Analysis für Informatik und Wirtschaftsinformatik

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1 Analysis für Informatik und Wirtschaftsinformatik Übungsbeispiele ) Man gebe eine Folge reeller Zahlen an, die als Häufungspunkte genau alle natürlichen Zahlen hat. 2) Man gebe eine Folge reeller Zahlen an, die als Häufungspunkte genau alle ganzen Zahlen hat. 3) Gibt es eine Folge reeller Zahlen, die als Häufungspunkte genau alle rationalen Zahlen hat? 4) Man finde alle Häufungspunkte der Folge a n = ( ) n + cos nπ 2 (n ). 5) Man finde alle Häufungspunkte der Folge a n = sin nπ 2 + ( )n(n+)/2 (n ). 6) Man finde alle Häufungspunkte der Folge ( n cos nπ ) 2 a n = ( n + sin nπ ), (n ). 2 7) Man zeige, dass die Folge a n = sin n 8) Man zeige, dass die Folge a n = n sin n+cos n n (n ) nur als Häufungspunkt hat. (n ) nur als Häufungspunkt hat. 9 2) Man zeige, dass die Folge a n konvergiert, indem man zu beliebigem ε > ein N(ε) angebe. sin n + cos n 9) a n =, n ) a n = sin n n 4, n n ) a n = ln n n Anleitung: Zeigen Sie, dass aus ln < 2 die Ungleichung ln(n) < n folgt. Die erste Ungleichung darf ohne Beweis verwendet werden. 2) a n = n 4 n Anleitung: Zeigen Sie zunächst n < 2 n. 3) Sei (c n ) n N eine beliebige reelle Folge. Man zeige, dass es zwei beschränkte Folgen (a n ) n N, (b n ) n N gibt, die c n = an b n für alle n N erfüllen. 4) Sei (c n ) n N eine beliebige reelle Folge. Man zeige, dass es zwei Nullfolgen (a n ) n N, (b n ) n N gibt, die c n = an b n für alle n N erfüllen. 5) Seien (a n ) n N und (b n ) n N zwei konvergente Folgen mit a n = a und b n = b. Man zeige, dass die Folge (c n ) n N = (a n + 2b n ) n N auch konvergiert mit c n = c = a + 2b, indem man zu beliebigem ε > ein N(ε) angebe. 6) Seien (a n ) n N und (b n ) n N zwei konvergente Folgen mit a n = a und b n = b. Man zeige, dass die Folge (c n ) n N = (3a n b n ) n N auch konvergiert mit c n = c = 3a b, indem man zu beliebigem ε > ein N(ε) angebe. 7) Seien (a n ) n N und (b n ) n N zwei konvergente Folgen mit a n = a und b n = b mit b. Man zeige, dass dann gilt an b n = a b. Wieso spielt hierbei die zusätzliche Bedingung b n für alle n N, die eigentlich für die Eistenz der Folge ( an b n ) n N notwendig ist, keine große Rolle? 8) Sei (a n ) n N eine Folge mit n a n = a. Zeigen Sie, dass n a n = a. 9) Seien (a n ) n N und (b n ) n N konvergente Folgen. Zeigen Sie, dass aus a n < b n immer n a n n b n folgt. Läßt sich hier durch < ersetzen?

2 2) Für alle n N mit n sei a n = + + cos ( ) πn n 2 2 (3 5 n ).. Gelten für die Umgebung U = U (3) = (2, 4) von 3 die folgenden beiden Aussagen? (a) a n U für unendlich viele n. (b) Es gibt ein N = N(ε) = N() mit a n U für alle n N. 2. Geben Sie alle Häufungspunkte der Folge (a n ) n an. 3. Geben Sie eine Folge natürlicher Zahlen n < n 2 <... an, so dass (a nk ) k N eine monotone Teilfolge von (a n ) n ist. 4. Warum konvergieren alle monotonen Teilfolgen von (a n ) n? 2 27) Man untersuche die Folge a n (mit Hilfe vollständiger Induktion) auf Monotonie und Beschränktheit und bestimme gegebenenfalls mit Hilfe der bekannten Rechenregeln für Grenzwerte den Grenzwert a n. 2) a = 3, a n+ = 2a n für alle n. 22) a = 4, a n+ = 6a n 9 für alle n. 23) a = 2, a n+ = 4a n 3 für alle n. 24) a = 2, a n+ = 4 a n 3 für alle n. Hinweis: = ( ) 2 ( ). 25) a = 2, a n+ = 2 a n 3 für alle n. Hinweis: 4 2+ = ( )( ). 26) a = 2, a n+ = 3 2a n für alle n. 27) a = /2, a n+ = 3 2a n für alle n. 28) Man untersuche nachstehende Folgen in Hinblick auf Monotonie, Beschränktheit und mögliche Grenzwerte. Ferner veranschauliche man die Folgen auf der reellen Zahlengeraden: (a) (a n ) =,, 2, 3, 4, 5, 6,..., 2n +, 2n+2,... (b) (b n ) mit b n = n+4 n für n 2 (c) (c n ) mit c n = ( ) n n+ n für n 29) Sei < a < c und (a n ) n N eine Folge positiver reeller Zahlen mit a n+ = a n c. (a) Zeigen Sie, dass aus < a < c stets a < ac < c folgt. (b) Folgern Sie aus (a) mittels Induktion nach n, dass < a n < c für alle n N. (c) Zeigen die a n irgendein Monotonieverhalten? Wenn ja, welches? (d) Untersuchen Sie die a n hinsichtlich Konvergenz und bestimmen Sie gegebenenfalls den Grenzwert. 2

3 3) Gegeben sei die rekursiv definierte Folge (a n ) mit a = 3 und a n+ = (a n + 6/a n )/2 für n =,, 2,.... Man berechne die Folgenglieder a n für n =,...,, untersuche die Folge in Bezug auf Monotonie, Beschränktheit sowie Konvergenz und berechne wenn möglich den Grenzwert. 3) Seien P und P 2 beliebige Punkte der Zahlengeraden. Man halbiere fortgesetzt die Strecke P P 2 in P 3, die Strecke P 2 P 3 in P 4, P 3 P 4 in P 5, usw. und bestimme die Lage von P n für n ) Man untersuche die Folge (a n ) n N auf Konvergenz und bestimme gegebenfalls den Grenzwert. 32) a n = 2n3 + 2n 3 4n 3 + n ) a n = 3n2 5n + 7 3n 3 5n ) a n = 2n2 5n n 3 + 2n ) a n = 4n2 + 5n 3 2n 3 + 3n 2 n ) a n = 2n3 5n n 3 5n ) a n = 3n2 4n 3 + n 2n 4 + 2n n + n n 38) a n = n + n 39) a n = 4) a n = n! n n n + 2 n 4) a n = 3 n 42) a n = sin n (n 2) 2 + n2 +2 n 2 n 3n 2 +2 n 2 +n 43) a n = n 2 4 4n 2 7n cos n 2n 5 3n 2 +2 (n 3) 2 44) a n = n q n ( < q < ) 45) a n = qn n (q > ) 46) a n = n2 n ) a n = n2 n 3 + n 2 (Hinweis zu Bsp. 46) und Bsp. 47): Man verwende den als bekannt vorausgesetzten Grenzwert n n n =.) 48 5) Man untersuche die Folge (a n ) n auf Konvergenz und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert, indem man zwei geeignete Folgen (b n ) n, (c n ) n mit b n a n c n finde. 48) 49) a n = n n n 2 + n a n = (n + ) 2 + (n + 2) (n + n) 2 5) 5) a n = n n n 2 + n a n = n2 + n n2 + 2 n n2 + n n 3 + n 52) Zeigen Sie: Sind a,..., a m fest gewählte reelle Zahlen und ist (b n ) n N durch b n = n a n + + an m definiert, so gilt b n = ma{a,..., a m }. 3

