Einführung in die Mathematik für Wirtschaftswissenschaften.
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- Laura Simen
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1 Einführung in die Mathematik für Wirtschaftswissenschaften. Mathias Sawall Institut für Mathematik, Universität Rostock WS 2018/2019 Mathias Sawall Einführung in die Mathematik für Wirtschaftswissenschaften 1 / 255
2 Übersicht 1. Motivation 2. Grundlagen 3. Analysis 4. Lineare Algebra 5. Literatur Mathias Sawall Einführung in die Mathematik für Wirtschaftswissenschaften 1 / 255
3 Motivation Allgemeine und spezielle Motivation: - Nobelpreis, - Finanzmathematik, - Prüfungsaufgaben. Etwas Geschichte: - John Forbes Nash Jr. - Black-Scholes Fromel (Bewertung von Finanzoptionen) Mathias Sawall Einführung in die Mathematik für Wirtschaftswissenschaften 3 / 255
4 Ein leichtgewichtiges Prüfungsproblem Beispiel 1 Das Startup hat monatliche Kosten in Höhe von e. Erste zahlende Kunden werden ab Monat 19 erwartet, die Einnahmen werden zunächst 3 000e/Monat betragen und geometrisch mit 5% pro Monat zulegen. 1. Ab welchem Monat übersteigen die Einnahmen die Kosten? 2. Ab welchem Monat übersteigen die kummulierten Einnahmen die aufgelaufenen Kosten inklusive Startkapital von e? Lösung: 1. Löse = (1+0.05) i 19 i = ab dem 48. Monat. 2. Löse n n = (1+0.05) i 19 i = ab dem 77. i=19 Mathias Sawall Einführung in die Mathematik für Wirtschaftswissenschaften 4 / 255
5 Ein leichtgewichtiges Prüfungsproblem Beispiel 1 Das Startup hat monatliche Kosten in Höhe von e. Erste zahlende Kunden werden ab Monat 19 erwartet, die Einnahmen werden zunächst 3 000e/Monat betragen und geometrisch mit 5% pro Monat zulegen. 1. Ab welchem Monat übersteigen die Einnahmen die Kosten? 2. Ab welchem Monat übersteigen die kummulierten Einnahmen die aufgelaufenen Kosten inklusive Startkapital von e? Lösung: 1. Löse = (1+0.05) i 19 i = ab dem 48. Monat. 2. Löse n n = (1+0.05) i 19 i = ab dem 77. i=19 Mathias Sawall Einführung in die Mathematik für Wirtschaftswissenschaften 4 / 255
6 Ein leichtgewichtiges Prüfungsproblem x 10 4 monatliche Einnahmen 3.5 kum. Ausg. & Einn. x Monat Monat Mathias Sawall Einführung in die Mathematik für Wirtschaftswissenschaften 5 / 255
7 Ein mittelschweres Prüfungsproblem Beispiel 2 Die Domino-Bankengruppe analysiert die Geschäftszahlen der letzten 6 Monate: Berechnen Sie a) eine lineare und b) eine quadratische [225, 230, 230, 200, 160, 110]. Funktion, die die Daten im Sinne der kleinsten Quadrate approximiert! Bestimmen Sie jeweils den Nulldurchgang! Lösung: a. Löse b. Löse 5 (a + bx i y i ) 2 min! f(x) = x. i=0 5 (a+bx i + cx 2 i y i ) 2 min! f(x) = x 7.77x 2. i=0 Mathias Sawall Einführung in die Mathematik für Wirtschaftswissenschaften 6 / 255
8 Ein mittelschweres Prüfungsproblem Beispiel 2 Die Domino-Bankengruppe analysiert die Geschäftszahlen der letzten 6 Monate: Berechnen Sie a) eine lineare und b) eine quadratische [225, 230, 230, 200, 160, 110]. Funktion, die die Daten im Sinne der kleinsten Quadrate approximiert! Bestimmen Sie jeweils den Nulldurchgang! Lösung: a. Löse b. Löse 5 (a + bx i y i ) 2 min! f(x) = x. i=0 5 (a+bx i + cx 2 i y i ) 2 min! f(x) = x 7.77x 2. i=0 Mathias Sawall Einführung in die Mathematik für Wirtschaftswissenschaften 6 / 255
