Einführung der Trigonometrischen Funktionen

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1 Einfürung der Trigonometriscen Funktionen Andreas Kovacs H03550L JKU Linz aon.at Cristian Punzengruber H035596L JKU Linz gm.at. Juni 004 Kurzfassung Diese Arbeit andelt von den trigonometriscen Funktionen. Wir füren anfangs die beiden Funktionen Sinus und Cosinus anand des Eineitskreises und anscließend mittels der Potenzreien ein. Weiters werden die Eigenscaften der Funktionen erläutert und es wird auc auf einige Besondereiten wie z. B. die Additionsteoreme eingegangen. Nac Berecnung der Werte von Sinus und Cosinus und der Einfürung der Konstanten lösen wir das Problem der grafiscen Darstellung. Aus dem bis dain gewonnenen Wissen über Sinus und Cosinus werden die Funktionen Tangens und Cotangens eingefürt und deren Eigenscaften erörtert. Sclußendlic betracten wir noc die Umkerfunktionen. Im abscließenden Abscnitt werden die aufgestellten Beautungen, Folgerungen und Sätze bewiesen.. Einleitung Die trigonometriscen Funktionen sind in vielen Bereicen der Matematik von großer Bedeutung. Sei es bei einfacen Berecnungen wie Dreiecken oder aber bei eriodiscen Vorgängen. In dieser Arbeit wird vorerst angenommen, dass solce Funktionen mit den in. angegebenen Eigenscaften eistieren. Zu diesen Annamen kommen wir durc die Einfürung am Eineitskreis. Nac der Herleitung einiger Eigenscaften und Formulierung wictiger Sätze, wie z. B. den Additionsteoremen oder der Eulerscen Formel, versucen wir, zu zeigen, dass diese Funktionen auc eistieren. Wictiges Hilfsmittel dabei sind die Potenzreien, da wir Sinus und Cosinus durc eine Aufsaltung der Reie  in den Imaginärteil (Sinus) und den Realteil (Cosinus) eralten. Im Anscluss daran berecnen wir relativ eakte Werte dieser Funktionen, wobei immer der Feler miteinbezogen werden muss. Im Kaitel 3 bescäftigen wir uns mit den Eigenscaften dieser Funktionen. Wir zeigen, dass Sinus und

2 Cosinus differenzierbar, integrierbar und stetig sind. Danac versucen wir, die Funktionen grafisc darzustellen, wobei wir auf ein Problem stoßen. Wie scauen diese eigentlic aus? Wir betracten ierbei die Funktion Cosinus auf einem Intervall [0,], wo wir zeigen, dass in diesem Intervall genau eine Nullstelle eistiert. Der Wert dieser wird mit ÅÅÅÅ bezeicnet. Nac einigen Betractungen kommen wir zu dem Scluss, dass Sinus und Cosinus eriodisce Funktionen sind. Damit aben wir genug Wissen für die grafisce Darstellung und auc für einige Folgerungen aus Sinus und Cosinus, die wir im Kaitel 4 beandeln. In diesem Teil der Arbeit werden die Funktionen Tangens und Cotangens sowie die Umkerfunktionen Arcussinus, Arcuscosinus, Arcustangens und Arcuscotangens eingefürt und deren Eigenscaften betractet.. Einfürung der trigonometriscen Funktionen. Einfürung am Eineitskreis   Q ( bzw. ) Sin - 0 P - Cos Bild : Eineitskreis Auf diesem Eineitskreis gibt die Länge des Kreisbogens PQ an, auc Bogenmaß des Winkels Q0P genannt. Wie kann man nun die zu diesem zugeörigen Werte Cos () und Sin () definieren?

