Versuch 50. Brennweite von Linsen

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1 Physikalisches Praktikum für Anfänger Versuch 50 Brennweite von Linsen Aufgabe Bestimmung der Brennweite durch die Bessel-Methode, durch Messung von Gegenstandsweite und Bildweite, durch Messung des Vergrößerungsmaßstabs Vorkenntnisse Brechungsgesetz von Snellius Prisma Abbildung durch Linsen Brennweite in Abhängigkeit der Form von Linsen Linsensysteme Hauptebenen H-U M, 25. Juli 2002

2 Grundlagen Linsen bestehen aus lichtdurchlässigen Gläsern oder Kunsstoffen mit sphärischen oder zylindrischen Oberflächen. Man unterscheidet konvexe Oberflächen, bei denen der Abstand von der Mittelebene entlang der optischen Achse größer ist als am Rand, sie haben fokussierende Wirkung und sind typisch für Sammellinsen: und konkave Oberflächen, bei denen der Abstand von der Mittelebene auf der optischen Achse kleiner ist als am Rand, sie haben defokussierende Wirkung und werden bei Zerstreuungslinsen benutzt.. Brechung von Licht Die Grundlage der geometrischen Strahlenoptik bildet das Snelliussche Brechungsgesetz. Es be- α β n n 2 Abbildung : Zum Snelliusschen Brechungsgesetz beim Übergang von Licht zwischen zwei Medien mit n <n 2 schreibt die Ablenkung von Licht beim Übergang zwischen zwei Medien mit unterschiedlichen Brechungsindizes n und n 2 n sin α = n 2 sin β, () wobei die Winkel α und β gegen das Lot der Trennfläche gemessen werden. Ursache dafür ist die unterschiedliche Ausbreitungsgeschwindigkeit des Lichts in Medien. Der Brechungsindex (oder die Brechzahl) eines Stoffes wir definiert über die reduzierte Lichtgeschwindigkeit gegenüber Vakuum v = c/n, für Vakuum gilt daher n 0 =. Abb. zeigt den Übergang eines Lichtstrahls von einem optisch dünneren in ein optisch dichteres Medium, also n <n 2 und damit v >v 2 und α>β. Der Brechungsindex von Luft ist in genügender Genauigkeit n L =, während Gläser typische Werte von n =, 4, 8 haben. Der Strahlengang von Licht durch eine Linse kann ähnlich wie beim Prisma konstruiert werden, siehe Versuch 52. So kann z.b. eine Sammellinse durch eine Vielzahl von Prismen mit kontinuierlich veränderlichen brechendenden Winkeln dargestellt werden..2 Abbildung durch brechende Kugelflächen Wir betrachten zunächst die Abbildung an einer Kugelfläche mit dem Radius R, die zwei homogene Medien der Brechungsindizes n und n 2 trennt. Die Geometrie und relevanten Größen, Abstände und Winkel sind in Abb. 2 dargestellt. Das Objekt A im Abstand der Gegenstandsweite a wird in das Bild B im Abstand der Bildweite b abgebildet. Der betrachtete Lichtstrahl gehe durch den Punkt P. Es wird weiterhin vorausgesetzt, wie in der Optik häufig üblich, daß mit

