e-funktion und natürlicher Logarithmus

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1 e-funktion und natürlicer Logaritmus. Die Differentialgleicung y=y' Gibt es eine Funktion, die mit irer Ableitung identisc ist, d.. dass f = f ' für alle gilt? Wenn die Ableitung trigonometriscer Funktionen bekannt ist, weiß man sicer, dass f =sin f ' =cos f ' ' = sin f ' ' ' = cos f ' ' ' ' =sin Es gilt also f = f ' ' ' ' oder y= y ' ' ' '. Hier ist aber nac einer Funktion gefragt, deren. Ableitung scon identisc mit der gegeben Funktion ist. Zeicneriscer Ansatz Um sic einen Eindruck zu verscaffen, wie denn der Funktionsgrap überaupt ausseen kann, zeicnet man ein Rictungs- oder Steigungsfeld. Man wält dazu merere Stellen (/y) im Koordinatensystem aus und berecnet, welce Steigung der Grap der gesucten Funktion ätte, wenn er durc den jeweiligen Punkt laufen würde. Die Steigung in einem Punkt des Grapen ist identisc mit der Steigung der Tangente an den Grapen in diesem Punkt. Von der Tangente zeicnet man einen kleinen Ausscnitt, der den jeweiligen Punkt entält. So bekommt man einen Eindruck von dem Verlauf des Grapen (wie bei den Feldlinien in einem Magnetfeld, deren Verlauf durc Eisenfeilspäne sictbar gemact wird). Da bei f = f ' bzw. y=y' die Steigung nict vom -Wert abängt, müssen die eingetragenen Tangentenstückcen für jeden -Wert identisc sein. In y-rictung ändern sic die Steigungen der Tangentenstückcen: Der y-wert gibt die Steigung an. Mit einem entsprecenden Computer-Programm erält man dann z.b. folgendes Bild: Nimmt man an, der Grap ginge durc den Punkt (0/) (Scnittpunkt mit der y-acse), so folgt aus den angedeuteten Rictungen der eingezeicnete Grap. Der Typ des Grapen siet nac einer Hyperbel oder nac der Kurve einer Eponentialfunktion aus. Eine Hyperbel kann es aber nict sein, da dann irgendwo im positiven -Bereic ein Pol vorliegen müsste e-funktion und natürlicer Logaritmus Seite von 9

2 und dann rects davon die Kurve entweder von oben oder von unten kommen und sic der -Acse annäern müsste. Das widersprict aber den Steigungen, die auf jeder Höe (y-wert) für alle -Werte gleic sind. Es bleibt die Vermutung Eponentialfunktion f =a. Zur Bestimmung des a-wertes liest man aus der Zeicnung den y-wert bei = ab (wegen f =a =a ) und erält einen Wert zwiscen 2,5 und 3. Vergleict man den oben eingezeicneten Grapen (scwarz) mit den Grapen von y=2 (rot) und y=3 (grün), so siet man, dass der a-wert von y=a zwiscen 2 und 3 liegen muss. Durc Zoomen kann man den Bereic (siee rects) einscränken auf 2,6a2,8. Zoomt man noc weiter, ergibt sic der a-wert mit immer größerer Genauigkeit (im Ramen der Recengenauigkeit des Computerprogramms), aber niemals eakt. Recneriscer Ansatz Bekannt ist die Ableitungsformel für Potenzfunktionen: f = n f ' =n n. Da die Ableitung gewisse Änlickeit mit der ursprünglicen Funktion at, dabei aber einen um kleineren Eponenten at, müssten, damit die Ableitung gleic (oder wenigstens änlic) der Funktion selbst ist, merere Potenzen mit um versciedenem Grad in der Funktionsgleicung vorkommen. Versuc: Aus f = 2 3 folgt f ' = Als Erfolg ist zu werten, dass in den Summanden der Reie nac der Grad der Potenz um ansteigt. Allerdings stimmen die Koeffizienten der Potenzen von noc nict überein. Das kann man aber durc Probieren korrigieren: Aus f = folgt f ' = = 2 2. Nun stimmen die Funktion und ire Ableitung fast überein. Nur der letzte Summand bei f ' felt. Dort müsste 6 3 steen, was aber eine Verlängerung des Terms für f durc 24 4 bedingt. Nun felt wieder ein Summand bei f ', was wiederum eine Änderung von f nac sic ziet usw. usw. Um sic nict müsam von einem Summanden zum näcsten vorwärts angeln zu müssen, wält man einen allgemeinen Ansatz und versuct inter das Gesetz der Koeffizientenwal zu kommen. Für die Funktion und ire Ableitung gilt dann: f =a 0 a a 2 2 a 3 3 a 4 4 a 5 5 a f ' =a 2a 2 3a 3 2 4a 4 3 5a 5 4 6a e-funktion und natürlicer Logaritmus Seite 2 von 9