3 Zunäcst können wir mit dem Wissen über komlee Zalen folgendes zeigen: è Folgerung :» i» = "################# i * i è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! = i * i = è!!!!!! 0 = " œ Wegen Folgerung ergibt sic (mit der Anname, dass der Punkt Q = i ist) offenbar, dass Sin () der Imagin Geometrisc kann man auc sagen, Sinus sei der y-wert von i, Cosinus der -Wert. Somit definieren wir Sinus und Cosinus folgendermaßen: è Definition : Cos : Ø, Ø Re H  L Sin : Ø, Ø Im H  L Aus dieser Definition folgt sofort: è Satz : Eulersce Formel  = Cos () +  Sin () Aus der Eulerscen Formel lassen sic weitere Sclüsse zieen: è Folgerung : Cos () =  + ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ - fl Cos (-) = Cos () (gerade Funktion) Sin () =  - ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ - fl Sin (-) = -Sin () (ungerade Funktion)  Aufgrund der Stetigkeit der Eonentialfunktion für " z œ sind auc die Sinus- und Cosinusfunktion stetig auf ganz. Mit dem biserigen Wissen über die beiden Funktionen Sinus und Cosinus lassen sic einige weitere Aussagen beweisen. è Satz : ",y œ gilt: Cos (+y) = Cos () Cos (y) - Sin () Sin (y) Sin (+y) = Sin () Cos (y) + Cos () Sin (y) Cos () + Sin () = Sin () - Sin (y) = Cos ( ÅÅÅÅÅÅÅÅ +y -y ) Sin ( ÅÅÅÅÅÅÅÅ ) Cos () - Cos (y) = - Sin ( ÅÅÅÅÅÅÅÅ +y -y ) Sin ( ÅÅÅÅÅÅÅÅ ) 3

4 In der Sculmatematik werden die Winkelfunktionen (fast) immer über den Eineitskreis definiert. Diese Definition ist jedoc ser unbefriedigend, da sie sic auf den Begriff der Länge eines Kurvenstücks stützt. Bis jetzt aben wir also nur angenommen, dass zwei Funktionen mit den obigen Eigenscaften eistieren.. Einfürung über Potenzreien Im folgenden Abscnitt wollen wir nun zeigen, dass die Funktionen Sinus und Cosinus auc wirklic eistieren. Wir verwenden ier die Definition und die Eonentialreie für i. è Definition : " œ gilt Cos () = H-L n * ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ n n=0 H nl! Sin () = H-L n n+ * ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ n=0 H n+l! Die Reien in Definition erält man durc Aufsaltung der Elemente der Potenzreie i in den Realteil und den Imaginärteil. Cosinus und Sinus sind laut Definition diese Teile von i. Diese beiden Reien sind absolut konvergent, was aus der absoluten Konvergenz der Eonentialreie folgt..3 Berecnung der Werte mittels Potenzreien Man kann Sin() und Cos() berecnen, indem man nur die ersten Reienglieder berecnet, wobei man aber einen Feler mact. è Satz 3: N Cos () =J H-L k * ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ k k=0 H kl! N+ r N+ () r N+ ()» N+» ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ H N+L! r N+ bezeicnet ierbei den Feler. Sin() kann man analog berecnen. Hierbei ist der Feler statt r N+ aber r N Eigenscaften der trigonometriscen Funktionen 3. Differenzierbarkeit, Integrierbarkeit, Stetigkeit è Satz 4: 4

5 Sin() und Cos() sind auf ganz differenzierbar. Es gilt (Sin ()) = Cos () (Cos ()) = - Sin () Wenn eine Funktion differenzierbar ist in, ist sie auc stetig und integrierbar in. Daraus folgt sofort: è Folgerung 3: Ÿ Sin HL = - Cos () Ÿ Cos HL = Sin () Sin () und Cos () sind stetig in. 3. Grafisce Darstellung der Funktionen Sin () und Cos () Bevor wir die Funktionen grafisc darstellen können, bedarf es einiger Vorarbeit. Wir betracten zunäcst die Funktion Cos () im Intervall [0,]. è Satz 5: Cos () at im Intervall [0,] genau eine Nullstelle. Wir wissen, dass der Cos (0) = ist. Das lässt sic auc mittels der Potenzreie aus Definition zeigen. Sei nun der Cosinus eine streng monoton fallende und stetige Funktion in [0,]. Da Cos () kleiner 0 ist, folgt aus dem Zwiscenwertsatz für stetige Funktionen, dass Cos () im Intervall [0,] genau eine Nullstelle besitzt. Wir bezeicnen den Wert dieser kleinsten ositiven Nullstelle der Cosinus-Funktion als ÅÅÅÅ Also ist Cos () > 0 für 0 b < ÅÅÅÅ è Folgerung 4: und Cos ( ÅÅÅÅ ) = 0. Aus Satz 5 können wir nun scließen, dass Sin () streng monoton wacsend ist auf dem Intervall [0, ÅÅÅÅ ] mit Sin (0) = 0 und Sin ( ÅÅÅÅ ) =. Weiters eralten wir nun mit Hilfe von Satz : è Definition 3:. 5