4 53) Sei die Folge (a n ) n N rekursiv gegeben durch a = und a n = a n + n(n + ) (n ). Man zeige (mit Hilfe vollständiger Induktion) und bestimme den Grenzwert. a n = n + 54) Sei die Folge (a n ) n N rekursiv gegeben durch a = und a n+ = a n + Man zeige (mit Hilfe vollständiger Induktion) n (n + )! (n ). a n = n! und bestimme den Grenzwert. 55) Bestimmen Sie den Grenzwert der Folge a n = n n n n ) Man bestimme alle Häufungspunkte, sowie sup n 56) a n = ( ) n n «( ) n(n+) cos nπ 2 57) a n und inf n a n der Folge a n : a n = n2 cos nπ 2 + n + + sin (2n + )π ) Man zeige, dass die Folge a n uneigentlich konvergiert, indem man zu jedem A > ein N(A) angebe, sodass für n > N(A) immer a n > A gilt. 58) a n = n3 + n 59) 6) Man gebe zwei reelle Nullfolgen (a n ) n N, (b n ) n N an, die erfüllen. a n a n = und n b n n b 2 n a n = 2n4 + n n 3 + n = + 6) Man gebe zwei reelle Folgen (a n ) n N, (b n ) n N mit n a n = n b n = + an, die a n a 2 n = und = + erfüllen. n b n n b n 4

5 62 67) Man bestimme die Partialsummenfolge und ermittle dann gegebenenfalls den Grenzwert der Reihe. (Hinweis: Man stelle die Summanden als Differenz bzw. Summe passender Ausdrücke dar.) 62) 64) 66) n= n= 3 n(n + 2) n (n + )! ( ) n 2n + n(n + ) n= 63) 65) 67) n= n= n(n + ) n + (n + 2)! ( ) n 2n + 5 (n + 2)(n + 3) 68 69) Man berechne unter Benützung der kompleen Zahlen und der Moivreschen Formel (cos + i sin ) n = cos(n) + i sin(n) den Grenzwert der Reihe: 68) n 7) Es gilt n= sin nπ 3 2 n 69) cos nπ 3 2 n n n= n 2 = π2 6. Man folgere daraus (2n ) 2 = π2 8. 7) Für n =, 2, 3,... sei a n =, b n 2 n = n(n+), c n = n und d n = n+. Weiters sei A = n= a n, B = n= b n, C = n= c n und D = n= d n. (a) Berechnen Sie die Partialsummen von B. (b) Berechnen Sie den Wert von B. (c) Begründen Sie a n 2b n. Konvergiert A? n= (d) Warum ist B = C D falsch, obwohl b n = c n d n? 72 8) Man untersuche die folgenden Reihen auf Konvergenz: 72) n 74) n 3n 2 + 5n ) n n n 75) n! n n n n 2 2n 3 + 5n 3 76) n 2n 2 + n ) n n + 3 7n 2 2n + 78) n n 3 n 79) n n n! n 8) n (n 2 + ) n n n 2 8) n 3 n2 n n 5

6 82 85) Man untersuche die folgenden Reihen auf Konvergenz und absolute Konvergenz: 82) n ( ) n n ) n ( ) n n 3/2 + 5n 84) n ( ) n 3 n ) n ( ) n (n + 3) 4/3 86) Sei a n und die Reihe n a n konvergent. Man zeige, dass dann auch die Reihe n a2 n konvergiert. 87) Gilt Bsp. 86) auch ohne die Voraussetzung a n? (Beweis oder Gegenbeispiel!) 88) Sei a n und die Reihe n a n konvergent. Man zeige, dass dann auch die Reihe n a3 n konvergiert. 89) Es sei a n = a. Man bestimme den Grenzwert der Reihe n (a n+ a n ). 9) Es sei a n = a. Man bestimme den Grenzwert der Reihe n (a n+2 a n ). 9) Es sei a n =. Man bestimme den Grenzwert der Reihe n ( )n (a n+ + a n ) ) Man zeige, dass die folgende Funktionenreihen im jeweils angegebenen Bereich konvergieren: 92) ( ) 2 n, < 93) ( ) 2n n, < n n 4 n n 94) n z 2n+ (2n + )!, z C 95) z 2n (2n)!, n z C 96 97) Man untersuche, für welche R die folgende Funktionenreihe konvergiert: 96) 2n ( n )n 97) n 2 ( + )n + n= 98) Man zeige: n= a n n! n= b n n! = n= n= (a + b) n, a, b R. n! 99) Man zeige: n= a n n! ( ) n b n n= n! (a b) n =, a, b R. n! n= ) Man untersuche, welche o-, O- und -Beziehungen zwischen den Folgen a n, b n und c n bestehen. ) a n = 2n, b n = n2 2, c n = 3n4 6n 2 +. ) a n = 2 n, b n = n 2, c n = 8n2 4n ) Zeigen Sie die folgenden asymptotischen Beziehungen für die Anzahlen der Kombinationen mit bzw. ohne Wiederholungen für festes k und n : ( ) ( ) n 2) nk n + k 3) nk k k! k k! 6

7 4) Zeigen Sie die folgende asymptotische Beziehung für die Anzahl der Variationen ohne Wiederholungen für festes k und n : [n] k = n(n ) (n k + ) = n k + O(n k ). 5 6) Man zeige mit Hilfe der Stirlingschen Approimationsformel n! n n e n 2πn : 5) ( ) 6) 2n 4n n πn 7) Man bestimme die Größenordnungen von (a) 2,7n 2,5n +, (b),35 2 n + 5n 5, (c) +, n 2. 8) Man zeige: (d) a n = O() (a n ) beschränkt, und (e) a n = o() (a n ) Nullfolge. ( ) 3n n 9) Man zeige mit Hilfe der Eulerschen Formeln den Summensatz cos(u + v) = cos(u) cos(v) sin(u) sin(v). ( ) 27 n 3 4 4πn ) Man zeige mit Hilfe der Eulerschen Formeln den Summensatz cos(u v) = cos(u) cos(v) + sin(u) sin(v). ) Man zeige mit Hilfe der Eulerschen Formeln den Summensatz sin(u v) = sin(u) cos(v) cos(u) sin(v). 2) Man zeige mit Hilfe der Eulerschen Formeln den Summensatz sin(u + v) = sin(u) cos(v) + cos(u) sin(v). 3) Mit Hilfe der Rechenregeln für die Eponentialfunktion e beweise man für den natürlichen Logarithmus ln() folgende Eigenschaften: ln(y) = ln() + ln(y), ln(y) = y ln(). 4) Mit Hilfe der Rechenregeln für die Eponentialfunktion e und den natürlichen Logarithmus ln() beweise man für eine beliebige Basis a > die Darstellungen a = e ln(a) und log a () = ln()/ ln(a). 7

