Prüfungsfragen zur Theorie

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1 Prüfungsfragen zur Theorie Formulieren Sie die Monotoniegesetze (Rechenregeln für Ungleichungen)! Satz: Für alle a,b,c,d gilt: a b und c.d a+c b+d Satz: Für alle a,b,c,d + o gilt: a b und c d ac bd 1 Satz: 0 < a b 0 < b 1 a Satz: Für a,b o + gilt: a b a n b n Beweisen Sie: a x b c y d a+c x+y b+d a x b c y d a-d x-y b-c 0 a x b 0 c y d a c x y b d 0 a x b 0 < c y d a x b d y c Erklären Sie die Begriffe : komplexe Zahl, Realteil, Imaginärteil, konjugiert komplexe Zahl Wie sind Addition und Multiplikation in C definiert? Folgern Sie aus diesen Definitionen Formeln für die Subtraktion und Division komplexer Zahlen! Was ergibt die Summe bzw. Differenz bzw. Produkt einer komplexen Zahl mit ihrer konjugiert komplexen Zahl? Wie kann man komplexe Zahlen sowie deren Addition geometrisch veranschaulichen? Darstellung einer komplexen Zahl durch Polarkoordinaten. Erklären Sie die Begriffe Betrag, Argument, Hauptwert Umrechnung von Polarkoordinaten in die Form a + bj Umrechnung von a + bj in Polarkoordinaten (Begründung! Welche Fälle sind zu berücksichtigen?) Wie kann man die Multiplikation komplexer Zahlen geometrisch veranschaulichen? Begründen Sie die Regel: [r, ϕ] [s, ψ] =[r s, ϕ+ ψ] bzw. [r s, ϕ+ ψ 2 π ]

2 Geben Sie eine Formel für [r,ϕ] n an! (Begründung!) Geben Sie eine Formel für jene Zahl(en) z mit z n = [r,ϕ] an! Beschreiben Sie die Lagen dieser Zahlen in der Gauß schen Zahlenebene! (Begründung!) A, B seine Mengen. Wie sind A B, A B, A B, A\B, AxB definiert? A, B seien Aussagen. Geben Sie die Wahrheitstafeln für A B, A B, A B, A B an! Begründen Sie mit Hilfe entsprechender Wahrheitstafeln die Gültigkeit von: (A B) (A B B A) M sei eine Menge und A eine Aussage über Elemente aus M. Bilden Sie die Negation von ( x M: A) bzw. von ( x M: A) Beweisen Sie: 2 Q Beschreiben Sie in Worten, wie ein indirekter Beweis funktioniert! Es gilt der Satz: Für alle a,b R + 0 und n N (n 2): n n ab = n a b Was ist falsch an folgendem Beweis : n n n ab = a b ( n n ab) n n = ( a ) n b ( n n ab) n n n = ( a ) ( ) n b ab=ab Wie funktioniert ein Beweis durch vollständige Induktion? Formulieren Sie den Binomischen Lehrsatz! Wie ist n k definiert? Beweisen Sie: n n n+ 1 + = k k+ 1 k+ 1 Wie ist der Begriff Funktion definiert? Erklären Sie an einem geeigneten Beispiel die Begriffe Definitionsmenge, Zielmenge, Argument, Bild. Nennen Sie zu diesen Begriffen auch synonyme Bezeichnungen. Was versteht man unter einer linearen Funktion? Welche Spezialfälle gibt es? Definieren Sie: Potenzfunktion, Polynomfunktion, rationale Funktion Definieren Sie: (streng) monoton wachsend / fallend Definieren Sie: injektiv, surjektiv, bijektiv Was versteht man unter einer Umkehrfunktion einer gegebenen Funktion? Gibt es zu jeder Funktion eine solche?

3 Begründen Sie anschaulich: Wenn eine Funktion f: A B auf einer Menge M A streng monoton wachsend ist, so ist sie dort auch injektiv. Begründen Sie oder widerlegen Sie durch ein Gegenbeispiel: Wenn eine Funktion f: A B auf einer Menge M A streng monoton fallend ist, so ist sie dort auch injektiv. Begründen Sie oder widerlegen Sie durch ein Gegenbeispiel: Wenn eine Funktion f: A B auf einer Menge M A injektiv ist, so ist sie dort auch streng monoton. Was versteht man unter einer Exponentialfunktion? Was ist die natürliche Exponentialfunktion? Beschreiben Sie das Monotonieverhalten der Funktion x Was versteht man unter log a b? Beweisen Sie: log a b c = c log a b Beweisen Sie: log a (b c) = log a b log a c a x! Erklären Sie das Prinzip und den Zweck von einfach bzw. doppelt logarithmischen Papieren! Was versteht man unter dem Bogenmaß eines Winkels? Definieren Sie: sin x, cos x, tan x (auch für Winkel > 90!) In welchen Intervallen sind sin bzw. cos umkehrbar? (Begründung!) Welcher Zusammenhang besteht zwischen e x einerseits und sin x, cos x andererseits? (Begründung!) Drücken Sie sin x bzw. cos x durch die natürliche Exponentialfunktion aus! Berechnen Sie j j! (Begründung!) Wie sind die Hyperbelfunktionen definiert? Skizzieren Sie ihre Graphen! Auf welchen Intervallen sind sie umkehrbar? Wie nennt man diese Umkehrfunktionen? Was versteht man unter einer (unendlichen) Folge? Wann nennt man eine Folge (streng) monoton wachsend / fallend? Was ist eine arithmetische bzw. eine geometrische Folge? Was ist eine rekursiv definierte Folge?