3 Abbildung 2: Abbildung an einer Kugelfläche achsennahen (paraxialen) Strahlen gearbeitet werden kann, die auftretenden Brechungswinkel also klein sind. Dann kann das Brechungsgesetz genähert werden durch Mit α = δ + ε und β = δ = γ ergibt sich aus Abb. 2 n α n 2 β. (2) n (δ + ε) n 2 (δ = γ). (3) Die auftretenden (kleinen) Winkel können durch den Krümmungsradius, sowie Gegenstandsweite und Bildweite ausgedrückt werden R δ b γ a ε, (4) so daß man schließlich die Abbildungsgleichung einer brechenden Kugelfläche erhält n a + n 2 b = n 2 n. (5) R Diese Relation enthält zwei wichtige Sonderfälle. Liegt das Objekt A im Unendlichen, d.h. a, so wird das einfallende parallele Licht per Definition im Brennpunkt vereinigt. Es gilt also b = f 2 und man erhält für die bildseitige Brennweite ( ) n2 f 2 = R. (6) n 2 n Analog kann man den Strahlengang umkehren und das Bild B ins Unendliche verlegen (b ), so daß Gegenstandsweite a und Brennweite f zusammenfallen. Einsetzten in Gl. (5) ergibt für die objektseitige Brennweite ( ) n f = R. (7) n n 2 Man beachte, daß f < 0 für n 2 >n, d.h. die objektseitige Brennweite wird negativ (siehe folgenden Absatz.3 zur Vorzeichenkonvention). Ausgedrückt durch die Brennweiten, Gegenstands- und Bildweite hat man damit als Abbildungsgleichung einer sphärischen Fläche n a + n 2 b = n 2 = n. (8) f 2 f 2

4 .3 Abbildung durch dünne Linsen Eine Linse hat zwei Grenzflächen und es soll die Brechung an beiden sphärischen Fläche betrachtet werden, so wie in Abb. 3 dargestellt. Als umgebendes Medium wird Luft angenommen, für die Brechungsindizes wird daher n =und n 2 = n gesetzt. Wichtig ist die Vorzeichenkonvention für die Krümmungsradien der beiden Oberflächen. Man definiert R als positiv, wenn der Krümmungsmittelpunkt auf der dem abzubildenden Objekt abgewandten Seite der Grenzfläche liegt, und entsprechend ist R negativ, wenn der Mittelpunkt auf der Objektseite liegt. So gilt für die Kugelfläche in Abb. 2 R>0 und für die Linse in Abb. 3 ist R > 0 und R 2 < 0. Abbildung 3: Konstruktion der Abbildung durch eine Linse. Strahlengang und Bezeichnung der charakteristischen Größen und Abstände Es wird eine dünne Linse betrachtet als idealisierte reale Linse, bei der der maximale Abstand beider Oberflächen sehr klein gegenüber der Brennweite ist, also O O 2 = d f gilt. Die gesamte Abbildung des Objekts A in das Bild B kann als zwei sukzessive Abbildungen durch die beiden sphärischen Flächen aufgefaßt werden. Die erste Grenzfläche ergibt mit Gl. (5) a + n b = n R. (9) Der Punkt A würde also in den Bildpunkt B abgebildet, dies entspricht der Situation aus Abschnitt.2. Unter Umkehrung dieses hypothetischen Strahlengangs kann nun B als Objekt angesehen werden, das durch die Grenzfläche 2 abgebildet erden soll. Dies führt zu den punktierten, divergierenden Strahlen, die sich in der Bildebene im wirklichen Bildpunkt B schneiden. Einem Beobachter in B erscheint es, als kämen die Strahlen von B und B. Gl. (5) ergibt dann für die 3

