1 Analytische Geometrie und Grundlagen

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1 $Id: vektor.tex,v /05/08 15:50:54 k Exp $ 1 Analytisce Geometrie und Grundlagen 1.5 Abstände und Winkel Am Ende der letzten Sitzung atten wir eine metrisce Form des Stralensatzes ergeleiten, gegeben waren ein Punkt a R 2 und zwei versciedene Geraden, durc a. Weiter atten wir Punkte b, c \{a} sowie b, c \{a} so, dass a, b, c und a, b, c gleic angeordnet sind. Dann waren die Verbindungsgeraden l von b und b bezieungsweise g von c und c genau dann parallel wenn ab / ac = ab / ac gilt und in diesem Fall gilt dann weiter bb / cc = ab / ac und cc / ac = bb / ab. Die letzten Aussagen sind dabei tatsäclic nict mer äquivalent zu l g, nemem wir zum Beispiel die Punkte a := ( 0 0 ) ( 1, b := 0 ) ( 4, c := 4b = 0 so sind a, b, c und a, b, c gleic angeordnet mit ) 1 2, b := 1, c := 2b = 2 ab = 1, ac = 4, ab = 2, ac = 4, bb = 1 und cc = 4, es gilt also bb cc = 1 4 = ab ac ab ac = 1 2. Man kann die Aussage des Satzes noc etwas verbessern, unter Voraussetzung von l g sind die gegebenen Punkte sowieso gleic angeordnet. Liegt nämlic etwa b zwiscen a und c so liegt die Gerade g ganz auf einer Seite von l also liegen a und c auf versciedenen Seiten von l und somit liegt der Scnittpunkt b von a, c und l zwiscen a und c. Für die anderen Fälle kann man analog vorgeen. Die drei Stralensätzes, also die obigen Aussagen über Längenverältnisse, geen auf den Begründer der grieciscen Matematik Tales zurück, dieser war der Lerer von Pytagoras und lebte gescätzt im Zeitraum vor Cristus. Tales werden viele Entdeckungen inneralb und außeralb der Matematik zugescrieben, zum Beispiel war er der erste Mensc der eine Sonnenfinsternis vorausgesagt at, nämlic die im Jare 585 vor Cristus. Auc das klassisce Beispiel zur Anwendung der Stralensätze wurde von Tales selbst bescrieben, es andelt sic um die Bestimmung der Höe der Ceops-Pyramide. Wie scon gesagt gesca dies irgendwann um 600 vor Cristus erum, und in dieser Zeit standen keine ierfür ilfreicen tecniscen Gerätscaften zur Verfügung, Tales musste sic also etwas einfallen lassen, und das von im gewälte Vorgeen soll nun besprocen werden. 8-1

2 w l S s Zuerst wird die Kantenlänge s der Pyramide vermessen, dies ist leict macbar und als das Ergebnis der Messung ergibt sic s = 20m. Als näcster Scritt wird dann der von der Pyramide geworfene Scatten vermessen, die Gesamtlänge S von Pyramide und Scatten ergibt sic dann als S = 48m. Diese beiden Werte reicen aber noc nict aus die Höe der Pyramide zu ermitteln, wir braucen noc zwei weitere Informationen. Zu diesem Zweck wird ein mitgebracter Stab der bekannten Länge l = 1m senkrect auf den Boden gestellt und der von diesem Stab geworfene Scatten w gemessen, das Ergebnis sei w = 1.6m. Diese vier Zalen s, S, l, w sind jetzt alles was gebrauct wird um zu bestimmen. Der Scatten der Ceops-Pyramide entstet durc den von der Pyramide verdeckten Teil des Sonnenlicts, sein Ende ist also gerade der Punkt in dem der durc die Spitze der Pyramide laufende Sonnenstral auf den Boden trifft. Da die Sonnenstralen, zumindest in guter Näerung, parallel sind spielt es keine Rolle wo genau wir den Scatten unseres Stabes messen, wir können uns also den Stab und seinen Scatten wie im obigen Bild in die Spitze des Scattens der Ceops-Pyramide verscoben denken. Dann können wir den Stralensatz anwenden und eralten S s 2 und insgesamt ist damit gerundet = l w also 1m = 2m 1.6m = = 146m. Damit aben wir erst einmal genug zum Längen- und Abstandbegriff gemact und wollen nun zu den Winkeln kommen. Um die Notation einfac zu alten wollen wir uns auf den ebenen Fall bescränken, wir werden uns also im R 2 bewegen. Dies ist keine ecte Einscränkung da Winkel in einem öerdimensionalen R d immer in Ebenen entalten sind und wir uns diese Ebenen als den R 2 denken können. Wir verwenden die 8-2

