Abbildungen mit Brechzahländerung

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1 bbildungen mit Breczaländerung Moving Um ein Bild im gesamtmöglicen bbildungsraum zu bewegen (es vor unserem geistigen uge vorbeizieen zu lassen), ist es nac unserer biserigen, in Mikroprozessoren praktizierten uffassung nötig, jeden nscluß aller parallel ankommenden Übertragungsleitungen mit Multiplexer- Scaltungen an jeden möglicen Empfangsknoten zu scalten. Im eindimensionalen Raum scon fast nict mer vorstellbar, wird diese Vorstellung im zwei, drei, oder vierdimensionalen Raum vollkommen unrealistisc, und auc für biologisce Komplexitätsverältnisse absurd. llein im eindimensionalen Raum wären für ein ankommendes, direktes Parallelbild der uflösung von 1:500 und einer Bildfläce der Länge 5000 Raster zweieinalb Millionen Multiplexer nötig. Im Zweidimensionalen wären es bereits 6,25E12, im Dreidimensionalen 1,5625E19 und -soll das Lebewesen auc noc einen Sinn für Bewegung aben- im Vierdimensionalen 3,91E25 Multiplexer, die allein in der Näe des Sezentrums unterzubringen wären. Bei einem angenommenen Volumen eines Neurons von 125µm³ würde dieser Teil des Geirns 4,88km³ (Kubikkilometer) benötigen, und in wässriger usfürung fünf Gigatonnen wiegen. Der Widerspruc zwiscen Recnung und Realität sollte ein Grund sein, nac anderen Wirkprinzipien zu sucen. Steuerung neuronaler Verzögerungszeit Die nname, daß bei Neuronen, die als Übertragungsleitungen arbeiten, über das ktionspotential (Scwellpotential U s ) die Verzögerungszeit τ gesteuert werden kann τ = f(u s ) fürt zu einem effizienteren Verfaren der Bildversciebung. u(t) 0 mv absolute Refraktärpase Erregung relative Refraktärpase Folgeimpuls t Scwelle Refraktärpase am Neuron nac einer Erregung. J. Dudel in Scmidt, S.27, bb mv 0 2ms 5ms Durc Steuerung des Scwellenpotentials wird die usscüttung im Na + -, K + - System beeinflußt. Um eine kürzere, relative Refraktärpase zu eralten, muß das Neuron mit einer öeren 87

2 Reizscwelle erregt werden 38]. Entsprecend antwortet die Zelle bei variierendem Scwellpotential früer oder später mit einem Folgeimpuls. Die gemessene Funktion τ = f(u s ) kann auc anders interpretiert werden: Wenn das Scwellpotential durc eine Potentialveränderung unbekannter rt im Zellintergrund variiert wird, verändert sic die Verzögerungszeit des Neurons für einen Impuls mindestens um den Betrag, der durc die endlice Flankensteileit des Impulses vorgegeben wird. Vergleice dazu auc andere Messungen, zb. Scmidt 39], bb mv τ a 1 n -80 mv 0 0,5 s τ b 0 mv 4 n -80 mv 0 0,5 s Rytmisce Impulsgenerierung am Neuron, ausgelöst durc einen bei t = 0 beginnenden, konstanten Reizstrom I = 1 n bzw. I = 4 n. Nac Scmidt, S. 43, bb Tecnisce Ersatzscaltung Zur Veranscaulicung bildverändernder Eigenscaften nemen wir an, es steen ein die Verzögerungsfunktion des Neurons modellierende Scieberegler C bzw. DF mit einstellbarer Verzögerungszeit zur Verfügung. Eine ortogonal einfallende Wellenfront W wird entsprecend der Stellung der bgriffe B, E um einen entsprecenden Winkel ß gedret. Die Welle verläßt den Scieber je nac Stellung der bgriffe in Scrägstellung W oder W'. Der gesamte Bildraum wandert entsprecend mer zur einen, oder mer zur anderen Seite mit, symbolisiert durc die Bilder P' und P''. L R W B C F E D ' ' 2ß W' W'' L' R' P'' P' Die dargestellte Brückenscaltung at den Vorzug, differentiell die Nullpunktlage zu eralten. Die 38] Scmidt, R.F., Tews, G.: Pysiologie des Menscen. Springer-Verlag, 24. uflage ] Scmidt, R.F., Tews, G.: Pysiologie des Menscen. Springer-Verlag, 24. uflage

