Abriss der Geometrischen Optik

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1 Abriss der Geometrischen Optik Rudolf Lehn Peter Breitfeld * Störck-Gymnasium Bad Saulgau 4. August 20 Inhaltsverzeichnis I Reflexionsprobleme 3 Reflexion des Lichts 3 2 Bilder am ebenen Spiegel 3 3 Gekrümmte Spiegel 3 3. Hohlspiegel Abbildungsgleichung Newtonsche Hohlspiegelgleichung Bildkonstruktionen am Hohlspiegel Wölbspiegel (Konvexspiegel) 6 II Brechung 8 4 Brechungsgesetz von Snellius 8 4. Brechung am Prisma Brechung des Lichts an einer Kugelfläche 9 5 Abbildung durch Linsen 0 5. Newtonsche Form der Linsengleichung Brechkraft von Linsen Abbildung durch ein Linsensystem 2 * phbrf@t-online.de

2 Inhaltsverzeichnis 6 Optische Instrumente 3 6. Allgemeine Bedeutung optischer Instrumente Vergrößerungszahl v eines Instruments Lupe Mikroskop Fernrohre Galileisches Fernrohr oder Holländisches Fernrohr Astronomisches oder Keplersches Fernrohr 6 2

3 Teil I Reflexionsprobleme. Reflexion des Lichts Einfallender Strahl, Einfallslot und reflektierter Strahl liegen in einer Ebene. Lot Einfallswinkel und Reflexionswinkel sind gleich groß. (α = β) Abb. Reflexion des Lichts 2. Bilder am ebenen Spiegel Spiegel Spiegel L O L P P Auge Abb. 2 Bild am ebenen Spiegel Anwendungen Mehrfachspiegelungen: Winkelspiegel, Spiegelsextant, Zentralspiegel = Rückstrahler. 3. Gekrümmte Spiegel Jedes kleine Flächenelement einer gekrümmten Spiegelfläche kann als ebener Spiegel betrachtet werden. Bei ihm gilt jeweils das Reflexionsgesetz. Man unterscheidet Hohlspiegel (=Konkavspiegel) und Wölbspiegel (=Konvexspiegel). 3

4 3 Gekrümmte Spiegel 3.. Hohlspiegel S: Scheitelpunkt; MS: Hauptachse MF = FA = MA 2 cos β = r 2 cos β Bei paraxialen Strahlen, d.h. Strahlen die nahe der optischen Achse verlaufen, ist cos β. Somit ist FS = f = r 2 Damit schneiden sich alle zur optischen Achse parallelen Paraxialstrahlen im Brennpunkt F. Abb. 3 Strahlenverlauf am Hohlspiegel 3.2. Abbildungsgleichung Abb. 4 Abbildungsgleichung beim Hohlspiegel Sinussatz: (vgl. Abb. 4) ΔGAM GM sin β = GA sin α MB ΔMBA sin β = BA sin α Für paraxiale Strahlen gilt: GM GA = MB BA GM = g r; GA g; MB r b g r g = r b b r g = r b 2 = r g + r b 2 r = g + b f=r/ g + b = f () 4