3 in Analysis I eingefürten trigonometriscen Funktionen und ire Grundeigenscaften, insbesondere geen wir davon aus eine Definition der reellen Zal π vorliegt. Wir müssen zunäcst festlegen was ein Winkel überaupt sein soll. Hierbei gibt es mindestens vier versciedene Varianten von Winkeln, wir wollen uns auf eine von diesen bescränken. Definition 1.17 (Winkel zwiscen Stralen) Ein Winkel ist eine Menge α = {u, v} besteend aus einen oder zwei Stralen u, v R 2 mit demselben Startpunkt p, genannt der Sceitel des Winkels. Ist u = v so nennen wir α einen Nullwinkel und ist v der u gegenüberliegende Stral, gibt es also ein w R 2 \{0} mit u = p + R 0 w und v = p + R 0 w, so eißt α ein voller Winkel. Ist α kein voller Winkel, so eißt die Menge S(α) := S(u, v) := co(u v) der Sektor zu α, ist α dagegen ein voller Winkel so definieren wir S(α) := R 2. Sind u, v R 2 \{0} mit u = p + R 0 u und v = p + R 0 v, so nennen wir das Winkelmaß von α. u v (α) := (u, v) := arccos [0, π] u v Das Winkelmaß ist tatsäclic woldefiniert. Zunäcst ergibt die Caucy-Scwartz- Ungleicung u v u v 1 und der Arcus Cosinus ist überaupt definiert. Weiter ist er auc von den speziell gewälten Rictungsvektoren u, v unabängig, sind nämlic auc u, v R 2 \{0} mit u = p + R 0 u und v = p + R 0 v so gibt es t, s > 0 mit u = tu sowie v = sv und wir aben u v u v = ts u v t s u v = u v u v. Es ist leider üblic den Winkel und das im zugeordnete Maß beides als Winkel zu bezeicnen, auc wir werden dies ier tun. Sind in der obigen Situation weitere Punkte a u\{p} und b v\{p} gegeben, so screibt man auc (apb) := (α). Wir stellen einige Eigenscaften des Winkelbegriffs zusammen. 1. Sind u, v zwei Stralen mit einem gemeinsamen Startpunkt p so ist (u, v) = (v, u). Dies ist klar. 8-

4 2. Sind u, v zwei Stralen mit Startpunkt p R 2 so ist genau dann (u, v) = 0 wenn u = v ist, wenn {u, v} also ein Nullwinkel ist. Hierzu screiben wir u = p + R 0 u und v = p + R 0 v mit u, v R 2 \{0} und es ist genau dann (u, v) = 0 wenn u v u v = 1 ist, wenn also der Gleiceitsfall in der Caucy-Scwartz Ungleicung vorliegt. Dies ist äquivalent zur Existenz eines t > 0 mit v = tu also zu Ru = Rv. Letzteres bedeutet aber u = p + R 0 u = p + R 0 v = v.. Sind u, v zwei Stralen mit dem gemeinsamen Startpunkt p R 2 so ist genau dann (u, v) = π wenn v der u gegenüberliegende Stral ist, wenn {u, v} also ein voller Winkel ist. Seien ierzu wieder u, v R 2 \{0} wie oben. Dann ist genau dann (u, v) = π wenn u v u v = 1 gilt. Dies ist äquivalent zu u v u v = 1 und wie bereits eingeseen bedeutet letzteres v = p + R 0 ( u ) = p + R 0 u, dass also v der zu u entgegengesetzte Stral ist. 4. Sind u, v zwei Stralen mit demselben Startpunkt p und sind l, g die Geraden mit u l bezieungsweise v g so ist genau dann (u, v) = π/2 wenn l g gilt. Sind u, v erneut wie oben, so ist genau dann (u, v) = π/2 wenn u v = 0 gilt und wegen p l g sowie R(l) = Ru, R(g) = Rv bedeutet dies genau l g. 5. Sind u, v, w drei Stralen mit gemeinsamen Startpunkt p und gilt v S(u, w) so ist (u, w) = (u, v) + (v, w). Dies ist erstaunlic müselig und läßt sic am bequemsten in Termen von Dreungen versteen. Diese wird genauer in Aufgabe (18) beandelt. 6. Winkel lassen sic bei vorgegebener Halbebene eindeutig abtragen. Hiermit ist das folgende gemeint, sind α ein Winkel, w ein Stral und bezeicnet l die w entaltende Gerade sowie H eine der Seiten von l, so existiert genau ein Stral r H mit demselben Startpunkt wie w so, dass auc (w, r) = (α) gilt. Auc dies wird in Aufgabe (18) besprocen. 7. Seien u, v zwei Stralen mit demselben Startpunkt p und bezeicne u den u gegenüberliegenden Stral und v den v gegenüberliegenden Stral. Die beiden Winkel {u, v } und {u, v} nennen wir Nebenwinkel des Winkels {u, v}. Nac () und (5) gilt dann π = (u, u ) = (u, v) + (v, u ) 8-4