3 Versciebung ist proportional der Stellung der bgriffe B, E. Ist die Gesamtlaufzeit der Verzögerungsleitungen τ 1 bzw.τ 2, werden die Impulse um u l' = u l (t - τ 1 ) bzw. u r' = u r (t - τ 2 ) unter der Nebenbedingung τ = τ 1 + τ 2 verscoben. Wäre die Nullpunktversciebung one Belang, genügt eine Halbbrücke; die einstellbare Verzögerung einer Seite wird durc eine feste Verzögerung τ/2 ersetzt. Änlice Scaltungen werden in elektronisc steuerbaren Pased rray- ntennen verwandt 40]. Die Scaltung kann so ausgelegt werden, daß nur ein Leitbantyp eineitlicer usbreitungsgescwindigkeit benutzt werden muß. Zooming Im Gegensatz zur Stralrictungsbeeinflussung, bei der Parameter der Übertragungsleitung verändert werden, kann eine Vergrößerung bzw. Verkleinerung der bbildung über das Verältnis zwiscen Objektabtastrate und Bildabtastrate gesteuert werden. Zweckmäßigerweise wird die usbreitungsgescwindigkeit an den Komparatorleitbanen L, L' im Bildfeld geändert. Eine Verkürzung der Laufzeit der Impulse durc das Bildfeld at eine Vergrößerung der bbildung zur Folge. Ein Verlangsamung der usbreitungsgescwindigkeit ingegen bewirkt eine Verkleinerung. Das Größenverältnis der bbildungen oder der Maßstab / ' zwiscen Objekt und Bild wird in gleicen Zeiten über die Gescwindigkeitsrelation v / v' zwiscen beiden gesteuert. = v v In einem x = f(t) Diagramm kann die Bewegung der Impulsfronten verfolgt werden. L x L' t Von x 0 ausgeend bewegen sic entgegengesetzt zueinander die Impulse i und j. Die Bewegungsgescwindigkeit v eines beliebigen Impulses dx/dt ist identisc dem nstieg dy/dx im Diagramm bzw. dem Tangens des Scnittes mit der Zeitacse t. v 1 = dx = tanα dt Wärend der Zeit der usbreitung auf der Verbindungsleitban (bscnitt der Länge s) kommt kein x- Zuwacs zustande. uf der gegenüberliegenden Seite wandern die Impulse aufeinander zu. v 2 = dx = tanβ dt Das Verältnis der Bildgrößen x 1 /x 0 ist dargestellt mit grauen Pfeilen. Unter der Voraussetzung, daß versciedene Signale zwiscen Sender und Empfänger dieselbe Zeit 40] Baur, Erwin: Einfürung in die Radartecnik. B. G. Teubner Stuttgart, 1985 x 89

4 bis zur Wiederbegegnung benötigen, sind die von den Impulsen durclaufenen Streckenanteile in x- Rictung aus der Summe der vt- Produkte bestimmbar, wobei jedes v = dx/dt vorzeicenbeaftet ist. Σ x i v i = Σ x j v j =... = Σ xn = t 1 t 0 = n i j v n Das eigentlic interessierende Bildverältnis zweier Impulse x 1 /x 0 ist aus der Summe der in csenrictung x durclaufenen Streckenteile zu bestimmen. Σ v it i i Σ v j t j = x i j x j = = M G x α i s/v β x o s x 1 x o j t 1 t o t b x 1 M x s/v Eigentümlicerweise mact unser Sezentrum keinen Gebrauc von dieser einfacen Möglickeit des elektroniscen Zooming, wol aber ist es uns mit gesclossenen ugen möglic, Gegenstände eranzuolen, oder wegzuscieben; sie gedanklic zu bewegen. Potentialsteuerung des Interferenzortes (Interferenzabgleic) In den bscnitten Moving und