ERGEBNISSE TECHNISCHE MECHANIK III-IV

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1 ERGEBNISSE TECHNISCHE MECHANIK III-IV Lehrstuhl für Technische Mechanik, TU Kaiserslautern SS 213, Aufgabe: (TMIII) y C z x A ω B D b r a Im skizzierten System dreht sich die KurbelAB (Länger) mit konstanter Winkelgeschwindigkeitω und ist mit der Stange BC verbunden, welche ihrerseits im Punkt C mit der Stange CD verbunden ist. Der Kulissenstein (Punkt C) wird horizontal geführt. a) Skizzieren Sie in der Aufgabenstellung für die dargestellte Lage die Geschwindigkeitsvektoren in den PunktenB und C. Markieren Sie zudem den Momentanpol der StangeBC. Berechnen Sie für die dargestellte Lage b) die Geschwindigkeit v B und die Beschleunigung a B, c) die Geschwindigkeit v C und die Winkelgeschwindigkeit ω BC, d) die Beschleunigung a C und die Winkelbeschleunigung ω BC. Gegeben:a, b, r, ω

2 b) c) d) v B = ω r ω 2r a B = ω BC = r ω a v C = br ω a ω BC = ω 2 br2 a 3 a C = ω2 (r + r2 + br2 a a 3

3 2. Aufgabe: (TMIII) β r 2r s g α θ M r m,θ glatt m 45 x Das dargestellte System besteht aus einer Masse m, einer Stufenwalze (Radien r und 2r, Massenträgheitsmoment θ), zwei Umlenkrollen mit vernachlässigbarer Masse und einer homogenen zylindrischen Walze (Radius r, Masse m, Massenträgheitsmoment θ). Die Seile sind masselos und undehnbar. Die MasseM gleitet reibungsfrei auf der um 45 geneigten Ebene. a) Ermitteln Sie die kinematischen Beziehungen für α, β und ṡ in Abhängigkeit von ẋ. b) Ermitteln Sie die Beschleunigung ẍ der Masse m. Fertigen Sie dabei alle benötigten Freikörperbilder an. c) Wie groß muss die MasseM sein, damit das System in Ruhe bleibt. Gegeben:r, g,m, θ, für a) und b)m

4 a) α = ẋ r β = 2ẋ r ṡ = 4ẋ b) ẍ = 2mg 2 2Mg 2m+5 θ r 2 +16M c) M = m 2

5 3. Aufgabe: (TMIII) y ϕ v m,r g x H v = konst. Im Computerspiel Breakout soll eine Kugel beim Stoß mit einem Schlitten so beeinflusst werden, dass sie wie abgebildet gegen die Steine prallt. Für eine Analyse verwenden wir das folgende mechanische Modell: Die Kugel besitzt die Massem, den Radiusr und bewegt sich anfangs mit der Geschwindigkeitv in horizontaler Richtung ohne dabei zu rotieren (ω = ). Die Kugel fällt unter Einfluss der Erdbeschleunigungg (Luft)reibungsfrei nach unten und prallt schließlich auf den Schlitten, der sich während des Stoßes mit konstanter Geschwindigkeit v nach rechts bewegt. Die Kugel haftet während des Stoßes (Stoßzahl e), d.h. unmittelbar nach dem Stoß entspricht die Tangentialgeschwindigkeit der Kugel der Schlittengeschwindigkeitv. Ermitteln Sie a) die Geschwindigkeitenv x und v y der Kugel unmittelbar vor dem Stoß, b) die Geschwindigkeiten v x, v y sowie die Winkelgeschwindigkeit ω der Kugel unmittelbar nach dem Stoß, c) die Stoßkräfte ˆF x und ˆF y. Gegeben:H,r, m, v,v,g, e, ω =

6 a) v x = 2gH v y = v b) v x = e 2Hg v y = 2 7 v v ω = 5 7r (v +v ) c) ˆF x = m 2gH(1+e) ˆF y = 2 7 m(v +v )

