Bestimmung der Brennweite dünner Linsen mit Hilfe der Linsenformel Versuchsprotokoll

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1 Bestimmung der Brennweite dünner Linsen mit Hilfe der Linsenformel Tobias Krähling Homepage: <www.semibyte.de> Version:. Inhaltsverzeichnis. Aufgabenstellung Grundlagen Geräteliste Versuchsaufbau Arbeitsanweisung Meßprotokoll Kennlinie Berechnung der Ergebnisse mathematische Berechnung Gegenstandsweite Bildweite Brennweite Brechwert Berechnung der Mittelwerte für f und D graphische Ermittlung Brechwert Brennweite Fehlerabschätzung mathematische Berechnung graphische Ermittlung Brechwert Brennweite Endergebnis

2 . Aufgabenstellung Bestimmung der Brennweite dünner Linsen mit Hilfe der Linsenformel.. Grundlagen Das optische Verhalten einer Linse oder eines Linsensystems wird bestimmt durch die Brennweite und die Lage der Hauptebenen. Bei dünnen Linsen fallen die beiden Hauptebenen praktisch zusammen. Zwischen der Gegenstandsweite, dem Abstand Gegenstand Hauptebene, der Bildweite, dem Abstand Bild Hauptebene und der Brennweite, dem Abstand Brennpunkt Hauptebene, besteht die Linsengleichung: f = g + b Durch Messung von Gegenstands- und Bildweite kann mit Hilfe der Linsenformel die Brennweite ermittelt werden. Den Kehrwert der Brennweite f bezeichnet man als Brechwert D der Linse: D = f mit der Einheit Dioptrie dpt) = m 3. Geräteliste Dia als Gegenstand optische Bank Lampe Mattscheibe untersuchter Gegenstand Linsensystem aus Linsen Sammellinse)

3 4. Versuchsaufbau g b G F F f f B 5. Arbeitsanweisung Wir stellen die zu untersuchende Linse zwischen den Gegenstand und Schirm auf die optische Bank, justieren die einzelnen Elemente auf eine Ebene und verschieben die Linse so lange, bis auf dem Schirm ein scharfes Bild des Gegenstandes erscheint. Die Schärfe des Bildes erkennt man an folgendem Kriterium: Befindet sich der Schirm zu weit von der Linse entfernt, dann hat das aufgefangene Bild einen bläulichen Saum, ohne dabei merklich unscharf zu sein; ist der Schirm zu nahe an der Linse, so hat das Bild einen rötlichen Saum. Zwischen beiden Stellungen liegt die wahre Bildweite. Da es sich hier um ein Linsensystem handelt und die Linse sich nicht mittig in der Halterung befindet, muß die Linse um 80 gedreht werden horizontal) und ein zweites Mal g und b bestimmt werden. Die Messungen werden mehrmals bei verschiedenen Abständen durchgeführt und in eine Tabelle eingetragen, eine Fehlerrechnung ist durchzführen. Zur Prüfung der Genauigkeit der Messung und zur graphischen Ermittlung von f und D ist eine Kennlinie des Linsensystems in der Form y = ; x = ; f = g b ; g b g+b D = x + y; hierfür ist eine Fehlerrechnung durchzuführen. 3

4 6. Meßprotokoll i r mm] r mm] r 3 mm] r 4 mm] g mm] b mm] f mm] D dpt] , , , , , , , , , , , , , , ,46 Legende i: laufende Nummer der Messung r :. Gegenstandsweite in mm r :. Bildweite in mm r 3 :. Gegenstandsweite in mm r 4 :. Bildweite in mm g: mittlere Gegenstandsweite aus r und r 3 in mm b: mittlere Bildweite aus r und r 4 in mm f : Brennweite des Linsensystems in mm D: Brechwert des Linsensystems in dpt 4

5 7. Kennlinie 8. Berechnung der Ergebnisse 8. mathematische Berechnung 8.. Gegenstandsweite Die mittlere Gegenstandsweite ergibt sich aus dem Mittelwert der beiden Gegenstandsweiten. g i = ) r,i + r 3,i Beispielrechnung für i : g = ) r, + r 3, = 0 mm + 3 mm) = mm 8.. Bildweite Die mittlere Bildweite ergibt sich aus dem Mittelwert der beiden Bildweiten. b i = ) r,i + r 4,i 5

6 Beispielrechnung für i : b = ) r, + r 4, = 8 mm + 03 mm) = 6 mm 8..3 Brennweite Die Brennweite wird über die Linsengleichung berechnet. f i = + ) g i b i Beispielrechnung für i : f = + ) g b = mm + 6 mm = 8 mm 8..4 Brechwert Der Brechwert ist der reziproge Wert der Brennweite. ) D i = f i = + g i b i ) = + r,i + r 3,i r,i + r 4,i Beispielrechnung für i : ) D = + r, + r 3, r, + r 4, ) = 0 mm + 3 mm + 8 mm + 03 mm = 5, 54 dpt 8..5 Berechnung der Mittelwerte für f und D Brennweite: Brechwert: f = n D = n n n f i = 5 D i = f i = 83 mm D i = 5, 49 dpt 6

7 8. graphische Ermittlung 8.. Brechwert b =, 00 m g = 4, 48 m D = b + g =, 00 m + 4, 48 m = 5, 48 dpt 8.. Brennweite f = g b g + b ] ] g b = g ] + b ] 4, 48 m ], 00 m ] = 4, 48 m ] +, 00 m ] = 0, 8 m 9. Fehlerabschätzung 9. mathematische Berechnung Die Abweichung der einzelnen Meßwerte vom Mittelwert beträgt: und für die Standardabweichung δ i = x i x n n s = ± δ n i ) = ± x i x) n ) Die»statistische Sicherheit«Wahrscheinlichkeit) S% wird mit S% = 99% gewählt, so daß zur Standardabweichung noch ein Faktor für S% = 99% k =, 58) multipliziert werden muß. σ = ±s k Die relative Standardabweichung beträgt somit V = ± 00% σ x 7

8 Berechnete Werte für Brennweite und Brechwert S σ V Brennweite ±0, 743 ±, 97 ±% Brechwert ±, 97 0 ±0, ±% 9. graphische Ermittlung b =, 00 m g = 4, 48 m b = mm, das entspricht 0, 0 m g = mm, das entspricht 0, 0 m 9.. Brechwert 9.. Brennweite D max = b + b + g + g D max =, 00 m + 0, 0 m + 4, 48 m + 0, 0 m D max = 5, 5 dpt D min = b b + g g D min =, 00 m + 0, 0 m + 4, 48 m + 0, 0 m D min = 5, 45 dpt D = ± D max D min ) D = ±0, 03 dpt D = ±0, 5% D g g ] b b ] f max = g + g ] b + b ] = 0, 87 m g + g ] b + b ] f min = g g ] b b ] = 0, 78 m f = ± ) fmax f min = ±0, 005 m f f = ±% 8

9 0. Endergebnis Mit einer»statistischen Sicherheit«von S% = 99% k =, 58) beträgt die Brennweite des Linsensystems beim mathematischen Lösungsverfahren f = 83 mm + %) und hat einen Brechwert von D = 5, 49 dpt + %). Beim graphischen Lösungsverfahren ergab sich eine Brennweite von f = 8 mm + %) und ein Brechwert von D = 5, 48 dpt + 0, 5%). Liste der Versionen Version Datum Bearbeiter Bemerkung Bri Versuchsdurchführung Bri Protokollerstellung Bri Erster EDV-Satz des Protokolls Krä Satz des Protokolls in L A T E X 9

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