Zooming atten wir bereits erkannt, daß die Steuerung der Laufgescwindigkeit von neuronalen Leitbanen Bedeutung für die gedanklice Versciebung, npassung und Bewegung von Interferenzbildern at. Sendet ein Neuron in einen n- dimensionalen Raum ein bestimmtes Reizmuster aus, dann ist die Warsceinlickeit dafür, daß bestimmte Neuronen, deren Erregung kurz unteralb der Reizscwelle liegt, erregt werden, oc. Kommt es zu einer, wie auc immer gearteten syncronisierten Erregung im Pulsveralten mererer Neuronen, so entsteen im Raum Gebiete verstärkter (Bäuce, Knoten) und abgescwäcter (Täler) Interferenz. us informatiscer Sict bilden die derart in Interferenz miteinander steenden Gebiete einen logiscen Verband, dessen Veralten noc zu untersucen sein wird. Das eißt, interferenziell miteinander kommunizierende Gebiete dieses Verbandes bilden die Grundlage logiscer Eineiten (Minsky 41] bezeicnet diese zb. 41] Minsky, Marvin: Mentopolis. Simon & Scuster Inc., New York 1985, 1986; dt. Übersetzung bei Klett- Cotta, Stuttgart,

5 auc als Ramen). Inaltlic wäre für diese logiscen Verbände oder Eineiten der Begriff des Wesens eines Begriffes (im Sinne von wesentlic) zutreffend. Offenbar sind alle Eigenscaften P' des Begriffes, die in irer endlicen Vielfalt und Dominanz den Begriff selbst ausmacen, als eine mer oder weniger starke interferenzielle Verknüpfung zum Rumpf X, Y der Information, zum Begriff selbst, zu seen. Egal, ob es sic beim Begriff um eine zeitlice bfolge, einen Gegenstand, oder eine Pilosopie andelt. Nun ist es möglic, daß der Ort von Synapsen eines Teilstückes der den Begriff repräsentierenden Neuronen geometrisc nict optimal mit Interferenz- Bäucen armoniert, der in ein gedanklices Puzzle passende Begriff liegt geometrisc nict im Zielgebiet einer Interferenz. Über das lokale Ruepotential kann die Erregungsscwelle eines Neurons verändert werden. In gewissem Maße wird durc Potentialänderungen gemäß der im bscnitt Moving getroffenen Feststellungen die Verzögerungszeit von Neuronen, die als Übertragungsleitungen wirken, beeinflussbar. Damit ist es möglic, über lokale Potentialvariationen gesucte Interferenzen auf gewünscte Details zu konzentrieren (im inaltlicen, wie im interferenziell- geometriscen Sinne): 'Wir denken nac'. Wir versucen durc Potentialvariationen im Pallium in der Näe des Begriffes liegende weitere, scwace Interferenzen aufzufinden. Diese passen konsequenterweise, aber nur möglicerweise zum Wesen des Begriffes. L X L' Y P' P E Interferenzabgleic. Die Verzögerungszeiten auf L, L' werden durc ein Potentialfeld E untersciedlic stark beeinflußt. Der Interferenzort wandert von P zu P' aus. Weiterin ist bekannt, daß sic am Pallium meßbare elektriscen Felder (sog. evozierte Potentiale) relativ langsam ändern. Glia- Zellen zeigen ein Speicerveralten, bei dem Vorgänge um ein bis zwei Größenordnungen langsamer ablaufen, verglicen zur Impulsbreite des Neurons. Über den Zeitraum von Sekunden ist es folglic möglic, einen durc Interferenz- Variation gesucten Begriff vor dem geistigen uge zu bealten. Hernac ist er u.u. genauso plötzlic verscwunden, wie er kam. Unser weiteres Nacdenken at die scwace Interferenz, die durc Leitgescwindigkeitsvariation von Dentriten und xonen sowie durc Scwellenveränderung