6 Sin () = 0 Cos () = - Sin () = 0 Cos () = Sin ( + ÅÅÅÅ ) = Cos () Cos ( + ÅÅÅÅ ) = - Sin () Sin ( + ) = - Sin () Cos ( + ) = - Cos () Sin ( + ) = Sin () Cos ( + ) = Cos () è Definition 4: Eine Funktion f ist eriodisc mit der Periode 0 (-eriodisc), wenn f (+) = f () für alle des Definitionsbereics gilt. Aus Definition 3 ergibt sic daer, dass Sinus und Cosinus - eriodisce Funktionen sind. Bevor wir nun die beiden Funktionen grafisc darstellen, folgt noc die Definition der Nullstellen von Sinus und Cosinus auf ganz. è Definition 5: Sin () = 0 ñ = k (k œ ) Cos () = 0 ñ = ( k + ) ÅÅÅÅ (k œ ) Nacdem wir nun die entsrecende Vorarbeit geleistet aben, um zu einer Vorstellung über das Ausseen der Funktionen Sinus und Cosinus zu gelangen, wollen wir sie nun grafisc darstellen: è Grafisce Darstellung von Sinus und Kosinus: 6

7 - 0 / 3/ Cos Sin 0 / 3/ - Bild : Grafisce Darstellung von Sinus und Cosinus 4. Folgerungen aus den Winkelfunktionen 4. Tangens und Cotangens Nun können wir zwei weitere, in der Matematik wictige Funktionen betracten, was erst jetzt möglic ist, da wir wissen, dass Sinus und Cosinus auc wirklic eistieren Ø Tangens und Cotangens. Wir betracten zunäcst wieder den Eineitskreis zur besseren Vorstellung und definieren im Anscluss die Funktionen Tan () und Cot (): 7

8 Cot  Sin Tan - - Cos Bild 3 : Eineitskreis è Definition 6: Tan (): \ { ÅÅÅÅ Sin HL + k» k œ } Ø, Ø ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ Å Cot (): \ {k» k œ } Ø, Ø Cos HL Cos HL ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ Å Sin HL Die Definitionsmenge ergibt sic ierbei natürlic aus den bereits gewonnenen Erkenntnissen über die Nullstellen von Sinus und Cosinus in. Auf diesen jeweiligen Definitionsbereicen gelten folgende Aussagen, die sic leict mit dem Wissen über Sin und Cos erleiten lassen: (Tan ()) = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ = + Cos HL Tan () (Cot ()) = - ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ = - ( + Sin HL Cot ()) Ÿ Tan HL = - ln Cos () Ÿ Cot HL = ln Sin () Tan ( + ) = Tan () Cot ( + ) = Cot () Tangens und Cotangens sind demnac - eriodisce Funktionen. Als Abscluss dieses Teils wollen wir diese noc veranscaulicen. Die Daten für die grafisce Darstellung erält man leict durc Kurvendiskussion. 8

9 Tan () Cot () - - / - /4 /4 / - - / - /4 /4 / - - Bild 4 : Grafisce Darstellung von Tangens und Cotangens 4. Umkerung der Winkelfunktionen Jetzt, wo wir die Winkelfunktionen genau analysiert aben, wenden wir uns den Umkerfunktionen zu. è Die Umkerung des Sinus (arcus sinus): Wir scränken die Funktion Sin () auf das abgesclossene Intervall [ - ÅÅÅÅ, ÅÅÅÅ ] ein, diese ist ier stetig und wäcst streng monoton von - bis. Also wird [ - ÅÅÅÅ, ÅÅÅÅ ] bijektiv auf [ -, ] abgebildet. Daer eistiert die Umkerfunktion Arcsin () auf dem Intervall [ -, ], sie ist dort stetig und streng monoton wacsend von - ÅÅÅÅ bis ÅÅÅÅ. Für die Differenzierbarkeit dieser Funktion gilt: (Arcsin ()) = è!!!!!!!!!!! ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ für - < < - è Die Umkerung des Cosinus (arcus cosinus): Hierbei wird die Funktion Cos () auf das Intervall [ 0, ], auf dem sie stetig und streng monoton fallend ist, eingescränkt. Dieses Intervall wird bijektiv abgebildet auf [ -, ]. Deswegen eistiert die Umkerfunktion Arccos () auf [ -, ]. Sie fällt streng monoton von bis 0 und ist stetig. Die Ableitung des Arccos () lautet: (Arccos ()) = - è!!!!!!!!!!! ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ für - < < - è Die Umkerung des Tangens (arcus tangens): 9

