Lineare Gleichungen und lineare Gleichungssysteme mit zwei Variablen. 1.1 Beispiel einer linearen Gleichung mit zwei Variablen 2

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1 KBWR, Duisurg Seite von Lineare Gleichungen und lineare Gleichungssysteme mit zwei Varialen Inhalt: Seite. Beispiel einer linearen Gleichung mit zwei Varialen. Normalform einer linearen Gleichung mit zwei Varialen und ihre Lösungen 5.3 Aufgaen 7.4 Aufgaen 7. Lineare Gleichungssysteme mit zwei Varialen und ihre Lösungen 8. Das Einsetzungsverfahren an Beispielen 9.3 Das Gleichsetzungsverfahren an Beispielen.4 Das Additionsverfahren an Beispielen 5.5 Allgemeine Lösung eines linearen Gleichungssystems mit dem Gleichsetzungsverfahren 8.6 Allgemeine Lösung eines linearen Gleichungssystems mit dem Additionsverfahren 9.7 Aufgaen 4 3. Zweireihige Determinanten 5 3. Definition zweireihiger Determinanten 5 3. Aufgaen zu zweireihigen Determinanten Aufgaen Eigenschaften zweireihiger Determinanten Lösungen ausgewählter Aufgaen 8 4. Geschichtliches 30 V.0

2 KBWR, Duisurg Seite von Beispiel einer linearen Gleichung mit zwei Varialen Zuerst ein Beispiel einer linearen Gleichung mit zwei Varialen: x + 3y = 6 Wie erhält man alle Lösungen dieser Gleichung? Zwei verschiedene Lösungen lassen sich leicht estimmen. Setzt man z.b. x = 0, so muß y = sein, denn = 6 ist eine wahre Aussage. Das Paar(0/) ist also eine Lösung der Gleichung. Setzt man y = 0, so muß x = 3 sein, denn = 6. Das Paar(3/0) ist eenfalls eine Lösung der Gleichung. Zeichnet man eide Lösungen in ein (rechtwinkliges) Koordinatenkreuz ein und zeichnet man durch diese eiden Punkte eine Gerade, so erhält man alle Lösungen der Gleichung x + 3y = 6 als Graph. Die Auflösung der Gleichung nach y ergit: x + 3y = 6 3y = x + 6 y = 3 x + y x x x Funktionsgraph der linearen Funktion: y = x + 3 A. Festzuhalten ist:. Jede Lösung einer linearen Gleichung mit zwei Varialen ist ein Zahlenpaar (x 0 / y 0 ).. Es git unendlich viele Lösungen, d.h. es git unendlich viele Zahlenpaare, die eine wahre Aussage ergeen, wenn man sie in die Gleichung einsetzt. 3. Alle Lösungen liegen auf einer Geraden, wenn man sie in ein Koordinatenkreuz einzeichnet. Alle Punkte der Geraden sind Lösungen. Wie ändert sich die Lösungsmenge, wenn man die Gleichung x + 3y = 6 leicht aändert? Welche Lösungsmenge hat die Gleichung I x + 3y = 0? Welche Lösungsmenge hat die Gleichung II 0x + 3y = 6? Welche Lösungsmenge hat die Gleichung III x + 0y = 6? V.0

3 KBWR, Duisurg Seite 3 von Auch für die Gleichung I lassen sich sofort zwei verschiedene Lösungen estimmen. Setzt man x = 0, so muß auch y = 0 sein. Das Zahlenpaar (0/0) ist eine Lösung der Gleichung. Setzt man x = 3, so muß y = sein, da ( ) = 0 ist. Das Zahlenpaar (3/ ) ist auch eine Lösung der Gleichung. Die Lösungsmenge ist eine Ursprungsgerade ( siehe Aildung ). Die Auflösung der Gleichung I nach y ergit: x + 3y = 0 3y = x y = 3 x y x x x (3/ ) Funktionsgraph der linearen Funktion: y = x 3 A. In der Gleichung II (0x + 3y = 6) muß y = sein, unahängig von dem Wert, der für x eingesetzt wird. Es gilt 0 x + 3 = 6 für alle x є. Die folgenden Zahlenpaare sind also Lösungen der Gleichung I 0x + 3y = 6: ( /), (0/), (/), (/), (3/),... y x x x x x y = x A. 3 Die Lösungen liegen alle auf einer Parallelen der x-achse. Der Graph erfüllt die Gleichung y = 6 3 =. V.0

4 KBWR, Duisurg Seite 4 von In der Gleichung III ( x + 0y = 6) muß x = 3 sein, unahängig von dem Wert, der für y eingesetzt wird. Es gilt y = 6 für alle y є. Die folgenden Zahlenpaare sind also Lösungen der Gleichung III: ( 3/ ), ( 3/ ), ( 3/0 ), ( 3/ ), ( 3/ ), ( 3/3),... y 3 x x x x x x x A. 4 x = 3 Die Lösungen liegen alle auf einer Parallelen der y-achse. Der Graph erfüllt die Gleichung x = 6 = 3. ( In diesem Fall ist der Graph kein Funktionsgraph, da der Zahl 3 unendlich viele verschiedene reelle Zahlen zugeordnet werden.) Zusammenfassung: Die Lösungsmenge der linearen Gleichung x + 3y = 6 hat unendlich viele Elemente. Zeichnet man die Elemente in ein Koordinatenkreuz ein, liegen diese Elemente alle auf einer Geraden. Jeder Punkt dieser Geraden ist eine Lösung der Gleichung. Setzt man einen der Koeffizienten ) oder die rechte Seite der Gleichung Null, ändert die Gerade ihre Lage: - Setzt man die rechte Seite der Gleichung gleich Null ( Gleichung I: x + 3y = 0 ), erhält man eine Ursprungsgerade, die parallel zur Lösungsmenge der Ausgangsgleichung x + 3y = 6 ist. - Setzt man den Koeffizienten der Varialen x gleich Null ( Gleichung II: 0x + 3y = 6 ), ist die Gerade parallel zu x-achse. - Setzt man den Koeffizienten der Varialen y gleich Null ( Gleichung III: x + 0y = 6 ), ist die Gerade parallel zu y-achse. In jedem Fall hilft die Vorstellung, daß eine lineare Gleichung mit zwei Varialen "eine Gerade ist". Zusatz: Die Gleichung 0x + 0y = 0 wird von jedem Zahlenpaar (x/y) erfüllt. Die Gleichung 0x + 0y = 6 wird von keinem Zahlenpaar (x/y) erfüllt. Koeffizient= Faktor einer Varialen V.0

