Herleitungen von elementaren Ableitungsregeln

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1 Herleitungen von elementaren Ableitungsregeln by Nictnäerdefiniert Index. Differenzenquotient. Faktorregel 3. Konstantenregel 4. Summenregel 5. Produktregel 6. Quotientenregel 7. Potenzregel (für natürlicen Exponenten) 8. Kettenregel 9. Exponentialregel 0. Logaritmenregel. Potenzregel (für reelle Exponenten). Trigonometrisce Funktionen a. Sinus b. Cosinus c. Tangens d. Cotangens Vorbemerkung: Ic gee in dieser kurzen Zusammenfassung der Herleitungen der elementaren Ableitungsregeln nict auf die unmittelbar damit zusammenängenden Definitionen und Anwendungen von Grenzwert, Grenzwertsätze, Stetigkeit und Konvergenzkriterien ein.

2 Differenzenquotient Aus linearen Funktionen (Abbildungen mit linearer Zuordnungsvorscrift) ist der Differenzenquotient, der sic aus dem sog. Steigungsdreieck ableitet bekannt: y y mx x x Da für eine beliebige Funktion gilt f ( x) y, lässt sic die Formel umscreiben f ( x) f( x) mx x x Dieses ist für eine Funktion beliebiger Ordnung die Sekantensteigung, der Sekante, die durc zwei Punkte auf dem Grapen von f get. Um die Sekantensteigung möglicst genau der Tangentensteigung an der Stelle x annäern zu lassen, muss der Punkt (, ( ) ) teoretisc unendlic nae am Punkt (, ) x f x sic x f x befinden. Dieses stellt man durc die Grenzwertscreibweise dar. (für eine faclic korrekte Definition siee im Internet unter Epsilon-Umgebung oder Epsilontik ). Daer gilt für die Steigungsfunktion bzw.. Ableitung nac Substitution von x x : f '( x) lim f ( x+ ) f( x) Aus dieser Grundform der Tangentensteigung werden die Regeln der Ableitungen bzw. Ableitungen anderer Funktion ergeleitet.

3 Faktorenregel Oft taucen Funktionen, die sic aus einem oder mereren Faktoren (Konstanten) zusammensetzen auf. Bei Ableitungen dieser Funktionen verwendet man die sog. Faktorenregel f ( x) k u( x) f ( x+ ) f( x) lim k u( x+ ) k u( x) lim ux ( + ) ux k lim k u'( x) Ein konstanter Faktor bleibt bei der Ableitung eralten.

4 Konstantenregel f ( x) k Da der Ordinatenwert dieser Funktion sic nict ändert, also die Gerade eine parralele zur Abszisse ist, gilt f ( x0) f( x) f( x)... f( x n ) f k '( x) lim f '( x ) 0 k Eine Konstante als Summand, Minuend bzw. Subtraent fällt beim Ableiten weg.

5 Summenregel f ( x) u( x) + v( x) ux ( + ) ux + vx ( + ) vx lim ux ( + ) ux vx ( + ) vx lim + lim u'( x) + v'( x) Die Ableitung erfolgt durc die Addition der Ableitungen der Summanden.

6 Produktregel f ( x) u( x) v( x) ux ( + ) vx ( + ) ux vx lim ux ( + ) vx ( + ) ux ( + ) vx ux vx + ux ( + ) vx lim vx ( + ) vx ux vx + ux ( + ) vx ux lim vx ( + ) vx ux vx + ux ( + ) vx ux lim + lim ux ( + ) ux ux v'( x) + vx lim u( x) v'( x) + v( x) u'( x) Die Ableitung einer Funktion, die sic aus zwei Faktoren (aufzufassen als ein Produkt zweier Funktionen) zusammensetzt, wird abgeleitet, in dem man das Produkt aus der Ableitung der ersten Funktion mit der zweiten Funktion mit dem Produkt aus der Ableitung der ersten Funktion mit der zweiten Funktion addiert.

7 ux f( x) vx Quotientenregel ux vx f( x) u'( x) v'( x) f( x) + v( x) f '( x) u'( x) v'( x) f( x) vx v'( x) u( x) u'( x) vx vx u'( x) v( x) u( x) v'( x) v ( x) Der Zäler untersciedet sic von der Produktregel nur durc die Umkerverknüpfung vor dem zweiten Summanden! Die Ableitung erält man durc die Division dieses Terms durc das Quadrat des Nenners der Stammfunktion. Faustregel: 3 n Bei Polynomen (Funktionen der Form f ( x) a + ax + ax 3 + ax ax n ) ist in der Regel die. Ableitung einen Grad geringer als die Stammfunktion.