10 Die Funktion Tan () wird auf ( - ÅÅÅÅ, ÅÅÅÅ ) eingescränkt. Sie ist dort stetig und wäcst streng monoton. Die Umkerfunktion Arctan () wäcst streng monoton und bildet auf ( - ÅÅÅÅ ÅÅÅÅ ) ab. Weiters gilt:, (Arctan ()) = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ H+L für " œ è Die Umkerung des Cotangens (arcus cotangens): Bei Cot () erfolgt die notwendige Einscränkung auf das Intervall ( 0, ). Die Funktion ist ier stetig und streng monoton fallend. Die Umkerung Arccot () eistiert auf, wo sie stetig und streng monoton fallend ist und den Wertebereic ( 0, ). Wieder die Differentiationsregel: (Arccot ()) = - ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ H+L für " œ Nun wollen wir die Umkerfunktionen noc grafisc darstellen: / Arcsin () / Arctan () - /4 - / - / Arccos () Arccot () / / /4-0 Bild 5 : Grafisce Darstellung der Umkerfunktionen 5. Detaillierte Betractung der getätigten Aussagen 0

11 In diesem Kaitel wollen wir noc einmal ganz genau auf die biser getätigten Aussagen, Sätze, Folgerungen etc. eingeen und versucen, diese zu beweisen. 5. Einfürung der trigonometriscen Funktionen Wir beginnen bei Folgerung. Hierbei brauct man die Definition des Betrags einer komleen Zal. è Definition 7: Für Z œ Ô Z:= a + bâ gilt: Z = Z ÿ Z êê Daer gilt für unsere Folgerung :» »= J "############## êêêê  ÿ  "############## êêêê N=  ÿ  " œ = è!!!!!!!!!!!!!!!!  ÿ - = è!!!!!!!!!!!  - = è!!!!! 0 = è!!! = Dieser Beweis bedarf keiner näeren Erläuterung. Aus der eben gezeigten Folgerung ergibt sic also, dass Sin () der Imaginärteil von  und Cos () der Realteil. Daraus konnten wir den Satz, die Eulersce Formel, folgern:  = Cos() +  Sin() Aus dieser konnten wir weiter scließen, dass Folgerung gilt. Um diese zu beweisen, verwenden wir die Eulersce Formel:  = Cos() +  Sin() In diese setzen wir Cosinus und Sinus aus Folgerung ein:  =  + ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ - +   - ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ -  Durc Ausrecnen erält man auf der recten Seite Â. Mit dem bis dato gewonnenen Wissen lassen sic die Aussagen beweisen, die in Satz getätigt wurden. Als erstes wollen wir die Additionsteoreme beweisen. Zur Erinnerung noc einmal die Additionsteoreme: Cos (+y) = Cos () Cos (y) - Sin () Sin (y) Sin (+y) = Sin () Cos (y) + Cos () Sin (y) Wir verwenden die Eulersce Formel, setzen aber statt (+y) ein: Cos ( + y) +  Sin ( + y) = ÂH+yL =  Ây HEulersce FormelL = Beacte:  (Cos () +  Sin ()) (Cos (y) +  Sin (y)) = =- (Cos () Cos (y) - Sin () Sin (y)) +  (Sin () Cos (y) + Cos () Sin (y)) Nun aben wir wieder einen Real- und einen Imaginärteil, und diese sind genau gleic denen in Satz. Damit sind die Additionsteoreme bewiesen.