5 KBWR, Duisurg Seite 5 von Normalform einer linearen Gleichung mit zwei Varialen und ihre Lösungen Für eine lineare Gleichung in Normalform ax + y = c mit den Formvarialen a,, c und den Lösungsvarialen x, y wird die Lösungsmenge nun in Ahängigkeit der Formvarialen a,, c dargestellt. In diesem Aschnitt wird ausgeschlossen, daß sowohl a als auch gleichzeitig Null sind. Eine Lösung einer linearen Gleichung mit zwei Varialen ist ein Zahlenpaar (x 0 / y 0 ), das die lineare Gleichung zu einer wahren Aussage macht, wenn man die. Koordinate x 0 dieses Paares in die Variale x einsetzt und entsprechend die. Koordinate y 0 dieses Paares in die Variale y einsetzt. Wählt man wie oen im Beispiel a =, = 3 und c = 6, erhält man die lineare Gleichung x + 3y = 6. ( Im Gegensatz zu der quadratischen Gleichung x² + y² =, kommen die Lösungsvarialen x, y in einer linearen Gleichung nur in der ersten Potenz vor.). Fall: a = 0, 0, c є elieig Die Gleichung 0x + y = c hat unendlich viele Lösungen der Form ( x / c ). Daei darf für x jede elieige reelle Zahl eingesetzt werden. Die Lösungsmenge ist eine Parallele der x-achse mit der Gleichung y = c. Falls c = 0 ist, ist die Lösungsmenge die x-achse selst. Aildung 5 zeigt die Lösungsmenge für c > 0. y c y = > x A. 5 V.0

6 KBWR, Duisurg Seite 6 von Fall: a 0, = 0, c є elieig Die Gleichung ax + 0y = c hat unendlich viele Lösungen der Form ( c a / y). Daei darf für y jede elieige reelle Zahl eingesetzt werden. Die Lösungsmenge ist eine Parallele der y-achse mit der Gleichung x = c. Falls c = 0 ist, ist die Lösungsmenge die a y-achse selst. Aildung 6 zeigt die Lösungsmenge für c < 0. Kein Funktionsgraph! a y x c x = < 0 a A Fall: a 0, 0, c є elieig Die Gleichung ax + y = c hat unendlich viele Lösungen. Zwei spezielle Lösungen sind ( c a / 0) und (0 / c ), falls c 0 ist. Ist c = 0, sind (/ a) und ( /a) zwei verschiedene Lösungen. Die Lösungsmenge der Gleichung ist die Gerade durch diese eiden Punkte. Formt man die Gleichung äquivalent um, erhält man die Normalform einer linearen Funktion: ax + y = c / ax y= ax + c / : 0 a y= x + c ( Aildung 7 zeigt den Fall a = und = und c = 3 zw. c= 0. ) Funktionsgraph, falls c= 0 : a y = x y x a Funktionsgraph, falls c 0 : y = x + c A. 7 V.0

7 KBWR, Duisurg Seite 7 von Zusammenfassung: Voraussetzung: a,, c drei elieige reelle Zahlen Die Lösungsmenge der linearen Gleichung ax + y = c ist eine Gerade, falls nicht a und gleichzeitig Null sind.. Falls a = 0 ( und 0) ist, ist die Gerade parallel zur x-achse. Sie hat dann die Gleichung y = c. Ist zusätzlich c = 0, so ist die Gerade die x-achse selst.. Falls = 0 ( und a 0) ist, ist die Gerade parallel zur y-achse. Sie hat dann die Gleichung x = c. Ist zusätzlich c = 0, so ist die Gerade die y-achse selst. In a diesem Fall ist der Graph kein Funktionsgraph. 3. Falls a 0 und 0 sind, ist die Gerade nicht parallel zu einer Koordinatenachse. Die Gerade hat die Gleichung y= a x + c. Sie ist eine Ursprungsgerade, falls c = 0 ist. Zwei spezielle Lösungen sind ( c a / 0) und (0 / c ), falls c 0 ist. 4. Falls a = 0 und = 0 und c 0, also die Gleichung 0x + 0y = c lautet, ist die Lösungsmenge leer, da kein Paar (x/y) diese Gleichung erfüllen kann. 5. Falls a = 0 und = 0 und c = 0, also die Gleichung 0x + 0y = 0 lautet, ist jedes Zahlenpaar eine Lösung dieser Gleichung..3 Aufgaen: Zeichnen Sie die Lösungsmengen der folgenden linearen Gleichungen jeweils in ein Koordinatenkreuz:.3. 3x + 4y = 7.3. x + 3y =.3.3 6x 5y =.3.4 8x 3y = ,4x +,6y =, x + 3 y = x 5y = x 0y = Aufgaen: Die folgenden Lösungsmengen der linearen Gleichung haen gemeinsame Punkte mit den Koordinatenachsen. Bestimmen Sie alle Schnittpunkte der Lösungsmenge mit den Koordinatenachsen..4. 3x + 5 y = 8.4. x y = ,4x,5 y = 3,.4.4 x + 3 y = x y = x y = 8 9 V.0

