VORKURS MATHEMATIK DRAISMA JAN, ÜBERARBEITET VON BÜHLER IRMGARD UND TURI LUCA

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1 VORKURS MATHEMATIK DRAISMA JAN, ÜBERARBEITET VON BÜHLER IRMGARD UND TURI LUCA Mittwoc: Ableiten, Kurvendiskussionen, Optimieren, Folgen und Reien Betracte auf einem Hügel einen Weg, dessen Seitenansict durc den Grapen der Funktion g(x) = 2x, x [0, 2] gegeben ist; zeicne diesen Grapen. Was ist der Anstieg dieses Weges? Das eisst: wenn man sic dem Grapen entlang bewegt, und dabei 1 (oder ) (sagen wir, Meter) in waagrecte Rictung zurücklegt, wieviel (Meter) legt man dann in senkrecte Rictung zurück? In diesem Beispiel ist es klar, dass die Antwort 2 (bzw. 2) ist. Betracte nun aber den Weg, gegeben durc f : x 1 (x 1) 2, x [0, 2]; und zeicne diesen Grapen. Was soll nun der Anstieg sein? Oder: wie steil ist dieser Weg? Es ist Inen wol klar, dass diese Frage, so formuliert, keinen Sinn mact: ganz unten ist der Weg steiler als ganz oben. Also müssen wir den Punkt auf dem Weg spezifizieren, in dem wir den Anstieg bestimmen möcten: Was ist der Anstieg des Weges im Punkt (x, f(x)), für ein bestimmtes x [0, 2]? Betracte zum Beispiel den Punkt (1/2, 3/4). Um dort den Anstieg zu bestimmen, sceint es vernünftig, eine Tangente an den Grapen von f in diesem Punkt zu zeicnen, und den Anstieg dieser Tangente zu bestimmen. Mit einem Lineal lässt sic das einfac ausfüren, und wenn wir genau gezeicnet aben, messen wir als Anstieg der Tangente: 1. Die intuitive Definition des Anstieges einer Funktion an einer Stelle ist also: Der Anstieg einer Funktion f : D R an der Stelle x 0 D ist der Anstieg der Tangente an den Grapen von f im Punkt (x 0, f(x 0 )). Wie berecnet man nun diesen Anstieg, one sic auf Messwerte zu verlassen? Für diesen Zweck aben sic versciedene berümte Personen aus der Matematik den folgenden Grenzwertprozess ausgedact: statt der noc nict rictig definierten Tangente betractet man folgende Geraden: Für jedes, die Gerade durc die Punkte (x 0, f(x 0 )) und (x 0 +, f(x 0 + )), welce beide auf dem Grapen von f liegen (Zeicne!). Diese Geraden nennt man Sekanten an den Grapen von f. Der Anstieg einer solcen Sekante ist gleic f(x 0 + ) f(x 0 ) = f(x 0 + ) f(x 0 ). (x 0 + ) x 0 Dieser Quotient eisst Differenzenquotient. Die Tangente im Punkt (x, f(x)) erält man aus den Sekanten, indem man immer kleiner mact, oder genauer, durc 1

2 2 DRAISMA JAN, ÜBERARBEITET VON BÜHLER IRMGARD UND TURI LUCA den Grenzübergang 0. Der Anstieg, der auf diese Weise eraltenen Gerade ist gleic f(x + ) f(x) lim, 0 und dieser Ausdruck eisst Differentialquotient. Bemerke, dass man diesen Grenzwert nict berecnen kann, indem man einfac oben und unten = 0 setzt, da sonst oben und unten Null stet! Also muss man bei der Berecnung eines solcen Differentialquotienten vorsictiger vorgeen, wie wir in Beispielen seen werden. Wir definieren nun: Definition 1. Sei f : D R eine reelle Funktion und sei x 0 D. Dann eisst f differenzierbar in x 0, falls der Differentialquotient f(x 0 + ) f(x 0 ) lim 0 existiert. In diesem Fall wird dieser Quotient mit f (x 0 ) bezeicnet, und eisst Ableitung von f an der Stelle x. Bemerkung 2. Im Differenzenquotienten sollen nur solce Werte von eingesetzt werden, für welce x 0 + im Definitionsbereic D liegt, und entsprecend durcläuft das bei der Berecnung des Grenzwertes alle solce erlaubte Werte. Im Normalfall entält D ein offenes Intervall um x 0 ; es sind also sowol positive als auc negative Werte von im Differenzenquotient erlaubt. Es kann aber auc vorkommen, dass z.b. D = [x 0, b) ist. In diesem Fall wird der Grenzwert f(x 0 + ) f(x 0 ) lim 0 als Ableitung von f an der Stelle x 0 bezeicnet; oft wird dieser Differentialquotient auc Rectsableitung an der Stelle x 0 genannt. Wenn D doc ein offenes Intervall um x 0 entält, so ist es, damit f an der Stelle x 0 differenzierbar ist, inreicend und notwendig, dass sowol die Linksableitung als auc die Rectsableitung existiert, und dass die beiden Ableitungen gleic sind. Definition 3. Ist f differenzierbar an allen Stellen in seinem Definitionsbereic, so nennt man f differenzierbar. Die reelle Funktion x f (x) wird dann mit f bezeicnet, und eisst Ableitung von f. Keren wir zurück zum Beispiel f : x 1 (x 1) 2, x [0, 2], und betracten wir wieder die Stelle x 0 = 1/2. An dieser Stelle ist der Differenzenquotient von f gleic f(1/2 + ) f(1/2) = 1 (1/2 + 1)2 3/4 = 1 ( 1/2 + )2 3/4 = 1 1/ /4 = 2 = 1. 1

3 VORKURS MATHEMATIK 3 Im letzten Scritt aben wir oben und unten durc geteilt, was wir macen dürfen, da wir ja für nie null einsetzen. Der Differentialquotient ist nun gleic 1 lim = 1, 0 1 wie wir scon geant atten! Recenregeln. Damit wir nict immer einen Grenzwert ausrecnen müssen, nennen wir einige Regeln, mit deren Hilfe man die Ableitung einer komplizierteren Funktion ausrecnen kann. Diese Regeln können alle aus dem Differentialquotienten ergeleitet werden. Satz 4. Seien f, g und reelle Funktionen. Weiter seien f und g an der Stelle x 0 differenzierbar und an der Stelle f(x 0 ). Dann gilt: (1) (cf) (x 0 ) = cf (x 0 ) für alle Konstanten c R (2) (f + g) (x 0 ) = f (x 0 ) + g (x 0 ) (Summenregel) (3) (f g) (x 0 ) = f (x 0 ) g(x 0 ) + f(x 0 ) g (x 0 ) (Produktregel) (4) Wenn g(x 0 ) 0 ist, so gilt ( f g ) (x 0 ) = f (x 0)g(x 0) f(x 0)g (x 0) g(x 0) (Quotientenregel) 2 (5) ( f) (x 0 ) = (f(x 0 )) f (x 0 ) (Kettenregel) In der letzten Zeile bezeicnet f die Funktion x (f(x)). Exponentialfunktion und Logaritmus. Wir wollen nun die Ableitung der Funktion f : R R, x 2 x berecnen. Dazu betracten wir: f(x + ) f(x) 2 x (2 1) lim = lim = 2 x 2 1 lim Es stellt sic eraus, dass der zuletzt genannte Limes existiert; nennen wir in l 2. Mit einem Tascenrecner finden wir: l 2 21/ /1000 Es gilt also f (x) = l 2 f(x). Genauso ätten wir die Funktion g : x 3 x ableiten können, und dann ätten wir festgestellt, dass g 3 1 (x) = l 3 g(x) ist, wo l 3 = lim 31/ /1000 Also müsste es irgendwo, zwiscen 2 und 3, eine Grundzal a geben, so dass die Funktion : x a x bei Ableitung die gleice Funktion ergibt. So eine Zal gibt es tatsäclic, und sie eisst e = Somit ist die Ableitung von f(x) = e x wiederum e x. Nun folgt aus 2 x = (e log e 2 ) x = e x log e 2 und durc Anwendung der Kettenregel, dass die Ableitung von 2 x folgendermassen aussiet: (2 x ) = (e x log e 2 ) = e x log e 2 log e 2 = log e 2 2 x. Ein Vergleic mit oben zeigt uns, dass l 2 = log e 2 sein muss. Analog zeigt man l 3 = log e 3. Meistens wird ln gescrieben statt log e ; mit ln ist also immer der Logaritmus zur Basis e gemeint. Allgemeiner gilt:

4 4 DRAISMA JAN, ÜBERARBEITET VON BÜHLER IRMGARD UND TURI LUCA Satz 5. Ist a > 0 und die Funktion R R, x a x, so ist überall differenzierbar mit der Ableitung (x) = ln(a) a x ; Ist insbesondere a = e, so gilt (x) = (x) = e x. Umgekert ist die Funktion k : R + R, x log a (x) differenzierbar mit Ableitung k 1 (x) = ln(a) x. Ist insbesondere a = e, so gilt k (x) = 1 x. Trigonometrisce Funktionen. Scliesslic geben wir noc die Ableitungsregeln für Sinus und Cosinus an: sowol x sin(x) als auc x cos(x) sind differenzierbar auf R, und ire Ableitungen sind Aufgaben! sin (x) = cos(x) und cos (x) = sin(x) Kurvendiskussionen. Das Zeicnen des Grapen einer Funktion f : [a, b] R ist ereblic leicter, wenn man scon weiss, wo diese Funktion ire Extremwerte, d.. Minima und Maxima at. Definition 6. Man sagt, dass eine Funktion f : D R an der Stelle x 0 D ein absolutes Minimum (Maximum) at, falls f(x) f(x 0 ) (bzw. f(x) f(x 0 )) gilt, für alle x D. Man sagt, dass sie dort ein relatives Minimum (Maximum) at, falls dies für alle x in einem genügend kleinen Intervall (x 0 c, x 0 + c) gescnitten mit D gilt! Man sprict dann auc von einem lokalen Minimum (Maximum). Minima und Maxima werden zusammen auc Extremwerte genannt. Bemerkung 7. Bemerke, dass ein absolutes Minimum mit dieser Definition auc ein relatives Minimum ist. Beispiel 8. An welcen Stellen at die Funktion f : x 1 (x 1) 2, x [0, 2] ire Extremwerte? Der Grap suggeriert: an den Stellen 0, 1 und 2. Dies kann man auc formal zeigen: für alle x [0, 2] gilt (x 1) 2 1 und (x 1) 2 0, also 1 (x 1) 2 0 = f(0) = f(2) und 1 (x 1) 2 1 = f(1). Die Funktion f at also zwei absolute Minima 0 an den Stellen 0 und 2, und ein absolutes Maximum 1 an der Stelle 1. In diesem Beispiel fällt folgendes auf: Alle Extremwerte werden an Stellen x 0 angenommen, an denen entweder die Ableitung f (x 0 ) null ist, oder an Stellen, die am Rand des Definitionsbereices liegen. Das ist kein Zufall. Satz 9. Sei f : [a, b] R differenzierbar auf (a, b). Dann kann f nur Extremwerte aben (1) an den Randpunkten a und b, und (2) an den Nullstellen in (a, b) der Ableitung f. Dies sollte intuitiv klar sein: wenn f an der Stelle x 0 (a, b) ein Minimum at, so muss der Grap von f links von x 0 auf f(x 0 ) absteigen, um rects von x 0 wieder aufzusteigen. Dazwiscen, also an der Stelle x 0, muss der Anstieg somit null sein! Der oben steende Satz suggeriert folgendes Vorgeen, alle Extremwerte von f zu finden: (1) Berecne zunäcst f(a) und f(b),