der Neuronen künstlic verursact wurde - beides ausgelöst durc Potentialveränderungen - wieder verloren. Verzögerungslinsen Im Gegensatz zu optiscen Linsen, die zwingend zur Realisierung einer Vergrößerung oder Verkleinerung erforderlic sind, können diese Funktionen - wie oben dargestellt - in neuronalen Netzwerken über das Verältnis der usbreitungsgescwindigkeiten der Leitbanen gesteuert werden. Dennoc ersceint eine der Linsenfunktion adäquate Funktion diskussionswürdig. Sie wird zb. benötigt, wenn vergrößert /verkleinert werden soll, obwol die usbreitungsgescwindigkeiten von Objekt- und Bildraum gleicgroß sind. Änlic optiscen oder magnetiscen Linsen können mit 91

6 elektriscen Netzwerken analoge, dreidimensionale bbildungen realisiert werden, unäbängig davon, ob periodisce oder impulsförmige Erregungen verwandt werden. Es sind, vergleicbar zu Realisierungen von Mikrowellenantennen 42], zwei Realisierungsvarianten denkbar: als Verzögerungslinse, dadurc gekennzeicnet, daß die Linse mit relativ verzögernden Leitbanen gestaltet wird, als Bescleunigungslinse, die mit relativ scnelleren Leitbanen als Linsenelement ausgestattet ist. Zum Gebiet optiscer Linsen existieren umfangreicste teoretisce und praktisce Erkenntnisse 43], die ier nur insofern beleuctet werden, als sie interessante Eigenscaften aufweisen. Eine Linse bildet dreidimensionale Räume ab. Wir atten erkannt, daß für die bbildung einer Fläce mindestens 3 Speisepunkte erforderlic sind. Ein 3D- Bild einer Linse erfordert konsequenterweise mindestens einen zusätzlicen Speisepunkt. Die bbe'sce Vereinfacung eines Gaußscen oder Paraxialraumes mit Näerungen der rt sinß ß etc. wird bei folgenden Herleitungen für den acsfernen Raum vermieden, da vornemlic kurze, gedrungene Systeme zu bescreiben sind. Brennweiten im acsfernen Raum Für den Sonderfall acsenparallel einfallender Stralen entsteen spezielle Scnittweiten, die als Brennweiten f bzw. f' bezeicnet werden. Es wird davon ausgegangen, daß mindestens vier Speisepunkte M,Z1,Z2,Z3 zur Verfügung steen, davon zumindest einer axial. Die Herleitung get dem Gedanken nac, daß eine Verzögerungslinse zu entwickeln ist, die einen verzögerten Mittelpunktstral und mindestens drei Randstralen besitzt. Für Mittelpunkt- und Randstral werden die Laufzeiten ausgeglicen. Der Einfaceit alber wird angenommen, daß alle Speisepunkte in derselben Ebene liegen, und daß eine Verzögerung über eine Versclingung des Mittelpunktstrals erfolgt. Nac dem Satz des Pytagoras gilt für das Dreieck BF f = (f + df) 2 ls zutreffende Lösung der entsteenden quadratiscen Gleicung folgt df = f f f = ( df) df df f = f 2 2 f 1 Die Verzögerungszeit τ kann als positive Verzögerungszeit in eine Versclingung des Mittelpunktstrales (Verzögerungslinse), oder als negative Verzögerungszeit in einen über die usbreitungsgescwindigkeit bescleunigten Randstral (Bescleunigungslinse) eingerecnet werden. τ = df v = 1 v ( f f) In einer senkrect zur cse steenden Fläce mit den Punkten E,G,H entstet eine ebene 42] Zinke, O., Brunswig, H.: Lerbuc der Hocfrequenztecnik, Bd.1. Springer- Verlag, ] Pforte, H.: Feinoptiker. Verlag Tecnik Berlin,