8 5 8) Man zeichne den Graphen der Funktion f() und bestimme alle Stellen, an denen f() stetig ist. (sgn() = für >, sgn() = für < und sgn() =.) 5) f() = ( π/2) sgn(cos ) 6) f() = ( 2 ) sgn(sin(π)) 7) f() = sgn(sin ) 8) f() = sin ( π 3 sgn()) 9) Man skizziere den Verlauf der Funktion f : R \ {} R, f() = sin(/) und beweise, dass f() an der Stelle = keinen Grenzwert besitzt, indem man die beiden Folgen n = /(nπ) und n = /(2nπ + π/2) betrachtet. 2 24) Man zeige, dass die folgenden Funktionen stetige Umkehrfunktionen haben und bestimme diese: 2) f() = 3 3, D f = (, ) 2) g() = ( + ) 7, D g = (, ) 22) f() = 7 7, D f = (, ) 23) g() = ( + ) 5, D g = (, ) 24) f() = 2 (e e ), D f = R 25) Man zeige mit Hilfe des Nullstellensatzes, dass die Funktion y = e /2 4 + im Intervall [, ] sowie im Intervall [6, 7] je eine Nullstelle besitzt. Wie können diese Nullstellen näherungsweise berechnet werden? 26) Man skizziere die Graphen der Funktionen f () = cos, f 2 () = cos, f 3() = cos 2, f 4 () = cos, f 5 () = cos im Intervall [, π] und untersuche alle Funktionen auf Stetigkeit und Differenzierbarkeit. 27) Sei f : [, a] R stetig, f() =, f(a) > a und f() für < < a. Man zeige, dass dann auch f() > für < < a gilt. 28) Man zeige, dass es zu jeder stetigen Funktion f : [a, b] [a, b] wenigstens ein [a, b] mit f( ) = gibt ) Man untersuche, wo die Funktion f() differenzierbar ist und bestimme dort f (): 29) f() = ( 3 3) f() = Arcsin 2 2) ) f() = ) f() = ( 4 32) f() = Arccos 2 2) 34) f() = Arctan ( ) ) Man zeige mittels Differenzieren: 35) Arctan Arcsin = π, (, ) 4 36) ( ) Arcsin = Arctan, (, ) 2 8

9 37) Zeigen Sie: Sind g (),..., g m () differenzierbar und g j () für alle j, so gilt ( m j= g j()) m j= g j() = m j= g j () g j (). 38) Man zeige, dass die Funktion cosh() = (e + e )/2 für streng monoton wachsend und für streng monoton fallend ist und bestimme jeweils die Umkehrfunktion. 39) Wie ist t zu wählen, damit die Funktion f() = ( 2 + t)/( t) in einer Umgebung der Stelle = streng monoton fallend ist? Machen Sie eine Skizze. 4) Man diskutiere die Funktion f() = sin 3 cos im Intervall I = [ π, π]. 4) Man diskutiere die Funktion f() = 2 e 2 (d. h. man bestimme Nullstellen, Etremwerte, Wendepunkte, Grenzwerte, Symmetrieeigenschaften,... ) und skizziere den Funktionsgraphen. 42) Man diskutiere die Funktion f() = e 2 (d. h. man bestimme Nullstellen, Etremwerte, Wendepunkte, Grenzwerte, Symmetrieeigenschaften,... ) und skizziere den Funktionsgraphen. 43) Man diskutiere die Funktion definiert durch f() = e /2 für und f() = (d. h. man bestimme Nullstellen, Etremwerte, Wendepunkte, Grenzwerte, Symmetrieeigenschaften,... ) und skizziere den Funktionsgraphen. 44) Man diskutiere die Funktion f() = e 2 (d. h. man bestimme Nullstellen, Etremwerte, Wendepunkte, Grenzwerte, Symmetrieeigenschaften,... ) und skizziere den Funktionsgraphen. 45) Man diskutiere die Funktion f() = e / (d. h. man bestimme Definitionsmenge, Nullstellen, Etremwerte, Wendepunkte, Grenzwerte, Symmetrieeigenschaften,... ) und skizziere den Funktionsgraphen. 46) Sei f : R R monoton fallend und differenzierbar. Man zeige, dass dann f () für alle R gilt. 47) Folgt in Bsp. 46) aus der strengen Monotonie sogar f () < für alle R? (Beweis oder Gegenbeispiel!) 48) Sei f : R R monoton wachsend und differenzierbar. Man zeige, dass dann f () für alle R gilt. 49) Folgt in Bsp. 48) aus der strengen Monotonie sogar f () > für alle R? (Beweis oder Gegenbeispiel!) 5) Für die Funktion f() = 2 und a < b berechne man eine Stelle c im Intervall [a, b], für die gilt f (c) = (f(b) f(a))/(b a) (siehe Mittelwertsatz der Differentialrechnung). Man interpretiere das erhaltene Ergebnis an Hand des Funktionsgraphen. 5) Man berechne die ersten 4 Ableitungen der Funktion f() = ( + )/( ). Können Sie allgemein einen Ausdruck für die n-te Ableitung angeben? 52) Man leite die unendlichen Reihen für sin() und cos() durch Entwicklung der beiden Funktionen in eine Taylorreihe mit dem Entwicklungspunkt = her. 53) Mit Hilfe der Taylorentwicklung approimiere man die Funktion f() = 8( + ) 3/2 durch eine lineare bzw. eine quadratische Polynomfunktion im Punkt =. Wie groß ist 9

