Jann Strybny. Ohne Panik Strömungsmechanik!

Transkript

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2 Jann Strbn One Panik Strömunsmecanik!

3 Jann Strbn One Panik Strömunsmecanik! Ein Lernbuc ur Prüfunsorbereitun, um uffriscen und Nacsclaen mit Cartoons on Olier Romber 4., überarbeitete und erweiterte uflae STUDIUM

4 Bibliorafisce Information der Deutscen Nationalbibliotek Die Deutsce Nationalbibliotek ereicnet diese Publikation in der Deutscen Nationalbibliorafie; detaillierte bibliorafisce Daten sind im Internet über <tt://dnb.d-nb.de> abrufbar. Prof. Dr.-In. Jann Strbn Dr.-In. Olier Romber uflae. uflae 5. uflae 7 4., überarbeitete und erweiterte uflae lle Recte orbealten Viewe+Teubner GWV Facerlae GmbH, Wiesbaden Lektorat: Ulric Sandten Kerstin Hoffmann Viewe+Teubner ist Teil der Facerlasrue Sriner Science+Business Media. Das Werk einscließlic aller seiner Teile ist ureberrectlic escütt. Jede Verwertun außeralb der enen Grenen des Ureberrectsesetes ist one Zustimmun des Verlas unulässi und strafbar. Das ilt insbesondere für Verielfältiunen, Übersetunen, Mikroerfilmunen und die Einseicerun und Verarbeitun in elektroniscen Sstemen. Die Wiederabe on Gebraucsnamen, Handelsnamen, Warenbeeicnunen usw. in diesem Werk berectit auc one besondere Kenneicnun nict u der nname, dass solce Namen im Sinne der Wareneicen- und Markenscut-Gesetebun als frei u betracten wären und daer on jedermann benutt werden dürften. Umsclaestaltun: KünkelLoka Medienentwicklun, Heidelber Cartoons: Olier Romber, Bremen Druck und bucbinderisce Verarbeitun: STRUSS GMBH, Mörlenbac Gedruckt auf säurefreiem und clorfrei ebleictem Paier. Printed in German ISBN

5 Vorwort Das Buc, für das du dic erade entscieden ast, ist an bewusst kein ricties Lerbuc, aber eben auc nict nur eine ufaben- oder reine Formelsammlun. Wie wäre es mit Lernbuc? Meistens ist es doc so: seit Monaten kennt man den Prüfunstermin und doc ist die Zeit or der Klausur scon wieder mal iel u kna. Und es wartet nict nur die Strömunsmecanik Klausur, sondern auc drei weitere Prüfunen rollen auf einen u. In den emfolenen Skriten und Lerbücern erießt sic die aus wissenscaftlicer Sict ollständie Teorie auf ielen undert Seiten, aber muss man das or einer Grundstudiums-Klausur wirklic alles elesen, escweie denn bealten und erstanden aben? lso lieber leic an die ufaben ran. Ein Buc mit über ufaben und Lösunen klint übereuend und ist scnell ekauft. Doc Vorsict, kaum u Hause stellt sic dann leider raus, dass mit Lösunen bedeutet mit Enderebnissen. Wenn man Glück at, kann man die Lösunswee etra kaufen. Noc mal Scleifen auf die Ladenteke. ber auc bei den Lösunsween sceiden sic die Geister: Ist es nun scon ein Lösunswe, wenn bei einer aufwendien Recnun die drei wictisten Zwiscenscritte aneeben sind? Welce Formeln der abedruckten Lösunswee sollte ic mir nun unbedint merken? In einem Vorsann wird der ur Lösun der ufaben jeweils notwendie, minimale teoretisce Hinterrund komrimiert darestellt. In den Lösunsween werden auc alternatie Voreensweisen erläutert. Den usansunkt aller Berecnunen stellt die Formelsammlun auf den Seiten 9 bis dar. Wenn eine Formel der Formelsammlun erstmals im Tet auftritt, ist diese rau unterlet. Hab ic für die Bearbeitun eines Temas u lan ebrauct und jett für den Rest u weni Zeit? Der Übunstimer reelt eure Vorbereitun und bietet ssistenten ielfac errobte 9-Minuten-Konete. One Panik Strömunsmecanik! at nict ufaben und auc nict 5, sondern nur sclae 58, aber dafür mit offentlic allem, was dau eört. Und mal erlic, mer scafft man doc sowieso nict. So und jett et noc an besonderer Dank an meinen lanjärien Cef Prof.Dr.- In.Dr..c.WernerZielke, den Leiter des Instituts für Strömunsmecanik an der Uniersität Hannoer, für die Unterstütun dieses Bucrojektes. Sein über Jarente ewacsener ufabenfundus bildete den usansunkt für die Entsteun dieses neuen Konets ur Prüfunsorbereitun. Viele ilfreice nreunen ur Otimierun dieses Buces kamen on Prof. Mark Markofsk, P.D. abil. und Dil.-In. Rainer Ratke. Meine Hiwis Dil.-In. Marc Hin und Dil.-In. Dirk Scul kennen einie bbildunen bestimmt scon auswendi.... Quasi unter dem Motto "on ssis für Studis" ebnet Frau Dil.-Mat. Ulrike Scmickler-Hirebruc om Viewe-Verla auc unkonentionellen Bucrojekten mit enormer Beeisterun den We. Für die ser ausfürlice Überrüfun des Manuskrits unmittelbar or Druckleun danke ic an erlic meinem Kolleen Dr.-In. Dil.-Mat. René Kaiser. Karlsrue, Oktober Jann Strbn V

6 Vorwort ur. uflae Sorr, sorr, sorr, dass die. uflae erst jett erfübar ist. Der so üie userkauf der. uflae at mic dann doc ein weni überrannt aber natürlic auc ser efreut. Herlic bedanken möcte ic mic an dieser Stelle für die eineanenen Briefe und s mit Korrekturorscläen und nreunen ur Erweiterun. Sie sind Voraussetun für ein lebendies Buc, beren aber leider auc eine ewisse Gefar in sic: das Buc wird läner. Die Studieneit der klassiscen Studienäne an Uniersitäten und Facocsculen wird ineen erkürt und leiceiti wird der Druck durc das Einfüren on Studienebüren eröt. Es werden neue Studienformen (um Beisiel an Berufsakademien) etabliert, welce die Studierenden in erade mal 8 Monaten teoretiscer usbildun u einem FH-äquialenten bscluss füren. Die Zal der Fäcer steit, nict ulett durc den bedeutenden Bereic der Informatik, der in alle natur- und inenieurwissenscaftlicen Fäcer ineinscwint. Und in jedem einelnen Fac findet in einer Zeit, in der järlic merere entausend wissenscaftlice ufsäte entsteen, eine Elosion des Wissens statt. Die Lerenden bescäftien sic seit bis 4 Jaren tälic mit irem Fac - oder räiser mit einer mer oder wenier kleinen Nisce ires Facs. Die Lernenden aben "netto" erade mal bis 4 Tae Zeit, sic u Beinn ires Studiums mit den nfänen der Strömunsmecanik ertraut u macen - und enau das ist der Grund, warum Temenorscläe wie Turbulenmodelle, Gasdnamik, Wellenteorien,... den We auc in diese. uflae nict efunden aben. Beutsam erweitert wurde "One Panik Strömunsmecanik" um einen bscnitt ur Bemessun on Pumen und erste Grundlaen um Verständnis des Flieens. Bleibt u offen, dass auc diese. uflae mölicst ielen Studentinnen und Studenten den Einstie in das Fac Strömunsmecanik erleictert. Karlsrue, Februar 5 Jann Strbn Vorwort ur uflae Die. uflae und jett scon 4. uflae on OPS, wie es inwiscen immer wieder enannt wird, ersceinen in Zeiten der erbindlicen Einfürun on Bacelor- und Masterstudienänen. In einer Zeitun stand kürlic, dass unsere lieben Politiker "...mer Temo on Deutsclands Studierenden fordern...". Bleibt u offen, dass OPS ein klein weni erdauunsfördernd wirkt bei all dem Heruntersclinen rundleenden Wissens. Immer wieder erreicen mic Zuscriften. Wenn die s die Bitte um Online-Nacilfe beinalten, kann ic diesem Wunsc aus Zeitründen leider nict nackommen. Hinweisen auf erbliebene Flüctikeitsfeler wird arantiert naceanen. Diesbeülic et besonderer Dank an Rebin Moamad, ndré Lefebre und Jan Pötsc. Die 4. uflae wurde übriens um das Froude-Rankinesce Teorem und umfanreicere Erläuterunen ur Naier-Stokes-Gleicun erweitert. Nürnber, ril 7 und uust 9 Jann Strbn VI