4 Wann nennt man eine Folge beschränkt? Definieren Sie die Begriffe Häufungswert und Grenzwert! Wir haben die Definition des Grenzwerts einer Folge auf zwei Arten formuliert (in einem Satz: bla bla, d.h. bla bla.. ) Begründen Sie, dass diese beiden Formulierungen äquivalent sind! Begründen Sie: Eine konvergente Folge ist beschränkt. Begründen Sie: Eine monotone und beschränkte Folge ist konvergent. Formulieren Sie die Sätze für Grenzwerte von Summen-, Differenz-, Produkt- und Quotientenfolgen! (Voraussetzungen?) Zeigen Sie, dass 0 für 1< q< 1 n lim q = 1 für q = 1 für q > 1 n Begründen Sie folgende Aussagen: a) Lässt man aus einer konvergenten Folge endlich viele Glieder weg, so bleibt die verbleibende Folge konvergent und hat den selben Grenzwert. Gilt das auch, wenn man unendlich viele Glieder weglässt? b) Jede konvergente Folge ist beschränkt. c) Eine monoton wachsende und nach oben beschränkte Folge ist konvergent. (Was ist der Grenzwert?) Begründen Sie folgende Aussagen: a) Ist s die kleinste obere Schranke von (x n ), dann gibt es in jeder Umgebung von s mindestens ein Folgenglied. b) Wenn gilt: s xn n N*, dann gibt es in jeder Umgebung von s sogar unendlich viele Folgenglieder. Was ist eine endliche Reihe?, Wie ist der Begriff unendliche Reihe definiert? Was ist eine (endliche bzw. unendliche) geometrische Reihe? Wie lautet die Summenformel für endliche geometrische Reihen? (Beweis!) Wie lautet die Summenformel für unendliche geometrische Reihen? (Beweis!) Erklären Sie die Begriffe absolut konvergent bzw. bedingt konvergent! Geben Sie je ein Beispiel! Begründen Sie, dass eine bedingt konvergente Reihe unendlich viele positive und unendlich viele negative Glieder haben muss!

5 Formulieren und beweisen Sie das Majorantenkriterium! Formulieren und beweisen Sie das Quotientenkriterium! Formulieren und beweisen Sie das Wurzelkriterium! Zeigen Sie, dass die Reihe x k k= 0k! für alle x R konvergiert! Für den Begriff Grenzwert einer Funktion haben wir zwei Definitionen kennengelernt. Formulieren Sie diese! Begründen Sie, warum man nicht verlangt, dass in der Definition von lim f(x) Stelle xo nicht in der Definitonsmenge der Funktion f liegen muss! Was verlangt man von x o nur? Definieren Sie, wann man eine Funktion an einer Stelle x o als stetig bezeichnet! Was bedeutet f ist stetig in einer Menge M anschaulich? Zeigen Sie: Ist eine Funktion f in [a, b] stetig und f(p)>0, dann gibt es eine Umgebung U um p (also ein Intervall U=[p-ε, p+ε]) derart, dass f(x)>0 x U Formulieren Sie den Satz vom Maximum/Minimum! Geben Sie 2 Beispiele einer Funktion, die eine der Voraussetzungen nicht erfüllen und daher auch die Aussage dieses Satzes nicht erfüllen! Geben Sie 2 Beispiele einer Funktion, die eine der Voraussetzungen nicht erfüllen und trotzdem die Aussage dieses Satzes erfüllen! Formulieren Sie den Satz von der Nullstelle! Geben Sie 2 Beispiele einer Funktion, die eine der Voraussetzungen nicht erfüllen und daher auch die Aussage dieses Satzes nicht erfüllen! Geben Sie 2 Beispiele einer Funktion, die eine der Voraussetzungen nicht erfüllen und trotzdem die Aussage dieses Satzes erfüllen! x x 0 Der Nullstellensatz ist ein Spezialfall welches Satzes? Formulieren Sie diesen! Wann nennt man eine Funktion differenzierbar? Ist jede stetige Funktion differenzierbar? (Beweis oder Gegenbeispiel!) Ist jede differenzierbare Funktion stetig? (Beweis oder Gegenbeispiel!) Zeigen Sie am Beispiel einer Kostenfunktion K: K(x 0 +1) K(x 0 ) + K (x 0 ) Formulieren Sie diese Aussage in Worten! Was muss man über x 0 voraussetzen, damit diese annähernde Gleichheit möglichst genau stimmt? Zeigen Sie am Beispiel einer Kostenfunktion K: K( 1,01x) K(x) Sie diese Aussage in Worten! die ε (1 + ) 100 Formulieren Was ist eine Taylorreihe? Wozu braucht man sie? Was ist ein Taylorpolynom vom Grad 1?