5 VORKURS MATHEMATIK 5 (2) Berecne die Nullstellen der Ableitung f in (a, b). (3) Entsceide bei jeder Nullstelle x 0 von f, ob f an dieser Stelle ein (relatives) Maximum, Minimum at, oder nict. Dies siet man am Vorzeicen der Ableitung links und rects von x 0. (4) Vergleice alle gefundenen Maxima und Minima in (a, b) miteinander sowie mit den Werten f(a) und f(b) um zu entsceiden, welce Extrema nur relativ sind, und welce absolut. Beispiel 10. Bestimme die Extremwerte der Funktion f : x x 3 (x 1) 2 im Intervall [ 1, 2]. (1) f ist differenzierbar auf [ 1, 2], also können wir den Satz anwenden. (2) f( 1) = 4 und f(2) = 8. (3) Ableitung: f (x) = 3x 2 (x 1) 2 + 2x 3 (x 1) = x 2 (3(x 1) 2 + 2x(x 1)) = x 2 (x 1)(3x 3 + 2x) = x 2 (x 1)(5x 3); also at f Nullstellen 0, 3/5 und 1. Nun gilt > 0 für x < 0, f > 0 für 0 < x < 3/5, (x) < 0 für 3/5 < x < 1, und > 0 für x > 1. Das eisst, dass f keinen Extremwert in 0 at, ein Maximum f(3/5) = in 3/5, und ein Minimum f(1) = 0 in 1. (4) Vergleicen wir die gefundenen Extremwerte in ( 1, 2) mit f( 1) und f(2), so seen wir, dass diese nur relativ sind, wärend f( 1) und f(2) absolut sind. Beispiel 11. Finde die Extremwerte der Funktion f : R R, x x e x. Die Ableitung ist f (x) = ex xe x e = 1 x x e und at also nur an der Stelle x = 1 eine x Nullstelle. Links von 1 ist f positiv, also wäcst dort f. Rects von 1 ist f negativ, also nimmt dort f ab. Die Funktion f at auf R also einen einzigen Extremwert, nämlic ein absolutes Maximum f(1) = 1 e an der Stelle x = 1. Aufgaben! Optimieren. Im letzten Abscnitt aben wir geseen, wie man die Extremwerte einer reellen Funktion berecnet. Was das überaupt nützt, wurde aber noc nict so klar. Dieser Abscnitt ist desalb den sogenannten Optimierungsproblemen gewidmet, deren Lösungen oft durc Ableiten der zu optimierenden Funktionen gefunden werden. Es wird ier also keine neue Teorie entwickelt, sondern nur an praktiscen Beispielen gezeigt, was es bringt, Extremwerte von Funktionen ausrecnen zu können. Ein klassisces Problem ist das folgende.

6 6 DRAISMA JAN, ÜBERARBEITET VON BÜHLER IRMGARD UND TURI LUCA Beispiel 12. Eine Firma kauft von einem Produkt jeweils eine Menge x ein. Das Produkt wird dann kontinuierlic an die Kunden weiterverkauft, bis alles weg ist; erst dann wird die näcste Menge x eingekauft. Die Nacfrage nac diesem Produkt beträgt N > 0 pro Tag. Die Firma at zwei Arten von Kosten zu beacten: Erstens gibt es Lagerungskosten pro Tag, die proportional zu x sind (also gleic Lx für ein gewisses L 0). Zweitens gibt es bei jedem Einkauf Einkaufskosten E 0, die unabängig sind von der Menge x. Wenn man viel auf einmal einkauft (d.. wenn man x gross wält), so at man wenig Einkaufskosten pro Tag, aber grosse Lagerungskosten; kauft man jeweils wenig auf einmal ein, so at man kleine Lagerungskosten aber oe Einkaufskosten. Wie gross muss die Firma x wälen, damit möglicst wenig Kosten pro Tag entsteen? Wie bei allen Optimieringsproblemen, gibt es ier eine Zielfunktion (die Kosten K pro Tag), deren Minima/Maxima gefunden werden müssen, unter gewissen Bedingungen für das Argument (ier x > 0). Was ist K ier genau? Nun, erstens at man pro Tag Lx Lagerungskosten. Weiter kauft man alle x/n Tage ein, und das kostet jeweils E, also sind die Einkaufskosten pro Tag genau E/(x/N) = EN/x. Die Kostenfunktion ist also K(x) = Lx + EN