8 KBWR, Duisurg Seite 8 von Lineare Gleichungssysteme mit zwei Varialen und ihre Lösungen In diesem Aschnitt etrachten wir lineare Gleichungssysteme aus zwei Gleichungen mit jeweils zwei Varialen. Ein solches lineares Gleichungssystem esteht aus zwei durch "und" verundenen linearen Gleichungen mit Varialen (Akürzung: LGS). Eine Lösung eines solchen linearen Gleichungssystems ist ein Zahlenpaar, daß, eingesetzt in eide Gleichungen des Gleichungssystems, jede einzelne Gleichung zu einer wahren Aussage macht. Ein Beispiel: I: x + 3y = 6 und II: 3x + 4y = 0 Das einzige Zahlenpaar, das eide Gleichungen zu wahren Aussagen macht, ist das Paar (6/ ). Eingesetzt in eide Gleichungen ergit sich jeweils eine wahre Aussage. I: ( ) = 6 und II: ( ) = 0 Gleichung der roten Geraden: x + 3y = 6 Gleichung der lauen Geraden: 3x + 4y = 0 A. 8 Drei Verfahren werden zur Lösung linearer Gleichungssysteme eingesetzt: Einsetzungsverfahren Gleichsetzungsverfahren Additionsverfahren Alle drei Verfahren sollen an diesem Beispiel und an weiteren Beispielen gezeigt werden. Daei ist die Vorstellung hilfreich, daß lineare Gleichungen "Geraden" sind. Die Ausnahmen werden später etrachtet. Die folgenden Äquivalenzumformungen für Gleichungssysteme sind erlaut, d.h. sie verändern die Lösungsmenge nicht: zwei Gleichungen dürfen miteinander vertauscht werden jede Gleichung darf mit einer reellen Zahl c 0 multipliziert werden ein Vielfaches einer Gleichung darf zum Vielfachen einer anderen Gleichung addiert oder sutrahiert werden V.0

9 KBWR, Duisurg Seite 9 von Das Einsetzungsverfahren Beim Einsetzungsverfahren wird ein Term der einen Gleichung in die andere Gleichung eingesetzt, um so eine Gleichung mit nur einer Varialen zu erhalten, die dann nach der verlieenen Varialen aufgelöst wird. Das Ergenis wird danach in die noch ungelöste Gleichung eingesetzt. Diese kann nun gelöst werden, da sie nur noch eine Variale enthält... Beispiel: I: x + 3y = 6 / 3 und II: 3x + 4y = 0 / Ia: 6x + 9y = 8 / 9y und IIa: 6x + 8y = 0 I: 6x = 8 9y und II: 8 9y + 8y = 0 In der. Gleichung wird der Ausdruck 6x ersetzt durch den gleichwertigen Ausdruck 8 9y aus der. Gleichung. Jetzt hat die. Gleichung nur noch die eine Variale y. Diese wird nun erechnet: I: 6x = 8 9y und IIc: 8 y = 0 /+ y 0 I: 6x = 8 9y und IIc: = y Ic: 6x = 8 9 ( ) und IIc: = y Id: 6x = 36 und IIc: = y Ie: x = 6 und IIc: = y einzige Lösung des LGS: (6/ ).. Beispiel: Maria ist sechs Jahre älter als Eva. In zwei Jahren ist Maria dreimal so alt wie Eva heute. Wie alt sind die eiden Mädchen?. Lösung dieses Beispiels: Sei x > 0 das Alter von Eva. Sei y > 0 das Alter von Maria. Dann gilt: I: x + 6 = y und II: y + = 3x Ersetzt man nun in der zweiten Gleichung die Variale y durch die linke Seite der ersten Gleichung, also durch x + 6, so erhält man I: x + 6 = y und IIa: x = 3x / x I: x + 6 = y und II: 8 = x / : I: x + 6 = y und IIc: 4 = x Wird der für x errechnete Wert nun in die erste Gleichung eingesetzt, erhält man den Wert für y. Ia: = y und IIc: 4 = x I: 0 = y und IIc: 4 = x Die Lösung ist also das Paar (4 / 0). (Reihenfolge eachten!) A. 9 Gleichung der roten Geraden: y = x + 6 Gleichung der lauen Geraden: y = 3x V.0

10 KBWR, Duisurg Seite 0 von (essere) Lösung des Beispiels: Nicht immer ist die Einführung einer zweiten Varialen zwingend nötig. Mehrere Varialen sollten nur dann in einer Aufgae enutzt werden, wenn dies unvermeidar ist. Sei x > 0 das Alter von Eva. Dann ist x+ 6 das Alter von Maria. Alter heute Alter in zwei Jahren Eva x Maria x + 6 x + 8 Nach dem Aufgaentext gilt: x + 8 = 3x / x /: x = 4 Antwort: Eva ist heute 4 Jahre alt, Maria ist heute 0 Jahre alt. Wie man sieht, ist die Einführung einer zweiten Varialen ei dieser Aufgae nicht nötig...3 Beispiel: Ein weiteres Beispiel zum Einsetzungsverfahren: y = 3x 5 und x + y = 3 Da die linke lineare Gleichung in Normalform vorliegt, setzt man den Term 3x 5 in die rechte Gleichung statt y ein: y = 3x 5 und x + 3x 5 = 3 Damit erhält man eine Gleichung, die nur noch die Variale x enthält. Diese Gleichung ist nun nach x aufzulösen: y = 3x 5 und 4x 5 = 3 / +5 y = 3x 5 und 4x = 8 /:4 y = 3x 5 und x = Die für die Variale x errechnete Lösung wird nun in die. Gleichung eingesetzt: y = 3 5 und x = y = und x = Die Lösung dieses linearen Gleichungssystems ist das Paar ( / ). Die Proe ergit = 3 5 und + = 3 A. 0 Gleichung der roten Geraden: x + y = 3 Gleichung der lauen Geraden: y = 3x 5 V.0

11 KBWR, Duisurg Seite von Das Gleichsetzungsverfahren Beim Gleichsetzungsverfahren werden eide Gleichungen derart umgeformt, daß ei eiden Gleichungen gleiche Ausdrücke einer Varialen auf je einer Seite stehen. Dann werden die eiden anderen Seiten gleichgesetzt, um so eine Gleichung mit nur noch einer Varialen zu erhalten..3. Beispiel: I: x + 3y = 6 / 3 und II: 3x + 4y = 0 / Ia: 6x + 9y = 8 und IIa: 6x + 8y = 0 I: 6x = 8 9y und II: 6x = 0 8y Die eiden linken Seiten sind identisch. Also müssen die jeweiligen rechten Seiten der Gleichungen gleichwertig sein. Man kann sie also gleichsetzen. Beide rechte Seiten enthalten nur die Variale y: I: 6x = 8 9y und IIc: 8 9y = 0 8y / +9y 0 I: 6x = 8 9y und IId: = y Die erechnete Lösung der. Gleichung wird nun in die. Gleichung eingesetzt: Ic: 6x = 8 9 ( ) und IIc: = y Id: 6x = 36 und IIc: = y Ie: x = 6 und IIc: = y einzige Lösung: (6/ ) V.0