5 und somit aben wir (u, v) = π (u, v). Analog ergibt sic auc für den anderen Nebenwinkel (u, v ) = π (u, v). Der Winkel {u, v } eißt der dem Winkel {u, v} gegenüberliegende Winkel, oder kurz der Gegenwinkel zu {u, v}. Da dieser dieselben Nebenwinkel wie {u, v} at aben wir (u, v ) = (u, v). Die Formel zur Winkeladdition ist tatsäclic genau dann korrekt wenn v S(u, w) gilt, man kann den Sektor S(u, w) also auc one Falluntersceidung als die Vereinigung aller Stralen v mit Startpunkt a definieren die die Gleicung (u, w) = (u, v) + (v, w) erfüllen. Wir wollen nun zwei etwas kompliziertere Aussagen über Winkel festalten, zum einen den Stufenwinkelsatz und zum anderen dem mit diesen eng zusammenängenden euklidiscen Parallelenaxiom. Wir benötigen ierfür eine kleine Vorüberlegung. Angenommen wir aben eine Gerade l R 2 und eine Seite H von l. Weiter sei g R 2 eine weitere von l versciedene Gerade die l in einem Punkt p scneidet. Dann ist H g ein Stral mit dem Startpunkt p. Dies ist leict zu seen, gemäß Aufgabe (10) screiben wir l = {x R 2 : u x = c} mit einem Vektor u R 2 \{0} und einer Konstanten c R. Wieder nac Aufgabe (10) können wir H = {x R 2 : u x c} annemen. Wegen p l ist u p = c und wir screiben g = p + Rv mit einem Vektor v R 2 \{0}. Wegen l g ist u v 0 und durc eventuellen Übergang zu v können wir u v < 0 annemen. Für jedes t R ist dann u p + tv = u p + t u v = c + t u v und somit ist genau dann p + tv H wenn t 0 gilt. Dies zeigt H g = p + R 0 v, wie beauptet. Betracte nun eine weitere Gerade R 2 mit g die l in einem Punkt q p scneidet. Sei w R 2 \{0} mit w R(l) also u w = 0. Mit den beiden Stralen H g und H können wir jeweils zwei Winkel bilden, nämlic φ := {p + R 0 w, H g} und {p + R 0 w, H g} sowie ψ := {q + R 0 w, H } und θ := {q + R 0 w, H }, wir nennen diese Winkel die auf der Seite H von l mit g bezieungsweise mit gebildeten Winkel. Weiter können wir durc eventuellen Übergang zu w annemen das q p + R 0 w ist. 8-5