7 4. Aufgabe: (TMIV) c 1 x g c T 2l m α bleibt immer lotrecht c 2 Der skizzierte homogene Balken (Massem, Länge2l) ist vertikal verschieblich gelagert und über eine reibungsfreie Umlenkrolle durch ein masseloses, stets gespanntes Seil mit einer Feder verbunden. Die Feder (Federsteifigkeit c 1 ) ist für x = entspannt. Am Lager des Balkens ist eine Drehfeder (Federsteifigkeit c T ) angebracht, und am anderen Ende ist der Balken durch eine immer lotrecht ausgerichtete Feder (Federsteifigkeit c 2 ) gestützt, welche fürx = undα = entspannt ist. Ermitteln Sie a) die potentielle EnergieE p (x,α) des Systems, b) die kinetische EnergieE k (x,ẋ,α, α) des Systems, c) die Bewegungsgleichungen des Systems mit den LAGRANGEschen Gleichungen 2. Art. Gegeben: l, m, g, c 1, c 2, c T

8 a) E p = mg(x 1 +lcosα)+ 1 2 c 1x c Tα c 2(x 1 2l(1 cosα)) 2 b) E k = 2 3 ml2 α 2 ml αẋ 1 sinα+ 1 2 mẋ2 1 c) 4 3 ml2 α 2 mlẍ 1 sinα+mglsinα c 2 2lsinα(x 1 2l+2lcosα)+c T α = mẍ 1 ml αsinα ml α 2 cosα mg +c 1 x 1 +c 2 (x 1 2l +2lcosα) =

9 5. Aufgabe: (TMIV) Stab: EA,h d g 2r x 1 ϕ r Rollen 3m,θ S x 2 m Das dargestellte schwingungsfähige System besteht aus einer vertikal verschiebbar gelagerten Stufenwalze (Massenträgheitsmoment θ S, Masse 3m, Radien r,2r), welche über eine Stab- und Dämpferkombination (Stab EA, h; Dämpfer d) befestigt ist. Die Stufenwalze rollt an der rechten Wand ohne zu gleiten ab. Eine Masse m ist über ein dehnstarres, masseloses Seil mit dem kleinen Radius der Stufenwalze verbunden. Der Masse m wird aus der statischen Ruhelage ϕ in Richtung x 2 mit einer Geschwindigkeitv ausgelenkt. Ermitteln Sie a) die Schwingungsdifferentialgleichung in Abhängigkeit vonϕ, b) die statische Auslenkungϕ des Systems aufgrund der Gewichtskräfte, c) die Stablängeh, so dass das System schwingfähig ist, d) die Lösungϕ(t) der Bewegungsgleichung bei einer schwachen Dämpfung. Gegeben: θ S, m, r, d, EA, h, g

10 a) ϕ+ 4r 2 d 4r 2 EA ϕ+ 21mr 2 +θ S h(21mr 2 +θ S ) ϕ = 9mgr 21mr 2 +θ S b) ϕ = 9mgh 4rEA c) h < EA(21mr2 +θ S ) r 2 d 2 d) ϕ(t) = e δt (ϕ cosω d t+ v +3rδϕ ω d 3r sinω d t)

11 6. Aufgabe: (TMIV) x E,A,m k 2l Der skizzierte Stab ist links eingespannt und rechts an eine Feder (Federsteifigkeit k) angeschlossen. Der Stab hat die Länge2l, die Massem, die QuerschnittsflächeAund den ElastizitätsmodulE. a) Geben Sie die Wellenausbreitungsgeschwindigkeitc und die ersten beiden Eigenfrequenzenω 1, ω 2 in Abhängigkeit der gegebenen Parameter für die Längsschwingung des Stabs ohne Feder an. b) Geben Sie die Randbedingungen des skizzierten Systems an. c) Ermitteln Sie die charakteristische Gleichung des Systems. d) Zeichnen Sie die beiden ersten Eigenfrequenzen des Stabs in die gegebene Abbildung unten ein. Gehen Sie dabei von folgender charakteristischen Gleichung aus: tanλ+ λ 3 = mit λ = ω c 2l tanλ 3 2 π π π 2 π 2 π 3 2 π 2π λ π 2 π 3 2 π Gegeben: E, A, m, l, k

12 a) c = 2lEA m 2lEA ω 1 = π 4l m ω 2 = = 3π 2lEA 4l m b) u(,t) = N(2l,t) = EAu (2l,t) = ku(2l,t) c) tan( ω c 2l)+ EA kc ω =