7 Inaltsereicnis Tema Seite Die Bedienunsanleitun Timer, Zeicen, Formeln 6 Hdrostatik Eraltunssäte 49 Rorströmunen 85 4 Gerinneströmunen 7 5 Räumlice nsäte 6 6 Strömunskräfte 87 7 Poröse Medien, Grundwasser 5 8 Potentialteorie 9 Änlickeitsteorie 5 Literatur 65 VII

8 Die Bedienunsanleitun Tema, Sticworte Das Buc ist in neun Temen aufeteilt, die um tiscen Reertoire im Hdromecanik-Grundstudium eören. uf der Titelseite jedes Temas findet ir die entralen Sticworte, die erklärt werden und deren nwendun eübt wird. Wenn ir dann irendwann mit dem Kaitel durc seid, solltet ir alle(!) Sticworte irendwie einordnen können. Wouseite Die Situation erlebt eientlic jeder Studi auf kur oder lan: Du sitt da, fasst dic an den Kof und frast dic Kann mir mal jemand saen WOZU ic das säter brauc??? Damit ir das leic am nfan erfart und nict noc knae Näcte or der Prüfun fürs Umsonstlernen ereit, fänt jedes Tema mit der Wouseite an. Ein Foto ist immer ut und dann ein aar Säte, wou man den Inalt des Temas eientlic ebraucen kann. Wer nac dem Lesen dieser Wouseite merkt, dass er das eientlic ar nict lernen will oder muss, sart Zeit und kann u einem näcsten Tema übereen. uf der Wouseite steen übriens immer ein aar Zalenwerte aus dem llta, damit ir säter besser einscäten könnt, ob Eure Recenerebnisse überaut ricti sein können. Grundlaen Dann ets auc scon ricti los mit dem Kaitel Grundlaen. Im esamten Buc ibt es keine strene Trennun on Teorie und der nwendun in Form on Übunsaufaben. Natürlic wird am nfan die Minimalteorie erläutert, um überaut losleen u können. Sobald ir aber eine denkbar einface ufabe um betreffenden Tema ausrobieren könnt, wird das auc leic an Ort und Stelle etan. Eränende Teorie wird dann scrittweise naceliefert. In der Reel bescränken sic die Erläuterunen u den Formeln auf einie Zeilen, wenn aber ur ielsiceren nwendun mer teoretiscer Backround erforderlic ist, können das auc scon mal wei, drei Seiten Herleitun werden, mer aber arantiert nict. Beeicnunen Traen Größen oder Formeln in der Facwelt merere Namen oder Kürel, wird im Tet auf iele ersciedene Mölickeiten inewiesen:.b. tmosäriscer Druck = Luftdruck oder bstandsescwindikeit = tatsäclice Gescwindikeit = mittlere Porenescwindikeit oder Masseneraltun = Konti. Dann aert es in mündlicen Prüfunen oder in der Klausur nict scon an der Kommunikation.

9 F F F usfürlickeit der Lösunswee Druck im Fläcenscwerunkt rojiierte Fläce 7 kn S roj b kn Die Lösunswee sind ser ausfürlic und fast jede Zeile wird kommentiert. Dem ein oder anderen on euc sind die Scritte ermutlic scon wieder u detailliert. Sie sind aber im jarelanen Einsat in Gruenübunen so entstanden. Die Srecstunden aben immer wieder eeit, dass es eben doc iele Studis ibt, denen diese ielen kleinen Scritte elfen. Wenn du nict alle Lösunsscritte braucst, um die ufabe u ersteen, ist das ein utes Zeicen, es ist sceinbar noc nict an offnunslos. Da, wo man einelne ufabenteile immer wieder nac dem leicen Prini lösen kann, wird eine kocreet-änlice Reienfole der Recnunen oresclaen, weil man so iel Zeit in Klausuren saren kann. Dass diese Reete wirklic funktionieren, wird dann orefürt, indem ersciedene ufaben einfac tabellarisc Zeile für Zeile eenüberestellt sind. Unkonentioneller Formelsat usstrom Einstrom d d d dt Der Formelsat ist ser stark eliedert und weitläufi darestellt (Paiererscwendun), damit on Zeile u Zeile die umeformten Terme leic ins ue fallen. Zur besseren Übersict ist die Bedeutun einelner Terme mancmal auc durc Unter- oder Überklammerun direkt am Term ekenneicnet.!? Tisce Studi-Fraen, die beim Bearbeiten der ufaben immer wieder auftraten, werden unter den mit einem roßen? ekenneicneten Stellen direkt auferiffen und unter den mit einem roßen! ekenneicneten Stellen erklärt. Wictie nmerkunen u Flüctikeitsfelern etc. sind ebenfalls mit einem roßen! markiert.

10 Eientlic sind ja falsce Lösunen in Bücern erönt. Hier wird aber selbst daor nict urückescreckt. Falsce Gedankenansäte on Studis werden mancmal radikal auferiffen und so falsc wie sie sind komlett orerecnet, um euc u eien, was dann assiert. Dann siet man nämlic iel besser ein, dass das tatsäclic so nict sein darf. Die entsrecenden Stellen sind natürlic dick markiert mit einem Totenkof. Die kleine Formelsammlun s L d Und noc eine Frae stellt sic or jeder Klausur: one Unterlaen oder Kofferklausur? Beides ist in Inenieurstudienänen irendwie krank. Bei der Kofferklausur at die Prüfunsorbereitun dann oft so etwas on ntiquitätenändler oder Briefmarkensammler. Zentnerweise erilbte Mitscriften der Facscaft werden akribisc arciiert, markiert und ur Klausur esclet. Wärend der Klausur mact einen das Gerascel dann an wansinni. Und beim Startscuss ets dann los. Scnell nacscauen, welce ufabe der letten dreißi Jare der estellten ufabe mölicst änlic ist, andere Zalen rein und ab aufs Paier. Das Geenteil one Unterlaen ibt s natürlic auc und ist enau so nerend. Prorammierbare Tascenrecner, die nict so ausseen, weil sie ja eientlic erboten sind. Vollescriebene Sickettel, Tisce oder Unterarme. In Hannoer macen wir es so: Eine knae, aber ausreicende Formelsammlun ist das einie Hilfsmittel in Prüfunen, keine Rucksäcke oller Bücer, keine ollescriebenen rme (ist bei aneblic erwacsenen Studierenden ja wol auc einlic), aber eben auc kein uswendilernen or der Prüfun. lle wesentlicen Formeln, die man eientlic auswendi können müsste, sind auc in diesem Buc in einer kleinen Formelsammlun auf wei Doelseiten im rau markierten Bereic usammenefasst. Dort findest du die nötien Gleicunen, Beiwerte und Funktionen mit denen du alle ufabenten des Buces lösen kannst. lles andere kannst du dir one uswendilernen durc ein bis wei Zeilen Umformen bereitstellen. Wenn eine Gleicun der Formelsammlun erstmals im Tet auftauct, ist sie mit einem rauen Kasten markiert. Übunstimer Inseeim at dieses Buc neben den neun Temen noc eine andere ufteilun, die du aber beim normalen Hinscauen nict sofort erkennen kannst. du findest sie in der Tabelle auf Seite 6. Eins der wol rößten Probleme or jeder Prüfun ist, dass man iel u iel Material um Lernen in einer natürlic immer iel u kuren Zeit at. uc wenn dieses Buc ier nur die wictisten Grundlaen kur und kna ansrict, kann es immer noc iel u iel sein. Du musst alt nur sät enu anfanen. Und wenn Monta die Mecanik-Prüfun anstet und leic Diensta scon um Ur die blöde Hausübun für Matematik abeeben sein muss, bleiben alt Diensta, Mittwoc und Donnersta für die Strömunsmecanik Prüfun am Freita. lso lieber ein aar Wocen früer

