4.3 Systeme von starren Körpern. Aufgaben

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1 Technische Mechanik Prof. Dr. Wandiner ufabe 1: 4.3 Ssteme von starren Körpern ufaben h S L h D L L L D h H L H SH Ein PKW der Masse m mit Vorderradantrieb zieht einen Seelfluzeuanhäner der Masse m H. Der nhäner ist in der Kupplun elenki an den PKW aneschlossen. estimmen Sie die Kräfte auf die Räder sowie in der Kupplun, a wenn das Gespann mit konstanter Geschwindikeit fährt, b wenn das Gespann mit der eschleuniun a 1 beschleunit, c wenn das Gespann mit der Verzöerun a abbremst und der nhäner unebremst ist. eim remsen darf anenommen werden, dass nur die Vorderräder ebremst sind. Zahlenwerte: m = 000 k, m H = 500 k, L = 0,6 m, L = 1, m, L = 0,7 m, L D = 4 m, L H = 1 m, h = 0,5 m, h = 0,3 m, h H = 1 m, a 1 = 0,5 m/s, a = 1 m/s (Erebnis: Kräfte auf Vorderräder des PKW zusammen: a 1,60kN ; b 1,5 kn, 1,31 kn ; c,5 kn, 13,19 kn ; Kräfte auf Hinterräder des PKW zusammen: a 8,43 kn ; b 8,476 kn ; c 7,778 kn ; Kräfte auf Räder des nhäners zusammen: a 3,679 kn ; b 3,741 kn ; c 3,554 kn ; Kräfte auf PKW in der Kupplun: a 1,6 kn ; b 0,50 kn, 1,164 kn ; c 0,5 kn, 1,351 kn ufabe : Die abebildete Seifenkiste hat zusammen mit dem Fahrer, aber ohne die vier Räder, das Gewicht G S. Die Räder haben jeweils das Gewicht G R, den 4. Kinetik des starren Körpers

2 Technische Mechanik Prof. Dr. Wandiner Radius r und den Träheitsradius i R bezülich ihres Mittelpunktes. a estimmen Sie die Geschwindikeit als Funktion des zurückeleten Wees, wenn die Räder ohne Gleiten rollen und der Luftwiderstand vernachlässit wird. Der zurückelete We wird ab dem Start aus dem Stand emessen. b Welche Geschwindikeit v 1 hat die Seifenkiste an der Stelle s 1? c Wie roß ist die eschleuniun a? Zahlenwerte: G S = 550 N, G R = 5 N, i R = 0,09 m, r = 0,15 m, α = 30, s 1 = 30 m (Erebnis: v 1 = 16,70 m/s; a = 0,4738 ufabe 3: Das abebildete Sstem besteht aus der reibunsfrei elenki elaerten Rolle 1 mit Radius r 1 und Massenträheitsmoment J 1 sowie der Rolle mit Radius r, Masse m und Massenträheitsmoment J. Über die Rolle läuft eine masseloses dehnstarres Seil, das von der Rolle 1 abespult wird und im Punkt D befestit ist. Das Seil haftet auf der Rolle. a Wie hänen die Winkeleschwindikeiten ω 1 und ω der beiden Rollen von der Geschwindikeit v ab, mit der sich die Rolle nach unten bewet? b Welche eziehun ilt für die Geschwindikeit v der Rolle in bhänikeit vom zurückeleten We s, wenn das Sstem aus der Ruhe loselassen wird? c Welche eziehun ilt für die eschleuniun a der Rolle? d Welche eziehunen elten für die Kräfte S und S D in den Seilabschnitten und D? m (Erebnis: ω 1 =v /r 1, ω =v /r ; v(s s ; = m +4 J 1 /r 1 +J /r m a= m +4 J 1 /r 1 +J / r J ; S =m 1 /r 1, m +4 J 1 / r 1 +J /r D α v r s r 1 m, J J 1 4. Kinetik des starren Körpers