10 der Fehler an der Stelle =,5? (Hinweis: Den Approimationsfehler stelle man durch das Restglied in Lagrangescher Form dar und schätze diesen Fehler (durch geeignete Wahl der unbekannten Zwischenstelle) nach oben ab.) 54) Wie 53, nur Fehler an der Stelle =,3 betrachten. 55) Wie 53, nur Fehler an der Stelle =,5 betrachten. 56) Sei T n () das n-te Taylorpolynom der Funktion f() = e mit Entwicklungspunkt =. Durch Untersuchung des Restglieds R n () in Lagrangescher Form bei dieser Taylorentwicklung gebe man an, wie groß n sein muss, damit an der Stelle =, der Unterschied zwischen T n () und e kleiner als 9 ist. 57) Wie voriges Beispiel mit Unterschied zwischen T n () und e kleiner als. 58) Gegeben seien die Funktionen f() =, g() = + und h() = 2. (a) Stellen Sie f, g und h als Potenzreihen mit Anschlussstelle = dar und geben Sie deren Konvergenzradius an. (b) Berechnen Sie das Cauchyprodukt der Reihen von f und g. 59) Man bilde das Cauchyprodukt der Potenzreihen von sin und cos (jeweils mit Entwicklungsstelle = ) und zeige damit die Formel sin cos = (sin(2))/ ) Die hyperbolischen Winkelfunktionen Sinus hyperbolicus und und Cosinus hyperbolicus sind definiert durch: sinh() := e e, cosh() := e + e ) (a) Man zeige cosh 2 () sinh 2 () = und begründe mit Hilfe dieser Formel die Bezeichnung hyperbolische Winkelfunktionen. (Hinweis: Wie lautet die Gleichung einer Hyperbel in Hauptlage?) (b) Man bestimme die erste Ableitung von sinh() und cosh(). 6) Man bestimme die Potenzreihenentwicklung von cosh() an der Stelle =. 62) Man bestimme die Potenzreihenentwicklung von sinh() an der Stelle =. 63) Man beweise die Formel cosh( + y) = cosh() cosh(y) + sinh() sinh(y). 64) Man beweise die Formel sinh( + y) = sinh() cosh(y) + cosh() sinh(y). 65) Man bestimme die Potenzreihenentwicklung von arcsin() an der Entwicklungsstelle =. 66) Man bestimme die Potenzreihenentwicklung von arctan() an der Entwicklungsstelle =. 67) Man bestimme die Potenzreihenentwicklung von f() = ( 2 + ) sin an der Stelle = durch Produktbildung zweier Potenzreihen. 68) Man bestimme die Potenzreihenentwicklung von f() = ( 2 ) cos an der Stelle = durch Produktbildung zweier Potenzreihen. 69) Man bestimme die Potenzreihenentwicklung von f() = ( ) cos an der Stelle = durch Produktbildung zweier Potenzreihen.

11 7) Wie 6, nur für =. 7) Wie 62, nur für = 2. 72) Wie 67, nur für = 3. 73) Wie 68, nur für =. 74) Wie 69, nur für = 3. 75) Wie 67, nur für = 3. 76) Wie 68, nur für = 2. 77) Man berechne die Grenzwerte nachstehender unbestimmter Formen: ( 2 (a) 2 3 ) 3 (b) (c) cos 78) Man berechne die Grenzwerte nachstehender unbestimmter Formen: (a) 2 ln() (b) (c) 3 4 e 4 ( 2) tan(π) / ) Man berechne die Grenzwerte nachstehender unbestimmter Formen: 79) ( 2 (a) 2 3 ) 3 (b) ) cos (a) (b) 2 ln() 8) (a) (b) 2 ln() 3 4 e 4 82) (a) ( 2) tan(π) /2 (b) sin( 2 ) ( )(cos( ) )

12 83) (a) (b) ln( ) ln() ( ln + ) 84) (a) tan(π) ( (b) ) sin 85) (a) (b) 3 4 e 4 ( 2) tan(π) /2 86) Man berechne den Grenzwert 87) Man berechne den Grenzwert 88) Man berechne den Grenzwert sin( 2 ) sin. ( π π tan 2 2 ). ( sin ) 2. 89) Man berechne den Grenzwert ) Man bestimme mit Hilfe der Bisektion auf drei Dezimalstellen genau die positive Nullstelle der Funktion f() im angegebenen Intervall I: 9) f() = sin 2, I = [π/2, π]. 9) f() = cos, I = [, π/2]. 92) f() = (tan ) 2, < π 4 93) Lösen Sie Aufgabe 9 mit Hilfe des Newton-Verfahrens und mit Hilfe der Regula falsi. 94) Lösen Sie Aufgabe 9 mit Hilfe des Newton-Verfahrens und mit Hilfe der Regula falsi. 95) Lösen Sie Aufgabe 92 mit Hilfe des Newton-Verfahrens und mit Hilfe der Regula falsi. 96) Gesucht ist eine in der Nähe von (a) = 3, bzw. (b) = 3 2

13 gelegenen Nullstelle der Funktion f() = e ) Nach welcher Zeit t (in Stunden) erreichen die Betriebskosten B(t) =.45t +.6t ( e.2t) eines Netzwerkrouters den Anschaffunspreis A =.,? Ist die Lösung eindeutig bestimmt? (Anleitung: Man bilde die Funktion f(t) = B(t) A, untersuche deren Monotonieverhalten und bestimme schließlich die gesuchte Nullstelle mit Hilfe des Newton-Verfahrens.) 98) Man zeige, dass f() = 4 in [, 2] eine Nullstelle hat und bestimme diese näherungsweise mit (wenigstens) 4 Schritten der Bisektion und der Regula falsi. 99) Man ermittle für sämtliche Nullstellen der Funktion f() = sin 2 + Näherungen, indem man jeweils 4 Schritte des Newtonverfahrens durchführt. 2 2) Bestimmen Sie eine Nullstelle der Funktion F () = 2 im Intervall [, 3], indem Sie jeweils 3 Schritte der angegebenen Verfahrens durchführen, und vergleichen Sie die Ergebnisse. 2) a) Bisektion, b) Regula falsi, c) Newtonsches Näherungsverfahren (Startwert Intervallende) 2) a) Iterative Fipunktbestimmung für = f() = ( )/3 (Startwert Intervallende), b) iterative Fipunktbestimmung für = g() = ( )/2 (Startwert Intervallende), c) wählen Sie eine andere Funktion h(), sodass die Gleichung h() = äquivalent ist zur Gleichung F () =. 22) Man zeige, dass die Funktion ϕ() = e + cos eine kontrahierende Abbildung des Intervalls [.2,.3] in sich ist, und berechne den (einzigen) Fipunkt dieser Funktion im angegebenen Intervall (Genauigkeit: zwei Nachkommastellen). (Hinweis: Zeigen Sie zunächst, dass im angebenen Intervall f () < gilt. Was kann man daraus für f () schliessen? Benutzen Sie dies, um die Kontraktionseigenschaft zu zeigen!) 23) Man bestimme die Lösungsfolge der beim Babylonischen Wurzelziehen auftretenden Iteration n+ = ϕ( n ) = ( n + a ), n =,, 2,... 2 n (wobei a >, > ist) auf graphischem Weg und zeige, dass stets 2 3 a gilt, d.h., die Iterationsfolge ( n ) ist ab n = monoton fallend und nach unten durch a beschränkt. 24) Man zeige: Für a > konvergiert die Iterationsfolge ( n ) gemäß n+ = 2 n a 2 n mit 2a < < 3 2a gegen den Fipunkt = a. Diese Iteration stellt somit ein Verfahren zur Division unter ausschließlicher Verwendung von Multiplikationen dar. { (t ) 25) Für die Funktion f(t) = (t > ) berechnen Sie F () = f(t) dt. Ist F () stetig bzw. differenzierbar? { { 2 (t ) (t ) 26) Wie 25) für f(t) =. 27) Wie 25) für f(t) = (t > ) t (t > ). 3