11 anfanen. Zu frü brint auc nicts, denn einen Monat orer kann man keinen Studenten aus der Resere locken und um Lernen motiieren, aber so drei Wocen orer fällt ielen dann scon ein, dass da irendwann noc etwas anstet. Und Tae sind ein an uter Zeitramen, um dieses Buc one übermäßien Druck durcuarbeiten. Jeden Ta ein bisscen, dann bleibt auc enüend Zeit, um sic umindest in der nfansase noc auf das ein oder andere weitere Fac orubereiten. Zum Selbststudium oder arallel ur Vorlesun nimm dir also immer mal der Reie nac einen Termin aus der Tabelle or und arbeite Teorie und ufaben auf den enannten Seiten durc. Bei rößerem Interesse lei dir einen dicken Wäler in der Unibibliotek aus. Dann kannst du den roten Faden, den dir dieses Buc ermitteln soll, je nac Zeit, Lust und Laune ausbauen. Die Zal der ufaben, die in der Salte an rects aneeben ist, scwankt stark. Es liet am Scwierikeitsrad der ufaben. Im Scnitt sind ro Termin so drei ufaben anesett, es können aber auc mal fünf oder auc nur eine einie sein. Wenn du um Beisiel bei ufabe 4 ab Seite 75 nacscläst, wird dir sofort auffallen, warum es nac einer ufabe dann auc scon reict. Die Minutenanaben sollten dic nict aus der Rue brinen. Du kannst dir rui ne Stunde oder mer für eine ufabe Zeit lassen. 4

12 Geen Ende eines Temas, wenn scon etwas Trainin da ist, solltest du aber ur Selbstkontrolle darauf acten, dass du beim Lösen lansam in die Näe der aneebenen Zeiten kommst. Minutenskala (für ssistenten und Tutoren) Die Minutenskala ist für ssistentenkolleen oder Fortescrittene unter euc, die als Tutor arbeiten oder Übunen in Kleinruen betreuen. Wenn wir on 9 Minuten Übun auseen, sind die ersten Minuten anesett, um die um Lösen der ufaben erforderlice Minimalteorie, die auf den aneebenen Seiten jeweils or den ufaben stet, usammenefasst an die Tafel u brinen. In den darauffolenden 6 Minuten werden dann ufaben erecnet. Die aneebenen Minuten sind so bemessen, dass die Zeit etwa ausreict, um die ufabenstellun anuscreiben, die Studis selbst robieren u lassen oder die Lösun mit den Studis im Dialo an der Tafel u lösen, und dann für die Teilnemer noc enüend Zeit erbleibt, um das Tafelbild abuscreiben. Solce Zeitanaben können natürlic nur naltsunkte sein. Das oreitie bbrecen on ufaben und Weiterfüren an anderen Terminen ist weni sinnoll und beim Einalten dieser bfole nict erforderlic. Beiackettel, Nebenwirkunen, Kleinedrucktes uc wenn das jett ser lusti klint, aber in merika wird ja auc daor ewarnt, Hunde in Mikrowellen u trocknen oder dass eißer Kaffee eben wirklic eiß ist.! Hier sei noc mal ausdrücklic betont, dass alle naben in diesem Buc one Gewär erfolen und in teilweise ereinfacter Form ausscließlic Übunswecken dienen. Für die eienen rbeiten und Bemessunsaufaben sind natürlic immer die aktuell ültien und ollständien Gesete, Vorscriften, Rictlinien und Tabellenwerke inuuieen. 5

13 6 Übunstimer Termin Tema Seiten ufaben-nr. ( Bearbeitunseit im Seminar) Hdrostatik 5 ( Min.) ( Min.) ( Min.) Hdrostatik ( Min.) 5 ( Min.) 7 ( Min.) bewete Beälter ( Min.) 9 ( Min.) 4 Eraltunssäte ( Min.) ( Min.) ( Min.) 5 Eraltunssäte ( Min.) 4 ( Min.) 5 ( Min.) 6 Eraltunssäte ( Min.) 7 ( Min.) 8 ( Min.) 7 Rorströmunen ( Min.) ( Min.) ( Min.) 8 Rorströmunen 9 5 ( Min.) 4 ( Min.) 5 ( Min.) 9 Gerinneströmunen ( Min.) 7 ( Min.) 8 ( Min.) Gerinneströmunen ( Min.) ( Min.) ( Min.) ( Min. ) ( Min.) Gerinneströmunen ( Min.) 5 ( Min.) 6 ( Min.) Gerinneströmunen ( Min.) 8 ( Min.) Räumlice nsäte ( Min.) 4 ( Min.) 4 Räumlice nsäte (6 Min.) 5 Strömunskräfte ( Min.) 4 ( Min.) 44 ( Min.) 6 Strömunskräfte 46 ( Min.) 47 (5 Min.) 48 (5 Min.) 7 Grundwasser ( Min.) 5 ( Min.) 5 ( Min.) 8 Grundwasser 5 5 (6 Min.) 9 Potentialteorie 4 5 ( Min.) 54 ( Min.) Potentialteorie (6 Min.) Änlickeitsteorie ( Min.) 57 ( Min.) 58 ( Min.) 6

14 7 Formeleicen Zeicen Eineit Bedeutun und Seitenal des ersten uftretens [m²] Querscnittsfläce 8 b [m] Breite, Oberfläcenbreite ( in Gerinnen) c [m/s] Wellenfortscrittsescwindikeit c, c W, c M [-] Beiwerte ur Berecnun der Strömunskräfte 9 d [m] drauliscer Durcmesser 88 E [m] seifisce Enerieöe in Gerinnen 9 E [W] Eneriestrom 5 E r [m] Seifisce Enerieöe unter Grenbedinunen 8 Eu [-] Euler-Zal 54 f [N/K] Vektor der Massenkräfte 7 F G, F [N] Gewictskraft, uftriebs- bw. Quertriebskraft 9 Fr [-] Froude-Zal F w [N] Widerstandskraft 89 [m/s ] Erdbescleuniun 5, H [m] Wassertiefe 5 r [m] Wassertiefe unter Grenbedinunen 8 s [m] Scwerunktlae 6 ü [m] Überfallöe 4 es, [m] Verlustöe 67 e [m] Verlustöe resultierend aus Einelerlusten 7 s [m] Verlustöe resultierend aus streckenabänien Verlusten 87 I [N] Imulsstrom 5 I, I [m 4 ] Fläcenträeitsmoment 7 I E [-] Enerielinienefälle 88 I so [-] Solefälle I W [-] Wassersieelefälle k [mm] Rauikeitsbeiwert nac Darc-Weisbac 89 k f [m/s] Durclässikeits-Beiwert 8 k St [m / /s] Rauikeitsbeiwert nac Mannin-Strickler M [Nm] Moment M N [Nm] Nickmoment 9 m [k/s] Massenstrom 5 n e [-] effektie Porosität 4 [Pa] Druck 5 P [W] Leistun einer Pume oder eines Generators 66 s [Pa] Druck im Fläcenscwerunkt Q [m /s] Durcfluss, Volumenstrom 5 q [m /s] bfluss ro Breitenmeter q [N/m ] Staudruck 9 Re [-] Renolds-Zal 89 r [m] drauliscer Radius 87 s [m] Strecke S [N] Stütkraft 6 [m/s] Strömunsescwindikeit 5 V [m ] Volumen a [m/s] bstandsescwindikeit = tatsäclice Gescwindikeit f [m/s] Filterescwindikeit 9 r [m/s] Fließescwindikeit unter Grenbedinunen 8 [m/s] nströmescwindikeit im unestörten Bereic 89 [m] eodätisce Höe 66 [-] om Gescwindikeitsrofil abänier Beiwert der Bernoulli-Gl. 67 [-] om Gescwindikeitsrofil abänier Beiwert in der Imuls-Gl. 6 [-] Gleital [-] Einelerlustbeiwert 7 [k/ms] Dnamisce Zäikeit 9 [-] Reibunsbeiwert nac Colebrook-Wite (im Mood-Diaramm) 89 [-] Maßstab 5 [m] Kolmooroläne 78 [-] bflussbeiwert 4, k [m /s] kinematisce Zäikeit 89 [k/m ] Fluiddicte 5 [N/m ] Scubsannun [/s] Kreisfrequen 44 [m /s] Zirkulation 4 [m /s] Potentialfunktion 4 [m /s] Stromfunktion 4

