Brückenkurs Mathematik. Dienstag Freitag

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1 Brückenkurs Mathematik Dienstag Freitag 2.0. Vorlesung 5 Elementare Funktionen Kai Rothe Technische Universität Hamburg Dienstag 9.0.

2 0 Brückenkurs Mathematik, c K.Rothe, Vorlesung 5 Umkehrfunktion Wurzelfunktion Rationale Funktionen Eigenschaften rationaler Funktionen Sinus- und Kosinusfunktion Tangensfunktion Arkussinus Arkuskosinus Arkustangens Exponentialfunktionen Natürlicher Logarithmus Logarithmus zur Basis b Sinus Hperbolicus Cosinus Hperbolicus Tangens Hperbolicus Area Sinus Hperbolicus Area Cosinus Hperbolicus

3 Brückenkurs Mathematik, c K.Rothe, Vorlesung 5 Umkehrfunktion Für die Funktion f : R R, x = f(x) heißt die Funktion g : R R, x = g() (globale) Umkehrfunktion falls für alle x R gilt Man schreibt g =: f. g(f(x)) = x. Graph der Umkehrfunktion Man erhält den Graphen der Umkehrfunktion durch Spiegelung des Funktionsgraphen an der Winkelhalbierenden = x. Berechnung der Umkehrfunktion Man berechnet die Umkehrfunktion zu = f(x), indem man die Funktion nach x auflöst (wenn dies möglich ist), d.h. x = g() ermittelt.

4 2 Brückenkurs Mathematik, c K.Rothe, Vorlesung 5 Beispiel f : R R, x = x x f(x) = x x x = f () = 3 =: /3 Wurzelfunktion (3.Wurzel) Bemerkung: Über die Potenzrechengesetze erhält man so f (f(x)) = (x 3 ) /3 = x 3/3 = x. Damit sind als Potenzen von x auch rationale Zahlen erklärt. Man erhält x n/m = m x n.

5 Brückenkurs Mathematik, c K.Rothe, Vorlesung 5 3 Beispiel x -0.2 f(x) = x x Spiegelung von f(x) = x 2 an der Winkelhalbierenden Problem Der gespiegelte Funktionsgraph stellt keine Funktion g() dar.

6 4 Brückenkurs Mathematik, c K.Rothe, Vorlesung 5 Abhilfe Es wird nur für x 0 gespiegelt, der Definitionsbereich von f wird also eingeschränkt. f : R + 0 R + 0, x = x x f(x) = x x f () = = /2 Quadratwurzelfunktion

7 Brückenkurs Mathematik, c K.Rothe, Vorlesung 5 5 Rationale Funktionen Der Quotient aus zwei Polnomen f(x) = p(x) q(x) p(x) = m a k x k und q(x) = k=0 n b k x k k=0 vom Grad m bzw. n heißt rationale Funktion. Die Funktion f heißt (echt) gebrochen rational, falls der Grad des Nennerpolnoms (echt) größer als der Grad des Zählerpolnoms ist, d.h. n > m.

8 6 Brückenkurs Mathematik, c K.Rothe, Vorlesung 5 Polnomialen Anteil abspalten: Die rationale Funktion wird im Falle m n p(x) q(x) = p(x) + r(x) q(x) durch Polnomdivision in einen polnomialen Anteil p und einen echt gebrochen rationalen Anteil r zerlegt, falls r 0. Kürzen gemeinsamer Linearfaktoren: Besitzen p und q eine gemeinsame Nullstelle x 0, so kann durch Polnomdivision der zugehörige Linearfaktor jeweils abgespalten werden: p(x) = (x x 0 )ˆp(x) und q(x) = (x x 0 )ˆq(x). Anschließend kann (x x 0 ) gekürzt werden, genauer: f(x) = p(x) q(x) = (x x 0)ˆp(x) (x x 0 )ˆq(x) = ˆp(x) ˆq(x).

9 Brückenkurs Mathematik, c K.Rothe, Vorlesung 5 7 Eigenschaften rationaler Funktionen Definitionsbereich: Definitionlücken: Nennernullstellen von p(x) q(x) Klassifizierung der Nennernullstelle x j : Der Linearfaktor (x x j ) wird, so oft dies möglich ist im Zähler und Nenner gekürzt. Ist nach dem Kürzen x j keine Nennernullstelle mehr, so ist x j hebbare Definitionslücke. x j eine s-fache Nennernullsteller, so ist x j ein Pol der Ordnung s. s gerade kein Vorzeichenwechsel im Pol. s ungerade Vorzeichenwechsel im Pol.