5 3.3 Newtonsche Hohlspiegelgleichung Bezeichnungen g: Gegenstandsweite; b: Bildweite; f: Brennweite; r: Krümmungsradius des Spiegels F einfallendes Licht Abb. 5 Vorzeichenregel beim Hohlspiegel Bei optischen Abbildungen ist es hilfreich, klare Vorzeichenregeln zu vereinbaren. Beim Hohlspiegel (vgl. Abb. 5) werden alle Größen, die auf der Seite des einfallenden Lichtes liegen, positiv gerechnet. Alle Größen, die auf der anderen Seite des Hohlspiegels liegen, werden negativ gerechnet. g, r, f sind somit bei Hohlspiegel immer positiv. Die Bildweite b kann positiv oder negativ sein Newtonsche Hohlspiegelgleichung Versteht man mit x den Abstand des Gegenstandpunktes G vom Brennpunkt F und mit x den Abstand des Bildpunktes B vom Brennpunkt F, so gilt g = x + f; b = x + f x x = f (2) 3.4. Bildkonstruktionen am Hohlspiegel Für paraxiale Strahlen gelten folgende einfache Regeln: Achsenparallele Strahlen werden zu Brennstrahlen und umgekehrt. Parallele Strahlen sammeln sich im Brennpunkt oder in einem Punkt der Brennebene. Mittelpunktstrahlen, d.h. Strahlen durch den Krümmungsmittelpunkt M werden in sich selbst zurückgeworfen. Vergrößerung: v = B B = b G G g = f b f = g f f v > 0 : umgekehrtes, reelles Bild v < 0 : aufrechtes, virtuelles Bild Diese Beziehung ermöglicht eine einfache Herleitung der Spiegelgleichung! (3) 5

6 3 Gekrümmte Spiegel G G M B B F f S g r b G B M F G S B Abb. 6 Bildkonstruktionen beim Hohlspiegel Experiment: Bestimme den Krümmungsradius eines Uhrglases! 3.5. Wölbspiegel (Konvexspiegel) einfallendes Licht Abb. 7 Vorzeichenregel beim Wölbspiegel Die Bezeichnungen für Scheitel, Brennpunkt usw. werden wie beim Hohlspiegel gehandhabt. vgl. Abbildung 8. Die Abbildungsgleichung lässt sich auf gleiche Weise mit Hilfe des Sinus-Satzes herleiten. 6

7 3.5 Wölbspiegel (Konvexspiegel) 2 G A 2 g G G g S B b B S f F r b f B F M r M Abb. 8 Abbildungsgleichung und Bildkonstruktion beim Wölbspiegel Vorzeichenregel: r und f sind beim Wölbspiegel negativ. Wird diese Vorzeichenregel beachtet, so gelten die Spiegelgleichungen auch für den Konvexspiegel! Aufgabe: Bestimme mit der Abbildung 8 die Abbildungsgleichung für den Wölbspiegel. 7

8 4 Brechungsgesetz von Snellius Teil II Brechung 4. Brechungsgesetz von Snellius Abb. 9 Brechungsgesetz sin α sin β = n n = n (4) n : relative Brechzahl des Mediums 2 in Bezug auf das Medium ist das Medium Vakuum bzw. Luft, dann schreibt man für n nur n n, n : absolute Brechzahlen (bzgl. Vakuum bzw. Luft) Das Medium ist optisch dichter als das Medium 2, wenn n > n. Das Medium ist optisch dünner als das Medium 2, wenn n < n. Beim Übergang vom optisch dünneren zum optisch dichteren Medium wird der Lichtstrahl zum Einfallslot hin gebrochen. Beim Übergang vom optisch dichteren ins optisch dünnere Medium findet eine Brechung vom Einfallslot weg statt. Überschreitet α im optisch dichteren Medium einen Grenzwinkel α g, so kommt es zur Totalreflexion. sin α g sin 90 = n n sin α g = n n (5) 4.. Brechung am Prisma ε: brechender Winkel ε = β + β δ: Gesamtablenkung δ = α - β + α - β = α + α - ε 8

9 4.2 Brechung des Lichts an einer Kugelfläche Abb. 0 Brechung am Prisma Bei symmetrischem Durchgang (α = α ) ist die Ablenkung δ minimal! (Beweis vgl. Bergmann-Schaefer Band III) δ = 2 (α β); ε = 2 β δ = 2α ε α = δ + ε 2 ; β = ε 2 ; sin α sin β = n sin δ+ε sin ε = n 4.2. Brechung des Lichts an einer Kugelfläche Vorzeichenregel Die Lichtrichtung ist von links nach rechts gerichtet. r > 0 bei nach außen gewölbter Krümmung (dem einfallenden Licht entgegengerichtet, konvex) r < 0 bei nach innen gewölbter Krümmung (konkav) Die Gegenstandsweite g und die Bildweite b werden stets vom Scheitel der Kugelfläche aus gezählt, und zwar g positiv nach links und b positiv nach rechts. Nach dem Sinussatz gelten folgende Beziehungen: (vgl.abb.) ΔGAM ΔBAM Brechungsgesetz: sin ψ sin(π α) = GA GM sin β sin(π ψ) = MB AB sin ψ sin α = GA GM sin β sin ψ = MB AB sin α sin β = n n n sin α = n sin β 9