3 Durc Koeffizientenvergleic bei gleicen Potenzen von ergibt sic a 0 =a a =a 0 a =2a 2 a 2 = 2 a a 2 2 =3a 3 2 a 3 = 3 a 2 a 3 3 =4a 4 3 a 4 = 4 a 3 a 4 4 =5a 5 4 a 5 = 5 a 4 und wie man leict einsiet: a n = n a n Soll der Grap wie auf Seite angenommen durc den Punkt (0/) verlaufen, so gilt = f 0=a 0 a 0a =a 0 Aus a 0 = folgt a =. Aus a = folgt a 2 = 2 = 2 = 2!. Aus a 2 = 2 folgt a 3= 3 2 = 6 = 3!. Aus a 3 = 6 folgt a 4= 4 6 = 24 = 4!. Aus a 4 = 24 folgt a 5= 5 24 = 20 = 5!. Man siet, dass a n = n!. Mit den gewonnenen Ergebnissen stellt sic die Funktion, die mit irer Ableitung identisc ist, nun so dar: f = 2 2! 3 3! 4 4! 5 5!... Probe: f ' = 2 2! 3 3! 4 4! 5 5!... Nun können wir auc den a-wert von Seite und 2 genauer bestimmen, weil die Funktion f =a und die jetzt gefundene Funktion identisc sein müssen: Wir setzen = und eralten f =a f =a f = 2 2! 3 3! 4 4! 5 5!... f = 2! 3! 4! 5!... Je mer Summanden man in dieser Reie (= unendlice Summe) addiert, desto mer näert sic das Ergebnis dem Wert a = 2, an. Diese Zal nennt man zu Eren von Leonard Euler die Eulersce Zal e. Also: e = 2, Obwol die Zal periodisc aussiet, ist sie es nict ( e = 2, ). Wir aben also gefunden: mit f =e Ekurs: Fakultät Das Produkt der ersten n natürlicen Zalen nennt man n Fakultät und screibt es als n!. Also gilt = 5! oder = 4! oder 2 3 = 3! Setzt man diese Reie fort, so muss man die Gleicung jeweils durc den Werte vor dem! dividieren. Es folgt: 2 = 2! ; =! ; = 0! 0! und! sind von der oben steenden Definition er eigentlic nict möglic (es wird nicts multipliziert), die Definitionen 0! = und! = erweisen sic aber in vielen Bereicen der Matematik als ser sinnvoll. Man definiert desalb die Fakultät auc so (rekursiv): 0!=;!= ;n!=n n! gilt f ' =e. Was ist wol die 27. Ableitung von f()? e-funktion und natürlicer Logaritmus Seite 3 von 9

4 2. Kontinuierlice Verzinsung Legt man ein Kapital K 0 zu p% Zinsen an, so at man nac einem Jar das Kapital K 0 und zusätzlic p 00 K 0 an Zinsen, insgesamt also K 00 p. p 00 K, Nac einem weiteren Jar at man weiterin sein Vermögen K und zusätzlic an Zinsen insgesamt also K 2 =K 00 p 0 =K p p 0 00 =K p 2. Ebenso zeigt man, dass man nac 3 Jaren K 3 00 p 3, nac 4 Jaren K 4 = K 0 p nac n Jaren K n 00 p n besitzt. Für jede Verzinsung eröt sic der Eponent an der Klammer also um und Nun betracten wir den (aussictslosen) Fall, dass eine großzügige Bank 00% Zinsen im Jar gibt. Legt man bei dieser Bank das Kapital K 0 an, so besitzt man nac einem Jar K 0 =K 00 0 =2 K 0. Da es eigentlic ungerect ist, dass das Geld zwar das ganze Jar von der Bank verwaltet wird, es aber erst zum Jaresende Zinsen gibt, verzinst die Bank nun alle Sparkonten albjärlic, das aber natürlic auc nur zum alben Zinssatz. Statt 00% Zinsen im Jar gibt es jetzt 50% Zinsen im Halbjar. Wenn der Inde die Nummer der Verzinsung angibt, so gilt nun: 50 K =K und K 2 2 =K = 9 4 K 0=2,25 K 0. Auf vielfacen Kundenwunsc erklärt sic die Bank nac einiger Zeit bereit, sogar jeden Monat das Kapital zu 00 2 % zu verzinsen. Wie oc ist dann das Kapital K 2? K 2 ; K ; K ;... ; K ,63 K 0 Und bei täglicer Verzinsung zu 00 % ergibt sic: 360 K 360 ; K ; K ;... ; K ,74 K 0 Bei n-facer Verzinsung besitzt man nac der n-ten Verzinsung K n n. n Beim Übergang zu kontinuierlicer Verzinsung get n gegen Unendlic und es ergibt sic n 2, K 0. Der Koeffizient von K 0 siet nict nur so wie e aus, sondern ist K =lim n K 0 n es tatsäclic (siee ttp:// ; dort findet man auc weitere interessante Möglickeiten, e zu berecnen). Es gilt also: lim n n n =e. e-funktion und natürlicer Logaritmus Seite 4 von 9