6 (n) f (x 0 ) Begründen Sie die Formel für die Koeffizienten einer Taylorreihe, also: an = n! Wie sieht die Formel für das Restglied aus? Erklären Sie die auftretenden Buchstaben! Wie lautet der Mittelwertsatz der Differentialrechnung? Wie kann er graphisch gedeutet werden? Formulieren Sie den Zusammenhang zwischen Monotonieverhalten einer Funktion und dem Vorzeichen ihrer Ableitung! Beweis! Was versteht man unter einer relativen (oder lokalen) Maximum- bzw. Minimumstelle? Was versteht man unter einer (absoluten) Maximum- bzw. Minimumstelle? Gilt: f (x 0 ) = 0 x 0 = lokale Extremstelle? Beweis oder Gegenbeispiel + richtige Formulierung! Was bedeutet das Vorzeichen von f? Begründung! Begründen Sie wie man mit Hilfe der Differentialrechnung den absoluten bzw. relativen Fehler berechnen kann! Leiten Sie die Rekursionsformel für das Newton-Verfahren her! (Vgl. Übungen!) Erklären Sie die Begriffe Untersumme, Obersumme, Zwischensumme! Was versteht man unter einem bestimmten Integral? Was versteht man unter einem unbestimmten Integral? Welcher Zusammenhang besteht zwischen diesen beiden Begriffen? Wie nennt man ein unbestimmtes Integral einer Funktion noch? Wann ist eine Funktion integrierbar? Geben Sie ein Beispiel einer nicht integrierbaren Funktion! Begründung! Wie lautet der Mittelwertsatz der Integralrechnung? Wie kann er graphisch gedeutet werden? Formulieren Sie die Regel für die partielle Integration! Begründung! Formulieren Sie die Substitutionsregel! Begründung! Wie lautet der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung? 2 Formulierungen! Leiten Sie aus der einen Formulierung die andere her! Was sind uneigentliche Integrale? Begründen Sie die Sehnentrapezformel! (Vgl. Übungen!) Was ist ganz allgemein eine DGl?

7 Was ist eine Lösung einer DGl? (Eine Zahl? Eine Menge von Zahlen? Eine Funktion? Eine Menge von Funktionen? Eine Matrix?...) Was ist die Ordnung einer DGl? Was ist der Grad einer DGl? Kann man von jeder DGl den Grad bzw. die Ordnung angeben? Was ist eine lineare DGl? Was ist eine lineare DGl 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten? Geben Sie ein Beispiel einer DGl mit nicht konstanten Koeffizienten an! Was versteht man unter der allgemeinen Lösung einer DGl? Was unter einer partikulären Lösung? Wie kommt man von der allgemeinen Lösung zu einer partikulären Lösung? Kommt man immer auf diesem Weg zu einer partikulären Lösung? Was versteht man unter dem Richtungsfeld einer DGl? Für welche Arten von DGl kann man unmittelbar ein Richtungsfeld angeben? Beschreiben Sie das Euler sche Polygonzugverfahren! Unter welchen Voraussetzungen gibt es durch einen vorgegebenen Punkt mindestens eine bzw. genau eine Lösungskurve? Beschreiben Sie die Methode der Trennung der Variablen! Für welche Arten von DGl ist sie anwendbar? Was versteht man unter einer homogenen bzw. inhomogenen DGl? Wie sieht die Lösungsgesamtheit (allgemeine Lösung, Lösungsmenge) einer inhomogenen linearen DGl aus? Zeigen Sie an einem möglichst einfachen Beispiel, dass dies für nichtlineare DGl im Allgemeinen nicht gilt! Welche Lösungsschritte ergeben sich daraus für die Ermittlung der allgemeinen Lösung einer linearen DGl 1. Ordnung? Was ist eine Fourierreihe? Wozu braucht man sie? Stimmt die Fourierreihe einer Funktion f an jeder Stelle mit f überein? Begründen Sie, wie man die Formeln zur Berechnung der Koeffizienten einer Fourierreihe erhält! Leiten Sie aus der trigonometrischen Form der Fourierreihe die komplexe Darstellung her! Erklären Sie die Fourieranalyse nichtperiodischer Funktionen!