7 Wellenfront, wenn das Erregungszentrum in F liegt, und umgekert: Passiert E,G,H eine ebene Wellenfront, wird F erregt. Die Gestaltung der Linse kann sowol der Minimalvariante a) wie auc einer erweiterten usfürung b) genügen. Zusätzlice Speisepunkte sind stattaft. uc ist es möglic, aus obiger Formel Verzögerungszeiten für im Radius /2 etc. angebracte Speisepunkte zu bestimmen. F B df C f τ E G Z1 Z1 Z4 M Z2 Z3 Z3 b) Besitzen die Leitbanen BE, G, DH eine niedrigere usbreitungsgescwindigkeit zu den Leitbanen FB, F, FD, so kann die Verzögerungszeit τ dadurc gescaffen werden, daß eine Verlängerung der Strecke G durc eine Verkürzung der Strecke F kompensiert wird (bei optiscen Linsen durc Wölbung der Oberfläce). Scnittweiten im acsfernen Raum D W Neben den bemerkenswerten bbe'scen Formeln für optisce Linsen, die vornemlic für einen acsnaen Raum gelten, ist es möglic, für den acsfernen Raum einige weitergeende Herleitungen vorzunemen, die one Näerungen im Vorfeld zustande kommen. H M Z2 a) WS s WF f ds df B ' B' df' ds' WF' s' f' WS' S F Eine außeralb der Brennweite f liegende Scnittweite s erzeugt in E,G,H eine gekrümmte Wellenfront WS. Die in den Leitbanen BB', ' entsteende Wellenfront (nict dargestellt) möge dann im Mittelstral um die Zeit dt gekrümmt sein. Dann kommt auf der anderen Seite der Linse eine bbildung an dem Punkt zustande, der seinerseits eine um -dt gekrümmte Front liefern würde. Die Differenz der bstände ds und df mact gerade die Verzögerung vdt aus. uf der gegenüberliegenden Seite der Linse muß der entsprecende bstand vdt wieder abgezogen werden. ds + vdt = df (i) ds vdt = df (ii) Die Objektscnittweite s wird durc die Brennweite f und eine Differenz ausgedrückt, ebenso die 93 ' S' ' F'

8 Differenz ds der Objektscnittweite im ußenstral. s = f + ds = (f + ) (f + ) Eingesetzt in (i) und (ii) kann die Bildscnittweite s' über ds' bestimmt werden. vdt = df ds = ( f f) ( (f + ) (f + )) ds = df + vdt = df + df ds = f f + f f ( (f + ) (f + )) ds = ( f f (f + ) ) + ( f ) s = ( ds ) ds Die Bildscnittweite s' ist folglic (im Gegensatz zur paraxialen Näerung der bbe'scen Invarianten) präzise d. one Näerung bestimmbar. Unter vereinfacenden nnamen etwa gleicer Brennweiten f, f', gleicer Speisepunktabstände, ' sowie der nname, Objekt- und Bildabstand liegen in der Größenordnung der Brennweite f = f ; = ; << f; << f kann vereinfact werden. Zunäcst gilt näerungsweise: 2 f (f + ) = (f ) Daraus folgt ein einfacerer usdruck für ds' (man Vergleice die Koeffizienten) ds = (f ) (f ) Der bstand des entsteenden Bildes s' verringert sic, wenn der bstand des Objektes s auf der anderen Seite vergrößert wird. s = f Nac weiteren Umformungen findet man eine Näerung, deren Braucbarkeit noc zu prüfen sein wird. f f = s s Das Produkt der Brennweiten beider Seiten f, f' ist etwa gleic groß dem Produkt der Bildweiten s, s'. Je näer die Scnittweiten an den Brennweiten liegen, desto scärfer ist die bbildung. Recnung im paraxialen Raum, Konkavlinse Es ist derzeit praktisc nict ganz klar, inwiefern die im folgenden zitierten Näerungen, die für sclanke, optisce Systeme inreicend genau gelten, für neuronale Netze braucbar sind. Eine Häufung von Leitungen mact den Paraxialraum der Optik für elektrisce Netzwerke wenig braucbar. Im Gegensatz zum optiscen Medium, bei dem das Verältnis von Scnittweiten zu Wellenlänge ser groß ist, stellt für Impulssysteme die Verkürzung der Impulsdauer bei gleiczeitiger Verminderung der usbreitungsgescwindigkeit ein Problem dar. Praktisc wird es so sein, das die 'albe Wellenlänge' d. die Impulsdauer etwa in der Größenordnung der usbreitungszeit der Welle liegt. Damit verbunden ist die praktisce Unmöglickeit, ser sclanke Systeme zu realisieren. Die vorangegangenen Betractungen des acsfernen Raumes sind aus diesem Grunde erforderlic. Dennoc zeigen die aus der Optik 94