x, x (0, ). Um die Minima dieser Funktion zu bestimmen, bemerken wir, dass K differenzierbar ist, mit Ableitung K (x) = L EN x 2. Nun wissen wir aus dem Satz, dass K auf (0, ) genau dort einen Extremwert at, wo K eine Nullstelle at (es gibt keine Randwerte). Die einzige Nullstelle von K in (0, ) ist EN x 0 = L ; links von x 0 ist K negativ, also K absteigend. Rects ist K positiv, also K steigend; also at K tatsäclic ein Minimum an der Stelle x 0. Man sollte also jeweils eine Menge von EN L einkaufen, um die Kosten zu minimieren. Beispiel 13. Gegeben ist ein Halbkreis C mit Radius 1. Was ist die maximale Fläce eines Rectecks, das ganz in C liegt und eine Seite auf dem Durcmesser von C at? Wir versucen, das Problem auf ein Optimierungsproblem der oben steenden Art zurückzufüren. Sei C der Halbkreis begrenzt durc den Grap der Funktion g : x 1 x 2, x [ 1, 1], und der x-acse. Betracte ein Recteck R in C, dessen eine Seite auf der x-acse liegt. Seien (x 0, 0) und (x 1, 0) die Endpunkte dieser einen Seite und (x 0, a) und (x 1, a) die anderen Eckpunkte des Rectecks. Wenn nun einer dieser beiden letzten Eckpunkte nict auf dem Grapen von g liegt, so gibt es ein Recteck, das ganz in C entalten ist und R ect entält also kann R keine maximale Fläce aben. Dies zeigt, dass wir uns bei der Suce nac Rectecken mit maximaler Fläce bescränken können auf Rectecke mit x 1 = x 0 und a = g(x 0 ). Wälen wir x 0 =: x nict-negativ, so ist die Fläce des zu x geörenden Rectecks gleic F (x) := (2x)g(x) = 2x 1 x 2, x [0, 1].

7 VORKURS MATHEMATIK 7 Wir müssen also das Maximum von F auf [0, 1] bestimmen. Nun ist F differenzierbar auf [0, 1) mit Ableitung F (x) = 2 1 x 2 + 2x( 1 2 ( 2x) 1 1 x 2 ) = 2 1 2x2 1 x 2 ; Die einzige Nullstelle von F in [0, 1) ist x 0 := 1 2. Links von x 0 ist F positiv, F nimmt also zu, und rects von x 0 ist F negativ, F nimmt also ab. Also at F ein lokales Maximum in x 0, und zwar F (x 0 ) = 1. Ein Vergleic mit dem Wert von F in 0 und 1 zeigt, dass dieses Maximum absolut ist. Aufgaben! Folgen und Reien. Definition 14. Unter einer Folge reeller Zalen verstet man eine Abbildung von N nac R. Jedem n N ist also ein a n R zugeordnet. Man screibt ierfür (a n ) n N oder (a 1, a 2, a 3,...). In der Matematik ist eine Indexierung ab Null ebenfalls gebräuclic: (a n ) n N0 oder (a 0, a 1, a 2,...). Besonders übersictlic sind Folgen für die es ein explizites Bildungsgesetz gibt, d.. eine Zuordnungsvorscrift durc einen Term. Beispiel 15. (1) a n = 1 n : (1, 1 2, 1 3, 1 4,...), sog. Folge der Stammbrüce (2) a n = ( 1) n : ( 1, 1, 1 1,...), sog. alternierende Folge (3) a n = n n+1 : ( 1 2, 2 3, 3 4, 4 5,...) (4) a n = 3 + (n 1) 5 : (3, 8, 12, 18,...) sog. aritmetisce Folge: Der Abstand aufeinanderfolgender Glieder ist immer konstant. Hier 5. (5) (2, 3, 5, 7, 11, 13, 17,...) Für die Folge der Primzalen ist kein explizites Bildungsgesetz bekannt. (6) Sei a 0 = 1, a 1 = 1 und a n = a n 1 + a n 2 für n 2. Dadurc ist eine sog. rekursive Folge definiert. Diese Folge (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,...) in der jedes Glied von der dritten