12 KBWR, Duisurg Seite von Beispiel: Gegeen sind zwei Geraden g und g durch ihre Normalformen. Gesucht: Schnittpunkt S(x s / y s ), falls eide Geraden nicht parallel sind. Sei die Gerade g gegeen durch: y = 3 x und sei die Gerade g gegeen durch: y = x + S(x s / y s ) A. Der Schnittpunkt S ist der einzige Punkt, der eide Geradengleichungen erfüllt, d.h. y S = 3 x S und y S = x S + Setzt man eide Gleichungen gleich, erhält man eine Bestimmungsgleichung für x S. 3 x S = x S + / 3x S = x S + 4 / + x S + 4 x S = 6 / : 4 x S =,5 = 3 Setzt man nun die erechnete x-koordinate des Schnittpunktes S in eine der eiden Gleichungen ein, erhält man die zugehörige y-koordinate. Eingesetzt in die. Geradengleichung: y S = 3 3 = 9 4 = 5 4 =,5 Zur Proe wird die gefundene Lösung auch in die. Geradengleichung eingesetzt: S( 3 / 5 ) ist der gesuchte Schnittpunkt. 4 y S = 3 + = = 5 4 =,5 V.0

13 KBWR, Duisurg Seite 3 von Beispiel: Ein Zug fährt mit 90km/h Durchschnittsgeschwindigkeit von Astadt nach Bstadt. Ein zweiter Zug fährt umgekehrt auf gleicher Strecke mit 0 km/h Durchschnittsgeschwindigkeit von Bstadt nach Astadt. Die Entfernung eider Städte ist 34 km. Beide Züge verlassen zum gleichen Zeitpunkt ihren Startahnhof. Nach wie vielen Minuten nach der Afahrt treffen sie sich? Wie viele Kilometer hat der erste Zug zu diesem Zeitpunkt noch nach Bstadt zu fahren? Wie viele Minuten Fahrtzeit enötigt Zug für die Strecke nach Astadt? Bei Textaufgaen wird häufig der "Ansatz" als schwierig empfunden. Bei dieser Aufgae liegt es nahe, die Entfernung von Astadt (oder auch von Bstadt) als Funktion der Fahrtzeit zu wählen. Dann ergeen sich für die eiden Züge zwei lineare Funktionen: Zug hält im Bahnhof von Astadt. Wenn er nach Bstadt fährt, entfernt er sich von Astadt. f (t) = y = 90 km h t h = 90 t km ( Die Funktion f git die Anzahl der Kilometer an, die ) ( sich Zug von Astadt in t Stunden entfernt. ) ( Siehe auch die Wertetaelle! ) = durchschnittliche Geschwindigkeit pro Stunde mal Fahrzeit Zug steht in Bstadt, ist also 34 km von Astadt entfernt. Wenn Zug losfährt, verringert sich seine Entfernung von Astadt, is er in Astadt ankommt. Danach entfernt er sich wieder von Astadt. f (t) = y = 34 km 0 km h t h = 34 km 0 t km Die folgende Graphik git die Entfernung eider Züge von Astadt in Kilometer (= km) eim Verlassen des jeweiligen Bahnhofs an. Die Fahrzeit wird in Stunden (= h) gemessen. t:= Fahrzeit in Stunden (t 0) y:= Entfernung von Astadt in km 300 y km Entfernung von Astadt Schnittpunkt: Zeitpunkt des Treffens eider Züge t Stunden y = 90t y = 34-0t A. t 0 0,5,5,5 3 y = 90t y= 34-0t V.0

14 KBWR, Duisurg Seite 4 von Werden nun eide Funktionsgleichungen gleichgesetzt, erhält man den Zeitpunkt t 0, zu dem sich eide Züge gleichweit von Astadt entfernt treffen. 90 t 0 km = 34 km 0 t 0 km / + 0t 0 km 00 t 0 km = 34 km / : 00 km t 0 = 34 km =,7 00km Nach,7 Stunden (= 70, Minuten) treffen sich eide Züge. Der erste Zug hat zu diesem Zeitpunkt 90,7 km = 05,3 km zurückgelegt. Er ist noch 34 km 05,3 km = 8,7 km von Bstadt entfernt. Bezeichnet man mit t die Fahrtzeit des zweiten Zuges nach Astadt, dann enötigt dieser Zug 34 = t 0 t = 34 =, 7 Stunden = Stunden 7, 63 Minuten um von Astadt nach Bstadt 0 zu fahren. V.0

