TRIGONOMETRISCHE UND HYPERBOLISCHE FUNKTIONEN

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1 TRIGONOMETRISCHE UND HYPERBOLISCHE FUNKTIONEN Zusammenfassung. Wir listen die wichtigsten Grundtatsachen trigonometrischer und hyperbolischer Funktionen auf... Sinus.. Trigonometrische Funktionen analytische Darstellung: sin(x) = ( ) n (n+)! xn+ (x R) Wertebereich: [, ] Differenzierbarkeit: überall auf R differenzierbar mit sin (x) = cos(x) (siehe nächster Unterabschnitt) Nullstellen: k (k Z) Vorzeichen: sin(x) > 0 für x (0, ) und sin(x) < 0 für x (, ) sin : [, ] [, ] [ arcsin : [, ], ], der sog. Arcussinus, ist eine stetige, streng monoton wachsende Bijektion, die genau in den Punkten des Intervalls (, ) differenzierbar ist mit arcsin (y) = y (y (, )). Besonderheiten: sin ist -periodisch und eine ungerade Funktion, d.h., es gilt sin( x) = sin(x) für alle x R... Cosinus. analytische Darstellung: cos(x) = ( ) n (n)! xn (x R) Wertebereich: [, ] Differenzierbarkeit: überall auf R differenzierbar mit cos (x) = sin(x) Nullstellen: (k + ) (k Z) Vorzeichen: cos(x) > 0 für x (0, ) ( 3, ) und cos(x) < 0 für x (, 3) cos : [0, ] [, ] ist eine streng monoton fallende Bijektion. Die zugehörige Umkehrfunktion arccos : [, ] [0, ],

2 TRIGONOMETRISCHE UND HYPERBOLISCHE FUNKTIONEN der sog. Arcuscosinus, ist eine stetige, streng monoton fallende Bijektion, die genau in den Punkten des Intervalls (, ) differenzierbar ist mit arccos (y) = y (y (, )). Besonderheiten: cos ist -periodisch und eine gerade Funktion, d.h., es gilt cos( x) = cos(x) für alle x R..3. Tangens. \{(k + ) : k Z} analytische Darstellung: tan(x) = sin(x) (x R \{(k + ) : k Z}) cos(x) Differenzierbarkeit: überall auf R \{(k + ) : k Z} differenzierbar mit tan (x) = + tan (x) = cos (x) Nullstellen: k (k Z) Vorzeichen: tan(x) > 0 für x (0, ) und tan(x) < 0 für x (, 0) ( tan :, ) R ( arctan : R, ), der sog. Arcustangens, ist eine stetige, streng monoton wachsende Bijektion, die auf R differenzierbar ist mit arctan (y) = (y R). +y Besonderheiten: tan ist -periodisch und eine ungerade Funktion. Es gilt x + und daher auch tan(x) = und tan(x) = x y ± arctan(y) = ±..4. Cotangens. \{k : k Z} (x R \{k : k Z}) Differenzierbarkeit: überall auf R \{k : k Z} differenzierbar mit cot (x) = analytische Darstellung: cot(x) = cos(x) sin(x) cot (x) = sin (x) Nullstellen: (k + ) (k Z) Vorzeichen: cot(x) > 0 für x (0, ) und cot(x) < 0 für x (, ) cot : (0, ) R ist eine streng monoton fallende Bijektion. Die zugehörige Umkehrfunktion arccot : R (0, ), der sog. Arcuscotangens, ist eine stetige, streng monoton fallende Bijektion, die auf R differenzierbar ist mit arccot (y) = +y (y R).