10 5 Abbildung durch Linsen Abb. Brechung an einer Kugelfläche 5. Abbildung durch Linsen n GM sin ψ = n MB sin ψ (6) GA AB g + r b r n = n s s paraxiale Strahlen s g; s b g + r n = n g b r b n g + n b = n n r Sammellinsen sind - zumindest teilweise - in der Mitte dicker als am Rand (bikonvex, plankonvex). Zerstreuungslinsen sind - zumindest teilweise - in der Mitte dünner als am Rand (bikonkav, plankonkav). Mit der Abbildungsgleichung an Kugelflächen kann eine Abbildungsgleichung für Linsen hergeleitet werden. Abbildung durch die konvexe (erste) Kugelfläche g > 0; b > 0; r > 0; n = ; n = n g + n b = n n r b = n r g (7) Abbildung durch die konkave (zweite) Kugelfläche b ist jetzt die neue Gegenstandsweite, da bei einer dünnen Linse, das Bild der ersten Abbildung rechts von der zweiten Kugelfläche liegt r, wenn r > 0 ist. 0

11 Sammellinsen Zerstreuungslinsen bikonvex plankonvex bikonkav plankonkav Abb. 2 Linsentypen Licht A n = n = n r n = 2 r 2 B g b Abb. 3 Herleitung der Linsengleichung

12 5 Abbildung durch Linsen n b + b = n n r b = n r b (8) Aus diesen beiden Gleichungen folgt: Allgemein gilt n + r b = n r g n + n = r r g + b (n ) + = r r g + b = f f = n n r + r (0) (9) Da g + b = konstant ist, kann die Konstante aus g = ermittelt werden. g + b = f Hinweis: Die Formeln (9), (0) und () gelten auch für Zerstreuungslinsen, wenn die Vorzeichen entsprechend modifiziert werden (vgl. Vorzeichenregel). () 5.. Newtonsche Form der Linsengleichung Setzt man g = x + f und b = x + f, dann erhält man x x = f (2) 5.2. Brechkraft von Linsen D = bezeichnet man als Brechkraft einer Linse. f Einheit: [D] = Dioptrie = dptr Abbildung durch ein Linsensystem Lösungsweg:. Bestimme die Bildweite von L = f g + b b = f g g f 2. b < d g = d b g + b = f d b + b = f 2

13 G g L + L + 2 f 2 b d f B Abb. 4 System dünner Linsen mit d 0: b = f d f f g g f d f f g g f (3) (4) g + b = + f f (5) f = + f f (6) 3. b > d g = (b d) = d b Weitere Rechnung wie oben! Die Gleichung (6) gilt auch, wenn man eine Linse etwa durch einen Hohlspiegel ersetzt. 6. Optische Instrumente 6.. Allgemeine Bedeutung optischer Instrumente Ihre Aufgabe ist es, von den zu fernen oder zu kleinen Gegenständen deutliche Bilder in der deutlichen Sehweite und ausreichend großem Sehwinkel zu erzeugen. Der Sehwinkel, ist jener Winkel, unter dem ein Gegenstand vom Auge gesehen wird. Deutliche Sehweite s = 25 cm Vergrößerungszahl v eines Instruments ψ = Sehwinkel mit Instrument φ = Sehwinkel ohne Instrument v = tan ψ tan φ (7) 6.3. Lupe Der Gegenstand liegt innerhalb der einfachen Brennweite. Es entsteht ein aufrechtes, virtuelles Bild. 3