5 3. Betractung einer die e-funktion entaltenden Funktion Gegeben ist die Funktion f mit der Gleicung f = e. Gesuct sind Nullstellen, Stellen mit waagrecter Tangente und Wendestellen.. Ableitung: f ' = e e = e 2. Ableitung: f ' ' = e e =2 e Nullstelle: f N =0 N e N =0 N =0 Etremum: f ' E =0 E e E =0 E = Wendestelle: f ' ' W =0 2 W e W =0 W = 2 Welcen Inalt at die Fläce, die von der Kurve und der -Acse im Bereic <0 begrenzt wird? 0 e d. Die Produktintegration ist noc nict bekannt. Man kann aber mit Zu berecnen ist das Integral folgender Überlegung die Stammfunktion finden und dann die Gültigkeit durc Ableiten der Stammfunktion nacweisen: Wie man scon an der. und 2. Ableitung seen kann, gilt vermutlic für die n-te Ableitung: f n =n e Beweis durc vollständige Induktion: Für n= und n=2 ist die Formel gültig (siee Recnung). Anname: Es gilt f k =k e Zu zeigen ist: f k =k e Ableiten mit Produktregel: f k = f k ' = e k e =k e =k e Da das Integrieren die Umkerung des Ableitens ist und man die Funktion selbst als 0-te Ableitung deuten kann, ist die Stammfunktion die (-)-te Ableitung. Es gilt also: 0 e d=[ e 0 ] = Anmerkung: Der Grenzwert lim e ist vom Typ 0 und kann nac Umformung in den Typ mit der Regel von l'hospital berecnet werden: lim e = lim l'hospital = e lim e =0 Der Fläceninalt beträgt also Fläceneineit und ist übrigens genau so groß wie der Fläceninalt der Fläce, die vom Grap von f =e und der -Acse im Bereic <0 eingesclossen wird: 0 e d=[e 0 ] = e-funktion und natürlicer Logaritmus Seite 5 von 9

6 4. ln als Umkerfunktion zu e Begriff Umkerfunktion Wecselt man bei einer Funktion y= f die Bedeutung von y und, d.. ist nict mer wie ursprünglic die unabängige Variable und y der Funktionswert, sondern nun y die unabängige Variable und der Funktionswert, so screibt man = f y und nennt f die Umkerfunktion zu f. Da man beim Zeicnen in einem -y-koordinatensystem keinen Unterscied zwiscen den Grapen von f und f seen würde (denn die ursprünglice Funktionsgleicung wurde ja nur umgestellt), tausct man auc die Bucstaben für Variable und Funktionswert aus und screibt dann y= f für die Umkerfunktion. Das Vorgeen soll am Beispiel der Geradengleicung y= 3 deutlic gemact werden. 4 y Umformen der Gleicung: y= 3 4 y = 3 4 = 4 3 y = 4 3 y 4 3 y Ganz gleic, ob man die Gleicung y= 3 oder die 4 Gleicung = 4 3 y 4 grapisc darstellt, es ergibt sic 3 dieselbe Gerade ( jeweils auf der waagrecten und y auf der senkrecten Acse abtragen). Werden in der zweiten Gleicung und y vertausct, so bedeutet das beim Grapen die Vertauscung der - und der y- Acse. Das wird durc eine Spiegelung an der. Winkelalbierenden realisiert. Die Punkte auf der. Winkelalbierenden sind bei beiden Grapen gleic, in diesem Fall z. B. der Punkte (4/4). In der unteren grapiscen Darstellung sind die Funktion f = y= 3 in rot und 4 die Umkerfunktion f =y= in grün dargestellt. Allgemein gilt bei einer Gerade: y=m b y b=m = m y b = m y b m, d.. y= m b m ist die Umkerfunktion. Die Steigung der Umkerfunktion ist also gleic dem Kerwert der Steigung der normalen Funktion. Der y-acsenabscnitt der Umkerfunktion ist gleic dem y-acsenabscnitt der normalen Funktion, dividiert durc die Steigung der normalen Funktion. Mancmal screibt man die Umkerfunktion auc als f. e-funktion und natürlicer Logaritmus Seite 6 von 9