6 q ψ H q θ H φ φ g g 1 p g p l l Stufenwinkel Gegenüberliegende Winkel Dann nennen wir die beiden Winkel φ und θ gegenüberliegend, wärend wir φ und ψ sowie {p + R 0 w, H g} und {q + R 0 w, H } Stufenwinkel nennen. Unsere beiden angekündigten Sätze werden von dieser Konfiguration andeln. Zum Beweis dieser ist eine kleine Vorbereitung ilfreic. Für jedes φ R betracten wir die scon in Aufgabe (8) eingefürte Dreungsmatrix cos φ sin φ D φ :=. sin φ cos φ Für alle φ, ψ R gelten dann cos φ sin φ cos ψ sin ψ D φ D ψ = sin φ cos φ sin ψ cos ψ cos φ cos ψ sin φ sin ψ (sin φ cos ψ + cos φ sin ψ) = sin φ cos ψ + cos φ sin ψ cos φ cos ψ sin φ sin ψ cos(φ + ψ) sin(φ + ψ) = = D sin(φ + ψ) cos(φ + ψ) φ+ψ und wegen D 0 = 1 ist insbesondere D 1 φ = D φ. Da wir auc D π = 1 aben ist für jedes φ R D φ = D π D φ = D φ+π. Eine weitere Formel ist ilfreic, sind φ R und u R 2 so aben wir cos φ sin φ u1 cos φ u1 sin φ u D φ u = = 2 sin φ cos φ u 2 sin φ u 1 + cos φ u 2 also auc Scließlic kann die spezielle Matrix D φ u u = cos φ (u u 2 2) = u 2 cos φ. J := D π/2 = 8-6 ( )

7 nac Aufgabe (14.b) verwendet werden um Skalarprodukte in eines unserer Klammersymbole zu übersetzen, für alle u, v R 2 gilt nac dieser Aufgabe Ju v = [u, v]. Dies können wir verwenden um die Darstellung einer Geraden in Aufpunkt Rictung Form in ire Gleicungsform zu übersetzen, aben wir etwa u R 2 \{0} und a R 2 so können wir die Gerade l = a + Ru nac Lemma 10 auc als l = {x R 2 : [x, u] = [a, u]} = {x R 2 : [u, x] = [u, a]} = {x R 2 : Ju x = Ju a } screiben. Setzen wir noc c := Ju a = [u, a], so sind die beiden von l nac Aufgabe (10.b) als H + = {x R 2 : [u, x] c} und H = {x R 2 : [u, x] c} gegeben. Nac diesen Vorbereitungen kommen wir zu unserem Satz. Satz 1.28 (Stufenwinkelsatz und Parallelenaxiom) Seien l R 2 eine Gerade und H R 2 eine Seite von l. Weiter seien g 1, g 2 R 2 zwei von l versciedene Geraden die l in zwei versciedenen Punkten p 1 = l g 1 und p 2 = l g 2 scneiden. Für j = 1, 2 setze w j := H g j. (a) Sind α 1 = {v 1, w 1 }, α 2 = {v 2, w 2 } auf der Seite H von l gebildete Stufenwinkel so ist genau dann g 1 g 2 wenn (α 1 ) = (α 2 ) ist. (b) Sind α 1 = {v 1, w 1 }, α 2 = {v 2, w 2 } gegenüberliegende, auf der Seite H von l gebildete Winkel mit (α 1 ) + (α 2 ) < π so ist g 1 g 2 und ist s der Scnittpunkt von g 1 und g 2 so gilt s H. Beweis: Wir beginnen mit einigen Vorbereitungen. Zunäcst wäle einen Rictungsvektor u R 2 mit u = 1 und l = p 1 + Ru. Wir gerade eingeseen können wir durc eventuellen Übergang von u zu u annemen das es ein c R mit l = {x R 2 : [u, x] = c} und H = {x R 2 : [u, x] c} gibt. Durc eventuelles Vertauscen von g 1 und g 2 können wir weiter p 2 p 1 + R 0 u annemen. Für j = 1, 2 sei nun v j R 2 mit v j = 1 und w j = p j + R 0 v j. Für jedes t R mit t 0 gilt nun [u, p j + tv j ] = [u, p j ] + t [u, v j ] = c + t [u, v j ], wegen p j + tv j w j H ist also t [u, v j ] 0 und wegen g j l muss damit [u, v j ] < 0 sein. Zum Rest dieses Beweises kommen wir dann in der näcsten Sitzung. 8-7