Differentialrechnung. Kapitel 7. Differenzenquotient. Graphische Interpretation des Differentialquotienten. Differentialquotient

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1 Differenzenquotient Sei f : R R eine Funktion. Der Quotient Kapitel 7 Differentialrecnung f f 0 + f 0 f f 0 0 eißt Differenzenquotient an der Stelle 0. f, f Sekante 0, f 0 f 0 Josef Leydold Matematik für VW WS 207/8 7 Differentialrecnung / 56 Differentialquotient Josef Leydold Matematik für VW WS 207/8 7 Differentialrecnung 2 / 56 Grapisce Interpretation des Differentialquotienten Falls der Limes f 0 + f 0 f f Anstieg der Tangente an den Grapen der Funktion f an der Stelle 0. eistiert, so eißt die Funktion f differenzierbar an der Stelle 0 und dieser Grenzwert Differentialquotient oder erste Ableitung der Funktion an der Stelle 0. f Sekanten Eine Funktion f eißt differenzierbar, wenn sie in jedem Punkt des Definitionsbereics differenzierbar ist. Screibweisen: f 0 d f d 0 0 f 0 Tangente Josef Leydold Matematik für VW WS 207/8 7 Differentialrecnung 3 / 56 Interpretation als Grenzfunktion Josef Leydold Matematik für VW WS 207/8 7 Differentialrecnung 4 / 56 Eistenz des Differentialquotienten Marginalquote, oder Grenzfunktion einer Wirkungsgröße y f bezüglic einer Faktorgröße. f Eine Funktion f ist differenzierbar in allen Punkten, in denen sic eine Tangente mit endlicer Steigung an den Grapen legen lässt. In allen Punkten in denen das nict möglic ist, ist die Funktion nict differenzierbar. Das sind vor allem Unstetigkeitsstellen Sprungstellen Knicke im Grap der Funktion Senkrecte Tangenten 0 Josef Leydold Matematik für VW WS 207/8 7 Differentialrecnung 5 / 56 Berecnung des Differentialquotienten Josef Leydold Matematik für VW WS 207/8 7 Differentialrecnung 6 / 56 Marginale Änderung Der Differentialquotient kann durc Bestimmen des Grenzwertes berecnet werden. Sei f 2. Dann ist f Für kleine Werte von können wir die Ableitung f 0 durc den Differenzenquotienten mit kleinem abscätzen: f f 0 + f 0 0 f 0 Daer können wir umgekert die Änderung f von f in der Näe von 0 für kleine Änderungen abscätzen: Beacte: f f 0 + f 0 f 0 f 0 ist eine lineare Funktion von. Diese Funktion ist die bestmöglice Approimation von f durc eine lineare Funktion in der Näe von 0. Diese Approimation ist nur für kleine Werte von braucbar. Josef Leydold Matematik für VW WS 207/8 7 Differentialrecnung 7 / 56 Josef Leydold Matematik für VW WS 207/8 7 Differentialrecnung 8 / 56

2 Differential Der Approimationsfeler get dabei scneller gegen 0 als : f + f f Wenn wir die Differenzen f und durc infinitesimale unendlic kleine Größen d f und d ersetzen, eralten wir das Differential der Funktion f an der Stelle 0 : d f f 0 d d f und d eißen die Differentiale der Funktion f bzw. der unabängigen Variable. Differential Wir können das Differential von f als lineare Funktion in d auffassen und damit die Funktion f näerungsweise berecnen. Sei f e. Differential von f an der Stelle : d f f d e d f 0 + d f 0 + d f Approimation von f, mit Hilfe dieses Differentials: 0 + d 0, 0, f, f + d f e + e 0, 2,99 Zum Vergleic: f, 3, Josef Leydold Matematik für VW WS 207/8 7 Differentialrecnung 9 / 56 Ableitung einer Funktion Josef Leydold Matematik für VW WS 207/8 7 Differentialrecnung 0 / 56 Ableitung elementarer Funktionen Die Funktion f : D R, f d f d eißt die erste Ableitung der Funktion f. Die Definitionsmenge D ist die Menge aller Punkte, in denen der Differentialquotient eistiert. Die Berecnung der Ableitung wird als Ableiten oder Differenzieren der Funktion bezeicnet. f f c 0 α e α α e ln sin cos