15 KBWR, Duisurg Seite 5 von Das Additionsverfahren Beim Additionsverfahren wird eine Gleichung oder ein Vielfaches einer Gleichung zur anderen addiert oder von ihr sutrahiert. Dadurch kann man eine Gleichung mit nur einer Varialen erhalten, wenn man vorher die eiden Gleichungen entsprechend umgeformt hat. Die Koeffizienten einer Varialen müssen in eiden Gleichungen gleich sein. Wenn dann eine Gleichung von der anderen sutrahiert wird, fällt eine Variale fort..4. Beispiel: I: x + 3y = 6 / 3 und II: 3x + 4y = 0 / Ia: 6x + 9y = 8 und IIa: 6x + 8y = 0 / IIa Ia Beide Gleichungen enthalten auf der linken Seite den Term 6x. Sutrahiert man nun die eine von der anderen Gleichung, fällt dieser Term weg. Ia: 6x + 9y = 8 und II: y = / ( ) I: 6x + 9 ( ) = 8 und IIc: y = Ic: 6x 8 = 8 und IIc: y = Id: 6x = 36 und IIc: y = Id: x = 6 und IIc: y = einzige Lösung: (6/ ).4. Beispiel: Frau Meier kauft,6 Kilo Weintrauen und,4 Kilo Fleisch. Sie zahlt 33,56. Frau Müller kauft,8 Kilo Weintrauen und 3, Kilo Fleisch. Sie zahlt 46,74. Was kosten ein Kilo Weintrauen und ein Kilo Fleisch? x koste ein Kilo Weintrauen, y koste ein Kilo Fleisch. ( x, y > 0) I:,6 x +,4 y = 33,56 / 4 und II:,8 x + 3, y = 46,74 / 3 Ia: 6,4x + 9,6y = 34,4 und IIa: 8,4x + 9,6y = 40, Sutrahiert man von der Gleichung IIa nun die Gleichung Ia, erhält man: ( Die Information der Gleichung Ia dient der Umformung der Gleichung IIa zur Gleichung II. Die Gleichung Ia "fällt nicht weg", sondern sie leit erhalten!) Ia: 6,4x + 9,6y = 34,4 und II: x = 5,98 / : Ia: 6,4x + 9,6y = 34,4 und IIc: x =,99 Nun setzt man den Wert für x in die Gleichung I ein und erhält: ( Warum in Gleichung I und nicht in Gleichung Ia?) I:,6,99 +,4y = 33,56 und IIc: x =,99 Ic: 4,784 +,4y = 33,56 und IIc: x =,99 Id:,4y = 8,776 und IIc: x =,99 Ie: y =,99 und IIc: x =,99 Antwort: Ein Kilo Weintrauen kostet,99, ein Kilo Fleisch kostet,99. Die Lösung dieses Beispiels zeigt, daß man eine Gleichung von der anderen sutrahieren (oder auch zur anderen addieren) kann, um so zu einer einfacheren Gleichung zu kommen. Dies ist möglich, da man ja auf eiden Seiten der umzuformenden Gleichung Gleiches addiert oder sutrahiert. Die zur Umformung enutzte Gleichung leit natürlich estehen. V.0

16 KBWR, Duisurg Seite 6 von A Beispiel: Gegeen seien die Geraden g und g durch die folgenden Gleichungen: g : x + 3y = 9 und g : x + y = Gesucht ist ihr Schnittpunkt S. Lösung nach dem Additionsverfahren: x + 3y = 9 und x + y = / x + 3y = 9 und x + 4y = 4 / Addiere die. Gleichung zur. Gleichung x + 3y = 9 und 7y = 5 /:7 x + 3y = 9 und y 5 = 7 / Setze diesen Wert / für y in die. / Gleichung ein 5 5 x + 3 ( ) = 9 und y = x = und y = x 48 5 = /:( ) und y = 7 7 x = 4 7 und y = 5 7 S( 4 / 5 ) ist der Schnittpunkt eider Geraden. (siehe Aildung ) 7 7 V.0

17 KBWR, Duisurg Seite 7 von A. 4 rote Gerade g : x + 3y = 9 und laue Gerade g : x + y = V.0

18 KBWR, Duisurg Seite 8 von Allgemeine Lösung eines linearen Gleichungssystems mit dem Gleichsetzungsverfahren Gegeen sind zwei lineare Funktionen jeweils in Normalform mit unterschiedlichen Steigungen (a a ). ( a, a,, ) g : y = a x + und g : y = a x+ Die Koordinaten des Schnittpunktes S( x s / y s ) eider Geraden werden durch Gleichsetzen eider Normalformen erechnet: y s = a x s + und y s = a x s + Setzt man eide Gleichungen gleich, erhält man eine Gleichung für x s : y s = a x s + = a x s + ax s + = a x s + / a x s ax s a x s = / auf der linken Seite x s ausklammern (a a ) x s = / : (a a ) 0 xs = a a y s erechnet man danach durch Einsetzen des erechneten Wertes für x s in eine der eiden gegeenen Normalformen. y s = a + oder y s = a + a a a a V.0

19 KBWR, Duisurg Seite 9 von Allgemeine Lösung eines linearen Gleichungssystems mit dem Additionsverfahren Gegeen seien die sechs reellen Zahlen a,, c, a,, c, mit a, 0 und a, 0. Gegeen seien zwei mit "und" verundene lineare Gleichungen (= lineares Gleichungssystem): I: a x + y = c und II: a x + y = c Soll zuerst die Variale x erechnet werden, muß die Variale y durch Addition verschwinden. Daher multipliziert man die. Gleichung mit und die zweite Gleichung mit ( ): I: a x + y = c / 0 und II: a x + y = c / ( ) 0 Ia: a x + y = c und IIa: a ( )x + ( ) y = c / IIa+Ia Ia: a x + y = c und II: a x a x = c c / x ausklammern Ia: a x + y = c / : 0 und IIc: ( a a ) x = c c /: (a a ) 0 Falls a a 0 ist, kann durch a a dividiert werden: I: a x + y = c und IId: x = c c a a Mit entsprechender Rechnung erhält man für die Variale y: I: a x + y = c / a 0 und II: a x + y = c / ( a ) 0 Ia: a a x + a y = c a und IIa: a a x a y = a c / IIa + Ia Ia: a a x + a y = c a und II: a y a y = c a a c / y ausklammern Ia: a a x + a y = c a / : a 0 und IIc: ( a a ) y = c a a c / :( a a ) 0 I: a x + y = c und IId: y = ca ca ac ac = a a a a (Im letzten Schritt wurden nur die Vorzeichen des Zählers und des Nenners vertauscht!) Falls a, 0 und a, 0 und a a 0 sind, git es eine eindeutige Lösung des linearen Gleichungssystems, die sich aus den Koeffizienten des Systems erechnen läßt: c c (*) x = a a ac ac und y = a a Auffällig ist die gleiche Struktur eider Ergenisse im Zähler und im Nenner. Beide Nenner sind gleich. Siehe Aildung 5a V.0