14 { 28) Wie 25) für f(t) = t 2 (t 2) t 2. (t > 2) 29) Wie 25) für f(t) = { t 3 + (t 3) t 3 (t > 3). Hinweise zu ) und ): (i) Äquidistante Teilung des Intervalls [a, b] bedeutet, dass man die Teilungspunkte k = a+(b a)k/n, k =,,..., n, betrachtet. (ii) n k= k2 = n(n+)(2n+) 6 ; (iii) n k= k = n(n+) 2. 2) Berechnen Sie 2 2 d mit Hilfe von Obersummen bei äquidistanter Teilung. 2) Berechnen Sie d mit Hilfe von Untersummen bei äquidistanter Teilung. 22) Berechnen Sie 2 3 d mit Hilfe von Untersummen bei äquidistanter Teilung. (Hinweis: n k= k3 = ( ) n+ 2, n 2 k= k2 = n(n+)(2n+) 6, n k= k = ( ) n+ 2.) 23) Sei a. Berechnen Sie n n a+ durch Interpretation als Grenzwert Riemannscher Zwischensummen. 24) Berechnen Sie n n 3 n k= k a n k(n k) durch Interpretation als Grenzwert Riemannscher Zwischensummen. 25) Berechnen Sie n n 2 k= n n 2 k 2 durch Interpretation als Grenzwert Riemannscher Zwischensummen. 26) Berechnen Sie n n 2 k= n (n + k)(n k) durch Interpretation als Grenzwert Riemannscher Zwischensummen. 27) Berechnen Sie n k= n 2 n k(n k) durch Interpretation als Grenzwert Riemannscher Zwischensummen. k= Hinweis: Man substitutiere im auftretenden Integral = +t 2. 28) Mit Hilfe der Substitutionsregel beweise man die nachstehende Integrationsregel u () d = ln u() + C u() d und berechne damit ln. 29) Wie 28, nur letzter Teil ersetzt durch und berechne damit cot() d. (cot() := cos()/ sin() bezeichnet den Cotangens). 4

15 22) Man berechne d. (Anleitung: Zum Integrieren wähle man die Substitution u =. Ferner beachte man, dass das angegebene Integral sowohl bei = als auch bei = uneigentlich ist.) 22) Sei I n () := ( + 2 ) n d (n =, 2, 3,...). Durch partielle Integration zeige man die Rekursion I n+ () = 2n 2n I n() + 2n ( + 2 ) n. Mit Hilfe dieser Formel berechne man I 3 () (beachte I () = arctan() + C) ) Man berechne: 222) arcsin d 223) 224) 226) 228) 23) 232) 234) 236) 238) 24) 242) 244) 246) 248) 25) 252) 3 d 225) ( ) 2 d 227) ( + ) d 229) d 2 23) e e 2 e d 233) 6 arctan () d 235) (ln ) 2 d 237) + d 239) d 24) e e 2 d 243) + d ( + ) 245) 2 ( 4 ( 3 )) 5 d 247) 2 π/4 arccos d 249) ( + 2 ) d 25) tan 2 d 253) ( ) 2 ( ) d d d 2 cos d d 2 sin 2 cos 2 arccos d ( 3) 2 d 7/2 (sin )( + 2 cos ) 4 d ( 2 + )e 2 d d d 2π 3 d sin π/2 π/2 e (sin cos 2 d cos 2 d d ln + 2 ) d 5

16 254) 256) 258) 26) 2 2 d 255) e d 257) ( ln + ) d 259) d ( + ) 26) d + 2 e 2 d d d ( + ) ) Untersuchen Sie die folgenden uneigentlichen Integrale auf Konvergenz. 262) 264) 266) 268) 27) sin d 263) 3/2 sin 2 d 265) ln d 267) d 269) d 27) cos 2 ln d e 3 d e 2 d sin d d Hinweis: Einmal partiell integrieren und erst danach die Konvergenzuntersuchung vornehmen ) Bestimmen Sie den Wert der folgenden Integrale näherungsweise auf 3 Dezimalstellen (mit und ohne Computer). Hinweis: Entwickeln Sie den Integranden in eine Taylorreihe. Wieviele Terme sind nötig, um die gewünschte Genauigkeit zu erzielen? 272) 274) e d 273) cos(t 2 ) t 2 dt 275) /2 sin(u 2 ) u ln du 3 d ) Untersuchen Sie mit Hilfe des Integralkriteriums, ob die folgenden Reihen konvergieren: 276) n n(ln 2 n ln n 6) 277) n e n n 278) n 2 n ln α n (α > ) 279) n ( + n 2 ) arctan n 28) n ln n ln(ln n) α (α > ) 28) n ln n ln(ln n) ln(ln(ln n)) 5 n 2 n 282) n ne n 283) n ne n2 6

17 284) ln 3 (ln n) n ln n n 2 286) ( ln + ) n n 285) n n ( + n 2 ) 3 287) n 2 + n n 2 288) Man zeige, dass die Ungleichung d(, y) d(y, z) d(, z) in jedem metrischen Raum (X, d) für alle, y, z X gilt. 289) Für jede der Metriken d = d (Summen-Metrik), d = d 2 (Euklidische Metrik), d = d (Maimums-Metrik) und d = d H (Hamming-Metrik) auf R 2 beschreibe man die abgeschlossene Einheitskugel Kd (, ) = { d(, ) } geometrisch (inkl. Skizze). 29) Wie 289), aber für R 3. 29) (X, d) sei ein beliebiger metrischer Raum und p X. Man zeige, dass durch {, falls = y, d p (, y) := d(, p) + d(p, y), sonst, eine Metrik auf X definiert wird. 292) Man zeige, dass die Hamming-Metrik auf R n nicht durch eine Norm induziert wird. 293) Für fest gewählte a, b R, a < b, bezeichne C[a, b] die Menge aller stetigen Funktionen f : [a, b] R. Man zeige, dass die durch f := b a f() d definierte Funktion eine Norm auf C[a, b] ist. 294) Für fest gewählte a, b R, a < b, bezeichne I[a, b] die Menge aller integrierbaren Funktionen f : [a, b] R. Man überprüfe, ob die durch f := b a f() d definierte Funktion eine Norm auf I[a, b] ist. 295) Man betrachte den metrischen Raum (R, d), wobei d die euklidische Metrik ist. Man zeige, dass in diesem Raum die Menge Q weder offen noch abgeschlossen ist. 296) Man bestimme alle offenen und alle abgeschlossenen Mengen in (R, d H ), wobei d H die Hamming-Metrik ist. 297) Man zeige, dass eine Menge O R 2 bzgl. der Euklidischen Metrik d 2 offen ist genau dann, wenn O offen ist bzgl. der Summen-Metrik d. 298) Man zeige, dass eine Menge O R 2 bzgl. der Euklidischen Metrik d 2 offen ist genau dann, wenn O offen ist bzgl. der Maimums-Metrik d. 299) Man zeige, dass eine Menge A R 2 bzgl. der Euklidischen Metrik d 2 abgeschlossen ist genau dann, wenn A abgeschlossen ist bzgl. der Summen-Metrik d. 3) Man zeige, dass eine Menge A R 2 bzgl. der Euklidischen Metrik d 2 abgeschlossen ist genau dann, wenn A abgeschlossen ist bzgl. der Maimums-Metrik d. 3 33) Man stelle den Definitionsbereich und den Wertebereich folgender Funktionen fest und beschreibe die Höhenlinien: 3) (a) z = 2 y 2, (b) z = 2 4 y2 9. 7