cos sin Josef Leydold Matematik für VW WS 207/8 7 Differentialrecnung / 56 Differentiationsregeln Josef Leydold Matematik für VW WS 207/8 7 Differentialrecnung 2 / 56 Beispiel c f c f f + g f + g f g f g + f g f g f g g f f g f g g g 2 Summenregel Produktregel Kettenregel Quotientenregel e 2 e 2 + e 2 e 2 + e a e lna e lna lna a lna Josef Leydold Matematik für VW WS 207/8 7 Differentialrecnung 3 / 56 Höere Ableitungen Josef Leydold Matematik für VW WS 207/8 7 Differentialrecnung 4 / 56 Monotonie Die Ableitung einer Funktion kann wiederum differenziert werden. Dadurc eralten wir die zweite Ableitung f der Funktion f, dritte Ableitung f, usw. Eine Funktion f eißt monoton steigend, falls 2 f f 2 Sie eißt streng monoton steigend, falls f 2 f n-te Ableitung f n. < 2 f < f 2 2 Die ersten 5 Ableitungen der Funktion f sind Eine Funktion f eißt monoton fallend, falls f f f f ıv f v 0 2 f f 2 Sie eißt streng monoton fallend, falls < 2 f > f 2 f f 2 2 Josef Leydold Matematik für VW WS 207/8 7 Differentialrecnung 5 / 56 Josef Leydold Matematik für VW WS 207/8 7 Differentialrecnung 6 / 56

3 Monotonie Für differenzierbare Funktionen gilt: f monoton steigend f 0 für alle D f f monoton fallend f 0 für alle D f f streng monoton steigend f > 0 für alle D f f streng monoton fallend f < 0 für alle D f Lokale Monotonie Eine Funktion kann in einem bestimmten Intervall monoton steigend, in einem anderen monoton fallend sein. Sie wird dann als lokal monoton, auf dem entsprecenden Abscnitt bezeicnet. Für stetig differenzierbare Funktionen eignet sic folgende Vorgangsweise:. Berecne erste Ableitung f. 2. Bestimme Nullstellen von f. 3. Eralte Intervalle, in denen f das Vorzeicen nict wecselt. Die Funktion f : 0,, ln ist streng monoton steigend, da f ln > 0 für alle > 0 4. Wäle geeigneten Punkt in jedem Intervall und bestimme dort das Vorzeicen von f. 5. f kann inneralb eines Intervalls das Vorzeicen nict ändern. Josef Leydold Matematik für VW WS 207/8 7 Differentialrecnung 7 / 56 Beispiel Lokale Monotonie Josef Leydold Matematik für VW WS 207/8 7 Differentialrecnung 8 / 56 Monontonie und inverse Funktion In welcen Bereicen ist f monoton? Sucen den Bereic, wo f 0:. f Nullstellen: , Eralte 3 Intervalle:,], [,3] und [3, 4. Vorzeicen von f an geeigneten Punkt in jedem Intervall: f 0 3 > 0, f 2 < 0 und f 4 3 > f kann inneralb eines Intervalls das Vorzeicen nict ändern: f 0 in,] und [3,. Die Funktion f ist monoton steigend in,] [3,. Beacte: Falls f streng monoton steigend ist, dann folgt aus sofort auc < 2 f < f 2 2 f f 2 M.a.W., f ist injektiv. Falls f auc surjektiv ist, ist f somit invertierbar. Falls eine surjektive Funktion f streng monoton steigend oder fallend ist, dann ist sie auc invertierbar. Die Umkerung gilt jedoc nict. Josef Leydold Matematik für VW WS 207/8 7 Differentialrecnung 9 / 56 Konveität und Konkavität Josef Leydold Matematik für VW WS 207/8 7 Differentialrecnung 20 / 56 Konkave Funktion Eine Funktion f eißt konve, wenn f + 2 f + f 2 für alle, 2 D f und alle [0,]. Sie eißt konkav, wenn f + 2 f + f 2 f + 2 f + f 2 f + 2 f + f konve konkav Sene unteralb des Funktionsgrapen. Josef Leydold Matematik für VW WS 207/8 7 Differentialrecnung 2 / 56 Konveität und Konkavität Josef Leydold Matematik für VW WS 207/8 7 Differentialrecnung 22 / 56 Streng konve / konkav Für differenzierbare Funktionen gilt: f konve f 0 für alle D f f konkav f 0 für alle D f Eine Funktion f eißt streng konve, wenn f + 2 < f + f 2 für alle, 2 D f, 2 und alle 0,. Sie eißt streng konkav, wenn f + 2 > f + f 2 f ist monoton fallend, daer f 0 Für differenzierbare Funktionen gilt: f streng konve f > 0 für alle D f f streng konkav f < 0 für alle D f Josef Leydold Matematik für VW WS 207/8 7 Differentialrecnung 23 / 56 Josef Leydold Matematik für VW WS 207/8 7 Differentialrecnung 24 / 56

