Mathematischer Vorkurs

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1 Mathematischer Vorkurs Dr. Agnes Lamacz Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 1 / 170

2 Vollständige Induktion Kapitel 13 Vollständige Induktion Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 117 / 170

3 Vollständige Induktion Dies Vollständige Induktion ist ein Beweisverfahren, mit dem man Allaussagen für Aussageformen beweisen kann, deren Grundbereich die natürlichen Zahlen sind. Ist nun A eine Aussageform über N 0, d.h. für alle n N 0 ist A(n) eine Aussage, so ist die zugehörige All-Aussage n N 0 : A(n) Bemerkung: Manchmal ist es sinnvoll oder notwendig statt ganz N 0 nur N k zu betrachten. Zum Beispiel gilt die Allaussage für die Aussageform nur für n N 3. A(n) : n 2 > 0 Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 118 / 170

4 Vollständige Induktion Bevor wir zu einigen Beispielen und Anwendungen kommen formulieren wir zuerst einmal das Induktionsprinzip 13.1 Satz: Vollständige Induktion Es sei A eine Aussageform über N k und es gelte (IA) A(k) ist wahr. sowie (IS) Ist A(n) wahr, so ist auch A(n + 1) wahr (oder kurz: A(n) A(n + 1)). Dann ist A(n) für alle n N k wahr. (IA) nennt man auch den Induktionsanfang und (IS) den Induktionsschluss. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 119 / 170

5 Vollständige Induktion Die folgenden Aussagen sind typisch für einen Induktionsbeweis Beispiele: Summen, Gleichungen 1. Für alle n N 0 gilt 2. Für alle n N 0 gilt 3. Für alle n N 0 gilt 4. Für alle n N 0 gilt 5. Es gilt (x + y) n = n k = k=0 n k=0 n(n + 1) 2 q k = qn+1 1 q 1. n k 2 = k=0 k=0. n(n + 1)(2n + 1). 6 n k 3 = n2 (n + 1) 2. 4 k=0 n ( ) n x k y n k für alle n N 0. k Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 120 / 170

6 Vollständige Induktion 13.3 Beispiele: Ungleichungen 6. Es sei x > 1 eine feste reelle Zahl. Dann gilt: Für alle n N ist (1 + x) n 1 + nx 7. Ist x 0 so gilt 6. mit > für alle n N Es sei p 2. Dann gilt: Für alle n N ist p n n. 9. Es sei p 3. Dann gilt: Für alle n N ist p n n Für alle n N 5 gilt 2 n > n Für alle n N ist n 1 2n 1 3n+1. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 121 / 170

7 Vollständige Induktion 13.4 Beispiele: Teilbarkeit teilt 13 n + 2 für alle n N teilt 2 2n für alle n N teilt n 3 n für alle n N 0. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 122 / 170

8 Vollständige Induktion 13.5 Beispiele: Ableitungen 15. Es ist f(x) = x 1 x. Dann ist f (n) (x) = n! (1 x) n+1 für alle n N. 16. Für alle n N 0 gilt: Ist f(x) = x n, dann ist f (x) = nx n Es sei f(x) = e x2. Dann gilt: Für alle n N 0 gibt es ein Polynom p n vom Grad n, so dass f (n) (x) = p n (x)e x Es sei f(x) := 1 ax + b. Dann ist f (n) (x) = ( 1)n n!a n für alle (ax + b) n+1 n N Es sei f(x) = sin(ax) + cos(bx). Dann ist für alle n N 0 f (n) (x) = a n sin ( ax + n π ) 2 + b n cos ( bx + n π ) Es sei f n (x) = x n. Dann ist f n (x) dx = x n + 1 f n(x) + c für alle n N 0. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 123 / 170

9 Lineare Gleichungssysteme Kapitel 14 Lineare Gleichungssysteme Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 124 / 170

10 Lineare Gleichungssysteme 14.1 Denition: Lineares Gleichungssystem LGS Ein (reelles) lineares Gleichungssystem (LGS) mit n Variablen x 1, x 2,..., x n und m Gleichungen hat folgende Form a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2. a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = b m mit a ij, b j R für 1 i n und 1 j m. Die a ij nennen wir die Koezienten des LGS und die b j nennen wir die rechte Seite des LGS. Das LGS heiÿt homogen, wenn die rechte Seite nur aus Nullen besteht. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 125 / 170

11 Lineare Gleichungssysteme Kurzschreibweise: Statt der Form oben benutzen wir auch die etwas kompaktere Schreibweise (A b) := a 11 a a 1n b 1 a 21 a a 2n b a m1 a m2... a mn b m 14.2 Denition: Lösungsmenge Die Lösungsmenge des LGS (A b) bezeichnen wir mit L(A, b) := { (x 1,..., x n ) R n (x 1,..., x n ) löst (A b) } Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 126 / 170

12 Lineare Gleichungssysteme 14.3 Satz: Gauÿ-Operationen Die folgenden Operationen verändern die Lösungsmenge eines LGS nicht: 1. Multiplizieren einer Zeile mit einer Zahl a Vertauschen von Zeilen. 3. Addition eines Vielfachen einer Zeile zu einer anderen Zeile. 4. Vertauschen von Spalten Achtung: Wenn man Punkt 4. anwendet, muss man sich merken, welche Variable zu welcher Spalte gehört! Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 127 / 170

13 Lineare Gleichungssysteme 14.4 Satz: Gauÿ-Algorithmus Es sei (A b) ein lineares Gleichungssystem, dann kann man durch geeignete Gauÿ-Operationen erreichen, dass das LGS die folgende Form bekommt: y 1 y 2 y k y k+1 y n c c c k c k c m Die y j sind die Variablennamen x 1 bis x n, aber eventuell in vertauschter Reihenfolge. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 128 / 170

14 Lineare Gleichungssysteme Praktische Durchführung des Gauÿ-Algorithmus: Wir versuchen durch 2.(Tausch von Zeilen), 4.(Tausch von Spalten) und 1.(Skalierung einer Zeile) eine 1 in die obere linke Ecke zu bekommen. (Ist dies nicht möglich, dann endet der Algorithmus, denn die Koezienten, mit denen man diesen Schritt gestartet hat, sind alle Null.) Durch Anwenden von 3.(Addition von Zeilen) erzeugen wir Nullen unterhalb und oberhalb dieser 1. Wir beginnen nun wieder mit Schrittit 1. Allerdings wenden wir ihn auf das kleinere System an, das wir durch Löschen der ersten Spalte und ersten Zeile erhalten. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 129 / 170