18 32) (a) z = y, (b) z = y. 33) (a) z = 2 y, (b) z = y 2. 34) Gegeben sei die Polynomfunktion f(, y) = y 2. Man bestimme die Gleichungen ihrer Schnittkurven mit den senkrechten Ebenen = bzw. y = y sowie die Höhenlinien für z = z und skizziere alle drei Kurvenscharen. Mittels eines Computeralgebrasystems ermittle man eine 3D-Darstellung der gegebenen Funktion. 35) Wie Bsp 34 mit der Funktion f(, y) = 2 y + 2 y. 36) Eine Funktion f(,..., n ) heißt homogen vom Grad r, falls für jedes feste λ > und alle (,..., n ) aus dem Definitionsbereich von f, für die (λ,..., λ n ) auch im Definitionsbereich von f liegt, gilt: f(λ,..., λ n ) = λ r f(,..., n ). Man beweise, dass die beiden Produktionsfunktionen f(, y) = c α y α und g(, y) = (c α + dy α ) /α ( Arbeit, y Kapital, c, d, α konstant) homogene Funktionen vom Homogenitätsgrad r = sind. 37) Man prüfe nach, ob die Funktionen homogen sind. (a) f(, y, z) = + (yz) /2 (für y, z ) (b) f(, y) = 2 + y (c) f(, y) = a b y c (mit a, b, c R,, y > ) 38 39) Man untersuche für beliebige α, β R den Grenzwert t f(αt, βt). Ist die Funktion f(, y) an (, ) stetig? 38) f(, y) = y 3 + y für (, y) (, ) und f(, ) = 39) f(, y) = 2y2 + y 2 für (, y) (, ) und f(, ) = 3) Sei f(, y) = cos + y sin y 2 y für 2 y. Man untersuche und vergleiche die iterierten Grenzwerte Eistiert der Grenzwert (,y) (,) f(, y)? 3) Sei f(, y) und f(, y). y y f(, y) = + y cos y + y 8

19 für y. Man untersuche und vergleiche die iterierten Grenzwerte Eistiert der Grenzwert (,y) (,) f(, y)? 32) Sei f(, y) und f(, y). y y f(, y) = /y für y > und. Man untersuche und vergleiche die iterierten Grenzwerte Eistiert der Grenzwert (,y) (,) f(, y)? f(, y) und f(, y). y y 33) In welchen Punkten (, y) R 2 ist die Funktion { y 2 für (, y) (, ) f(, y) = 2 +y 4 für (, y) = (, ) stetig? 34 35) Man untersuche die Funktion f : R 2 R auf Stetigkeit (Hinweis: Es gilt a + b 2 ab für a, b.): 34) f(, y) = y + y für (, y) (, ) und f(, ) =. 35) f(, y) = y2 + 2 y 2 + y 2 für (, y) (, ) und f(, ) =. 36) Sei f : R 3 R definiert durch f(, y, z) = cos(y) des Definitionsbereiches ist f stetig? yz + sin z + 2 +y 2. In welchen Punkten 37) Zeigen Sie: Die Komposition stetiger Funktionen f : I R R n, g : M R n R m mit f(i) M is wiederum stetig. 38) Man untersuche die Stetigkeit der Funktion f : R 2 R im Punkt (, ). { 2 y 2 für (, y) (, ) f(, y) = 2 +y 2 für (, y) = (, ) 39) Man untersuche die Stetigkeit der Funktion f : R 2 R im Punkt (, ). { 3 +y 3 für (, y) (, ) f(, y) = 2 +y 2 für (, y) = (, ) 32) (a) Für die Funktion f(, y) = 2 y 2 berechne man die partiellen Ableitungen f, f y und die Gleichung der Tangentialebene an der Stelle (, y ) = (.2,.3). 9

20 (b) Man berechne alle partiellen Ableitungen erster und zweiter Ordnung für die Funktion f(, y) = 2 sin y + cos( + 2y). 32) Man prüfe nach, ob die gemischten partiellen Ableitungen f y und f y für die folgenden Funktionen f(, y) übereinstimmen: (a) f(, y) = 2 + y 2, (b) f(, y) = 3 e y2, (c) f(, y) = y ) Man bestimme den Definitionsbereich der Vektorfunktion (t), sowie die Ableitung (t), wo sie eistiert: 322) (t) = ( ( ) 5 ( ) ) 2t 4, sin 3t 2 + t 2 323) (t) = ( sin( + cos(t)), ) t 5 4 t 2 324) Das elektrostatische Potential einer Punktladung Q im Koordinatenursprung ist durch ϕ (, y, z) = Q 4πɛ 2 + y 2 + z 2 gegeben, für das Potential eines Dipols mit dem Dipolmoment p = (p,, ) gilt: ϕ 2 (, y, z) = p 4πɛ ( 2 + y 2 + z 2 ) 3/2. (Dabei sind Q, p und ɛ Konstante.) In beiden Fällen berechne man das zugehörige elektrische Feld E nach der Formel E = gradϕ ) Man bestimme die partiellen Ableitungen erster Ordnung der folgenden Funktionen: ( 4 2 y 2 ) 325) f(, y) = Arctan 326) f(, y, z) = y + z + + y + sin 2 (yz) ( 2 3 ) y + y 3 z 2 327) f(, y) = Arctan y 3 328) f(, y, z) = + cos 2 ( + ) ) Man bestimme die Funktionalmatri zu f : R 3 R 2 : ( ) 329) f y sin( + y z) = cos ( y ) 33) f y = z z z ( ) z 33) f y y+ = 332) f y = z z e y z ( y 2 z y z 2 ) ( ln(arctan( + y 2 ) )) cos(y 2 ) tan(yz) 333) Duch z = y +y ist eine Fläche im R3 gegeben. Die Beschränkung von und y auf die Werte = e t und y = e t (t R) liefert eine Kurve auf dieser Fläche. Man bestimme 2