4 Beispiel konve Beispiel konkav Eponentialfunktion: Logaritmusfunktion: > 0 f e f e f e > 0 für alle R e f ln f f 2 < 0 für alle > 0 e ep ist streng konve. ln ist streng konkav. Josef Leydold Matematik für VW WS 207/8 7 Differentialrecnung 25 / 56 Lokale Konkavität Josef Leydold Matematik für VW WS 207/8 7 Differentialrecnung 26 / 56 Beispiel Lokale Konkavität Eine Funktion kann auc auf einem bestimmten Intervall konkav, auf einem anderen konve sein. Sie wird dann als lokal konkav, bzw. lokal konve auf dem entsprecenden Abscnitt bezeicnet. Für stetig differenzierbare Funktionen eignet sic folgende Vorgangsweise:. Berecne zweite Ableitung f. 2. Bestimme Nullstellen von f. 3. Eralte Intervalle, in denen f das Vorzeicen nict wecselt. 4. Wäle geeigneten Punkt in jedem Intervall und bestimme dort das Vorzeicen von f. 5. f kann inneralb eines Intervalls das Vorzeicen nict ändern. In welcem Bereic ist f konkav? Sucen den Bereic, wo f 0.. f Nullstellen: Eralte 2 Intervalle:,2] und [2, 4. Vorzeicen von f an geeigneten Punkt in jedem Intervall: f 0 24 < 0 und f 4 24 > f kann inneralb eines Intervalls das Vorzeicen nict ändern: f 0 in,2] Die Funktion f ist konkav in,2]. Josef Leydold Matematik für VW WS 207/8 7 Differentialrecnung 27 / 56 Elastizität Josef Leydold Matematik für VW WS 207/8 7 Differentialrecnung 28 / 56 Elastizität Die erste Ableitung einer Funktion gibt die Änderungsrate einer Funktion f an der Stelle 0 in absoluten Zalen an. Sie ist somit abängig von der Skalierung von Argument und Funktionswert. Wir sind aber in vielen Fällen an relativen Änderungsraten interessiert. Skaleninvarianz und relative Änderungsraten eralten wir durc Änderung des Funktionswertes in % des Funktionswertes Änderung des Arguments in % des Argumentes bzw. für die marginale Änderungsrate 0 f + f f f + f 0 f f f Der Ausdruck ε f f f eißt die Elastizität von f an der Stelle. Sei f 3 e 2. Dann ist Sei f β α. Dann ist ε f f f 6 e2 3 e 2 2 ε f f f β α α β α α Josef Leydold Matematik für VW WS 207/8 7 Differentialrecnung 29 / 56 Elastisce Funktionen Josef Leydold Matematik für VW WS 207/8 7 Differentialrecnung 30 / 56 elastisce Nacfragefunktion Eine Funktion f eißt in elastisc, falls ε f > -elastisc, falls ε f unelastisc, falls ε f < Sei qp eine elastisce Nacfragefunktion, p der Preis. Es gilt: p > 0, q > 0, und q < 0 q ist monoton fallend. ε q p p q p qp < Also gilt Für eine elastisce Funktion gilt daer: Der Funktionswert ändert sic relative stärker als das Argument. Die Funktion f 3 e 2 ist [ ε f 2 ] -elastisc, für 2 und 2 ; unelastisc, für 2 < < 2 ; elastisc, für < 2 oder > 2. Was passiert mit dem Umsatz Preis Absatz? u p p qp qp + p q p qp + p q p qp }{{} ε q< < 0 Das eißt, der Umsatz nimmt ab, falls wir den Preis eröen. Josef Leydold Matematik für VW WS 207/8 7 Differentialrecnung 3 / 56 Josef Leydold Matematik für VW WS 207/8 7 Differentialrecnung 32 / 56

