eine Menge der Form g = { x = a + t v t R}. Eine Ebene E ist eine Menge der Form E = { x = a + t v + s w t, s R} Dabei heißen a Aufpunktvektor und v bzw. v, w Richtungsvektoren der Geraden bzw. Ebene. Diese Darstellungen nennt man Parameterdarstellungen der Geraden bzw. Ebene. Bemerkung: Geraden kann man analog im R n für n 1 und Ebenen für n 2 definieren. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund (2018) Seite 123 / 141