3 Technische Mechanik Prof. Dr. Wandiner J S D =m 1 / r 1 +J /r m +4 J 1 / r 1 +J /r ufabe 4: Die beiden Rollen und sind reibunsfrei elenki elaert und durch einen dehnstarren Riemen verbunden, der auf den Rollen haftet. Die Rollen haben die Massenträheitsmomente J bzw. J bezülich ihrer Laer. Über den äußeren Umfan der Rolle verläuft ein dehnstarres Seil, an dem die beiden Massen m 1 und m befestit sind. Über den inneren Umfan der Rolle verläuft ein dehnstarres Seil, an dem die Massen m 3 und m 4 befestit sind. Die Seile und der Riemen sind masselos. a Geben Sie die Geschwindikeiten v, v 3 und v 4 der Massen bis 4 sowie die Winkeleschwindikeiten ω und ω der Rollen und in bhänikeit von der Geschwindikeit v 1 der Masse 1 an. b Ermitteln Sie die eschleuniunen a 1, a, a 3 und a 4 der Massen sowie die Winkelbeschleuniunen ω und ω der Rollen. c Ermitteln Sie die Seilkräfte S 1 bis S 4 in den Seilen, an denen die Massen hänen. Zahlenwerte: r 1 = 10 cm, r = 0 cm, r 3 = 15 cm, r 4 = 30 cm, m 1 = 60 k, m = 4 k, m 3 = 36 k, m 4 = 60 k, J = kcm, J = 7000 kcm (Erebnis: v = -v 1, v 3 = v 1 /4, v 4 = -v 3, ω = 5v 1 /m, ω = (5/3v 1 /m; a 1 = 0,, a = -0,, a 3 = 0,05, a 4 = -0,05, ω =9,81s, ω =3,7s ; S 1 = 470,9 N, S = 8,5 N, S 3 = 335,5 N, S 4 = 618,0 N ufabe 5: Die beiden homoenen Scheiben und (Masse m 1, Radius r rollen auf der Innenseite des feststehenden Hohlrads (Radius R ab. Sie sind durch die homoene dünne Stane (Masse m miteinander verbunden, an der sie reibunsfrei elenki befestit sind. r r 3 r 1 J m 1 m m 3 m 4 s 1 s s 3 r 4 J s 4 4. Kinetik des starren Körpers

4 Technische Mechanik Prof. Dr. Wandiner Die Stane ist fest mit der homoenen Scheibe (Masse m 1, Radius r verbunden, die im Punkt reibunsfrei elenki elaert ist. uf der Rolle ist ein masseloses dehnstarres Seil aufewickelt, an dem die Masse m 3 hänt. a Ermitteln Sie die Geschwindikeiten v und v der Punkte und sowie die Winkeleschwindikeiten ω und ω der Scheiben und sowie ω der Scheibe und der Stane in bhänikeit von der Geschwindikeit v 3 der Masse m 3. b Ermitteln Sie die Geschwindikeit v 3 der Masse m 3 in bhänikeit vom zurückeleten We s 3 für den Fall, dass das Sstem am nfan in Ruhe ist. c Ermitteln Sie die eschleuniun a 3 der Masse m 3. (Erebnis: a v = v = (R/r 1v 3, ω = ω = (R/r 1v 3 /r, ω = v 3 /r ; b v 3 = ufabe 6: m 3 s 3 m ; c a (7 m 1 /+m /3 (R /r 1 3 = 3 +m 3 ( 7 m 1 /+m /3( R/r 1 +m 3 Die beiden homoenen dünnen Stäbe und (Läne L, Masse m sind im Punkt elenki miteinander verbunden. Stab wird im Punkt durch ein Festlaer und Stab im Punkt durch ein Loslaer ehalten. a estimmen Sie die Winkelbeschleuniun ϕ in bhänikeit von ϕ und ϕ. Wie roß ist die Winkelbeschleuniun für = 90? b estimmen Sie die Koordinaten des Momentanpols des Stabs in r L m 1 R m m 1 r m m 1 m m 3 L r 4. Kinetik des starren Körpers