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16 9 Kleine Formelsammlun Bitte recnet näerunsweise mit folenden Werten: Normaldruck : atmos = Pa Erdbescleuniun: = m/s² Stoffwerte (C, Normaldruck): Hdrostatik: Druck und Druckkräfte: Druckmittelunkt: Bewete Beälter: Eraltunssäte: Masseneraltun: Imulseraltun und Stütkraftkonet: Enerieeraltun: Seifisce Enerieöe: Wasser w =, -6 m /s w =, k/m Luft L =4,9-6 m /s L =, k/m Erdöl (Baku) Ö =,6-6 m /s Ö = 84, k/m V F F F F V roj S H S S D S S D I I r f ds f r B B aus aus ein ein aus ein Q Q wobei, aus ein ü F G S S S es P m P E s

17 Örtlic konentrierte Verluste: e Streckenabänie Verluste: Einie Beisiele für den Verlustbeiwert [-] örtlic konentrierter Verluste (weitere siee Tabellenwerke ) Einlauf,5 scarfkanti Einlauf leict,5 auserundet uslauf, Rorkrümmer ,,6,8,9,, Darc-Weisbac: L s d 4 d U ben Mannin-Strickler: k r St r U ben / I / E I E L U s L ben s Ror Gerinne Werkstoff Zustand k-wert [mm] k St -Wert [m / s - ] Stal latt,, anerostet,4 stark erkrustet, Gusseisen latt,, anerostet,,5 stark erkrustet,5, Beton escliffen, erutt,,6 alte Einelrore,, scalunsrau, Natur Kies 75, 4, Geröll bis 4,, raue Felswände bis 5, 5, 8, Gebirsbäce bis, 9,, Beton latt,8 8, rau, 5, Klinker,5,8 7, 8, Hol,6 9, Berecnun des Reibunsbeiwertes : laminar ( Re ): 64 Re turbulent ( Re ): -,5 k lo ( Re,7 D )

18 Mood-Diaramm ur Bestimmun des Reibunsbeiwertes : Grenustand (Recteckerinne): Wecselsrun: 8Fr q r Er r r Überfall: Q b ü breitkroni : scmalkroni Tabelle: ü Sieellinie (Recteckerinne): d I ds So S S n r

19 Potentialteorie: Rotation / Zirkulation: Lalace-DGL: Strömunskräfte: Staudruck: uftrieb: Widerstand: Bieemoment (um Fußunkt): Nickmoment (um Körerscwerunkt): Kinetik der räumlicen Strömun: Dimensionslose Kennalen: Kontinuitätsleicun: Naier-Stokes-Gleicun: Poröse Medien / Grundwasser: c - Werte werden bei Bedarf estellt. Filter k f - Wert [m/s] Ton - Scluff -8 Sand -4 Kies - d ds rot,, rot q d c q F d c q F w w d c q M W d c q M M N = di t d t d f rad rad Eu Re Fr d e f a f f n rad k

20 Tema Hdrostatik Sticworte Grundlaen Hdrostatiscer Druck uftrieb, rcimedes Hdrostatisces Paradoon Gescictete Fluide Druckkräfte Druckkräfte auf ebene eneite Fläcen Druckkräfte auf ekrümmte Fläcen Hdrostatik in beweten Beältern Translation Rotation

21 Hdrostatiscer Druck Wouseite Hocbeälter für Betriebswasser Foto: BW, J. Senstock Im einleitenden Kaitel sollen die rundleenden bläufe erläutert werden, um die aus ruenden Fluiden resultierenden Kräfte u berecnen. Diese Kräfte können die wesentlicen Bemessunsrößen bei ielen Konstruktionen in fast allen Sarten des Inenieurbaus sein. Der soenannte drostatisce Druck und die daraus resultierenden Druckkräfte werden bei der Bemessun on Staumauern, Wassertürmen oder industriellen Tankbeältern benötit, um nur einie Beisiele u nennen. Das Tieftaucen selbst modernster Unterseeboote ist noc eute durc den enormen Druck stark einescränkt. Dem aarierten russiscen U-Boot Kursk konnte in nur m Wassertiefe niemand ween des oen Druckes elfen. Das Tieftaucboot Trieste musste beim btaucen in den Marianenraben einem Druck on etwa bar standalten. Die Kasel benötite,7 cm dicke massie Wände aus escmiedetem Stal. Die Boenewictsstaumauer des Hooer Dam in Neada ist aus Stalbeton und at eine Wandstärke on bis u m, um den Druckkräften u widersteen. Wenn ir leic auf den näcsten Seiten die ersten kleinen Formeln set, werdet ir euc berectiterweise fraen, was an diesem Einseten on ein aar Zalen so scwer sein soll. Die der Hdrostatik urundelieenden Gesete sind in der Tat einfac und in wenien Zeilen bescrieben. Die Berecnunen können jedoc durc komlee Geometrien nerenaufreibend umständlic und damit ser felerträcti werden. 4

22 Hdrostatiscer Druck Grundlaen Beor es mit dem Berecnen des drostatiscen Drucks loset, müssen ur Einfürun ein aar Basics definiert werden. Bei allen omoenen Medien, also auc bei den on uns in Zukunft betracteten Fluiden steit die Masse direkt roortional um Volumen. Der Quotient aus Masse und Volumen ist die seifisce Masse, die allemein als Dicte beeicnet wird. Dicte Wasser : Masse Volumen f, T, c k m k m In Fluiden resultiert aus der Gewictskraft der Fluide eine Kraft F senkrect auf ein Fläcenelement der das Fluid berandenden Berenunsfläce. Der Quotient aus F und wird als Druck beeicnet. Druck Kraft Fläce N m Pa N m Der Druck besitt die Eineit einer Sannun Der Druck an jedem Punkt im Fluid ist rictunsunabäni, also ein Skalar. Zur Erinnerun: Skalar:.B. Temeratur, Druck Vektor:.B. Gescwindikeit Der drostatisce Druck in einer Tiefe unter einem Wassersieel ist leic dem Druck am Wassersieel uülic der aus der Wassersäule resultierenden Drucksannun. 5

23 ! uc wenn es kaum orstellbar ist, scon mit dieser ersten Formel reissen sic die ersten on euc ins rüfunsmäßie Verderben. Der atmosärisce Druck, die Dicte und die Erdbescleuniun sind oreeben und müssen wirklic nur abescrieben werden. Entsceidunsewalt abt ir eientlic nur über einen einien Wert, die Höe der darübersteenden Wassersäule. Und enau da scleict sic bei dem ein oder anderen scon der erste böse Feler ein. Was ist die darübersteende Wassersäule. Was aber assiert, wenn die Strecke lotrect om Betractunsunkt nac oben nict direkt an die Wasseroberfläce fürt, sondern nur bis u einem Hindernis, das ebenfalls ins Wasser einetauct ist? Zwei mit Sicereit in Strömunsmecanik durc die Prüfun efallene Meeresforscer aben das für uns ausrobiert: 6