21 dz dt mittels Kettenregel und mache die Probe, indem man zuerst und y in z einsetzt und anschließend nach dem Parameter t differenziert. Wo verläuft diese Kurve auf der Fläche horizontal? 334) Es sei g u (u, v) = u g(u, v) = ln(u sin(u) v) und g v(u, v) = v g(u, v) = tan( u + v3 ). Man bestimme h(t) = d dt g(2t, t2 + ). 335) Es sei g u (u, v) = ug(u, v) = e u2 und h(t) = d dt g(t2, 3t). g v (u, v) = v g(u, v) = ev3. Man bestimme 336) Mit Hilfe der Kettenregel berechne man den Wert der partiellen Ableitung der Funktion F (, y) = f(g(, y), h(, y)) nach y an der Stelle (, ), wobei f(u, v) = u 2 + v 2, g(, y) = cos + sin y und h(, y) = + y + ist. 337) Es sei F (, y) = 24 +y F F, = 2u 3v +, y = u + 2v 2. Man berechne y 5 2 u und v für u = 2, v = mit Hilfe der Kettenregel. 338) Man bestimme die Ableitung der Funktion f(, y) in Richtung ( ) im Punkt (3, 2) mit (a) f(, y) = 2 + y 2, (b) f(, y) = 3 e y2, (c) f(, y) = y ) Man berechne die Ableitung von f(, y) = 2 + 4y 2 im Punkt P (3, 2) (a) in Richtung der Koordinatenachsen, (b) in Richtung von (, ), sowie (c) in Richtung von gradf. 34) In welcher Richtung erfolgt die maimale Änderung von f(, y, z) = 2 sin(yz) y 2 cos(yz) vom Punkt P (4, π 4, 2) aus und wie groß ist sie annähernd? 34) Man bestimme die lineare und die quadratische Approimation der Funktion im Entwicklungspunkt (, ). f(, y) = 2 (y ) + e y2 342) Für die Funktion f(, y) = ye +y berechne man das Taylorsche Näherungspolynom zweiter Ordnung an der Stelle (, y ) = (, ). 343) Für die Funktion f(, y) = ln( + y) berechne man das Taylorsche Näherungspolynom zweiter Ordnung an der Stelle (, y ) = (, ). 344) Für die Funktion f(, y) = e y ( + ) + sin( 2 y) berechne man das Taylorsche Näherungspolynom zweiter Ordnung an der Stelle (, y ) = (, π 2 ). 345) Für die Funktion f(, y, z) = e 2 +yz ( + yz + ) berechne man das Taylorsche Näherungspolynom zweiter Ordnung an der Stelle (, y, z ) = (,, π 2 ). 346) Für die Funktion f(, y, z) = 3 cos( 2 arctan(y z)) berechne man das Taylorsche Näherungspolynom zweiter Ordnung an der Stelle (, y, z ) = (,, π 2 ). 2

22 347) Für die Funktion f(, y, z) = cos( y z)) berechne man das Taylorsche Näherungspolynom zweiter Ordnung an der Stelle (, y, z ) = (,, 2). 348) Man bestimme dy d für folgende Kurven durch implizites Differenzieren: (a) 2/3 + y 2/3 =, für =.5, (b) 3 + y 3 2y =, für =. 349) Es sei F (, y) = e sin y+e y sin =. Man berechne dy d und d2 y d 2 im Punkt (π/2, ). 35) Es sei F (, y) = 3 3y + y 3 =. Man berechne y und y im Punkt (, 3). 35) Man berechne y und y im Punkt (, ) der Kurve y 6y 2 + 2y 3 =. 352) Es sei F (, y, z) = 2 (2 + 3z) + y 2 (3 4z) + z 2 ( 2y) yz =. Man berechne z und z y. 353) In welchen Punkten der Kurve 2 + 4y + 6y 2 = 27 sind die Tangenten horizontal, in welchen vertikal? 354) Bestimmen Sie alle Tangenten mit Anstieg ± an die Kurve 2 2 4y + 9y 2 = ) Man ermittle die Gleichungen einer Tangente aus dem Punkt (, ) an die durch y 3 = bestimmte Kurve. 356) Gegeben sei die quadratische Form q() = q(, y) = by + 25y 2 mit b R. Wie lautet die zugehörige symmetrische Matri A, sodass q() = A T? Für welche Werte von b ist die Form positiv definit? 357) Bestimmen Sie einen Wert a Z, sodass die quadratische Form ay + 2z + 2y 2 + 2yz + 2z 2 positiv definit ist. 358) Wie 357 für 2 + ay + 3z + y 2 2yz + 4z ) Bestimmen Sie einen Wert a Z, sodass die quadratische Form 2 + ay 3z + y 2 2yz + 4z 2 negativ definit ist ) Bestimmen Sie das Definitheitsverhalten der folgenden Matrizen: ) A = ) A = ) A = 364) A = ) A = 365) A = Hinweis: Setzen Sie den Vektor (,, ) und den Vektor (,, ) in die der Matri entsprechenden quadratischen Form ein. 22

23 ) Man bestimme alle relativen Etrema und Sattelpunkte der Funktion f(, y) im Inneren des angegebenen Bereichs und alle absoluten Etrema im gesamten, angegebenen Bereich. Hinweis: Eine symmetrische 22-Matri ist genau dann indefinit, wenn ihre Determinante negativ ist. 366) f(, y) = ( 2 + y 2 ) 2 2( 2 y 2 ) für, y R. 367) f(, y) = 2 3 5y 2 + 3y für, y R. 368) f(, y) = 2 + y + y y + für, y R. 369) f(, y) = ( 2 + 5y 2 )e 2 y 2 für, y R. 37) f(, y) = ( 2 + 3y 2 )e 2 2y 2 für, y R. 37) f(, y) = sin( + y) + sin + sin y für, y π/2. 372) f(, y) = sin( + y) + sin + sin y für, y π. 373) f(, y) = sin( + y) + sin sin y für, y π/2. 374) f(, y) = sin( + y) + sin sin y für, y π. 375) f(, y) = cos( + y) + sin + sin y für, y π/2. 376) f(, y) = cos( + y) + sin + sin y für, y π. 377) Man bestimme die relativen Etrema der Funktion f(, y) = 4( 2)(y 2 + y) ) Man bestimme die Etrema von f(, y) = 2 + 3y + 2y ) Gesucht ist das absolute Maimum der Funktion f(, y) = y(3 y) auf dem Definitionsbereich D = {(, y), y, y 3 }. (Anleitung: Man skizziere den Definitionsbereich D in der (, y)-ebene, bestimme dessen Rand und ermittle alle Funktionswerte auf dem Rand. Das absolute Maimum ist dann unter den relativen Maima im Inneren von D sowie unter den Funktionswerten am Rand von D zu suchen.) ) Lösen Sie die folgenden Aufgaben mit Hilfe der Methode der Lagrangeschen Multiplikatoren. 38) Berechnen Sie die Etrema der Funktion f(, y) = + y unter der Nebenbedingung 2 + y 2 =. 38) Berechnen Sie den maimalen Wert von 3+2y unter der Nebenbedingung +y 2 =. 382) Berechnen Sie den maimalen Wert von 3y unter der Nebenbedingung 2 y =. 383) Berechnen Sie den minimalen Wert von 2 +y 2 unter der Nebenbedingung 2+3y =. 384) Man bestimme denjenigen Punkt auf der Ebene z = +y, der von dem Punkt (,, ) den kleinsten (euklidischen) Abstand hat. 385) Man bestimme die etremalen Werte der Funktion f(, y) = y auf der Einheitskreislinie. 386) Man bestimme zu einer gegebenen Kugel einen eingeschriebenen Zylinder von maimaler Oberfläche. 387) Man bestimme zu einer gegebenen Kugel einen eingeschriebenen Zylinder von maimalem Volumen. 23