8 n f ( x) x n, n 0 g f Potenzregel n n ( x + ) x lim n n n k k n x x k 0 k lim n n n k k x k k lim n n n k k lim x 0 k k n n n n n n 3 x lim x x n! n x ( n )! n n x n Eine Potenz leitet man ab, in dem man den Exponenten als Faktor vor die Potenz ziet und den Exponenten um verringert. ACHTUNG: Diese Herleitung gilt nur für natürlice Exponenten, später wird aber gezeigt, dass die Regel auc für reelle Exponenten gilt.

9 Kettenregel Oftmals trifft man auf Hintereinanderabbildungen (Kompositionen) von Funktionen. D.., zu erst wird x durc eine Zuordnungsvorscrift auf f ( x ) abgebildet und danac f ( x) durc eine Zuordnungsvorscrift auf g( f( x)) oder kurz g f. Sei nun eine Funktion als Komposition von zwei Abbildungen aufzufassen: f ( x) g( t( x)) gtx ( ( + )) gtx ( ) lim gtx (( + )) gtx () tx ( + ) tx lim t( x+ ) t( x) gtx (( + )) gtx () tx ( + ) tx lim tx ( + ) tx gtx (( + )) gtx () lim t'( x) tx ( + ) tx tx ( + ) tx j Betractet man als die Differenz der von tx ( + ) tx) (, so ist j die Differenz von gtx (( + )) gtx () und mit 0 gilt auc j 0 gtx ( + j) gtx () t'( x) lim j 0 j g'( t( x)) t'( x) Eine als Komposition zweier (oder mererer) Abbildungen auffassbare Funktion leitet man ab, in dem man die äußere Ableitung mit der inneren multipliziert. [ g f]' g' f ' Innere Ableitung i Äußere Ableitung f sin( x + ) sin( x) '( x) lim

10 Exponentialregel f ( x) b x x+ x b b lim x b b lim b k log b ( k +) x k b lim k 0 log b ( k + ) x b lim k 0 k log b ( k + ) k lim( k + ) e, k 0 x b log lim k 0 log b ( e ) ln( e) b e ln( b) b x ln( b) Eine Exponentialfunktion wird abgeleitet, in dem man die Stammfunktion mit dem natürlicen Logaritmus (logaritmus naturalis) der Basis multipliziert.

11 Logaritmenregel f ( x) log ( x) b Umkerregel: Eine Umkerfunktion bzw. inverse Abbildung ebt die die ursrünlgice Funktion bzw. Abbildung auf. (Wenn die Abbildung bijektiv ist, sonst gibt es keine Inverse). f ( f( x)) x Nac der Potenzregel folgt: [ f ( f( x))]' Nac der Kettenregel folgt: f x f x ' ' f ' ( x) log b x z f '( x) Die Logaritmusfunktion ist als Umkerfunktion der Exponentialfunktion zu versteen. z b ln( b) f '( x) z b ln( b) ln( b) x Die Ableitung einer Logaritmusfunktion ist der Kerwert des Produkts aus dem natürlicen Logaritmus und dem Argument der Stammfunktion.

12 r f ( x) x, x, r Potenzregel (für reelle Exponenten) r e r x r ln( x) ln e x r r x x r r x Die Regel bleibt auc für reelle Exponenten gleic.

13 Sinusfunktion f ( x) sin( x) sin( x + ) sin( x) cot ( x) f '( x) lim Nac den Additionsteoremen folgt sin( a+ b) sin( a) cos( b) + sin( b) cos( a) sin( x)cos + sincos( x) sin( x) lim sin cos( x) lim cos( x) f ( x) cos( x) Cosinusfunktion π cos( x) sin x, sin cos π x x π cos x ( ) sin( x)

14 f ( x) tan( x) sin( x) f( x) cos( x) f '( x) Tangensfuktion cos ( x) + sin ( x) cos ( x) f x + x ' tan f ( x) cot( x) Cotangensfuktion f x f cos( x) sin( x) '( x) sin ( x) cos ( x) sin ( x) f x x ' cot