5 zweite Abbildung mit n = n und a 2 = (b d), sowie R = R 2 n b d + b 2 = n R 2. (0) Die Addition von Gl. (9) und Gl. (0) sowie die Einführung der Gegenstandsweite a = a +d/2 und der Bildweite b = b 2 + d/2 gemessen zur Linsenmitte ergibt die Linsengleichung oder Abbildungsgleichung für dünne Linsen a + b = f ( =(n ) ). () R R 2 Der zweite Teil der Relation zwischen der Brennweite und den beiden Krümmungsradien wird auch als Linsenschleifergleichung bezeichnet. Die Größe D =/f wird Brechkraft einer Linse oder Linsenstärke genannt, mit der Einheit m = Dioptrie. Die geometrische Konstruktion des Strahlengangs ist in Abb. 4 dargestellt. Die dünne Linse wird durch eine Hauptebene dargestellt, an der die Brechung stattfindet. Ausgehend vom Objekt A wird der Strahl parallel zur optischen Achse bis zur Hauptebene und dann abgelenkt durch den Brennpunkt F 2 gezeichnet. Ein zweiter Strahl 2 geht ungebrochen durch den Mittelpunkt der Linse und schneidet den ersten Strahl im Bildpunkt B. Die Symmetrie der Abbildung erfordert, daß der Strahl 3 durch den Brennpunkt F läuft, bevor er hinter der Mittelebene achsenparallel ebenfalls auf den Bildpunkt B trifft. Abbildung 4: Geometrische Konstruktion der Abbildung durch eine dünne Sammellinse Die Lateralvergrößerung oder der Abbildungsmaßstab ist definiert als das Verhältnis von Bildgröße B zu Gegenstandsgröße A, gemessen senkrecht zur optischen Achse. Aus Abb. 4 erhält man unter Anwendung des Strahlensatzes M = B A = b a = f f a. (2) Bei einer negativen Vergrößerung M<0 steht das Bild auf dem Kopf. Das ist bei Sammellinsen immer der Fall für reelle Bilder, wenn das Objekt außerhalb der Brennweite steht (a >f). Für a =2f wird M =, Bild und Gegenstand sind gleich groß. Nähert man das Objekt der Brennebene, a f, so wächst die Vergrößerung an und das Bild wandert ins Unendliche. Stellt man das Objekt nahe an die Linse innerhalb der Brennweite (a <f), so erhält man eine virtuelle Abbildung mit M>. 4

6 .4 Dicke Linsen Die in den vorigen Abschnitten.2 und.3 beschriebenen Verfahren lassen sich auch auf komplexere optische Systeme anwenden. Jedoch werden quantitative Aussagen unzuverlässig, sobald die Näherung dünner Linsen (d f) und paraxialer Strahlen nicht mehr gültig ist. Dies ist z.b. der Fall bei einer dicken Linse, dargestellt in Abb. 5. Es läßt sich zeigen, daß die Abbildung Abbildung 5: Strahlenkonstruktion der Abbildung durch eine dicke Linse durch eine dicke Linse durch Brechungen an zwei Hauptebenen H und H 2 beschrieben werden kann, die dann in völliger Analogie zur dünnen Linse behandelt werden können. Die Konstruktion des Strahlengangs erfolgt auf der Objektseite zwischen Gegenstand und Hauptebene H und auf der Bildseite zwischen Hauptebene H 2 und dem Bild B. Der Strahlengang zwischen den Hauptebenen wird durch eine Parallelverschiebung beschrieben. Die Abbildungsgleichung bleibt gültig, sofern die Gegenstandsweite a von der Hauptebene H aus gemessen wird und die Bildweite b von der zweiten Hauptebene H 2. Die Lage der Hauptebenen und die resultierende Brennweite lassen sich aus der Geometrie und dem Brechungsindex der Linse berechnen. Eine dicke Linse läßt sich also als System zweier dünner Linsen betrachten..5 Linsensysteme Eine Einzellinse kann prinzipiell keine perfekte Abbildung erzeugen, es werden immer Linsenfehler auftreten. Das liegt z.b. an der verwendeten Näherung für achsennahe Strahlen und an den Dispersionseigenschaften von Gläsern. Sphärische Aberrationen enstehen dadurch, daß Strahlen am achsenfernen Rand einer Kugelfläche stärker gebrochen werden als achsennahe Strahlen. Das hat zur Folge, daß die zugehörige Brennweite vom radialen Abstand des Lichtstrahls abhängt und die Abbildung daher unscharf wird. Chromatische Aberrationen oder Farbfehler haben ihre Ursache in der Abhängigkeit des Brechungsindex von der Wellenlänge des Lichts n = n(λ). Die gebräuchlichen Materialien für Linsen weisen im sichtbaren Spektralbereich normale Dispersion auf, d.h. rotes Licht hat einen kleineren Brechungsindex als blaues Licht. Damit hat bei einer Sammellinse rotes Licht eine größere Brennweite als blaues Licht. Als Konsequenz entstehen die durch verschiedene Farben erzeugten Bilder bei unterschiedlichen Bildweiten und haben auch noch unterschiedliche Größe. Um Linsenfehler so gut wie möglich zu kompensieren, bestehen hochwertige optische Instrumente wie Fernrohre, Mikroskope und Kameraobjektive aus Systemen von mehreren Linsen. Als einfaches Beispiel sei hier die Kombination zweier dünner Linsen mit den Brennweiten 5