20 KBWR, Duisurg Seite 0 von A. 5a a, 0 und a, 0. rote Gerade : a x+ y = c laue Gerade: a x+ y = c Welche Lösung(en) hat ein lineares Gleichungssystem (LGS wie oen), falls a = 0 und, a 0 ist? (In diesem Fall sind die Gleichungen II und IIa ei der Berechnung der Varialen y oen nicht mehr äquivalent!) I: 0 x + y = c /: 0 und II: a x + y = c Löst man dann die erste Gleichung nach y auf, und setzt dieses Ergenis in die zweite Gleichung ein, erhält man: Ia: y c = (Gerade parallel zur x-achse!) c und IIa: a x + ( siehe Aschnitt.:. Fall ) c = c / c Ia: y = c und II: a x = c / : a 0 c ac Ia: y = = (Erweiterung mit a ) a c und IIc: x = a c a = c c a Dieses Ergenis stimmt mit dem Ergenis (*) üerein. Im Ergenis (*) können die roten Produkte wegfallen, da sie gleich Null sind. Der grüne Erweiterungsfaktor verändert das Ergenis nicht. c c x = a a ac ac und y = a a c = ( Ein analoges Ergenis erhält man, falls a = 0 und 0 sein sollte!) c Falls zusätzlich = 0 ist, ist die eindeutige Lösung ist das Zahlenpaar ( a / c ). Siehe Aildung 5. V.0

21 KBWR, Duisurg Seite von Welche Lösung(en) hat ein lineares Gleichungssystem (LGS wie oen), falls = 0 und a, 0 ist? (In diesem Fall sind die Gleichungen II und IIa ei der Berechnung der Varialen x oen nicht mehr äquivalent!) I: a x + 0 y = c /: a 0 und II: a x + y = c Löst man dann die erste Gleichung nach x auf, und setzt dieses Ergenis in die zweite Gleichung ein, erhält man: c Ia: x = a c und IIa: a a (Gerade parallel zur y-achse!) ( siehe Aschnitt.:. Fall ) + y = c c / a a c Ia: x = a c und II: y = c a a = ac ac a / : 0 c I: x = a = c ( Erweiterung mit 0 ) a ac ac und IIc: y = a Dieses Ergenis stimmt mit dem Ergenis (*) üerein. Im Ergenis (*) können die roten Produkte wegfallen, da sie gleich Null sind. Der grüne Erweiterungsfaktor verändert das Ergenis nicht. c c x = a c = a ac ac und y = a a a ( Ein analoges Ergenis erhält man, falls = 0 und a 0 sein sollte!) c Falls zusätzlich a = 0 ist, ist die eindeutige Lösung das Zahlenpaar ( a / c ). Siehe Aildung 5c. A. 5 A. 5c a = 0, und a, 0 = 0 und a, 0 rote Gerade : y = c rote Gerade : a x = c laue Gerade: a x+ y = c und 0. laue Gerade: a x+ y = c und a 0. schwarze Gerade: a x = c und = 0. schwarze Gerade: y = c und a = 0. V.0

22 KBWR, Duisurg Seite von Fazit: Ein lineares Gleichungssystem a x + y = c und a x + y = c ist eindeutig lösar, falls a a 0 ist. Die eindeutige Lösung ist dann c c x = a a ac ac und y = a a Die Eindeutigkeit der Lösung hängt also nur von den Koeffizienten der Varialen x zw. y a, nicht jedoch von c zw. c. Welche Lösungsmenge ergit sich, falls a a = 0 ist. Es sind nun alle Fälle zu untersuchen, für die a a = 0 wird. Dies sind im wesentlichen vier verschiedene Fälle.. Fall: a = a = = = 0 ( vier Koeffizienten sind gleich Null) Das LGS hat die Form I: 0x + 0y = c und II: 0x + 0y = c Da die linke Seite immer Null ist, ist das LGS nur lösar, wenn c = c = 0 ist. In diesem Fall erfüllt jedes Zahlenpaar (x/y) eide Gleichungen. In allen anderen Fällen (c 0 oder c 0 ) ist das LGS nicht lösar.. Fall: a 0 und a = = = 0 ( drei Koeffizienten sind gleich Null, nur einer ist ungleich Null) Das LGS hat die Form I: a x + 0y = c und II: 0 x + 0y = c Falls c 0 ist, ist das LGS unlösar, da die zweite Gleichung nicht lösar ist. Ist c jedoch c = 0, so ist die Parallele zur y-achse mit der Gleichung x = a die Lösungsmenge. ( siehe Aschnitt., Seite 6,. Fall) Analoges gilt, falls a 0 und die drei anderen Koeffizienten gleich Null sind. Für den Fall, daß 0 und a = = a = 0 sind, hat das LGS die Form I: 0x + 0y = c und II: 0x + y = c Falls c 0 ist, ist das LGS unlösar, da die erste Gleichung nicht lösar ist. Ist c jedoch c = 0, so ist die Parallele zur x-achse mit der Gleichung y = die Lösungsmenge. ( siehe Aschnitt., Seite 5,. Fall) Analoges gilt, falls 0 und die drei anderen Koeffizienten gleich Null sind. In diesem. Fall ist die Lösungsmenge also entweder leer oder eine Parallele zu einer der eiden Koordinatenachsen. V.0