7 Der Grap der Funktion f =ln Den Grap der Umkerfunktion (grün) zu y=e erält man, indem man den Grap von y=e (rot) an der. Winkelalbierenden spiegelt: Die Gleicung der Umkerfunktion erält man durc Auflösen nac und Vertauscung der Variablennamen: y=e Variablentausc =ln y y=ln Ableitung der Umkerfunktion Die Ableitung f ' =lim a Screibweise mit Differentialen als dy d f f a y = lim a 0 screibt man mancmal auc in der Leibnizscen und meint damit, dass y nac abgeleitet wird. Wie man siet, stammt die Screibweise von einem Bruc ab und es lässt sic (wenigstens bei Funktionen, die in der Scule beandelt werden), auc dy als Bruc beandeln. In zalreicen Fällen (zum Beispiel in d der Integralrecnung bei den Temen Substitution, Bogenlänge und Rotationskörper) kann die Verwendung als Bruc die Recnungen ser vereinfacen. So auc bei der Ableitung der Umkerfunktion: Wie man leict nacrecnet, gilt dy d = d dy. d ist dabei die Ableitung der Umkerfunktion (die Bezeicnungen für und y werden nac der dy Umformung nict ausgetausct!). Es gilt also: Die Ableitung der Umkerfunktion ist der Kerwert der Ableitung der gegebenen Funktion (siee oben auf Seite 6 die Steigungen 3 4 für die Funktion und 4 3 für die Umkerfunktion). e-funktion und natürlicer Logaritmus Seite 7 von 9

8 Ableitung der Funktion f()=ln Es gilt y=ln. Gesuct ist y'. Benutzt wird die Tatsace, dass y=ln =e y y' = dy d = = d e = y Die Ableitung von f =ln ist also f ' =. dy '= d dy =e y Umgekert gilt danac dann d=ln (genauer: d= ln ). Hier wird eine Lücke in der bekannten Integrationsformel n d= n n mit Ausname von n= gilt =. gesclossen, die für alle n R 5. Allgemeine Eponentialfunktion f =a und allgemeine Logaritmusfunktion f =log a Ableitung der allgemeinen Eponentialfunktion f =a Zur Ableitung der Eponentialfunktion benutzen wir zunäcst die Form f ' 0 =lim 0 f ' 0 =lim 0 a 0 a 0 =lim 0 a 0 a a 0 =a a 0 lim 0 f 0 f 0 Weiter oben wurde gezeigt, dass die Ableitung von f =a nur dann f ' =a sein kann, wenn a=e. e Hier muss dann also mit a=e gelten: lim 0 =. Daraus folgt mit = n : lim 0 e =lim n e n = n gibt lim e n =lim n n n lim n Multiplikation mit e n =lim n n n Rects stet die scon auf Seite 4 angegebene Definition für e. n e=lim n n n : Welcen Wert at nun aber der Grenzwert lim 0 a Screiben wir a =e ln a =e ln a, so können wir die Ableitung mit Hilfe der Kettenregel durcfüren: a ' =e ln a '=lna e ln a =ln a a Vergleicen wir mit der Formel a ' =a a lim, so siet man, dass lim 0 0 Für a=e ergibt sic daraus lim 0 e =ln e=, wie oben scon gezeigt.? Ergebnis: Mit f =a gilt f ' =ln a a. a =ln a. e-funktion und natürlicer Logaritmus Seite 8 von 9

9 Wie leict zu zeigen ist, folgen daraus die weiteren Ableitungen nac dem Scema f n =ln n a a. Mit n= ergibt sic auc das Integral aus a : a d= a ln a Ableitung der allgemeinen Logaritmusfunktion f =log a Es gilt f =log a = ln ln a. Daraus folgt für die Ableitung: f ' = ln a = ln a. Integral der allgemeinen Logaritmusfunktion f =log a Zunäcst wird das Integral des natürlicen Logaritmus berecnet. Durc eine ilfreice Ergänzung (Faktor ) kann mit Produktintegration die Lösung gefunden werden: ln d= u ' ln v d= u ln v u d= ln d= ln v' Das Integral der allgemeinen Logaritmusfunktion ergibt sic daraus mit Hilfe der Bezieung f =log a = ln ln a : log a d= ln ln a d= ln d= ln = ln ln a ln a ln a lna = log a ln a e-funktion und natürlicer Logaritmus Seite 9 von 9