24 Sie taucen unäcst 5 m tief inunter. Plötlic wird Inen der Druck u roß. Statt wieder an aufutaucen, entsceiden sie sic, in 5 m Wassertiefe u bleiben und unter einen Felsorsrun u scwimmen, um sic so on dem roßen Wasserdruck orübereend u erolen. Der eindeutie Beweis, dass sic die beiden orer arantiert nict mit Hdrostatik auseinanderesett aben. Denn auc in Deckun des Felsorsruns resultiert der Druck aus der lotrecten Strecke wiscen ufentaltsort und Wasseroberfläce. Ein weiteres Beisiel ist das Taucen im Scwimmbecken oder in der Nordsee. Wenn ir in einem normalroßen Scwimmbecken 4m tief tauct, erstreckt sic das Wasser in der Horiontalen maimal auf einer Strecke on 5 m. Tauct ir im Baersee 4m tief beträt diese Strecke ielleict 5 m und an der Nordsee um Beisiel 5 km. Ist der Wasserdruck im Baersee in 4m Tiefe mal so roß wie im Scwimmbecken und in der Nordsee in 4 m Tiefe mal so roß wie im Scwimmbad? Nein! Der drostatisce Druck ist ein Skalar und resultiert, unabäni on Verdeckunen oder usdenun des Fluids, aus der lotrecten Strecke wiscen Beobactunsunkt und der Lae der Wasseroberfläce! Doc wir aben einans auc om Druck an der Wasseroberfläce esrocen. Dies ist oft der Luftdruck bw. atmosärisce Druck. Ir wisst natürlic alle aus dem Wetterberict, dass der Luftdruck stark scwankt. Bei unseren Recnunen werden wir uns daer auf den soenannten Normaldruck beieen. Er at eine Höe on 5 Pa. Für unsere Übunswecke reict aber, wenn wir Pa annemen, das ist nämlic enau bar. Luftdruck: atmos Pa = 5 Pa = bar Vor jeder Berecnun ist u rüfen, ob nac dem Überdruck oder dem bsolutdruck efrat ist! Der Überdruck resultiert nur aus dem betracteten Fluid, der bsolutdruck (=Gesamtdruck) uülic aus dem atmosäriscen Druck (=Luftdruck) an der Wasseroberfläce. abs atmos ü ufabe : Für unsere erste Berecnun nemen wir uns ein mit einer Verleicsflüssikeit der Dicte V und einer unbekannten weiteren Flüssikeit efülltes U-Ror or. a) Zunäcst wollen wir den Überdruck am Punkt bestimmen. b) Wie oc ist der bsolutdruck? 7

25 Voraben: = 5 cm = cm = cm = atmos V = ³ k / m³ a),5,, 7 Pa ( - ) b) abs abs abs atmos atmos 7 7 Pa ü Diesen ufbau können wir nuten, um die Dicte der unbekannten Flüssikeit u bestimmen: Durc Hinseen und etwas Mitdenken lässt sic die ufabe in wenien Sekunden durc nscauun lösen. Wir können den unteren Teil des U-Rors auc als (Wasser-) Waae auffassen. Die im linken und recten Scenkel sic darüber befindenden Fluide steen im Gleicewict. Die Bereice ()-(5) und ()-(4) weisen also jeweils die leice Masse auf. Die Masse in den Rorteilen ist natürlic das Produkt aus Dicte und Volumen, das Volumen berecnen wir aus dem Produkt der Rorquerscnittsfläce mit der Höendifferen. kürt sic lücklicerweise raus: Masse links (wiscen und 5) ( - ) Masse rects (wiscen 4 und ) 5,8 8 k/m 5 8

26 Druckkräfte, uftrieb Grundlaen F F G m V Die uftriebskraft ist leic der Gewictskraft der erdränten Wassermene. (Entdeckun durc rcimedes) Warum ist das so? Zur Veranscaulicun werden wir ufabe recnen und die Zusammenäne wiscen Druck, Druckkraft, den Komonenten der Druckkraft und der uftriebskraft klären. 9

27 us dem Druck resultiert eine Druckkraft, welce sic aus den folenden Komonenten usammensett: Horiontalkomonente: Produkt aus dem Druck im Fläcenscwerunkt (der rojiierten Fläce) s und der rojiierten Fläce roj F H F S roj Vertikalkomonente: Gewictskraft der darübersteenden oder edacten Wassersäule FV F V! Dämme, Deice aber auc Were kann man als soenannte Linienbauwerke auffassen. Dies ist dann der Fall, wenn ein Bauwerk über eine ser lane Strecke einen konstanten Querscnitt (Reelquerscnitt) aufweist. Der Betra dieser Strecke (in dieser ufabe Breite b enannt) wird dann im Reelfall nict für die Berecnunen eraneoen, sondern es wird eine Breite (in der Skie Tiefe ) on einem Meter anenommen. Es werden also Bemessunsrößen ro laufendem Meter bestimmt. Vor jeder Berecnun rüfen, ob die Breite in der ufabenstellun eeben ist, anderenfalls die Breite b =, m annemen. ufabe : Berecne die Größe und Wirkunslinie der resultierenden Druckkraft auf die Wand -B. Voraben: b = = m k/m³

28 Horiontalkomonente : Wie kommt es jett u dem oben aneebenen Sat ur Berecnun der Horiontalkomonente? Der Druck nimmt mit der Wassertiefe linear u. Wenn wir in wie in der Skie unten auftraen, andelt es sic um eine Dreieckslast. Im Mittel über die esamte rojiierte Fläce wirkt also die Hälfte des Maimaldruckes auf den betracteten Bereic. Wenn wir den jett noc mit der rojiierten Fläce multiliieren, resultiert scon die Horiontalkomonente. Doc ctun, die Wirkunslinie dieser Kraft liet natürlic nict (!) im Fläcenmittelunkt. Sie liet im Scwerunkt der Dreieckslast und enau daraus resultiert die / u / ufteilun. F F F X X X Druck im Fläcenscwerunkt rojiierte Fläce S roj b kn 7 kn Vertikalkomonente: Die on oben auf unseren Klot wirkende Kraft F ZO ist die Gewictskraft der Wassersäule darüber. Doc was ist an der Unterseite los? Da braucen wir nur an unsere taucenden Freunde on orin u denken. Die Druckkraft an der Unterseite F ZU ist natürlic nict Null, weil sie durc den Klot abescirmt ist, sondern resultiert aus der edacten Wassersäule darüber, also on der Unterseite durc den Klot durc bis an die Wasseroberfläce. Die Druckkräfte wirken immer normal auf die Oberfläce, die Kräfte on oben und unten sind also enau enteenesett. Übri bleibt eakt das Volumen, welces der Klot erdränt.

29 Von oben und unten wirken jeweils: F F ZO ZU V V O U 6 86 kn 48 kn 6 kn us dieser Recnun wird scnell ersictlic, dass sic die Vertikalkomonente der Druckkraft aus dem Volumen des om Körer erdränten Wassers berecnen lässt. F Z V 6 6kN Damit aben wir erade an nebenbei den Nacweis für die Gültikeit des Gesetes on rcimedes erbract. Betra der resultierenden Druckkraft: F F F 85 kn R X Z Wirkunslinie: Die Wirkunslinie on F R erält man durc die einface Bestimmun des Winkels wiscen den Komonenten F und F. F 6 tan Z 6, 57 F 7 X

30 Warum um Gottes Willen eit die Waae oben das Erebnis an: tja weil es alt so ist könnte man leictferti lauben, ist ja scließlic ein Messinstrument. ber Vorsict, auc Messinstrumente könnten ja teoretisc mal kautt sein und desween scauen wir da doc besser noc mal an enau in. Es ibt nämlic ein soenanntes... Hdrostatisces Paradoon Grundlaen Die Druckkraft auf einem Beälterboden kann wesentlic kleiner oder rößer als die Gewictskraft des Wassers im Beälter sein. Warum das drostatisce Paradoon nun aneblic so arado ist, werden wir in ufabe mal enauer unter die Lue nemen.