23 KBWR, Duisurg Seite 3 von Fall: a = 0 und a = 0 und 0 und 0 (zwei Koeffizienten sind gleich Null, die anderen zwei Koeffizienten sind ungleich Null) Das LGS hat in diesem Fall die Form I: 0x + y = c und II: 0x + y = c c Die Lösungsmenge ist leer, falls c ist. In diesem Fall hat man zwei c verschiedene Parallelen zur x-achse. Ist jedoch = c, dann ist die c Lösungsmenge des LGS diese eine Parallele zur x-achse: y = = c. ( Hinweis: In diesem Fall sind eide Gleichungen des LGS zueinander proportional, z.b. 3y = 5 und 9y = 5) Analoges gilt für den Fall a 0 und a 0 und = 0 und = 0. Der einzige Unterschied ist, daß die Parallele zur y-achse verläuft. oder a = 0 und = 0 und a 0 und 0 Das LGS hat in diesem Fall die Form I: 0x + 0y = c und II: a x + y = c Falls c 0 ist, ist die erste Gleichung nicht lösar. Also ist auch das LGS nicht lösar, d.h. seine Lösungsmenge ist leer. Ist jedoch c = 0, dann ist die Lösungsmenge des LGS die Lösungsmenge der zweiten Gleichung, d.h. die a Gerade mit der Gleichung y= x + c (siehe Aschnitt., Seite 7, 3. Fall) Analoges gilt für den Fall a 0 und 0 und a = 0 und = 0 4.Fall: a 0, a 0, 0, 0 aer a a = 0 ( vier Koeffizienten sind ungleich Null) a a = 0 a = a a a = ( eide Geraden sind parallel) c c Gilt nun =, dann ist die Lösungsmenge des LGS die Gerade mit der a c Gleichung y= x + = y= a x + c. ( Hinweis: In diesem Fall sind eide Gleichungen des LGS zueinander proportional, z.b. x + 3y = 5 und 6x + 9y = 5) c c Andernfalls ( ) ist die Lösungsmenge des LGS leer. V.0

24 KBWR, Duisurg Seite 4 von Aufgaen Berechnen Sie die Lösungsmengen der linearen Gleichungssysteme..7. 4x 7y = 6 und 3x + 5y = 9.7. x 3 y = 6 und 5 x y = x + 4y = 0 und 5x 9y = x + 3y = 6 und 4x + 5y = x + 6y = 0 und 0x 8y = x + y = 3 und 5x + 4y = x 6 7 y = 3 4 und 5 6 x y = x + 6y = und 7x + y = x 5y = 0 und 3x + 8y = x 6y = 5 und 4x + 8y = x 0y = 5 und x + 3y = x 6y = 3 und 0x + 0y = x 8y = 4 und 4x + 7y = x 3 y = und x + y = x 8y = 0 und 0x + 8y = x 6y = und 6x + 3y = 6 V.0

25 KBWR, Duisurg Seite 5 von Zweireihige Determinanten Gegeen seien die sechs reellen Zahlen a,, c, a,, c. Gegeen seien zwei mit "und" verundene lineare Gleichungen (= lineares Gleichungssystem): I: a x + y = c und II: a x + y = c O ein lineares Gleichungssystem eindeutig lösar ist, hängt nur von den Koeffizienten der Varialen x und y a, also nur von den Zahlen a,, a,. Ist das lineare Gleichungssystem eindeutig lösar, so fällt die gleiche Struktur von Zähler und Nenner der eiden Lösungen (siehe Seite 9) c c (*) x = a a ac ac und y = a a ins Auge. Das folgende Schema ohne die Varialen x, y hilft ei der Berechnung:. Spalte. Spalte Lösungsspalte c a c () a c In Pfeilrichtung wird jeweils multipliziert: a a =: D, woei das zweite Produkt noch ein negatives Vorzeichen erhält. Ist diese Differenz ungleich 0, so ist das lineare Gleichungssystem eindeutig lösar und man kann die Varialen x und y nach dem gleichen Schema erechnen. Der Nenner eider Varialen esteht aus der Zahl D ( 0). Für die Berechnung der Varialen x ersetzt man die. Spalte durch die Lösungsspalte c: c () c Das gleiche Schema ergit den Zähler der Varialen x: c c =: D x. Für die Berechnung der Varialen y ersetzt man die. Spalte durch die Lösungsspalte c: a c (3) a c Das gleiche Schema ergit den Zähler der Varialen y: a c a c =: D y. Die Lösungen des linearen Gleichungssystems können also vereinfacht geschrieen werden. Nach dem Schweizer Mathematiker Cramer wird dies "die Cramersche Regel" genannt: D D x (4) Falls D 0 ist, gilt x = und y = y D D. Um ein eindeutig lösares lineares Gleichungssystem mit zwei Varialen zu lösen, muß man nur drei "Determinanten" erechnen. 3. Definition der zweireihigen Determinante: Sind a,, c, d vier elieige reelle Zahlen, angeordnet in zwei Zeilen und zwei Spalten, dann heißt die Zahl a a a d c =: Determinante der (,)-Matrix. c d c d Die Cramersche Regel wurde 750 von Gariel Cramer in seinem Buch Introduction a l analyse de lignes coures algeriques veröffentlicht. Zitiert nach Wikipedia. V.0

26 KBWR, Duisurg Seite 6 von Beispiele: Berechnung von Determinanten = = 8 0 = = ( ) 6 ( 7) ( 5) = 35 = = = = 0. x x = x x = x². x (x + ) x = x x (x+) = x² x. 4 a + a a a+ = 4 ((a + )² (a )²) = 4 ( a² + a + ² ( a² a + ²)) = 4 (a² + a + ² a² + a ²) = a 3. Aufgaen: Berechnen Sie die folgenden Determinanten = = = 3..4 a a = a a = 3..6 a = a a = 3..8 a = a 3..9 x x x = 3..0 a+ a a + = 3.3 Aufgaen: Lösen Sie die folgenden Gleichungssysteme mit Determinanten. Das Zeichen " " ist das logische Symol für das Wort "und" x + 3y = x y = 3 5x + 6y = 7 4x + 5y = x + 7y = x + 8y = 5 9x + 8y = 4 5x 0y = x + 3y = x 4y = 5x + 6y = 7 9x + 4y = V x + 3 y = x y = x 3 3 y = 7 x + 3 y= - 4