24 388) Man bestimme zu einer gegebenen Kugel einen eingeschriebenen Drehkegel von maimaler Oberfläche. 389) Man bestimme zu einer gegebenen Kugel einen eingeschriebenen Drehkegel von maimalem Volumen. 39) Welcher Quader mit gegebener Oberfläche A besitzt maimales Volumen? 39) Welcher Kegel mit gegebener Oberfläche A besitzt maimales Volumen? 392) Welcher Doppelkegel (das heißt, zwei Drehkegel mit gleicher Grundfläche und gleicher Höhe, die an ihren Basisflächen zusammengeklebt sind) mit gegebener Oberfläche A besitzt maimales Volumen? Hinweis: Quadrieren Sie die Nebenbedingung. 393) Ein Turm habe die Form eines oben mittels einer Ebene abgeschnittenen Zylinders. Das Dach hat somit die Form einer Ellipse. Der Grundriß des Turms sei ein Kreis mit 2m Durchmesser und Mittelpunkt im Ursprung. Die Ebene, in der das Dach liegt, habe die Gleichung z = + 2y Berechnen Sie die Höhe des Turms. 394) Für welche Werte wird f(, y, z) = yz unter den Nebenbedingungen y +yz +z = a und + y + z = b möglichst groß? 395) Für welche Werte wird f(, y, z) = 2 + y 2 + z 2 unter den Nebenbedingungen y + yz + z = a und + y + z = b möglichst groß? 396) Bestimmen Sie alle Etrema der Funktion f(, y, z) = + 3y + 2z unter den Nebenbedingungen 2 + y 2 = und + z = ) Die Herstellung eines Produks P unter Verwendung zweier Produktionsfaktoren A und B werde durch die Produktionsfunktion (NB) y = f(, 2 ) = 5 2 beschrieben. Der Gewinn des Produzenten sei durch G(, 2, y) = yp p 2 p 2 gegeben. Man maimiere den Gewinn für die Preise p = 2, p =, p 2 = 8 und unter Berücksichtigung der Nebenbedingung (NB), und ermittle die im Gewinnmaimum benötigten Faktormengen, 2, die Produktmenge y und den Unternehmergewinn G. 398) Bestimmen Sie die stationären Punkte der Funktion f(, y, z) = + y + z 2 unter den Nebenbedingungen 2 y 2 + z 2 = und + y =. 399) Bestimmen Sie die stationären Punkte der Funktion f(, y, z) = y + z 2 unter den Nebenbedingungen 2 + y 2 + z 2 = 2 und y =. 4 46) Berechnen Sie die folgenden Bereichsintegrale: 4) B (y + 2 y 2 ) d dy, wobei B R 2 der Rechtecksbereich sei, welcher durch die Eckpunkte (, ), (5, ), (5, 5) und (, 5) bestimmt ist. 4) B ( + 2y y2 ) d dy, wobei B R 2 der Rechtecksbereich sei, welcher durch die Eckpunkte (3, ), (4, ), (4, 5) und (3, 5) bestimmt ist. 42) B e2 (y + ) d dy, wobei B R 2 der Rechtecksbereich sei, welcher durch die Eckpunkte ( 2, ), (4, ), (4, 3) und ( 2, 3) bestimmt ist. 24

25 43) sin( + y) d dy, wobei B R 2 das Quadrat mit den Eckpunkten (, ), (, π), B (π, ), (π, π) sei. 44) 2 ln(y) d dy, wobei B R 2 der Bereich {(, y) y 2 und 2} sei. B 45) (y 2 z + 2z 2 ) d dy dz, wobei B R 3 der Bereich {(, y, z) B 2, y 2 und z } sei. 46) ( e 2 (y + ) + sin(z) ) d dy dz, wobei B R 3 der Bereich {(, y, z) B 2, y und z π} sei. 47) Durch Einsetzen bestätige man, dass die allgemeine Lösung der Differentialgleichung 2 d2 y 6y = 2 ln d2 durch y() = C 3 + C ln + 3, C, C 2 R gegeben ist. Wie lautet die partikuläre Lösung zu den Anfangsbedingungen y() = 2/3, y () =? 48) Man betrachte die Eulersche Differentialgleichung 2 y + 3y + y =. Zeigen Sie, dass C + C 2 ln die allgemeine Lösung dieser Differentialgleichung ist. Wie lautet die partikuläre Lösung zu den Anfangsbedingungen y() = 3, y () = 2? 49) Man ermittle das Richtungsfeld der Differentialgleichung y = y und überlege, ob es durch jeden Punkt der (, y)-ebene genau eine Lösung der Gleichung gibt. 4) Gegeben ist die Differentialgleichung y = ay mit a reell. Skizzieren Sie das Richtungsfeld und die Isoklinen für a = 2, a = und a =. 4) Skizzieren Sie mit Hilfe der Isoklinen das Richtungsfeld der Differentialgleichung und finden Sie die allgemeine Lösung. y = y ) Skizzieren Sie mit Hilfe der Isoklinen das Richtungsfeld der Differentialgleichung y = y. 43) Man löse die homogene lineare Differentialgleichung y y tan =. 44) Man löse die inhomogene lineare Differentialgleichung y + y = ) Man bestimme die Lösung der Differentialgleichung y + y cos = sin cos zur Anfangsbedingung y() = ) Man bestimme die allgemeine Lösung der Differentialgleichung bzw. die Lösung der Anfangswertaufgabe: 46) y = y sin 47) y y + = 25

26 48) y + y = 2, y() = 49) y + +2y = 2 3, y() = 2 42) y = sin 2 cos 2 y 42) y = yln y 422) Man löse die folgenden linearen homogenen Differentialgleichungen: (a) y 8y 2y =, (b) y + 8y + 6y =, (c) y 8y + 25y =. 423) Man löse die folgenden linearen homogenen Differentialgleichungen: (a) y 6y 27y =, (b) y + 6y + 9y =, (c) y 6y + 25y =. 424) Man löse die folgenden linearen homogenen Differentialgleichungen: (a) y 2y + 36y =, (b) y + 2y + 6y =, (c) y 2y + 25y =. 425) Man löse die folgenden linearen homogenen Differentialgleichungen: (a) y y + y =, (b) y + y + 6y =, (c) y y + 25y =. 426) Man bestimme die partikuläre Lösung der Differentialgleichung y + 2y + 2y = zu den Anfangsbedingungen y() = und y () =. 427) Gesucht ist die allgemeine Lösung der Differentialgleichung y y 2y = ) Lösen Sie die folgenden Differentialgleichungen: 428) y y = ) y + y e = 43) y + 2(cot )y + sin 2 = 43) y + y cot = 5e cos (für = π/2 sei y = 4) 432) ( + e )y = e +y 433) y = y + 2 cos 434) y y = 4e 435) y + 7y + 6y = cosh() 436) y + 4y + 4y = e 2 26

27 437) y 5y + 8y 4y = e 2 438) y 2y = e sin 439) y + y = cos 44) y 6y + 9y = 2 e 3 44) y + 3y + y = 3 442) y y + y = 443) y = y + ln 444) y + 2y = 2y 3 445) y = ( 2)y + ( + 2 ) 446) y = y + y + 447) y + y = ) 2 y 5y + 5y =. Ansatz: y = r. 449) 3 y 3 2 y + 6y 6y =. Ansatz: y() = r. 45) 2 y + 3y 3y =. Ansatz: y = r. 45) 2 y y 3y =. Ansatz für y h (): y = r. Zur Bestimmung von y p () versuchen Sie die Standardansätze. 452) 2 y +y 3y = 5 2. Ansatz für y h (): y = r. Zur Bestimmung von y p () versuchen Sie die Standardansätze. 27