12 Die näcste Aussage aus Satz, den sogenannten trigonometriscen Pytagoras, kann man so zeigen: Satz : Cos () + Sin () = Wir verwenden Folgerung und setzen ein: I  + ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ - M +I  - ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ - M =  H  + - L + H  - - L ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ = (Klammern ausquadrieren) 4  +  ÿ - + -  +  -  ÿ - + -  ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅ = 4  + -  = 4 Nun können wir die Folgerung verwenden:» »= für " œ, also auc für  und - Â. Damit ergibt sic: + = 4 Die Aussage stimmt also. Nun bleiben also noc Aussagen aus Satz zu zeigen. Diese lauteten: Sin () - Sin (y) = Cos ( ÅÅÅÅÅÅÅÅ +y -y ) Sin ( ÅÅÅÅÅÅÅÅ Cos () - Cos (y) = - Sin ( ÅÅÅÅÅÅÅÅ +y -y ) Sin ( ÅÅÅÅÅÅÅÅ Wir werden ier nur die erste Aussage beweisen, die zweite get analog dazu. Wir definieren für diesen Beweis zuerst: u:= ÅÅÅÅÅÅÅÅ +y -y, v:= ÅÅÅÅÅÅÅÅ fl = u + v, y = u - v lt. obiger Definition Sin () - Sin (y) = Sin (u + v) - Sin (u - v) Nun verwende ic das Additionsteorem für Sinus: Sin (u + v) - Sin (u - v) = = (Sin (u) Cos (v) + Sin (v) Cos (u)) - (Sin (u) Cos (-v) + Cos (u) Sin (-v)) Jetzt verwenden wir aus Folgerung, dass Cos (-) = Cos () und Sin (-) = - Sin (). Sin (u) Cos (v) + Sin (v) Cos (u) - Sin (u) Cos(v) + Cos (u) Sin (v) = Cos (u) Sin (v) Jetzt können wir für u und v einsetzen und eralten: Cos ( ÅÅÅÅÅÅÅÅ +y -y L Sin H ÅÅÅÅÅÅÅÅ L womit dieser Satz bewiesen ist. Damit aben wir die trigonometriscen Funktionen über den Eineitskreis eingefürt. Jetzt nemen wir die Einfürung über Potenzreien vor. Dazu benötigen wir eine bereits bekannte Definition: è Definition 8: ) ) n := n=0 ÅÅÅÅÅ n! Über diese Eonentialreie wissen wir, dass sie stetig und differenzierbar ist in. Außerdem wissen wir, dass sie absolut konvergent ist in. Nun werden wir die Definition beweisen, wir zeigen sie ier nocmals zur Erinnerung: Cos() = H-L n * ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ n n=0 H nl! Sin() = H-L n n+ * ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ n=0 H n+l!

13 Jetzt verwenden wir die Definition 8 für  :  = HÂL n ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ n=0 n! Das salten wir jetzt auf in Summen, wobei bei einer nur die Summanden mit geradem n und bei der anderen jene mit ungeradem n zälen.  = HÂL k ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ k=0 H kl! + HÂL k+ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ k=0 H k+l! Nun betracten wir nur die beiden Zäler, wobei  = - ein wictiges Hilfsmittel ist. HÂL k = H-L k k HÂL k+ =   k k+ = H-L k  k+ Dies verwenden wir zum Einsetzen in die beiden unendlicen Reien.  = ( H-L k ÿ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ k k=0 H kl! ) + ( H-L k ÿ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ k+ ÅÅÅÅÅÅ ) H k+l! k=0 Verwenden wir jetzt die Eulersce Formel, sind diese beiden unendlicen Reien genau die, die in Definition angegeben wurden. Jetzt wollen wir versucen, Sinus und Cosinus zu berecnen. In.3 aben wir bereits gesagt, dass man diese Funktionen berecnen kann, indem man die ersten Reienglieder berecnet und den Feler berücksictigt. Wir füren diese Berecnung nun am Beisiel des Sinus durc. Wir zeigen nocmal Satz 3: N Sin () = ( H-L k ÿ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ k+ k=0 H k+l! N+ r N+3HL mit r N+3 HL» N+3» ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ für H N+3L! Zu beweisen ist ier die Abscätzung des Felers. N Sin () - ( H-L k ÿ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ k+ k=0 H k+l! N = H-L k ÿ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ k+ k=n+ H k+l! Wir betracten nun die ersten Glieder dieser Reie: H-L N+ ÿ N+3 ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ H N+3L! + H-LN+ ÿ N+5 ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ H N+5L! + H-LN+3 ÿ N+7 ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ H N+7L! +... Jetzt nemen wir an, dass N ungerade ist und eben eraus: ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ N+3 H N+3L! - ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ H N+4LÿH N+5L + ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ 4 ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅ H N+4LÿH N+5LÿH N+6LÿH N+7L -... Die Beträge der Glieder im recten Betrag sind alternierend und die Summe dieser Reie konvergiert gegen 0. Dies ist trivial und kann mittels Leibnitz scem Konvergenzkriterium leict bewiesen werden. Daer gilt für diesen Betrag: > - ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ -... > 0 für H N+4LÿH N+5L + 4 H N+4LÿH N+5LÿH N+6LÿH N+7L fl» r N+3» < ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ N+3 H N+3L! Die Berecnung des Cosinus funktioniert ganz analog. 5. Eigenscaften der Trigonometriscen Funktionen 3