10 8 Brückenkurs Mathematik, c K.Rothe, Vorlesung 5 Smmetrie: p(x) q(x) = p(x) q(x) p, q besitzen jeweils nur gerade Potenzen p(x) q(x) ist gerade p, q besitzen jeweils nur ungerade Potenzen p(x) q(x) ist gerade p besitzt nur gerade und q nur ungerade Potenzen oder umgekehrt p(x) q(x) ist ungerade Nullstellen: p(x) q(x) = 0 (vollständig gekürzt) p(x) = 0

11 Brückenkurs Mathematik, c K.Rothe, Vorlesung 5 9 Asmptotisches Verhalten:.Fall: m < n, d.h. p(x) q(x) ist echt gebrochen rational x ± p(x) q(x) 0 2.Fall: m n, Grad von r ist kleiner n p(x) q(x) = p(x) + r(x) q(x) p(x) q(x) p(x) = r(x) q(x) x ± p(x) p(x) p(x) 0 q(x) q(x) p(x) Asmptotisches Verhalten: p(x) q(x) besitzt das asmptotische Verhalten des durch Polnomdivision abdividierten polnomialen Anteils p(x).

12 0 Brückenkurs Mathematik, c K.Rothe, Vorlesung 5 Beispiel: x p(x) Funktionsgraph zu q(x) = x + x 2 x + x 2 = x + (x + )(x ) = x Definitionsbereich: D = R\{, } x = : hebbare Definitionslücke x 2 = : Pol der Ordnung mit Vorzeichenwechsel Smmetrie: keine Nullstellen: keine Asmptote: x ± x + x 2 0

13 Brückenkurs Mathematik, c K.Rothe, Vorlesung 5 Beispiel: x Funktionsgraph zu x 2 + x = x + x p(x) q(x) = x2 + x Definitionsbereich: D = R\{0} x 2 = 0: Pol der Ordnung mit Vorzeichenwechsel Smmetrie: Nullstellen: ungerade Funktion keine Asmptote: x ± x2 + x x

14 2 Brückenkurs Mathematik, c K.Rothe, Vorlesung 5 Sinus- und Kosinusfunktion Die Sinus-Funktion sin und die Kosinus-Funktion cos lassen sich im Einheitskreis als die -Koordinate bzw. die x-koordinate der Punkte auf dem Einheitskreis wiederfinden. -Achse sin(α) r = α cos(α) x-achse

15 Brückenkurs Mathematik, c K.Rothe, Vorlesung 5 3 Wir geben den Winkel α immer im Bogenmaß an, der Länge des Kreisbogens also, der durch den Winkel vom Einheitskreis abgetrennt wird, d.h. α [0, 2π) x Einheitskreis r = Dem Umfang 2π des Kreises entsprechen 360. Mit dem Dreisatz lassen sich Bogenmaß und das entsprechende Gradmaß ineinander umrechnen. Der Satz des Pthagoras lautet: cos 2 α + sin 2 α =, α [0, 2π).

16 4 Brückenkurs Mathematik, c K.Rothe, Vorlesung 5 Wertetabelle α 0 π 6 π 4 π 3 π 2 sin(α) cos(α) Beispiele für cos 2 α + sin 2 α = α = 0 cos sin 2 0 = = α = π 6 cos 2 ( π 6 ) + sin 2 ( π 6 ) = ( ) ( ) 2 = =

17 Brückenkurs Mathematik, c K.Rothe, Vorlesung 5 5 Daraus ergeben sich folgende Graphen der Sinus- und der Kosinusfunktion x Funktionsgraph sin α, α [0, 2π) x Funktionsgraph cos α, α [0, 2π)

18 6 Brückenkurs Mathematik, c K.Rothe, Vorlesung 5 Eigenschaften von Sinus und Kosinus 2π-periodisch: sin(x + 2π) = sin(x) cos(x + 2π) = cos(x). Verschiebung ( sin(x) = cos x π ), 2 ( cos(x) = sin x + π ). 2

19 Brückenkurs Mathematik, c K.Rothe, Vorlesung 5 7 Eigenschaften von Sinus und Kosinus Definitionsbereich: D = R Wertebereich: x R : sin(x) [, ], cos(x) [, ]. Nullstellen: cos sin(kπ) = 0, k Z, ( (2k + ) π ) 2 = 0, k Z. Smmetrie: sin( x) = sin(x) cos( x) = cos(x) ungerade Funktion, gerade Funktion

20 8 Brückenkurs Mathematik, c K.Rothe, Vorlesung 5 Eigenschaften von Sinus und Kosinus Reihenentwicklung: cos(x) = sin(x) = k=0 k=0 ( ) k (2k)! x2k = x2 2! + x4 4! x6 6!, ( ) k (2k + )! x2k+ = x x3 3! + x5 5! x7 7! Additionstheoreme: sin 2 (x) + cos 2 (x) =, sin(x + ) = sin(x) cos() + sin() cos(x), cos(x + ) = cos(x) cos() sin(x) sin().