9 Ein mittelschweres Prüfungsproblem Approximationen Nulldurchgänge Monat Monat Mathias Sawall Einführung in die Mathematik für Wirtschaftswissenschaften 7 / 255
10 Noch ein mittelschweres Prüfungsproblem Beispiel 3 Ein Werbeplan soll erstellt werden. Eine Sekunde Werbung kostet im Radio eine Geldeinheit und im TV zwei Geldeinheiten. Als Wirkungsfunktion wird f(x 1, x 2) = x 1 + 2x 2 + x 1x 2 angesetzt mit x 1 Sekunden Werbung im Radio und x 2 Sekunden Werbung im TV. Das Budget beträgt 1000 Geldeinheiten und die Wirkung soll maximiert werden. Lösung: - Nebenbedingung ist formal x 1 + 2x , wir wollen maximale Wirkung und nehmen gleich x 1 + 2x 2 = 1000, - Lagrange-Funktion L mit Lagrange-Multiplikator λ lautet L(x 1, x 2,λ) = x 1 + 2x 2 + x 1 x 2 +λ(x 1 + 2x ), - partielle Ableitungen und notwendige Optimalitätsbedigungen führen auf - Optimalität für x 1 = 500, x 2 = 250. x 2 +λ = 1, x 1 + 2λ = 2, x 1 + 2x 2 = 1000, Mathias Sawall Einführung in die Mathematik für Wirtschaftswissenschaften 8 / 255
11 Noch ein mittelschweres Prüfungsproblem Beispiel 3 Ein Werbeplan soll erstellt werden. Eine Sekunde Werbung kostet im Radio eine Geldeinheit und im TV zwei Geldeinheiten. Als Wirkungsfunktion wird f(x 1, x 2) = x 1 + 2x 2 + x 1x 2 angesetzt mit x 1 Sekunden Werbung im Radio und x 2 Sekunden Werbung im TV. Das Budget beträgt 1000 Geldeinheiten und die Wirkung soll maximiert werden. Lösung: - Nebenbedingung ist formal x 1 + 2x , wir wollen maximale Wirkung und nehmen gleich x 1 + 2x 2 = 1000, - Lagrange-Funktion L mit Lagrange-Multiplikator λ lautet L(x 1, x 2,λ) = x 1 + 2x 2 + x 1 x 2 +λ(x 1 + 2x ), - partielle Ableitungen und notwendige Optimalitätsbedigungen führen auf - Optimalität für x 1 = 500, x 2 = 250. x 2 +λ = 1, x 1 + 2λ = 2, x 1 + 2x 2 = 1000, Mathias Sawall Einführung in die Mathematik für Wirtschaftswissenschaften 8 / 255
12 Noch ein mittelschweres Prüfungsproblem x Wirkung x1 x2 Mathias Sawall Einführung in die Mathematik für Wirtschaftswissenschaften 9 / 255
13 Übersicht 1. Motivation 2. Grundlagen 3. Analysis 4. Lineare Algebra 5. Literatur Mathias Sawall Einführung in die Mathematik für Wirtschaftswissenschaften 9 / 255
14 Übersicht 1. Motivation 2. Grundlagen 2.1 Elementare Funktionenklassen 2.2 Begriffe und Strukturen 3. Analysis 4. Lineare Algebra 5. Literatur Mathias Sawall Einführung in die Mathematik für Wirtschaftswissenschaften 9 / 255
15 Notation Mathematische Symbolschreibweise: - Allquantor: für alle, - Existenzquantor: es gibt ein, - Verschärfung:! es gibt genau ein, - Verneinung: es gibt kein, - Elementzeichen: enthalten in. Beispiele: - n N: n 2 N, - n N: n / N, - n N: n+1 N, -!n N: n 1 / N. Mathias Sawall Einführung in die Mathematik für Wirtschaftswissenschaften 10 / 255
16 Was braucht man? +, -, *, / x 2, x 3, x 4,... x 1, x 2, x 3,... x, 3 x, x3, x 3/7,... exp(x), e 2 3 ln(x), log(x), log 2 (x) sin(x), cos(x), tan(x), cot(x) arcsin(x), arccos(x), arctan(x) sinh(x), cosh(x), tanh(x), coth(x) Mathias Sawall Einführung in die Mathematik für Wirtschaftswissenschaften 11 / 255
17 Was haben Excel & LibreOffice? Es gibt andere Tabellenkalkulationen und bessere Matheprogramme. Mathias Sawall Einführung in die Mathematik für Wirtschaftswissenschaften 12 / 255