5 Technische Mechanik Prof. Dr. Wandiner bhänikeit vom Winkel (Rastpolbahn. (Erebnis: a ϕ= 3 sin( ϕ ϕ +( / Lsin (ϕ 1+3 cos (ϕ b Π = L sin (ϕ, Π = L cos(ϕ ufabe 7: Die Rolle (Massenträheitsmoment J ist im Punkt reibunsfrei elenki elaert. Im Punkt ist der masselose Stab elenki aneschlossen, der im Punkt durch ein Loslaer und eine lineare Feder mit der Federkonstanten c ehalten wird. In der Ruhelae ist die Feder entspannt. uf der Rolle ist ein masseloses dehnstarres Seil aufewickelt, an dem die Masse m befestit ist., ϕ(90 = 3 L ; a Ermitteln Sie unter der Voraussetzun kleiner Verschiebunen die Geschwindikeit v=ṡ der Masse m in bhänikeit vom We s, wenn das Sstem aus der Ruhelae loselassen wird. b estimmen Sie die kleinste uslenkun s min und die rößte uslenkun s ma. m s c (Erebnis: a v(s =ṡ= r sin (α+ϕ s R cos (ϕ ; b s min=0, m+j /R s ma = m c ufabe 8: R r cos (ϕ sin (α+ϕ Das abebildete Planetenetriebe besteht aus dem Hohlrad mit Innenradius r H, dem Sonnenrad mit Radius r S, drei Planetenrädern mit Radius r P sowie dem Planetenträer. Die Mittelpunkte der Planetenräder lieen auf einem Kreis mit Radius r T. m J R s r α L c 4. Kinetik des starren Körpers

6 Technische Mechanik Prof. Dr. Wandiner m Hohlrad reift das Moment M H, am Planetenträer das Moment M T und am Sonnenrad das Moment M S an. Winkeleschwindikeiten und Momente sind positiv im Geenuhrzeiersinn. Die Massenträheitsmomente von Hohlrad, Planetenrad, Planententräer und Sonnenrad werden mit J H, J P, J T und J S bezeichnet. Das Planetenrad hat die Masse m P. Wie roß ist die Winkelbeschleuniun ω H des Hohlrads? Hinweis: Der rbeitssatz führt hier nicht zum Ziel. Das uflösen der mit Schwerpunktsatz und Drallsatz ewonnenen Gleichunen nach der esuchten Winkelbeschleuniun erfordert etwas usdauer. (Erebnis: ω H = 1 r H ufabe 9: ( J 3 P r + J ( M S S + M T + M H P r S r S r T r + ( 3 m P+ J T H r + J ( M S H M S T r S r H r S 3 J P r P ( J H r H + J S r +4 J H S r H J S r + ( 3 m + J ( J T H P S r T r + J S H r +3 J P S r P Hohlrad, J H Planetenträer, J T Sonnenrad, J S Planetenrad, m P, J P Die beiden homoenen dünnen Stäbe und (Läne L, Masse m sind im Punkt elenki miteinander verbunden. Stab wird im Punkt durch ein Festlaer ehalten. Der Stab leitet im Punkt reibunsbehaftet in horizontaler Richtun (Reibunskoeffizient μ. Stellen Sie alle Gleichunen auf, die zur Ermittlun der Winkelbeschleuniun L m m μ ϕ(ϕ, ϕ benötit werden. L 4. Kinetik des starren Körpers