9 bekannten acsna veranlagten Gleicungen 44] viele interessante Proportionen auf, sodaß nict darauf verzictet werden soll, zutreffende zumindest zu notieren. Wird durc alle Speisepunkte einer neuronalen Linsenanordnung eine Kugelfläce mit dem Radius r gelegt, sind sämtlice aus der Optik bekannten Herleitungen nutzbar. In Kurzform ier eine Wiedergabe allgemein bekannter optiscer Gleicungen, die für neuronale Netzwerke interessant sind, und die im Ursprung zumeist auf Snellius und bbe zurückgeen. S δ δ ϕ ε ϕ r ε' M δ' δ' S' n n' Unter Maßgabe eines acsnaen Raumes können Sinus und Tangens durc den Winkel im Bogenmaß eingesetzt werden, sin ß = β. Das Brecungsgesetz nimmt die Form an: n ε = n ε wenn n, n' die Breczalen, und ß, ß' die Winkel zum Einfallslot im Bogenmaß sind. Mit S = s, S' = s' sowie ε = ϕ δ; ε = ϕ δ ϕ= r ; δ= s ; δ = s entstet die bbe'sce Invariante für eine plankonvexe Linse, die in Originalform benutzt werden kann. n r n s = n r n s Die bbe'sce Invariante kann in modifizierter Form gescrieben werden: n s = n s + n n r ls Bestimmungsgleicungen für die Scnittweiten s und s' folgt: s = s = n n/s + (n n) /r n n /s (n n) /r Ein Bild ersceint um den bbildungsmaßstab m vergrößert, und seitenverkert. m = n s n s Die Brennpunkte f, f' entsteen als spezielle Scnittweiten für eine unendlic entfernte Scnittweite s, s' auf der jeweils anderen Seite. f = r n n n 44] Pforte, H.: Feinoptiker. Verlag Tecnik Berlin,

10 f = r n n n Das Verältnis aus Bild- und Objektbrennweite f, f' ist dem Verältnis der Breczalen n, n' proportional. f f = n n Werden Bild- und Objektbrennweiten f, f' subtraiert, folgt eine Gleicung zur Bestimmung des Krümmungsradius r der Speisepunktebene. f f = r Im Bild dargestellt ist ein Beispiel einer neuronalen Konvexlinse. Das Bild kommt ortogonal von links aus dem Unendlicen (parallele Leitbanen). Es wird auf den Bildscirm F' abgebildet. ls Brennweite ist unter Vernaclässigung der Linsenkrümmung r der bstand F' anzusetzen. Die Empfänger e befinden sic auf der Bildscirmebene F'. Die Leitbanen im grau gefärbten Bereic besitzen eine geringere usbreitungsgescwindigkeit und somit eine öere Breczal n als die im nict getönten Bereic n'. r n > n' e Neuronale Konvexlinse. F: Brennebene M: Krümmungsmittelpunkt n, n': Breczal, usbreitungsgescw. e: Empfänger (Neuron) M F' W Durc Kombination versciedener Krümmungsradien in versciedenen csenrictungen entstet eine komplex gewölbte Bildebene (astigmatisce bbildung). Ein Blick in die natomie 45] zeigt, daß Projektionsbanen, ssoziationsbanenen und Kommissurenbanen des Geirns anatomisce Änlickeiten zu dieser Darstellung aufweisen. Statt eines aprupten Breczalübergangs bzw. Gescwindigkeitswecsels wird ein kontinuierlicer Übergang zu erwarten sein, der zb. in einer allmälicen Reduktion des Faserdurcmessers um um einige Prozent bestet. Leider existiert für Nacweiszwecke praktisc kaum geeignete Experimentalpysik. 