Stelle an gleic der Summe der zwei vorangeenden Zalen ist, eisst Folge der Fibonacci-Zalen. (7) a n = ( 1 2 )n : ( 1 2, 1 4, 1 8, 1 16,...), sog. geometrisce Folge. Definition 16. Eine Folge (a n ) n N eisst geometrisc, wenn der Quotient aus zwei aufeinanderfolgenden Gliedern stets konstant ist: a n+1 a n = q konstant für alle n N. Es gibt zwei Bildungsgesetze. Entweder rekursiv, dann ist das Bildungsgesetz von der Form a n+1 = a n q, oder explizit, dann kann aus a 2 = a 1 q, a 3 = a 2 q = a 1 q 2, a 4 = a 3 q = a 2 q 2 = a 1 q 3 das folgende Bildungsgesetz erkannt werden: a n = a 1 q n 1. Reie. Definition 17. Die Summenfolge (s n ) n N einer gegebenen Zalenfolge (a n ) n N ist gegeben durc n s n := a 1 + a a n = und eisst Reie. a i

8 8 DRAISMA JAN, ÜBERARBEITET VON BÜHLER IRMGARD UND TURI LUCA Beispiel 18. (1) 5 ( 1 2 )i = ( 1 2 )2 + ( 1 2 )3 + ( 1 2 )4 + ( 1 2 )5 = (2) 4 ( 1)i = 1 + ( 1) ( 1) + 1 = 1 Bilden die Summanden, wie etwa in Bsp. (1), eine geometrisce Folge, dann wird von einer geometriscen Reie gesprocen. Solce Reien lassen sic direkt berecnen, also one müsames Aufsummieren sämtlicer Glieder: Satz 19. Ist a 1, a 2, a 3,... eine geometrisce Folge, so gilt für die Summe der ersten n Glieder: n s n = a i = a 1 1 qn 1 q. Hiermit lässt sic die Summe aus Bsp. (1) auc direkt berecnen: 5 ( ) i 1 = ( 1 2 )5 1 1 = = Beweis. (1) (2) s n = a 1 + a 1 q + a 1 q 2 + a 1 q a 1 q n 1 q s n = a 1 q + a 1 q 2 + a 1 q a 1 q n 1 + a 1 q n Wir recnen nun (1)-(2): s n q s n = a 1 a 1 q n. Äquivalent dazu gilt s n (1 q) = a 1 (1 q n ) und somit eralten wir s n = a 1 1 qn 1 q. Konvergente Folge und Grenzwert. Definition 20. Sei (a n ) n N eine Folge reeller Zalen. Die Folge eisst konvergent gegen den Grenzwert a R, falls folgendes gilt: Für jede (noc so kleine) Zal ɛ > 0 findet man eine natürlice Zal n ɛ, so dass für alle Zalen n > n ɛ die Ungleicung a a n < ɛ gilt. Existiert eine solce Zal a, dann wird die Folge konvergent genannt und wir screiben lim n a n = a. Andernfalls wird die Folge als divergent bezeicnet. Beispiel 21. (1) Für die Folge a n = ( 1 2 )n aus Bsp. (7) oben gilt: lim n = 0. Denn für ein beliebiges ɛ > 0 gilt: 0 ( 1 2 )n = ( 1 2 )n < ɛ, falls 2 n > 1 ɛ. Ist etwa 1 ɛ = , so muss 2n > gefordert werden, dies ist für n 20 erfüllt. (2) Die Folge a n = ( 1) n ist divergent. Sie at aber zwei sog. Häufungspunkte: 1 und +1. (3) a n = 3 + (n 1) 5 wäcst über jede Scranke und ist somit divergent. Oft wird ierfür auc lim n a n = gescrieben. (4) a n = n n+1 at den Grenzwert 1. Durc die folgende Umformung wird dies klar: a n =. Es wurde mit n gekürzt. n n+1 = n (5) lim n q n = 0, für q < 1. Das eisst für 1 < q < 1. Auc die Konvergenz von Reien kann untersuct werden.

9 VORKURS MATHEMATIK 9 Unendlice geometrisce Reie. Satz 22. Sei a 1, a 2,... eine geometrisce Folge mit q < 1. Dann gilt: s := a i = a 1 1 q. Beweis. Für die (endlice) geometrisce Reie s n = n a i gilt s n = a 1 1 qn 1 q. Im Falle q < 1 ist lim n q n = 0, also lim n s n = s = a1 Beispiel q. ( ) i 1 = (1 3 )2 + ( ) = 1 1 =

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