7 f und f 2 angegeben. Die Brennweite f des Gesamtsystems ist dann f = + d, (3) f f 2 f f 2 wobei d der Abstand beider Linsen voneinander ist. Das Linsensystem ähnelt einer dicken Linse und hat ebenso zwei Hauptebenen H und H 2, die zwischen den Linsen im Abstand h = fd/f 2 und h 2 = f d/f von ihnen liegen. Für sehr kleine Abstände d f i hat man eine einfache Relation, daß sich die reziproken Brennweiten der Linsen addieren f = f + f 2. (4) Diese Eigenschaft kann beispielsweise ausgenutzt werden, um in Kombination mit einer Sammellinse die Brennweite einer Zerstreuungslinse zu messen, die als Einzellinse kein reelles Bild erzeugt. 2 Versuchsdurchführung Die Messungen werden an einer optischen Bank durchgeführt. Die verwendeten Elemente Lichtquelle, abzubildender Gegenstand, Linsenhalterung und Mattscheibe sitzen auf Reitern, die eine genaue Justierung und Ablesung der Positionen erlauben, s. Abb. 6 Als Objekt dient Abbildung 6: Versuchsaufbau einer optischen Bank mit Lampengehäuse und Objekt G, Linse L und Beobachtungsschirm S z a b ein Pfeil auf einer Mattscheibe, die zur Beleuchtung in den Tubus des Lampengehäuses gesteckt wird. In die Linsenfassung können verschiedene Linsen aufgenommen werden. Das Bild wird auf einem Schirm aufgefangen. Man beachte, daß die Ablesungen an den Reitermarken unter Umständen nicht exakt mit den Positionen von Linse und Objekt übereinstimmen. Die Bestimmung der Brennweite einer Linse erfolgt mit drei verschiedenen Methoden. Eine grobe Abschätzung erhält man bereits, wenn man das Licht einer weit entfernten Quelle auf einem Schirm fokussiert und dessen Abstand zur Linse mißt. 6

8 2. Messung von Gegenstands- und Bildweite Die Abbildungsgleichung () ermöglicht die Bestimmung der Brennweite von Sammellinsen durch die Messung von Gegenstandsweite und Bildweite. Dazu werden Linse und Auffangschirm so lange verschoben, bis eine scharfe Abbildung entsteht. Aus der abgelesenen Gegenstandsweite a und der Bildweite b ergibt sich die Brennweite zu f = ab a + b bzw. f = a + b. (5) Es zeigt sich, daß der Schirm oder die Linse um gewisse Strecken verschoben werden können, ohne daß die Bildschärfe merklich beeinträchtigt wird. Um die begrenzte Empfindlichkeit etwas auszugleichen, wird die Messung bei unterschiedlichen Abständen 8 0 mal wiederholt. Die Auswertung erfolgt einmal numerisch, wobei der Mittelwert der Brennweite und sein Fehler aus sämtlichen Ergebnissen der Brennweite gebildet wird. Ein Alternative ist die graphische Auswertung, in der die beiden reziproken Werte /b und /a in ein Koordinatensystem als Abszisse und Ordinate eingetragen werden, wie in Abb. 7 dargestellt. Alle Meßpunkte sollten a /f Abbildung 7: Darstellung der Meßergebnisse als reziproke Werte der Gegenstandsweite /a und der Bildweite /b mit den Achsenabschnitten /f /f b nach Gl. (5) auf einer Geraden liegen, deren Achsenabschnitte die reziproke Brennweite /f ergeben. Das ist leicht verstehbar, da z.b. für /a 0 das Objekt im Unendlichen liegt und das Bild in der Brennebene b = f entsteht. Mögliche Abweichungen der Messungen von einer Geraden werden durch eine Ausgleichsgerade minimiert. Man vergleiche die Ergebnisse beider Auswerteverfahren. 2.2 Methode nach Bessel Die direkte Messung von Gegenstandsweite und Bildweite erfordert die Kenntnis der Lage der Linsenhauptebene, die auf Grund der Linsenfassung oder bei dicken Linsen nicht immer gegeben ist. Bei dem Verfahren von Bessel werden Gegenstandsweite und Bildweite indirekt durch genauer meßbare Größen bestimmt. Hierbei wird der Abstand zwischen Gegenstand und Bild konstant gehalten und die Linse so verschoben, daß sich eine scharfe Abbildung ergibt, siehe Abb. 8. Falls der Abstand l größer als die vierfache Brennweite ist, so existieren scharfe 7