7 Technische Mechanik Prof. Dr. Wandiner ufabe 10: Die beiden Rollen und sind reibunsfrei elenki an eine masselose Stane aneschlossen, die fest mit dem starren Körper D verbunden ist. Die Rolle rollt auf der Innenseite und die Rolle auf der ußenseite eines feststehenden Rins ab. Die Stane ist im Punkt reibunsfrei elenki elaert. Die beiden Rollen haben jeweils die Masse m und das Massenträheitsmoment J=m r / bezülich der Punkte bzw.. Der starre Körper hat die Masse m und das Massenträheitsmoment J D = m r bezülich seinem Schwerpunkt, der sich im Punkt D befindet. a Geben Sie die Laeenerie und die kinetische Enerie für die Körper, und D in einer beliebien Lae an. Verwenden Sie dazu die Koordinaten, und D, die Geschwindikeiten v, v und v D sowie die Winkeleschwindikeiten ω, ω und ω D. Wählen Sie das Nullniveau für die Laeenerie bei = 0. b Geben Sie die Koordinaten, und D in bhänikeit vom Winkel sowie die Geschwindikeiten v, v und v D und die Winkeleschwindikeiten ω, ω und ω D in bhänikeit von der Winkeleschwindikeit ω= ϕ an. c Ermitteln Sie die Winkeleschwindikeit ω(ϕ für ω(ϕ 0 =0 mit 0 = 60. (HM, Prüfun SS 014 (Erebnis: a E G =m, E G =m, E D G = m D, E K = 1 m ( v + 1 r ω, E K = 1 m ( v + 1 r ω, E K D=m (v D +r ω D ; b (ϕ= r cos(ϕ, (ϕ=5r cos(ϕ, D (ϕ=8 r cos(ϕ, v = r ω, v =5 r ω, v D =8 r ω, ω = ω, ω =5ω, ω D =ω ; c ω(ϕ= cos(ϕ r 347 v ω r 5r 3r 4r 3r v D ω v D ω D 4. Kinetik des starren Körpers

8 Technische Mechanik Prof. Dr. Wandiner ufabe 11: Der Körper (Masse m leitet reibunsfrei auf einer senkrechten Stane. Der Körper (Masse m leitet reibunsbehaftet (Reibunskoeffizient μ auf dem waaerechten oden. Die Stane (Masse m, Massenträheitsmoment J bezülich Schwerpunkt S ist in den Gelenken und reibunsfrei elenki an die Körper bzw. aneschlossen. a estimmen Sie die Koordinaten П und П des Momentanpols der Stane im aneebenen Koordinatensstem, und eben Sie die Geschwindikeiten v, v S, v S und die Winkeleschwindikeit ω in bhänikeit von der Geschwindikeit v an. b Schneiden Sie die Körper und und die Stane frei und traen Sie alle anreifenden Kräfte ein. c Stellen Sie alle Gleichunen auf, die zusätzlich zu den kinematischen eziehunen aus a noch benötit werden, um die eschleuniun a = v zu ermitteln. Die Gleichunen müssen nicht aufelöst werden. (HM, Prüfun SS 014 m v a a m, J ω S m v ufabe 1: Die Kuel K (Masse m K liet auf der Schleuder S (Masse m S, Massenträheitsmoment J S bezülich Punkt, die im Punkt reibunsfrei elenki elaert ist. Die Schleuder ist über einen dehnstarren Riemen mit der im Punkt reibunsfrei elenki elaerten Rolle R (Massenträheitsmoment J R bezülich Punkt verbunden. Der Riemen haftet auf beiden Rollen. uf der Rolle R ist ein dehn- K S c s 0 v K a S S 4a s a z ω S ω R R a a W 4. Kinetik des starren Körpers