5 Elastizität II Wir können die relative Änderungsrate von f ausdrücken als Ableitung ln f f f Was passiert, wenn wir ln f nac ln ableiten? Sei v ln e v Ableiten mittels Kettenregel ergibt: dln f dln dln f ev dv f e v f e v ev f f ε f Elastizität II Wir können die Kettenregel formal auc so screiben: Sei u lny, y f, e v v ln Dann eralten wir dln f dln du dv du dy dy d d dv y f e v f f ε f dln f dln Josef Leydold Matematik für VW WS 207/8 7 Differentialrecnung 33 / 56 Partielle Ableitung Josef Leydold Matematik für VW WS 207/8 7 Differentialrecnung 34 / 56 Berecnung der partiellen Ableitung Wir untersucen die Änderung einer Funktion f,..., n, wenn wir eine Variable i variieren und alle anderen konstant lassen. f..., i + i,... f..., i,... i i 0 i eißt die erste partielle Anleitung von f nac i. Es aben sic eine Reie von weiteren Symbolen für die partielle Ableitung eingebürgert: i f i Ableitung nac der Variable i f i f i Ableitung nac der i-ten Variable i-te Komponente des Gradienten Wir eralten die partielle Ableitung nac i, wenn wir alle anderen Variablen als Konstante auffassen und f nac den bekannten Regeln für Funktionen in einer Variable nac i ableiten. Erste partiellen Ableitungen von f, 2 sin2 cos 2 f 2 cos2 cos 2 }{{} als Konstante betractet f 2 sin2 }{{} sin 2 als Konstante betractet Josef Leydold Matematik für VW WS 207/8 7 Differentialrecnung 35 / 56 Höere partielle Ableitungen Josef Leydold Matematik für VW WS 207/8 7 Differentialrecnung 36 / 56 Beispiel Analog zu den Funktionen in einer Variablen können wir partielle Ableitungen nocmals ableiten und eralten so öere partielle Ableitungen. Gesuct sind alle ersten und zweiten partiellen Ableitungen von f, y y f i k 2 f bzw. f i k i 2 f i 2 i Erste partielle Ableitungen: f y f y Falls alle zweiten partiellen Ableitungen eistieren und stetig sind, dann kommt auf die Reienfolge beim Differenzieren nict an. 2 f 2 f k i i k Zweite partielle Ableitungen: f 2 f y 3 f y 3 f yy 0 Josef Leydold Matematik für VW WS 207/8 7 Differentialrecnung 37 / 56 Partielle Elastizitäten Josef Leydold Matematik für VW WS 207/8 7 Differentialrecnung 38 / 56 Kreuzpreiselastizität Die partiellen Elastizitäten geben relative Änderungsraten bezüglic den einzelnen Variablen an. ε f,i i f i f Gesuct sind die partiellen Elastizitäten von ε f, f f ε f,2 2 f 2 f 2 f, Zwei Güter werden zu den Preisen p bzw. p 2 angeboten. Die Nacfrage q nac Gut ängt nict nur vom Preis für Gut ab, sondern auc vom Preis des anderen Gutes: q p, p 2 qp q 2 p, p 2 Die partiellen Elastizitäten ε q,2p und ε q2,p eißen die Kreuzpreiselastizitäten. ε qi,jp > 0 Güter sind Substitute ε qi,jp < 0 Güter sind komplementär ε qi,jp 0 Güter one Bezieung Im Allgemeinen ist ε q,2 ε q2,. Josef Leydold Matematik für VW WS 207/8 7 Differentialrecnung 39 / 56 Josef Leydold Matematik für VW WS 207/8 7 Differentialrecnung 40 / 56

6 Der Gradient Eigenscaften des Gradienten Wir fassen die partiellen Ableitungen erster Ordnung zu einem Zeilenvektor, dem Gradienten an der Stelle, zusammen. f eißt auc Nabla f. f f,..., f n Der Gradient einer Funktion f zeigt in die Rictung des steilsten Anstiegs von f. Seine Länge gibt diese Steigung an. Der Gradient stet immer normal auf die entsprecende Niveaulinie. Der Gradient wird oft auc als Spaltenvektor gescrieben. Andere Notationen: f Der Gradient spielt die gleice Rolle wie die erste Ableitung bei Funktionen in einer Variablen. f Josef Leydold Matematik für VW WS 207/8 7 Differentialrecnung 4 / 56 Beispiel Gesuct ist der Gradient von f, y y an der Stelle 3, 2. f y f y Josef Leydold Matematik für VW WS 207/8 7 Differentialrecnung 42 / 56 Die Rictungsableitung Wir eralten die partielle Ableitung durc Ableiten der univariaten i Funktion gt f,..., i + t,..., n f + t mit e i an der Stelle t 0: dg i d t0 t0 f + t 2 f 2 + 3y, 3 f 3,2 2, 9 Josef Leydold Matematik für VW WS 207/8 7 Differentialrecnung 43 / 56 Die Rictungsableitung Josef Leydold Matematik für VW WS 207/8 7 Differentialrecnung 44 / 56 Die Rictungsableitung Verallgemeinerung: Wir eralten die Rictungsableitung in Rictung mit Länge durc Ableiten der univariaten Funktion gt f + t an der Stelle t 0: dg d t0 t0 f + t Es gilt für : f + + f n n f Falls nict Norm at, muss zuerst normiert werden: f Die Rictungsableitung gibt die Änderung von f an, wenn wir in Rictung verscieben. Josef Leydold Matematik für VW WS 207/8 7 Differentialrecnung 45 / 56 Beispiel Josef Leydold Matematik für VW WS 207/8 7 Differentialrecnung 46 / 56 Das totale Differential Wir sucen die Rictungsableitung von f, nac an der Stelle. 