31 4 ufabe : In unserem Beälter ist eine bestimmte Mene Wasser entalten, also sollten wir unäcst mal die Gewictskraft aus dem Wasserinalt bestimmen. Diese Gewictskraft erteilt sic auf die Laer des Beälters Jett kommt unser "Facmann" oben ins Siel, der mit einer anderen Recnun den Beweis für die Rictikeit seiner Waae startet: Welce Druckkraft wird on dem im Beälter befindlicen Wasser auf den Beälterboden auseübt? kn 6 6 m G G F V V F kn 8 G L L F F F kn 4 N 4 8 Pa ) ( 8 m 8 ) ( 4 S 4 S S S F F b F

32 5 Wieder bestimmen wir die uflaerreaktion wundern uns an doll und enau dieses Wundern ist das Paradoe des drostatiscen Paradoons. Wenn wir den Beälter noc mal enauer unter die Lue nemen, stellen wir fest, dass uns Druckkräfte entanen sind, nämlic die nac oben ericteten uftriebskomonenten in den Seitenteilen scon stimmt die Welt wieder und die Waae ist als Betru enttarnt. kn? L L F F F 8 kn kn L L L V F F F F F F F F F

33 Druckkräfte auf ebene eneite Fläcen Grundlaen Die Druckkraft ist stets senkrect auf die Grenfläce wiscen Fluid und festem Körer erictet, da in einem ruenden Fluid nur Normalkräfte und keine Scubkräfte übertrabar sind. Die Wirkunslinie der Druckkraft scneidet die Fläce im Druckmittelunkt. Dieser muss stets tiefer als der Scwerunkt der Fläce lieen. ufabe 4: Voraben: a =, m b =, m =, m = a) Bestimme den Betra der resultierenden Druckkraft auf die Klae. F S S S S b a a F 557 N S Pa 55, 7 kn (Überdruck ) a sin m 5, 57 m Die ufteilun in F H und F V ist eine lternatie, aber in diesem Fall umständlicer. 6

34 b) Berecne die Koordinaten D und D des Druckmittelunktes auf der Klae.! In ufabenteil b) wollen wir die Koordinaten des Druckmittelunktes berecnen. Der Lösunswe ist eientlic allen immer rect scnell klar. Die im Bereic der Klae wirkende Horiontalkomonente der Druckkraft ist traeförmi. Wir erleen diese Last alt wie in der Statik elernt in Rectecks- und Dreieckslasten, deren Scwerunktlaen allemein bekannt sind, bilden die Momente und die Summe dieser Momente muss natürlic enau so roß sein, wie die resultierende Gesamtdruckkraft (die wir scon auserecnet aben) multiliiert mit deren Hebelarm (den wir lettendlic ier erade sucen). Doc die ane Sace at einen ewaltien Haken. Zunäcst könnte man meinen, Dreieckslast, na und da liet die Wirkunslinie alt im Drittelsunkt. Doc Vorsict, bei solcen ussaen wird immer (!) daon auseanen, dass die Dreieckslast auf eine recteckie Fläce wirkt. Bei unserem Problem, bei welcem eine Dreieckslast auf eine albkreisförmie Fläce wirkt, ist es ruckuck mit "Patentformel" etc. nict etan. Da müssen wir dann doc etwas räiser an die Sace een: M D F M F D I S S I Bei der Umformun oben kommt das Fläcenträeitsmoment ins Siel. Diese Größe ist euc bestimmt aus der Mecanik bekannt. Sie ist quasi ein Maß für den Widerstand eines bestimmten Querscnitts een Durcbieun. Beliebtes Beisiel: Lineal mit der breiten Seite oriontal oder ertikal ur Kraft durcbieen.... Einmal kract es sofort, im weiten Fall muss man scon die Ärmel ockremeln. Dieses Fläcenträeitsmoment (wie oben in der Formel) beiet sic auf das lobale Koordinatensstem. Über den Sat on Steiner kann es jedoc in einen soenannten Eienanteil (beoen auf ein lokales /- Koordinatensstem im Druckmittelunkt) und einen Steineranteil erlet werden. I I S Eienanteil Steineranteil Einesett in die Formel oben resultiert dann die folende Formel, mit der wir recnen können: D I S I Tabellenwerken derstatik u entnemen S I S S S 7

35 8 Bestimmun on D und D erfolt über die nwendun des Steinerscen Sates: Das Koordinatensstem ist so u leen, dass die -cse enau eine Isobare (Linie leicen Druckes) darstellt. In diesem Fall ilt: S = D Das weitere Voreen entsrict dann der aus der Baumecanik bekannten Scwerunktberecnun: S S D S S D I I m m 76 Halbkreis 8 Recteck m m (Halbkreis) m 44 4 (Recteck) m S S D 4 4 S S S S i i Si S,,,,, I, I a I a b I,,,, a b b D

36 Druckkräfte auf ekrümmte Fläcen ufabe 5: Geeben ist ein Wer in Form eines Viertelsements eines Kreislinders mit der Breite b. Versuct nun bitte, die uflaerkräfte F, F BH und F BV u berecnen. Voraben: b =, m R =, m Horiontalkomonente: R FH S R b 45 kn H R m Vertikalkomonente: F V R 4 V b nname Reelfall: b m 7, 685 kn Bei einem Kreissement et die resultierende Druckkraft durc den Kreismittelunkt. Da ein Fluid im Gleicewict nur Normalkräfte, aber keine Scubsannunen übertraen kann, wirken die om Fluid übertraenen Druckkräfte senkrect auf das Kreissement (bw. auf die dort anlieenden Tanenten). Daraus wiederum folt, dass alle ueörien Vektoren dieser Normalkräfte durc den Kreismittelunkt erlaufen müssen. Das ilt damit dann natürlic auc für die Resultierende aus diesen Normalkräften. 9

37 V =? F tan F tan V H V V H,7 m,66 Dies ist darauf urückufüren, dass man sic die Druckkraft als die Summe einer Vielal on Teildruckkräften orstellen kann. Diese steen jeweils senkrect ur Oberfläce, da in einem Fluid nur Normalkräfte, aber keine Scubkräfte übertraen werden können. Damit ist die Lae (Winkel) der Resultierenden bekannt und es lässt sic V urückrecnen: uflaerkräfte: (Wie in der Baumecanik) F V M F H Mi F F F BV BH F F V H? Wie ändern sic die uflaerreaktionen, wenn das Wasser auf der recten Seite des skiierten Weres stet?! res. ufl.-kraft keine res. ufl.-kraft neatie res. ufl.-kraft Die Situation im linken Bild wurde on uns berecnet. Um die obie ntwort besser u ersteen, stellt euc den mittleren Fall or. Wir füllen jett auc die recte Seite mit Wasser. Bereits die nscauun sat einem, dass die aus dem Wasserdruck resultierenden uflaerreaktionen leic Null sind (unter Vernaclässiun des uftriebs). Damit lässt sic der in der recten bbildun skiierte und oben efrate Fall leict erklären: Der Betra der Kräfte bleibt leic, die Voreicen keren sic um.