18 Was wird neues dazukommen? f(a, b) = a+b, g(a, b, c) = a 2 + b 2 + c 2, h(k, L) = K L, K n = E (1+p)n 1, p v = (1, 2, 3, 4, 5) T, ( ) M = Mathias Sawall Einführung in die Mathematik für Wirtschaftswissenschaften 13 / 255
19 Elementare Funktionenklassen Definition 1 Ein Polynom (auch Polynomfunktion oder ganzrationale Funktion) hat die Form p(x) = a 0 + a 1x+a 2x a n 1x n 1 + a nx n n = a ix i. i=0 Die einzelnen a ix i werden Monome genannt. Bemerkungen: - Polynom n-ten Grades besitzt genau n (reelle oder komplexe) Nullstellen, - Zerlegung in Linearfaktoren ist f(x) = a n(x x 1) λ 1 (x x 2) λ2 (x x r) λr. Mathias Sawall Einführung in die Mathematik für Wirtschaftswissenschaften 14 / 255
20 Elementare Funktionenklassen Definition 2 Eine rationale Funktion ist der Quotient aus zwei Polynomfunktionen q(x) = f(x) = a0 + a1x+...+an 1xn 1 + a nx n b 0 + b 1x+...+b m 1x m 1 + b mx m = g(x) n h(x) = i=0 aixi m j=0 bjxj Definition 3 1. Sind g(x 0) = 0 und h(x 0) 0, so ist x 0 ist Nullstelle. 2. Sind g(x 0) 0 und h(x 0) = 0, so ist x 0 ist Polstelle. Verhalten im Unendlichen: lim f(x) = x 0, falls m > n, a n/b m, falls m = n, ±, falls m < n. Mathias Sawall Einführung in die Mathematik für Wirtschaftswissenschaften 15 / 255
21 Elementare Funktionenklassen Definition 2 Eine rationale Funktion ist der Quotient aus zwei Polynomfunktionen q(x) = f(x) = a0 + a1x+...+an 1xn 1 + a nx n b 0 + b 1x+...+b m 1x m 1 + b mx m = g(x) n h(x) = i=0 aixi m j=0 bjxj Definition 3 1. Sind g(x 0) = 0 und h(x 0) 0, so ist x 0 ist Nullstelle. 2. Sind g(x 0) 0 und h(x 0) = 0, so ist x 0 ist Polstelle. Verhalten im Unendlichen: lim f(x) = x 0, falls m > n, a n/b m, falls m = n, ±, falls m < n. Mathias Sawall Einführung in die Mathematik für Wirtschaftswissenschaften 15 / 255
22 Elementare Funktionenklassen Definition 2 Eine rationale Funktion ist der Quotient aus zwei Polynomfunktionen q(x) = f(x) = a0 + a1x+...+an 1xn 1 + a nx n b 0 + b 1x+...+b m 1x m 1 + b mx m = g(x) n h(x) = i=0 aixi m j=0 bjxj Definition 3 1. Sind g(x 0) = 0 und h(x 0) 0, so ist x 0 ist Nullstelle. 2. Sind g(x 0) 0 und h(x 0) = 0, so ist x 0 ist Polstelle. Verhalten im Unendlichen: lim f(x) = x 0, falls m > n, a n/b m, falls m = n, ±, falls m < n. Mathias Sawall Einführung in die Mathematik für Wirtschaftswissenschaften 15 / 255
23 Elementare Funktionenklassen Definition 4 (Trigonometrische Funktionen und ihre Umkehrfunktionen I) Sinus y = sin x Arkussinus y = arcsin x DB = R DB = [ 1, 1] WB = [ 1, 1] Nullstellen x k = kπ, k Z WB = [ π, π ] 2 2 Nullstelle x 0 = 0 Kosinus y = cos x Arkuskosinus y = arccos x DB = R DB = [ 1, 1] WB = [ 1, 1] WB = [0,π] Nullstellen x k = (2k + 1) π, k Z Nullstelle x0 = 1 2 Bekannt sein sollte: cos 2 x+sin 2 x = 1. Mathias Sawall Einführung in die Mathematik für Wirtschaftswissenschaften 16 / 255
24 Trigonometrische Funktionen 1 sin x, cos x π arcsin x, arccos x π/2 0-1 π/2 0 π 2π x x Mathias Sawall Einführung in die Mathematik für Wirtschaftswissenschaften 17 / 255
25 Elementare Funktionenklassen Definition 5 (Trigonometrische Funktionen und ihre Umkehrfunktionen II) Tangens y = tan x Arkustangens y = arctan x DB = R, x (2k + 1) π, k Z DB = R 2 WB = R WB = ( π, π ) 2 2 Nullstellen x k = kπ, k Z Nullstelle x 0 = 0 Kotangens y = cot x DB = R, x kπ, k Z WB = R Nullstellen x k = (2k + 1) π, k Z 2 Arkuskotangens y = arccot x DB = R WB = (0,π) Bekannt sein sollte: tan x cot x = 1, tan x = sin x cos x. Mathias Sawall Einführung in die Mathematik für Wirtschaftswissenschaften 18 / 255