27 KBWR, Duisurg Seite 7 von Eigenschaften von Determinanten 3.4. Besteht eine Zeile oder Spalte einer Determinante nur aus Nullen, hat die Determinante den Wert Null. 0 0 c d = 0 d 0 c = 0 0 = 0 oder 0 0 d = 0 d 0 = 0 0 = Sind zwei Zeilen oder Spalten einer Determinante zueinander proportional, hat die Determinante den Wert Null. ( k Proportionalitätsfaktor) a ka c kc = a kc c ka = ack ack = Vertauscht man ei einer Determinante die Zeilen mit den Spalten, ändert sich der Wert der Determinante nicht. a c d = a d c = a d c = a c d Vertauscht man ei einer Determinante die Zeilen (oder die Spalten), ändert die Determinante ihr Vorzeichen. a c d = a d c = ( c a d ) = c d a Man multipliziert eine Determinante mit einer reellen Zahl k, indem man die Elemente einer Zeile oder Spalte mit k multipliziert. k a c d = k ( a d c ) = kad kc = (ka)d (k)c = ka k c d oder k a c d = k ( a d c ) = kad kc = (ka)d (kc) = ka kc d Addiert man zu den Elementen einer Zeile (Spalte) ein elieiges Vielfaches der Elemente einer anderen Zeile, so ändert sich der Wert der Determinante nicht. a+ kc + kd c d = (a+kc) d (+kd) c = a d c + k (c d c d) = a c d Unterscheiden sich zwei Determinanten nur in den Elementen einer Zeile (Spalte), so können sie addiert werden. a c d + e f c d a+ e + f = a d c + e d f c = (a+e) d c (+f) = c d Die Summe eider Determinanten ist die Determinante, die durch Addition entsprechender Elemente der unterschiedlichen Zeile (Spalte) entsteht. Gleiche Zeilen (Spalten) leien unverändert erhalten. V.0

28 KBWR, Duisurg Seite 8 von Welche Vorteile ieten die Determinantensätze? Dazu einige Beispiele = 6 6 i 6 4 6i 4 = 0 (nach Satz 3.4.) = = = = 3 7 (7 9) = =.55 (nach Satz 3.4.5) = =.55 ( nach Definition erechnet) ( Im Zeitalter des Taschenrechners nicht mehr unedingt ein großer Vorteil. Bei Varialen aer immer noch ein Vorteil!) a+ a (a + ) a a = (a + ) a+ a = (a + ) a a+ a = (a + ) a ( a ( a + )) = (a + ) a ( ) = a(a + ) (nach Satz 3.4.5) = 34 8 i i = i43 8i = = 567 (nach Satz und 3.4.) Mit Hilfe der Determinantensätze können Determinanten leichter erechnet werden. 3.5 Lösungen ausgewählter Aufgaen: Aufgae.4:.4. S x ( 8 3 / 0) S y( 0 /.4. S x (3 / 0) S y ( 0 / 8 ) 5 3 ).4.3 S x ( 8 / 0) S y ( 0 / 3 5 ).4.4 S x ( / 0) Sy ( 0 /.4.5 S x ( / 0) S y ( 0 /.4.6 S x ( / 0) S y ( 0 / 3 ) 4 4 ) 3 8 ) 5 V.0

29 KBWR, Duisurg Seite 9 von Aufgae.7: Nr. a a c c D x y / - /3 - / / /4 7/ /3 5/6 6 3 / - 6/7 5/6 4/5 3/4 7/30 3 8/35 3/3 67/ / / /47-9/ /7 4 7/ /7 0/ leer leer /3-8/3 4 3/4 - /3 / 3 /6 5/3 / x el. y = (6/3) x- Aufgae 3.: = 4 3 = 4 6 = = = = 0 0 = a a = a a = 0 a a = a + a = a 3..6 a = a 3..7 a a = a² ² 3..8 a a = a³ ³ 3..9 x x x = x³ x² 3..0 a+ a a + = (a+)² 4a=(a )² Aufgae 3.3: /5 - / /59 48/ /75 3 3/ /37-4/ /5-9/0 7 / /3 3/4 5/6 5/ / - / 3 /6-3/4 8 7/9-3/ - / 3/8 3/ /63 5 /8 5 33/5 V.0

30 KBWR, Duisurg Seite 30 von Geschichtliches (Zitat: Wikipedia) Gariel Cramer Gariel Cramer (* 3. Juli 704 in Genf, Schweiz, 4. Januar 75 in Bagnols-sur-Cèze, Frankreich) war ein Schweizer Mathematiker. Die Cramersche Regel wurde 750 von Gariel Cramer in seinem Buch Introduction a l analyse de lignes coures algeriques [] [3] veröffentlicht. Er ga darin explizit die Formeln für lineare Gleichungssystem mit is zu drei Gleichungen an. Für Gleichungssystem höheren Rangs eschrie er wie man die Lösungsformeln erstellen kann. Da die Determinante noch nicht eingeführt war, verwendete er Polynome, wie sie auch die Leiniz-Formel erzeugt. Die Leistung Cramers estand unter anderem darin, eine Regel für den daei auftretenden Vorzeichenwechsel zu finden. Er indizierte die Unekannten, allerdings noch nicht ganz in der heutigen Form. Cramer war auch ewusst, dass lineare Gleichungssystem nicht immer eindeutig lösar sind. [4] Cramer selst ga keinen Beweis für seine Formel an. Diesen lieferte erst Augustin Louis Cauchy im Jahr 85. Daei führte er auch die heutzutage verwendete Notation der Cramerschen Regel ein. Étienne Bézout zeigte 764, dass das Polynom im Nenner Null wird, wenn das Gleichungssystem nicht eindeutig lösar ist. [4] Gottfried Wilhelm Leiniz rachte die Cramersche Regel schon 678 in einem Manuskript zu Papier. Dieses wurde allerdings erst später entdeckt und hatte somit kein Auswirkung auf die Entwicklung von Lösungsverfahren für lineare Gleichungssystem. [4] Colin Maclaurin eschrie in seinem Werk Treatise of Algera Formeln für die Lösungen von linearen Gleichungssystemen aus zwei oder drei Gleichungen, die identisch mit der Cramerschen Regel sind. Owohl er aufzeigte, dass man diese Formeln auch auf Gleichungssystem mit mehreren Gleichungen erweitern kann, fehlte ihm dazu der letzte Schritt. Er konnte nicht aufzeigen, wie man die Vorzeichen in den daei verwendeten Polynomen richtig setzt. Ende des 0. Jahrhunderts entfachte C. B. Boyer einen Streit unter Mathematik-Historikern, o Maclaurin oder Cramer der Entdecker der Formel war. [5] Er empfahl auch eine Umenennung in Maclaurin-Cramer-Regel. V.0