38 ! Die näcste ufabe tauct nict in der Tabelle om Übunstimer auf, weil sie einfac nerenaufreibend felerträcti ist. Lässt man Studis diese ufabe recnen, bekommen drei Viertel der Studis ein falsces Erebnis raus, nict weil sie den Berecnunswe nict kaiert aben, sondern weil sic bei der anen eometriscen Recnerei einfac dauernd Flüctikeitsfeler einscleicen. ufabe 6: Füre eine drostatisce Berecnun für das skiierte Wer durc. Berecne die Komonenten der Wasserdruckkraft, die Resultierende, die Lae der nriffsunkte der Komonenten und das Moment um den Fußunkt P. Voraben: d =,75 r r =,5 m b = 5 m = ³ k / m³ = m/s² Beim Kreisabscnitt ilt: s r sin r sin 8 a) Komonenten der Wasserdruckkraft: r sin S s 4

39 Horiontalkomonente: F H d s d s 9 s r sin, m d r 5, m 4 F 6, 5 kn H S S b Vertikalkomonenten: F F F F V V V V V V V d,5 b,64 kn V r 4, kn 5,64 m s, m 4 b Resultierende: F,64 kn, kn V,46 kn kn ( im Verältnis u 6,5 kn) F R F H F V F H 6,5 kn

40 b) Berecnun der Wirkunslinie (WL): Lae des Ursruns des KOS in P nand dieser ufabe kann ut eeit werden, dass die Scwierikeit on Hdrostatik- ufaben nict on den (ser einfacen) drostatiscen Geseten abäni ist, sondern on der Komleität der Geometrie. ls Klausuraufabe wäre diese ufabe weni sinnoll. H V V SKa Ka = Strecke wiscen WL on F H und - cse = Strecke wiscen WL on F V und - cse = Strecke wiscen WL on F V und - cse = Scwerunktlae eines Kreisabscnittes nac Skie = Fläce Kreisabscnitt = Stic eines Kreisabscnittes nac Skie H V d s,8 m d,75 m V SKa s Ka r 9,5,5 sin 4, 9,5,5 sin,64 4,76 m c) Berecnun des Momentes um den Fußunkt P: M F H H F V V F 6,5,8,64,75,,76, knm V V

41 4 Gescictete Fluide Grundlaen Bei escicteten Fluiden ist jedes Fluid für sic u betracten. Der Gesamtdruck am Beälterboden eribt sic aus dem Druck an der freien Oberfläce uülic der Teildrücke der einelnen Fluide. i i Boden : allemein ilt

42 ufabe 7: Vor einien Jaren ist der Holfracter "Pallas" bei der Insel mrum estrandet und liet mit 5 Sclaseite auf Grund. Die Oberkante eines m 5 m roßen Lukendeckels befindet sic 4 cm unter der Wasseroberfläce, auf der usätlic noc ein cm dicker Ölfilm treibt. Voraben: = m/s² Öl =,8 t/m³ W =, t/m³ S Si i i Die Sciffsacse liet oriontal. a) Welce Horiontalkomonente wird on den äußeren Flüssikeiten auf den Deckel auseübt? b) Welce Vertikalkomonente wird on den äußeren Flüssikeiten auf den Deckel auseübt? c) Wo liet der nriffsunkt der Vertikalkomonente? 5

43 6 a) Horiontalkomonente: b) Gewict der darüber lieenden Fluide: c) Resultierende: 4,75 kn,94 m, m 7 Pa 7 Pa,647 m,4 m, m,647 m,5,94 m sin5 5 H S H W Öl S W Öl S S F F kn 6,4 kn 9,8, sin 5 5 4,49 Wasser () kn 58,,,4 4,49 Wasser () kn,6,8, 4,49 Öl () m² 4,49 4,8 m 4,8 cos 5 5 V H H G G G F G G G l on Oberkante) links (oriontal,,88 m 4,8 6,4 9,8 58,6

44 Hdrostatik in beweten Beältern Grundlaen uf dem We on der Hdrostatik ur Hdrodnamik stoßen wir noc auf eine rt Grenfall. Was assiert eientlic, wenn wir unäcst nict das Fluid selbst bescleunien oder eröern, sondern das Beältnis, in welcem sic unser Fluid befindet. (Übriens, wir werden das Veröern nict immer etra erwänen, es ist alt eine neatie Bescleuniun.) Biser aben wird den drostatiscen Druck mit der folenden Formel berecnet: Es bestet eine bänikeit des drostatiscen Drucks ur Erdbescleuniun. Das war biser auc ölli ausreicend, denn kaum einer wird darauf kommen, einen Baersee oder Wasserturm über die Erdbescleuniun inaus u bescleunien oder u eröern. Dennoc muss natürlic bedact werden, dass die Bescleuniun ein Vektor mit Komonenten in allen drei Raumrictunen ist. Wir füren den Vektor der Bescleuniun ein, der on Profis auc Vektor der Massenkräfte enannt wird. F m a F a f m f f f f "Massenkraft" Damit eribt sic die allemeinste Form der Druckberecnun, mit deren Hilfe man mit einem bekannten Druck an der Stelle entlan eines beliebien Interationswees einen esucten Druck an der Stelle B berecnen kann. B B f ds Die nwendun dieser für nfäner doc etwas abstrakten Gleicun werden wir leic in den ufaben 8 und 9 üben. 7

45 Bei den oraneanenen ufaben war die - und -Komonente des Vektors der Massenkräfte leic Null, die -Komonente die Erdbescleuniun: f f f f Betracten wir jett um Beisiel Tankwaen, die auf Straßen bescleunien oder eröern (um Teil unfreiwilli). Die alte Dame srint auf die Straße, der Tankwaen mact eine Vollbremsun, wird also eröert, und es siet so aus, als würde die Flüssikeit inten im Beälter relati um Beältnis bescleunit werden. Eine relatie Bescleuniun ibt es natürlic nict! Wir saen, die Flüssikeit olliet eine Träeitsreaktion. Die aus der Träeitsreaktion resultierende Massenkraft wirkt enau enteenesett der Veröerun des LKW. Es wirkt also über die Erdbescleuniun in -Rictun inaus auc noc eine - Komonente des Vektors der Massenkräfte auf unsere Flüssikeit im Tankwaen. f b f f f Seid bitte ser orsicti bei der Festleun der Voreicen der Bescleuniunskomonenten. Wir werden das in der näcsten ufabe noc enau unter die Lue nemen. Einen änlic elaerten Fall werden wir in ufabe 8 berecnen. Eine äufie tecnisce nwendun des Veraltens on Flüssikeiten in beweten Beältern findet ir bei Zentrifuen. Die Untersucun on Fluiden in solcen rotierenden Gefäßen folt in ufabe 9. 8

46 Translation ufabe 8: Der on links nac rects farende, mit Wasser efüllte Waen wird mit einer Veröerun on b = m/s² ebremst. Voraben: a = 4, d =, c = 7, m m m a) Wie roß ist die sic einstellende Höendifferen wiscen den Punkten und B? b) Berecne bitte den Wasserdruck im Eckunkt C? Kann man den Waen auc ereinfacen?! Natürlic! Der Druck ist nur on der Höe der Wassersäule abäni. = 9

47 Jett kann die Recnun ser übersictlic in wenien Scritten erfolen:. Gleicun: B B f ds. Skie & Koordinatensstem (KOS):! Es ist immer wieder festustellen, dass die Studierenden mit nict nacolliebaren Voreicen recnen. uc wenn eine ufabe noc so einfac ersceint, sollte man immer erst ein Koordinatensstem festleen und dann eine Skie der Massenkräfte anfertien! Die obie Skie ist aber noc nict ollständi, da der Waen eröert wird. Enteenesett ur (in diesem Fall neatien) Bescleuniun wirkt die soenannte d lembertsce Träeitskraft. Der Waen wird eröert. Die Träeitsreaktion der Flüssikeit ist eine der Veröerun enteenesette Massenkraft. 4

48 4. Vektor der Massenkräfte aufstellen:! Die aus eurer Sict ielleict etwas komiscen Voreicen resultieren aus der on uns selbst etroffenen Definition des örtlicen Koordinatensstems unter Punkt dieser Lösun, also nac oben und nac rects! Ir könnt aber auc ein anderes Koordinatensstem wälen, dann ändern sic die Voreicen im Verlauf der ufabe, aber am Ende kommt natürlic das leice Erebnis eraus. Der Flüssikeitssieel stellt sic übriens immer normal um resultierenden Bescleuniunsektor ein, da anderenfalls eine Fließbeweun einseten würde. 4. nnamen: 5. Interation: Die oriontale Komonente wird über den oriontalen bstand der Punkte und B interiert, also d+c. Die ertikale Komonente über den ertikalen bstand, denn nur der resultiert aus der Veröerun, die restlicen ertikalen nteile sind auc in der Ruelae des Waens als an normaler drostatiscer Druck oranden. b f B atmos B, c d b d f d f c d b b d b d d f d f ds - b m 9 7 c d c d B B B B