26 Trigonometrische Funktionen 10 tan x, cot x π arctan x, arccot x π/ π/2 0 π 2π x x Mathias Sawall Einführung in die Mathematik für Wirtschaftswissenschaften 19 / 255
27 Elementare Funktionenklassen Definition 6 (Exponentialfunktionen) Exponentialfunktion y = a x, wobei a R, a > 0 und a 1 DB = R WB = (0,+ ) Nullstellen: keine Gemeinsamer Punkt: (0, 1) streng monoton wachsend für a > 1 streng monoton fallend für 0 < a < 1 Spezialfall: e x = exp(x) Mathias Sawall Einführung in die Mathematik für Wirtschaftswissenschaften 20 / 255
28 Exponentialfunktionen y = 0.25 y = 0.75 x y = 1.5 x y = 2 x y = exp(x) x Mathias Sawall Einführung in die Mathematik für Wirtschaftswissenschaften 21 / 255
29 Elementare Funktionenklassen Definition 7 (Logarithmen) Logarithmusfunktion y = log a x, wobei a R, a > 0 und a 1 DB = (0,+ ) WB = R Nullstelle: x 0 = 1 Gemeinsamer Punkt: (1, 0) Spezialfälle: ln x = log e x lg x = log 10 x Logarithmengesetze: (a, b, c > 0) log a a = 1 log 1 = 0 log(ab) = log a+log b log a n = n log a log a = log a log b b log n a = 1 n log b a = log c a log c b log a b log b a = 1 Mathias Sawall Einführung in die Mathematik für Wirtschaftswissenschaften 22 / 255
30 Logarithmen y = log 0.25 (x) y = log 0.1 (x) y = lg(x) y = ln(x) y = log 2 (x) x Mathias Sawall Einführung in die Mathematik für Wirtschaftswissenschaften 23 / 255
31 Elementare Funktionenklassen Definition 8 (Hyperbelfunktionen & und Umkehrfunktionen) Sinushyperbolikus Areasinushyperbolikus y = sinh x = ex e x y = arsinh x = ln(x+ x ) Kosinushyperbolikus Areakosinushyperbolikus y = cosh x = ex +e x y = arcosh x = ln(x+ x 2 2 1) x 1 Tangenshyperbolikus Areatangenshyperbolikus y = tanh x = ex e x e x +e x y = artanh x = 1 1+x ln( ), 2 1 x x < 1 Kotangenshyperbolikus Areakotangenshyperbolikus y = coth x = ex +e x e x e x y = arcoth x = 1 x+1 ln( ), x > 1 2 x 1 Grundbeziehungen für Hyperbelfunktionen: cosh 2 x sinh 2 x = 1 cosh x ± sinh x = e ±x tanh x coth x = 1 Mathias Sawall Einführung in die Mathematik für Wirtschaftswissenschaften 24 / 255
32 Elementare Funktionenklassen Definition 8 (Hyperbelfunktionen & und Umkehrfunktionen) Sinushyperbolikus Areasinushyperbolikus y = sinh x = ex e x y = arsinh x = ln(x+ x ) Kosinushyperbolikus Areakosinushyperbolikus y = cosh x = ex +e x y = arcosh x = ln(x+ x 2 2 1) x 1 Tangenshyperbolikus Areatangenshyperbolikus y = tanh x = ex e x e x +e x y = artanh x = 1 1+x ln( ), 2 1 x x < 1 Kotangenshyperbolikus Areakotangenshyperbolikus y = coth x = ex +e x e x e x y = arcoth x = 1 x+1 ln( ), x > 1 2 x 1 Grundbeziehungen für Hyperbelfunktionen: cosh 2 x sinh 2 x = 1 cosh x ± sinh x = e ±x tanh x coth x = 1 Mathias Sawall Einführung in die Mathematik für Wirtschaftswissenschaften 24 / 255
33 sinh, cosh, tanh & coth 10 sinh x & cosh x 2 tanh x & coth x x x Mathias Sawall Einführung in die Mathematik für Wirtschaftswissenschaften 25 / 255
34 arcsin, arsinh, arctan & artanh 2 1 arcsin x & arsinh x 4 2 arctan x & artanh x x x Mathias Sawall Einführung in die Mathematik für Wirtschaftswissenschaften 26 / 255
35 arctan & tanh arctan x & tanh x x Mathias Sawall Einführung in die Mathematik für Wirtschaftswissenschaften 27 / 255
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