14 Nun werden wir die versciedenen Aussagen über die Eigenscaften von Sinus und Cosinus auc beweisen. Wir beginnen mit Satz 4, der besagt, dass Sin () und Cos () auf ganz differenzierbar sind und dass gilt: (Sin ()) = Cos () (Cos ()) = - Sin () Dies zeigen wir wieder nur an einem Beisiel, und zwar für Cos (), der andere Beweis get wieder analog. Wir benötigen dafür die Definition der Differenzierbarkeit und einen wictigen Satz. è Definition 9: f H+L - fhl f () ist differenzierbar ñ $ lim Ø 0 ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ Der folgende Satz ist mit der Regel von de l Hosital zu zeigen. è Satz 6: lim Ø 0 Sin HL ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ = Wir benötigen noc folgende Aussage, welce man aus den Additionsteoremen erleiten kann: è Folgerung 5: Cos () - Cos (y) = - Sin ( ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ + y -y L Sin ( ÅÅÅÅÅÅÅÅ L Jetzt aben wir genug Wissen für den Beweis der Differenzierbarkeit von Cosinus. Wir verwenden zuerst die Definition der Differenzierbarkeit. Cos H+L - Cos HL Cos () ist differenzierbar ñ $ lim Ø 0 ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ Scauen wir, ob es diesen Grenzwert gibt (und ob dieser - Sin () ist). Dazu wenden wir das Additionsteorem für Cos ( + ) an und eralten: Cos H + L - Cos HL lim Ø0 ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ Cos HL ÿ Cos HL - Sin HL ÿ Sin HL - Cos HL = lim Ø0 ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ = Wir formen ein bisscen um und verwenden Satz 6: Cos HL ÿ H Cos HL - L - Sin HL ÿ Sin HL lim Ø0 ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ = Cos HL ÿ HCos HL -L Sin HL ÿsin HL lim Ø0 ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ - lim Ø0 ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ = Cos HL ÿ HCos HL -L lim Ø0 ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ - Sin () Jetzt müssen wir uns den übriggebliebenen Grenzwert anseen. Wenn dieser gegen 0 get, sind wir mit dem Beweis fertig. Cos HL ÿ HCos HL -L lim Ø0 ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ - Sin () = Cos () lim Ø0 Cos HL - ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ - Sin () 4