49 u b), 9 d a 4 5, 45 m c 5, Pa? Ist das so nict falsc erecnet? Muss man jett nict auc mit der resultierenden Bescleuniun recnen?! Das ist eal! Die Fläce neit sic. Damit ist die resultierende Bescleuniun Res a war rößer als die Erdbescleuniun, aber dafür nimmt ab. Beweis: Re sa,4988 m/s tan cos... 5,45 5,496 m c Re s a 545 Pa c 4

50 4

51 Rotation (Zentrifue) ufabe 9: In einem rotierenden kreisrunden Gefäß befindet sic eine Flüssikeit. Voraben: a)+b) c) = H = r =,5 = m/s² m m k/m³ a) Der Sceitel des entsteenden Rotationsaraboloids liet auf dem Gefäßboden. Es wird erade keine Flüssikeit aus dem Gefäß erausentrifuiert. Wie roß ist die Winkelescwindikeit des Gefäßes? b) Welcer Wasserstand stellt sic im Gefäß in Ruelae ein? c) Der Ruewasserstand betrae =,4 m. Das Gefäß rotiert mit = 5 s -. Berecne den Wasserstand in der Dreacse und am Gefäßrand! Volumen eines Rotationsaraboloids: V r L 44

52 45 a). Gleicun:. Skie & KOS:. Vektor der Massenkräfte: 4. nnamen: 5. Interation: Sceitel im Druck Rand oberen am Druck wobei S R R S S R s d f r f f f r S R atmos S R s, H r r d dr r d f dr f H r H r R S R S r R S

53 46 b) Fanfrae! - Die Lösun ist reine Geometrie. Wärend der Rotation ilt: in Rue: c) Prini wie bei a): Gleicseten der Volumen: H r V V V Gl.: H r V H r L r V Para Zl O H Zlinder Paraboloid, m S R S R S R r r r H r H r Gl. : Gl. H r V Gl. : H O m m 44 s 5 s 4 s R S R S R S,,,,,, r r r V

54 Damit ist das Tema Hdrostatik durc und wir können endlic die Hdrodnamik in nriff nemen. Genau wie scon bei der Hdrostatik werden wir auf den näcsten Seiten erst mal klären, wou man das alles überaut brauct, dann die wictisten Grundberiffe der Hdrodnamik definieren und als wictiste Gleicunen die Eraltunssäte einfüren. 47

55 Tema Eraltunssäte Sticworte Masseneraltun Masseneraltun fester Kontrollraum, beweter Kontrollraum Imulseraltun Imulseraltun Stütkraftansat Enerieeraltun Bernoullileicun Instationäres Veralten

56 Eraltunssäte Wouseite Imulsbedinte Kräfte wirken auc auf Wascbecken-rmaturen Foto: J. Strbn b jett bescäftien wir uns mit der Hdrodnamik, also der Beweun und dem Kräfteleicewict des Fluids. Inneralb des on uns untersucten Raumes muss stets die Eraltun on Masse und Imuls bw. Enerie ewärleistet sein. Diese Bedinun wird mit Hilfe der soenannten Eraltunssäte bescrieben. Mit deren Hilfe lässt sic um Beisiel die Gescwindikeit des Fluids bei untersciedlicen Rordurcmessern bestimmen. Die ustrittsescwindikeit des Wassers einer Srinbrunnen-Fontäne kann durcaus 4 km/, die Höe 8 m betraen. Mit Hilfe der Imulseraltun können die om Wasser auf dessen Transortsstem auseübten Kräfte berecnet werden. Ändern Rorssteme in der Industrie in soenannten Rorkrümmern ire Rictun, müssen die Bauteile ur Umlenkun durc ausreicende uflaer or Laeänderunen esicert werden. uc Feuerwerleuten sind diese Kräfte bekannt. Können um Beisiel die B- Rore der Feuerwer noc on drei Personen ealten werden, müssen die Löscmonitore der Fluafenfeuerwer fest auf den Fareuen montiert werden und lassen sic nur noc mecanisc ositionieren. Eine Positionierun on Hand ist aufrund der Kräfte unmölic. Den Han eurer Kücensüle könnt ir noc beween, aber Umlenkkräfte wirken da natürlic auc. uf Basis der Enerieeraltun könnte das Peltonrad eines Wasserkraftwerkes bemessen und die u erwartende elektrisce Enerie bestimmt werden. 5

57 Hdrodnamik Grundlaen Das Fluid untersceidet sic on einem Festkörer in erster Linie in wei an wesentlicen Punkten: Es bestet kein Zusammenalt der Gesamtmasse u einem festen Körer. Die Massenteilcen erfaren im Zeitablauf roße eenseitie Versciebunen. Wenn wir eine Strömun untersucen, bescränken wir unsere Betractunen auf einen orer ewälten berenten Bereic, den Kontrollraum: Der Kontrollraum ist ein beliebi aberentes raumfestes, aber nict ortsfestes Volumen, das durcströmt wird. Seine Oberfläce ist massendurclässi. Die escickte Wal dieses Kontrollraums kann die Berecnunen ereblic ereinfacen. Vor ersten Recnunen sollen wei an wesentlice Strömunsustände definiert werden. Ein über die Zeit konstanter Zustand wird als stationär, ein über die Zeit eränderlicer Zustand wird als instationär beeicnet. Die Berecnun instationärer Proesse kann äußerst komle werden und ist für nfäner sicerlic nict der rictie Einstie in die Materie. Daer konentrieren wir uns in den weitaus meisten Fällen auf stationäre, also eitunabänie Pänomene. Sollten wir auf instationäre Proesse stoßen, werden wir die daueörien Berecnunen durc escickte Wal der Betractun so ereinfacen, dass sic ein stationärer Recenwe eribt. stationär:... t instationär:... t 5

58 5 Die wesentlicen Grundrößen sind die soenannten Ströme: Volumenstrom = Durcfluss Massenstrom Imulsstrom kinetiscer Eneriestrom? Was bedeutet der Punkt über den Formeleicen der Ströme?! Der Punkt ist nict nur eine einface Kenneicnun für einen Strom, sondern sikalisc u beründen. Mit Punkten über einem Formeleicen werden die Zeitableitunen ekenneicnet: (ein Punkt für die erste bleitun nac der Zeit, wei Punkte für die weite bleitun nac der Zeit). Beisiel: Leiten wir die Gleicun für den Imuls nac der Zeit ab, ist die Produktreel anuwenden, aufrund einer stationären Betractun bleibt die oben aufefürte Gleicun für den Imulsstrom übri: W s s m k N s s m k s k m s k m s m s m m E m I m m Q Q V t V Gescwindikeit konstanter eitlic bei stationär da, : Zeit der nac bleitun m I m t t m I m m I m I

59 Masseneraltun Grundlaen Eine der wol rundleendsten Gesetmäßikeiten der Strömunsmecanik ist die Eraltun der Masse. Für unsere ersten kleinen Berecnunen lässt sic das formelmäßi ser leict bescreiben, also sollen die Erklärunen dau auc nict umsonst in die Läne eoen werden. Die Masseneraltun wird mit der soenannten Kontinuitätsleicun bescrieben, die alte Hdromecaniker auc einfac Konti-Gleicun nennen. Olli Romber meinte, dass man sic das nun wirklic an einfac orstellen kann (seine tecnisce Zeicnun dau siee unten). Das was inneralb eines Zeitraums in ein Ror, ein Gerinne oder alt auc in in selbst (bw. an allemein einen Kontrollraum) reinet kommt in der leicen Zeit auc wieder raus. m ein m aus m m ein aus Lettendlic wird das aber wol nur sein Wunsctraum bleiben. Man möe nur an seinen Bierbauc denken. Da sammelt sic also etwas im Kontrollraum und kommt nac der 5