14 6 Optische Instrumente Abb. 5 Lupe Vergrößerungszahl tan ψ = BB ; tan φ = BC b b v = tan ψ tan φ = BB BC = BB = b GG g (8) Mit Hilfe der Linsengleichung f = g + b folgt mit b = b Für die deutliche Sehweite b = s = 25 cm gilt v = b f + (9) v = s f + = 25 f + f s 25 f (f in cm) (20) 6.4. Mikroskop Das Mikroskop besteht im Prinzip aus zwei Sammellinsen, dem Objektiv L und dem Okular L, deren Abstand voneinander wesentlich größer als die Summe ihrer Brennweiten f und f ist. Den Abstand der benachbarten Brennpunkte von Objektiv und Okular bezeichnet man als optische Tubuslänge Δ. Der zu betrachtende Gegenstand liegt dicht vor dem Brennpunkt F des Objektives L. Dieses erzeugt ein umgekehrtes, reelles Zwischenbild B B innerhalb der einfachen Brennweite des Okulars L. Dieses Zwischenbild wird mit dem Okular L als Lupe betrachtet. In guter Näherung kann man das Bild A des Mikroskops im Zentrum des Okulars (A O ) und das Zwischenbild B B im Brennpunkt des Okulars annehmen. 4

15 6.4 Mikroskop L 2 L l f f 2 G G 2 f B O O 2 A f 2 A B 2 C G 2 2 G s A Abb. 6 Mikroskop Somit gilt: Daraus folgt für die Vergrößerung tan ψ B B und tan φ G G f s v = B B s f G G Der Strahlensatz liefert die Beziehung: B B f G G g Die Linsengleichung für das Objektiv L liefert: g + = g = f (l f ) l f f Δ Damit gilt für die Vergrößerung des Mikroskops: v = tan ψ tan φ = s Δ (2) f f 5

16 6 Optische Instrumente 6.5. Fernrohre Sie sollen ferne Gegenstände unter größeren Sehwinkeln erscheinen lassen, als sie mit dem freien Auge erblickt werden. Da die von sehr fernen Gegenständen kommenden Strahlen annähernd parallel ins Auge fallen, werden sie ohne Akkomodation des Auges zu einem Bild auf der Netzhaut vereinigt. Die parallel ins Fernrohr einfallenden Strahlen müssen dieses auch wieder parallel verlassen, damit das Auge ebenfalls nicht zu akkomodieren braucht. Dies wird erreicht, indem man den hinteren Brennpunkt des Objektives mit dem vorderen Brennpunkt des Okulars zusammenfallen lässt Galileisches Fernrohr oder Holländisches Fernrohr Objektiv: Sammellinse; Okular: Zerstreuungslinse C l = f f 2 f2 = L O 2 L O 2 f 2 B D Abb. 7 GalileiFernrohr tan ψ = BF F O ; tan φ = BF F O v = tan ψ tan φ = F O = l + f = f F O f f Da f < 0 ist, ergibt sich für v ein negativer Wert. (22) Astronomisches oder Keplersches Fernrohr Objektiv: langbrennweitige Sammellinse; Okular: kurzbrennweitige Sammellinse tan ψ = CO b tan φ = CO f + f 6

17 6.5 Fernrohre l = f + f 2 O f O 2 2 f b C L L 2 Abb. 8 KeplerFernrohr A ist ein durch das Okular entworfenes Bild von O. Damit ergibt sich mit der Linsengleichung: f + f + b = f b = f f (f + f ) v = f f (v > 0) (23) Hinweis: werden! Der Sehwinkel zum Gegenstand muss immer vom Ort des Auges aus gemessen Einfachere Herleitung: Da das Zwischenbild in der Brennebene von L entsteht, kann das Auge näherungsweise nach O gelegt werden. tan ψ = F B und tan φ = F B tan ψ v = f f tan φ = f f 7