15 Wir benützen Satz 3, die Formel zur Berecnung von Cos () und nemen N = 0 an. lim Ø0 Cos HL - ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ + r = lim HL- Ø0 ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ = lim Ø0 r HL ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ Da für den Feler r HL nac Satz 3 gilt,» r HL» ÅÅÅÅÅÅ und somit 0 ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ r HL gilt für den obigen Grenzwert:»» ÅÅÅÅÅ Cos HL - lim Ø0 ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ + r = lim HL- Ø0 ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ Somit gilt für den Grenzwert = lim Ø0 r HL ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ = 0 Cos H + L - Cos HL lim Ø0 ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ = Cos () 0 - Sin () = - Sin () Wir aben also gezeigt, dass ein Grenzwert für Cos () eistiert für alle, womit die Differenzierbarkeit bewiesen ist. Jetzt betracten wir die grafisce Darstellung der Funktionen Sinus und Cosinus noc einmal genau. Wir wollen uns die Aussage von Satz 5 genau anscauen und werden diese auc beweisen. Dieser besagt, dass Cos () im Intervall [0,] genau eine Nullstelle at. Wir wissen Cos (0) = und berecnen Cos () mit Hilfe der Potenzreie. Wir berecnen Cos () für N = 3: r 8 HL ÅÅÅÅÅÅ 8 8! = ÅÅÅÅÅÅÅÅ 35 Cos () = - + ÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅ r 8H) = - ÅÅÅÅÅÅÅÅ 3 35 = - 0,45873 Cos () ist also kleiner gleic - 0,45873, d.. in jedem Fall kleiner als 0, damit ist die Voraussetzung erfüllt, dass der Satz 5 stimmt, da Cos (0) > 0 und Cos () < 0. Nac dem Zwiscenwertsatz ätte Cos () in diesem Intervall genau eine Nullstelle, wenn die Funktion stetig und streng monoton wäre. Dass Cos () stetig ist, wissen wir bereits, es bleibt also strenge Monotonie zu zeigen. Da Cos (0) > 0 und Cos () < 0, müsste Cos () streng monoton fallen. Also wenn die erste Ableitung von Cos () < 0 wäre für alle aus dem Intervall, dann wären wir mit dem Beweis fertig. (Cos ()) = - Sin () Wir müssen daer jetzt cecken, ob Sin () > 0 ist für alle œ [0,]. Mit der Potenzreie eralten wir: Sin () = +» r 3 HL» = ( + ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ»r 3HL» L» ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ r 3HL» ÅÅÅÅÅ 3! ÅÅÅÅÅ =»» Maimal, ÅÅÅÅÅÅÅÅ 3! 6 = für = ÅÅÅÅ 4 6 = ÅÅÅÅ 3 also:» ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ r 3HL» ÅÅÅÅ 3 Nun können wir dies für obige Entwicklung des Sin () verwenden: Sin () = ( + ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ»r 3HL» L ( - ÅÅÅÅ 3 L = ÅÅÅÅ 3 Sin () ist also größer als ÅÅÅÅ und dieses ist wiederum größer oder gleic 0 für alle aus dem Intervall [0,]. 3 Damit ist bewiesen, dass Cos () monoton fällt auf diesem Intervall und damit die Aussage aus Satz 5. 5

16 Den Wert dieser kleinsten ositiven Nullstelle von Cosinus bezeicnen wir als ÅÅÅÅ. Cos () ist also größer 0 für 0 < ÅÅÅÅ und Cos ( ÅÅÅÅ L= 0. Die Aussagen aus Folgerung 4 lassen sic genau so zeigen wie eben für Cos (). Nun betracten wir die Definition 3 genau. Die Beweisidee ist ierbei immer dieselbe, man kommt immer mit den Additionsteoremen ans Ziel. Wir beweisen ier nur dieser Aussagen, da sic diese Beweise ser änlic sind. L Beweis für Sin () = 0 Sin () = Sin ( ÅÅÅÅ + ÅÅÅÅ L Jetzt verwenden wir das Additionsteorem für Sin ( + y). Sin ( ÅÅÅÅ + ÅÅÅÅ L= Sin ( ÅÅÅÅ L Cos ( ÅÅÅÅ L + Cos ( ÅÅÅÅ L Sin ( ÅÅÅÅ L = Sin ( ÅÅÅÅ L Cos ( ÅÅÅÅ = 0, da Cos ( ÅÅÅÅ L = 0 ist. L Beweis für Cos ( + ) = - Cos () L Wieder kommt das Additionsteorem zum Einsatz: Cos ( + ) = Cos () Cos () - Sin () Sin () Wir wissen, dass Cos () = -, Sin () = 0 daer gilt: Cos ( + ) = - Cos () = - Cos () 5.3 Folgerungen aus den Winkelfunktionen In 3. aben wir die Funktionen Tan () und Cot () eingefürt. Wir beweisen nun die Differentiationsregel für Tan (). Wir aben in Definition 6 geseen, dass (Tan ()) = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ Cos HL Wir wissen aus Satz, dass gilt Cos HL + Sin HL =. Das können wir ier anwenden. Sin HL Quotientenregel (Tan ()) = I ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ Å Cos HL M = I Cos HL + Sin HL ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ Cos HL M = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ Cos HL (bzw. = + Tan HL) Jetzt zeigen wir, dass gilt: Ÿ Cot HL = ln Sin () 6