9 Technische Mechanik Prof. Dr. Wandiner starres Seil aufespult, das im Punkt mit einer Feder (Federkonstante c verbunden ist. In der darestellten Ruhelae hat die Feder die uslenkun s 0. a Welcher kinematische Zusammenhan besteht zwischen der Winkeleschwindikeit ω R der Rolle und der Winkeleschwindikeit ω S der Schleuder sowie zwischen dem Federwe s und dem Winkel? b Welche Geschwindikeit v K hat die Kuel, wenn die Schleuder bei dem Winkel = 45 estoppt wird? Die Kuel darf als Massenpunkt betrachtet werden. c Welcher Zusammenhan besteht zwischen der Koordinate W, bei der die Kuel auf dem oden aufkommt (z = 0, und der bwurfeschwindikeit v K? (Das Erebnis aus b muss nicht einesetzt werden. Hinweis: Verwenden Sie für Teilaufabe b den Enerieerhaltunssatz. Geeben: a, m K, m S, J S, J R, c, s 0 = aπ/8 (HM, Prüfun WS 014 (Erebnis: a ω R =ω S /, s=s 0 a ϕ/ ; b v K =4 a c a π /64 ( m K +m S a 16 m K a +J S +J R /4 c W = v ( K a a v K ; ufabe 13: Das abebildete Dreifachpendel besteht aus den Träern 1, und 3. Der Träer ist im Punkt elenki elaert. In den Punkten bzw. sind die Träer 1 bzw. elenki aneschlossen. Die Lae der Träer wird durch die eeüber der darestellten Lae positiv im Geenuhrzeiersinn emessenen Winkel 1, und 3 beschrieben. a a 1 3 a S 1 S 3 a estimmen Sie die Komponenten a 1, a 1 und a 3, a 3 der eschleuniunen der Schwerpunkte S 1 und S 3 der Träer 1 und 3 in bhänikeit von den Winkeln. b Stellen Sie alle kinetischen Gleichunen auf, die nöti sind, um die eweun des Sstems zu berechnen. 4. Kinetik des starren Körpers S 1 3 a

10 Technische Mechanik Prof. Dr. Wandiner c Ermitteln Sie die ekoppelten Differentialleichunen für die drei Winkel (anspruchsvoll!. Geeben: m 1 = m 3 = m, m = m, J S 1 = J S = mi 1, J = mi (Erebnis: a a 1 = a (cos(ϕ ϕ +sin(ϕ ϕ sin(ϕ 1 ϕ 1 +cos(ϕ 1 ϕ 1, a 1 = a (sin(ϕ ϕ cos(ϕ ϕ +cos(ϕ 1 ϕ 1 +sin(ϕ 1 ϕ 1, a 3 = a (cos(ϕ ϕ +sin(ϕ ϕ +sin(ϕ 1 ϕ 1 cos(ϕ 1 ϕ 1, a 3 = a (sin(ϕ ϕ cos(ϕ ϕ cos(ϕ 1 ϕ 1 sin(ϕ 1 ϕ 1 ; [ 4+i 1 /a 4 sin(ϕ ϕ 1 0 ][ ϕ1 4 sin(ϕ ϕ 1 8+ i /a 4 sin (ϕ 3 ϕ ϕ 3] 0 4 sin(ϕ 3 ϕ 4+i 1 / a ϕ c 0 cos(ϕ 1 ϕ 0 ϕ1 ϕ =4[ ] ϕ 3 ufabe 14: ][ cos(ϕ 1 ϕ 0 cos(ϕ ϕ 3 0 cos(ϕ ϕ 3 0 Ein homoener Zlinder (Masse m Z, Radius r liet auf einem Quader (Masse m Q. m Quader reift die Kraft F an. Der Reibunskoeffizient zwischen oden und Quader ist μ, der Haftunskoeffizient zwischen Quader und Zlinder ist μ 0. Es darf anenommen werden, dass zwischen Zlinder und Quader kein Gleiten auftritt. a Schneiden Sie die beiden Körper frei und stellen Sie alle kinetischen Gleichunen auf. a [sin (ϕ 1 sin (ϕ sin (ϕ 3 ] b Geben Sie die kinematische eziehun zwischen der Geschwindikeit v Q des Quaders, der Geschwindikeit v Z des Schwerpunkts des Zlinders und der Winkeleschwindikeit ω des Zlinders an. Wählen Sie die Winkeleschwindikeit des Zlinders positiv im Geenuhrzeiersinn. c estimmen Sie die eschleuniun a Z des Zlinders in bhänikeit von der eschleuniun a Q des Quaders. d estimmen Sie die eschleuniun a Q des Quaders. m Q m Z μ μ 0 r F 4. Kinetik des starren Körpers

11 Technische Mechanik Prof. Dr. Wandiner Geeben: m Z, r, m Q, F, μ, μ 0 (HM, Prüfun SS 015 (Erebnis: b v Z +ω r=v Q ; c a Z =a Q /3 ; d a Q = F μ (m Q +m Z m Q +m Z /3 4. Kinetik des starren Körpers