21 Brückenkurs Mathematik, c K.Rothe, Vorlesung 5 9 Tangensfunktion Mit Hilfe des Strahlensatzes ergibt sich -Achse sin(α) α cos(α) tan(α) x-achse sin(α) cos(α) =: tan(α) = tan(α) und damit die Definition des Tangens.

22 20 Brückenkurs Mathematik, c K.Rothe, Vorlesung 5 Funktionsgraph der Tangensfunktion tan x, x [ 2π, 2π] x

23 Brückenkurs Mathematik, c K.Rothe, Vorlesung 5 2 Eigenschaften der Tangensfunktion Definitionsbereich Definitionslücken liegen in den Nullstellen von cos α D = R\ {x = (2k + ) π } 2, k Z π-periodisch: tan(x + π) = tan(x) Verhalten in den Definitionslücken: x (2k + ) π 2 tan(x) +, x (2k + ) π 2 tan(x) Wertebereich Smmetrie: tan(d) = R ungerade Funktion Nullstellen tan(x) = 0 sin(x) = 0 x = kπ, k Z, tan(x) = sin(x) = cos(x) x = π 4 + kπ.

24 22 Brückenkurs Mathematik, c K.Rothe, Vorlesung 5 Umkehrung trigonometrischer Funktionen Die trigonometrischen Funktionen sin, cos, tan besitzen auf dem entsprechenden Intervall, auf denen sie eineindeutig sind, die folgenden Umkehrfunktionen: Erinnerung: Den Graphen der Umkehrfunktionen erhält man durch Spiegelung des Funktionsgraphen an der Winkelhalbierenden. arcsin : [, ] [ π 2, π ], 2 arccos : [, ] [0, π], arctan : R ( π 2, π ). 2

25 Brückenkurs Mathematik, c K.Rothe, Vorlesung 5 23 Arkussinus Der Sinus ist auf dem Intervall [ π/2, π/2] streng monoton wachsend und deshalb umkehrbar und besitzt dort die streng monoton wachsende Umkehrfunktion arcsin x = sin x, x.5 x [ π/2, π/2] x = arcsin, [, ]

26 24 Brückenkurs Mathematik, c K.Rothe, Vorlesung 5 Arkussinus Wichtige Werte der Umkehrfunktionen lassen sich mit Hilfe der Funktionen selbst leicht berechnen: Es ist arcsin(sin(x)) = x, also folgt beispielsweise arcsin(0) = 0, denn 0 = sin(0), arcsin() = π ( π ) 2, denn = sin, 2 arcsin( ) = π ( 2, denn = sin π ) 2

27 Brückenkurs Mathematik, c K.Rothe, Vorlesung 5 25 Arkussinus Der Arkussinus ordnet einer gegebenen Länge, die den Abstand von der x-achse zum Einheitskreis angibt, die entsprechende Bogenlänge arcsin() zu x Einheitskreis Analog: Der Arkuskosinus ordnet einer gegeben Länge x, die den Abstand von der -Achse zum Einheitskreis angibt, die entsprechende Bogenlänge arccos(x) zu.

28 26 Brückenkurs Mathematik, c K.Rothe, Vorlesung 5 Arkuskosinus Der Kosinus ist auf dem Intervall [0, π] streng monoton fallend und deshalb umkehrbar und besitzt dort die streng monoton fallende Umkehrfunktion arccos x = cos x, x [0, π] x x = arccos, [, ]

29 Brückenkurs Mathematik, c K.Rothe, Vorlesung 5 27 Arkustangens Der Tangens ist auf dem Intervall ] π 2, π 2[ streng monoton wachsend und deshalb umkehrbar und besitzt dort die streng monoton wachsende Umkehrfunktion arctan x -2.5 = tan x, x x ] π/2, π/2[ x = arctan, R

30 28 Brückenkurs Mathematik, c K.Rothe, Vorlesung 5 Exponentialfunktion Die Eulersche Zahl e = 2, wird als Basis der Exponentialfunktion exp verwendet: exp(x) := e x. Reihenentwicklung der Exponentialfunktion: e x = k=0 x k k! = + x! + x2 2! + x3 3! + x4 4! + x5 5! Langsam konvergente Darstellung: e x = lim ( + x ) n. n n

31 Brückenkurs Mathematik, c K.Rothe, Vorlesung 5 29 Exponentialfunktion Rechenregeln: x, R e 0 = exp(0) =, e x+ = e x e exp(x + ) = exp(x) exp(), e x = e x exp( x) = exp(x). Allgemeine Exponentialfunktion a x Die Exponentialfunktion a x zur allgemeinen Basis a > 0 lässt sich mit Hilfe der Exponentialfunktion zur Basis e darstellen: a x = exp(ln(a x )) = e ln ax = e x ln a. Der natürliche Logarithmus ln ist dabei die Umkehrfunktion zu exp.