'Scarf Denken' wäre demnac vergleicbar zum 'scarf Seen'. Zuviel Sclaf könnte durcaus geeignet sein, die Leitgescwindigkeit einiger Banen zu verändern, und bbildungen zu 'entscärfen'. Recnung im paraxialen Raum, Konkavlinse Bei der konvex gekrümmten Ebene der Speisepunkte wurde stillscweigend vorausgesetzt, daß die usbreitungsgescwindigkeit im Innern der Kugelfläce n' geringer ist, als die usbreitungsgescwindigkeit n außeralb. 45] Lippert, H.: natomie, Text und tlas. Urban & Scwarzenberg, Müncen,

11 F' δ' ε v < v' n > n' Α ε' ϕ Μ Neuronale Konkavlinse. F: Brennebene M: Krümmungsmittelpunkt n, n': Breczal e: Empfänger (Neuron) Bei einer konkav gekrümmten Fläce liegt der dazu inverse Fall vor. Die Linse sammelt nict, sondern sie zerstreut. Die virtuellen Scnittweiten und Brennpunkte ersceinen, wie aus der Optik inreicend bekannt, auf der im Vergleic zur Konvexlinse anderen Seite. Die Berecnungsformeln der Konkavlinse gelten mit entsprecend geänderten Vorzeicen auc für die Konvexlinse. Die Konvexlinse liefert im Gegensatz zur Konkavlinse ein virtuelles Bild des Objekts. Wie im bscnitt Reflexion und Brecung besprocen, äneln sic Reflexion und Brecung neuronaler Systeme formelmäßig. Eine nwendung der Konvexlinse könnte bei brecender Reflexion in der Errictung eines rückwärts gelegenen Bildes auf F' besteen. Gekrümmte Leitbanen versciedener usbreitungsgescwindigkeit Durclaufen merere, zu einem Vorlagepunkt einer bbildung geörende Impulse auf dem Weg von der Vorlage P zum Projektionsscirm P' verscieden gekrümmte Leitbanen mit versciedener usbreitungsgescwindigkeit, so kommt an den Orten eine bbildung zustande, für die auf allen Wegen alle Quotienten τ = u i /v i (Segmentumfang dividiert durc Gescwindigkeit) identisc sind. τ 1 = τ 2 =... = τ n u i u 1 v 1 = u 2 v 2 =... = u n v n Daraus folgt mit u i = α i r i zunäcst noc keine Bezieung zum Verältnis zwiscen r i und v i der versciedenen Banen, da untersciedlic große Segmentwinkel α i zusammen wirken. Für kreisförmig gekrümmte Leitbanen der Radien r i und gleicer Senenlänge a veralten sic die Segmentumfänge u i mit α i /2 = arcsin a und u 2r i = α i πr i 180 i = α i r (α in Radianten) wie u i = 2r i arcsin a. 2r i Die Verzögerungszeiten auf allen Banen sind zum Entsteen einer bbildung gleic groß. r 1 v 1 arcsin a = r 2 2r 1 v 2 arcsin a 2r 2 =... = r n v n arcsin a 2r n 97 P P r i a/2 r 2 u 2 a a α i r 1 u 1 P' v = / 1 v 2 P'

12 Für scwace Krümmungen entstet mit lim (arcsin a ) = a r i 2r i 2r i Berecnung. Der Radius r i verscwindet aus der Gleicung. u 1 = u 2 =... = u i = a eine Näerung zur übersclägigen Diese Näerung zeigt bei einem Winkel α von 10 einen Feler von 0,1%; bei 20 von 0,6% und bei 30% von 1,5%. Für kleine Krümmungswinkel sind die Verzögerungszeiten der Bogen naezu identisc. bbildungen sind folglic erst bei deutlic versciedenen Krümmungen zu erwarten. Bezogen auf die usbreitung von Wellenfronten durc Krümmungen versciedenen Radius ist keine nennenswerte Beeinflußung der usrictung der Wellenfront bei kleinen α zu erwarten, die Frontrictung bleibt beim Passieren kleiner Krümmungen naezu eralten. 98