9 Abbildung 8: Zur Bessel-Methode der Brennweitenbestimmung reelle Abbildungen bei zwei symmetrischen Positionen der Linse, eine Stellung vergrößert und die andere verkleinert l = a + b = a 2 + b 2. (6) Wegen der Symmetrie des Strahlengangs gilt a = b 2 und a 2 = b und man erhält als Abstand d der beiden Stellungen der Linse d = a 2 a = b b 2 = b a = a 2 b 2. (7) Addition und Subtraktion der letzten beiden Gleichungen ergibt l + d = 2b b = l + d, 2 (8) l d = 2a a = l d. 2 (9) Nach Einsetzen in die Abbildungsgleichung () findet man die gesuchte Brennweite f = 2 l + d + 2 l d, (20) f = l2 d 2 4l = l ) (l d2. (2) 4 l Wieder werden die Messungen mehrfach wiederholt bei verschiedenen Abständen l. Die Brennweite wird sowohl graphisch bestimmt durch Auftragen der reziproken Werte 2/(l + d) und 2/(l d) gemäß Gl. (20) und Ermittlung der Achsenabschnitte der Ausgleichsgeraden, als auch numerisch bestimmt nach Gl. (2) mit anschließender Mittelung und Fehlerrechnung aus allen Ergebnissen. 2.3 Messung der Vergrößerung Die Vergrößerung M, d.h. das Verhältnis von Bildgröße B zu Gegenstandsgröße A, kann nach Abb. 4 und Gl. (2) in Beziehung zur Brennweite und zu Gegenstandsweite bzw. Bildweite gebracht werden f = Ma M = b M. (22) Bei verschiedenen Abständen zwischen Objekt und Linse messe man sowohl den Vergrößerungsmaßstab als auch die Gegenstands- und Bildweiten und berechne daraus die Brennweite der Linse samt ihrem Fehler. 8

10 3 Fehlerrechnung Die dominante Fehlerquelle besteht in der begrenzten Empfindlichkeit der Einstellung der Bildschärfe. Hinzu kommen Ablesefehler der Stellung der Reiter bei der Messung von Gegenstandsund Bildweite. Beide Fehler können jedoch durch häufige Wiederholung der Messung vermindert werden. Systematische Fehler sind zu erwarten aufgrund der begrenzten Gültigkeit der Abbildungsgleichungen, z.b. bei achsenfernen Strahlen, sowie der ungenügenden Kenntnis der Lagen der Hauptebenen. Diese Einflüsse können bei der Auswertung unberücksichtigt bleiben. Bei der graphischen Auswertung der Messungen findet durch Anpassung einer Geraden auch ein gewisser Ausgleich der Meßungenauigkeiten statt, ohne daß es zu einem quantitativen Resultat führt. Bei der numerische Auswertung erfolgt die Berechnung der Brennweite je nach Verfahren für jede einzelne Messung. Der arithmetische Mittelwert f aus m Einzelmessungen f i berechnet sich nach f = m f i. (23) m Aus der Streuung der Einzelwerte um dem Mittelwert f i = f f i erhält man die Varianz σ 2 bzw. Standardabweichnung σ als Maß für den Fehler einer einzelnen Messung σ f f = m (f i m f) 2 (24) und für den Fehler des Mittelwertes i= i= σ f = σ f m bzw. f = f m. (25) 9

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