2 2 Norm von : t Die Rictungsableitung lautet daer f 2, Wir wollen eine Funktion f durc eine lineare Funktion so approimieren, dass der Feler möglicst klein ist. Den Funktionswert an einer Stelle + können wir näerungsweise analog zur Rictungsableitung berecnen. f + f f f n n Das totale Differential eralten wir, wenn wir die i durc unendlic kleine Differentiale d i ersetzen. Die lineare Funktion d f f d f n d n eißt das totale Differential von f an der Stelle. n i f i d i Josef Leydold Matematik für VW WS 207/8 7 Differentialrecnung 47 / 56 Josef Leydold Matematik für VW WS 207/8 7 Differentialrecnung 48 / 56

7 Beispiel Wir sucen das totale Differential von an der Stelle 3,2. f, d f f 3,2 d + f 2 3,2 d 2 2 d + 9 d 2 Approimation von f 3,;,8 mit Hilfe des totalen Differentials: f 3,;,8 f 3; 2 + d f , + 9 0,2 26,40 Zum Vergleic: f 3,;,8 26,35 3, 3 0, +,8 2 0,2 Josef Leydold Matematik für VW WS 207/8 7 Differentialrecnung 49 / 56 Jacobisce Matri Differenzierbarkeit Satz: Eine Abbildung f : R R ist differenzierbar in 0 genau dann, wenn es eine lineare Abbildung l gibt, die f in 0 bestmöglic approimiert: f 0 + f 0 l 0 0 Offensictlic: l f 0 ist das Differential von f. Definition: Eine Abbildung f : R n R m eißt differenzierbar in 0, wenn es eine lineare Abbildung l gibt, die f in 0 bestmöglic approimiert: f 0 + f 0 l 0 0 l J eißt das Differential von f. Josef Leydold Matematik für VW WS 207/8 7 Differentialrecnung 50 / 56 Beispiel Die m n-matri Df 0 f... 0 J..... m... eißt die Jacobisce Matri von f and der Stelle 0. Für f : R n R ist D f 0 f 0. Wir können Df 0 auc screiben als f 0 Df 0. f m 0 n m n f f, 2 ep D f, 2 f 2 ep 2 2 2, 2 2 ep f, 2 2 f f, f 2, Df s t cost st s 2 t sint sint Dst cost ds ds 2 Josef Leydold Matematik für VW WS 207/8 7 Differentialrecnung 5 / 56 Kettenregel Josef Leydold Matematik für VW WS 207/8 7 Differentialrecnung 52 / 56 Beispiel Rictungsableitung Seien f : R n R m und g : R m R k. Dann gilt f, y e e y e 0 Df, y 0 e y Dg f Dgf Df Dg f Dgf Df 2 e 2 2 e 2y 2 e 2 2 e 2y g, y 2 + y 2 2 y 2 Dg, y 2 2 y 2 2 y 2 e 2 e y 2 e 2 e y e 0 0 e y Wir können die Rictungsableitung von f : R n R in Rictung mit an der Stelle 0 auc so erleiten: Sei st ein Weg in Rictung : Dann ist und somit s : R R n, t 0 + t D f s0 D f 0 f 0 Ds0 D f s0 D f s0 Ds0 f 0 Josef Leydold Matematik für VW WS 207/8 7 Differentialrecnung 53 / 56 Beispiel Indirekte Abängigkeit Josef Leydold Matematik für VW WS 207/8 7 Differentialrecnung 54 / 56 Zusammenfassung Sei f, 2, t wobei t und 2 t ebenfalls von t abängen. Wie ändert sic f mit t? Kettenregel: t Sei : R R 3, t 2 t t d f D f t D f t Dt t f t 2 t t f t, f 2 t, f t t 2 t f t t + f 2 t 2 t + f tt f, 2, t t + f 2, 2, t 2 t + f t, 2, t Differenzen- und Differentialquotient Differential Ableitung und öere Ableitungen Monotonie Konkav und konve Elastizität Partielle Ableitungen und Elastizität Gradient Rictungsableitung Totales Differential Jacobisce Matri Kettenregel Josef Leydold Matematik für VW WS 207/8 7 Differentialrecnung 55 / 56 Josef Leydold Matematik für VW WS 207/8 7 Differentialrecnung 56 / 56