32 30 Brückenkurs Mathematik, c K.Rothe, Vorlesung 5 Eigenschaften der Exponentialfunktion Definitionsbereich: D = R positiv: e x > 0, x R streng monoton wachsend: (e x ) = e x > 0, x R lim x ex = 0 lim x e x = wächst schneller als x n, n N lim x x n e x = 0

33 Brückenkurs Mathematik, c K.Rothe, Vorlesung 5 3 Funktionsgraph der Exponentialfunktion x exp x, x R x Wachstumsvergleich: x 0, e x, x R

34 32 Brückenkurs Mathematik, c K.Rothe, Vorlesung 5 Natürlicher Logarithmus Die Exponentialfunktion exp : R R + x exp(x) ist auf ganz R streng monoton wachsend und besitzt eine streng monoton wachsende Umkehrfunktion, den natürlichen Logarithmus ln : R + R ln()

35 Brückenkurs Mathematik, c K.Rothe, Vorlesung 5 33 Funktionsgraph des natürlichen Logarithmus x e x = exp x, x R -3 x ln, R +

36 34 Brückenkurs Mathematik, c K.Rothe, Vorlesung 5 Rechenregeln des natürlicher Logarithmus Es gilt für x R, R + : = e x x = ln, x = e ln x x = ln(e x ). Aus den Eigenschaften der Exponentialfunktion ergeben sich folgende Eigenschaften für deren Umkehrfunktion: Rechenregeln: x, R + ln() = 0, ln(e) =, ln(x) + ln() = ln(x ), ln(x) ln() = ln ( ) x, ln(x a ) = a ln(x)

37 Brückenkurs Mathematik, c K.Rothe, Vorlesung 5 35 Eigenschaften des natürlichen Logarithmus Definitionsbereich: D = R + Wertebereich: W = R streng monoton wachsend: x R + = ln x x = e (ln x) = (e ) = e = x > 0 lim ln x = lim ln x = x 0+ x wächst langsamer als x n, n N ln x lim x x = 0 n Logarithmus zur Basis a > 0, a Berechnung der Umkehrfunktion zu = a x : ln = ln a x = x ln a x = ln ln a =: log a()

38 36 Brückenkurs Mathematik, c K.Rothe, Vorlesung 5 Hperbelfunktionen Mit Hilfe der Exponentialfunktion werden die hperbolischen Funktionen definiert: Sinus Hperbolicus: sinh : R R x sinh(x) := 2 (ex e x ) x sinh x, x R

39 Brückenkurs Mathematik, c K.Rothe, Vorlesung 5 37 Kosinus Hperbolicus: cosh : R R x cosh(x) := 2 (ex + e x ) x Kettenlinie: cosh x, x R

40 38 Brückenkurs Mathematik, c K.Rothe, Vorlesung 5 Tangens Hperbolicus: tanh : R R x tanh(x) := sinh(x) cosh(x) x tanh x, x R

41 Brückenkurs Mathematik, c K.Rothe, Vorlesung 5 39 Eigenschaften der Hperbelfunktionen Definitionsbereich: D = R sinh x ist eine ungerade Funktion cosh x ist eine gerade Funktion Additionstheorem: cosh 2 x sinh 2 x =, x R Beweis: cosh 2 x sinh 2 x ( ( = e x + e x)) 2 ( ( e x e x)) = ( (e x ) 2 + 2e x e x + (e x ) 2 ((e x ) 2 2e x e x + (e x ) 2 ) ) 4 = ( 4e x e x) = e x e x = e x x = e 0 = 4

42 40 Brückenkurs Mathematik, c K.Rothe, Vorlesung 5 Umkehrfunktion von Sinus Hperbolicus Area Sinus Hperbolicus: arsinh : R R x arsinh(x) x -2-4 Durch Auflösen von arsinh x, x = sinh = 2 x R ( e e ) zunächst nach u = e und dann nach erhält man = arsinh(x) = ln (x + ) + x 2.

43 Brückenkurs Mathematik, c K.Rothe, Vorlesung 5 4 Umkehrfunktion von Kosinus Hperbolicus Area Kosinus Hperbolicus: arcosh : [, [ [0, [ x arcosh(x) x arcosh x, x [, [ Durch Auflösen von x = cosh = 2 ( e + e ) nach erhält man = arcosh(x) = ln ( x + ) x 2.