3 TRIGONOMETRISCHE UND HYPERBOLISCHE FUNKTIONEN 3 Besonderheiten: cot ist -periodisch und eine ungerade Funktion. Es gilt x 0 und daher auch x cot(x) = und cot(x) = + arccot(y) = 0 und arccot(y) =. y y.5. Additionstheoreme und weitere Zusammenhänge. Für alle x, y R gilt sin (x) + cos (x) =, sin(x ± y) = sin(x) cos(y) ± cos(x) sin(y), cos(x ± y) = cos(x) cos(y) sin(x) sin(y). sin(x + ) = sin(x) cos(x + ) = cos(x) sin(x + ) = cos(x) cos(x + ) = sin(x).6. Wichtige Funktionswerte von Sinus und Cosinus. Wir haben x sin(x) 0 cos(x) Sinus Hyperbolicus.. Hyperbolische Funktionen analytische Darstellung: sinh(x) = (ex e x ) = x n+ (n+)! (x R) Differenzierbarkeit: überall auf R differenzierbar mit sinh (x) = cosh(x) (siehe nächster Unterabschnitt) Nullstellen: 0 Vorzeichen: sinh(x) > 0 für x (0, ) und sinh(x) < 0 für x (, 0) sinh : R R arsinh : R R, der sog. Areasinus Hyperbolicus, ist eine stetige, streng monoton wachsende Bijektion, die überall auf R differenzierbar ist mit arsinh (y) = (y R). Es gilt ferner arsinh(y) = log(y + y + ) für y R. Besonderheiten: sinh ist eine ungerade Funktion mit x ± sinh(x) = ±, was x ± arsinh(x) = ± impliziert. y +

4 4 TRIGONOMETRISCHE UND HYPERBOLISCHE FUNKTIONEN.. Cosinus Hyperbolicus. analytische Darstellung: cosh(x) = (ex + e x ) = x n (n)! (x R) Wertebereich: [, ) Differenzierbarkeit: überall auf R differenzierbar mit cosh (x) = sinh(x) Nullstellen: keine Vorzeichen: cosh(x) > 0 für alle x R cosh : [0, ) [, ) arcosh : [, ) [0, ), der sog. Areacosinus Hyperbolicus, ist eine stetige, streng monoton wachsende Bijektion, die genau in den Punkten des Intervalls (, ) differenzierbar ist mit arcosh (y) = (y > ). Es gilt ferner arcosh(y) = y log(y + y ) für y. Besonderheiten: cosh ist eine gerade Funktion mit x ± cosh(x) =, was auch x arcosh(x) = impliziert..3. Tangens Hyperbolicus. analytische Darstellung: tanh(x) = sinh(x) (x R) cosh(x) Wertebereich: (, ) Differenzierbarkeit: überall auf R differenzierbar mit tanh (x) = tanh (x) = cosh (x) Nullstellen: 0 Vorzeichen: tanh(x) > 0 für alle x > 0 und tanh(x) < 0 für alle x < 0 tanh : R (, ) artanh : (, ) R, der sog. Areatangens Hyperbolicus, ist eine stetige, streng monoton wachsende Bijektion, die überall auf (, ) differenzierbar ( ) ist mit artanh (y) = (y (, )). Es gilt ferner artanh(y) = log +y für y <. y y Besonderheiten: tanh ist eine ungerade Funktion mit x ± tanh(x) = ±, was auch x ± artanh(x) = ± impliziert..4. Cotangens Hyperbolicus. \{0} analytische Darstellung: coth(x) = cosh(x) sinh(x) Wertebereich: (, ) (, ) (x R \{0})

5 TRIGONOMETRISCHE UND HYPERBOLISCHE FUNKTIONEN 5 Differenzierbarkeit: überall auf R \{0} differenzierbar mit coth (x) = coth (x) = sinh (x) Nullstellen: keine Vorzeichen: coth(x) > 0 für alle x > 0 und coth(x) < 0 für alle x < 0 ist eine Bijektion mit coth : R \{0} (, ) (, ) coth((0, )) = (, ) und mit coth((, 0)) = (, ), welche auf (, 0) und (0, ) jeweils streng monoton fallend ist. Die zugehörige Umkehrfunktion arcoth : (, ) (, ) R \{0}, der sog. Areacotangens Hyperbolicus, ist eine stetige Bijektion, die überall auf (, ) (, ) differenzierbar ist mit arcoth (y) = ( y > ). ( ) y Es gilt ferner arcoth(y) = log y+ für y >. y Besonderheiten: coth ist eine ungerade Funktion mit x ± coth(x) = ±, was auch x ± artanh(x) = ± impliziert. Des Weiteren gilt x 0 ± coth(x) = ±, woraus x ± arcoth(x) = 0 folgt..5. Additionstheoreme und weitere Zusammenhänge. Für alle x, y R gilt cosh (x) sinh (x) =, sinh(x ± y) = sinh(x) cosh(y) ± cosh(x) sinh(y), cosh(x ± y) = cosh(x) cosh(y) ± sinh(x) sinh(y).