17 Cos HL Ÿ Cot HL = Ÿ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ Å = ln Sin () (Wir aben im Zäler genau die Ableitung des Nenners, für diesen Sin HL Fall gibt es eine Integrationsregel.) Nun wollen wir, wie in 3. angekündigt, die Daten für die grafisce Darstellung des Tangens durc Kurvendiskussion ermitteln:. Definitionsbereic: D = \{ ÅÅÅÅ + k k œ }. Nullstellen: Tan () = 0 ñ Sin () = 0 " Sin () = 0 fl " Tan () = 0 = k ÿ k œ = k ÿ k œ 3. Etrema (Tan ()) = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ Cos HL Das kann aber nict 0 werden, daer at Tan () keine Etrema. 4. Monotonie Wir betracten ier das Intervall [ ÅÅÅÅÅÅÅ -, ÅÅÅÅ ]. Wir scauen, wo die erste Ableitung größer, bzw. kleiner 0 ist. " ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ > 0 ÅÅÅÅÅÅÅ -, ÅÅÅÅ D Cos HL Da die erste Ableitung für alle aus dem Intervall größer als 0 ist, folgt, dass die Funktion streng monoton wäcst. 5. Konveität, Konkavität Wir müssen ierfür die. Ableitung betracten. (Tan ()) = ( + Tan Sin HL HL) = Tan () ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ Cos HL Cos 3 HL Für diese gilt (wir bescränken uns wieder auf obiges Intervall): Sin HL ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ > 0 ñ Sin () > 0 Cos 3 HL Sin () > 0 ñ œ (0, ÅÅÅÅ ) fl In diesem Bereic ist die Funktion Tan () konve, in (- ÅÅÅÅ, 0) ist sie konkav 6. Grenzwertveralten Lim Tan () = + Ø ÅÅÅÅÅ Lim Tan () = - Ø-ÅÅÅÅ Aufgrund der Daten, die wir mit dieser Kurvendiskussion eralten, kann man den Tan () grafisc darstellen, wie das in 3. der Fall war. 6. Zusammenfassung In dieser Arbeit aben wir die Winkelfunktionen eingefürt. Anfangs konnten wir nur annemen, dass solce überaut eistieren. Jedoc konnten wir erst nac der Einfürung anand des Eineitskreises und der 7

18 Bestätigung der Eistenz durc die Potenzreien die Eigenscaften der trigonometriscen Funktionen genauer betracten. Es wurde gezeigt, dass man Sinus und Cosinus in versciedenen Arten "anscreiben" kann, womit einige Eigenscaften und Sätze auf der Hand lagen. Damit man die Funktionen überaut grafisc darstellen konnte, wurde die wictigste Konstante der Matematik, nämlic, eingefürt. Nacdem wir gezeigt aben, dass Sinus und Cosinus eistieren, definierten wir Tangens und Cotangens, von denen wir ebenfalls die Eigenscaften betracteten und eine grafisce Darstellung erielten. Aufgrund der Tatsace, dass die Winkelfunktionen stetig, monoton und bijektiv sind, konnten Umkerfunktionen zu diesen ergeleitet werden. Im abscließenden Teil wurden die Beweise der beauteten Sätze und Folgerungen genau vorgefürt, um auftretende Zweifel zu beseitigen und die Eistenz der Winkelfunktionen, die zu den wictigsten Funktionen der Matematik geören, zu bestärken. Literatur [] H. Heuser. Lerbuc der Analysis, Teil. Teubner 003. [] G. Larcer. Skritum Analysis. SS 004 [3] A. Kemnitz. Matematik zum Studienbeginn. Vieweg